2.4等腰三角形的判定定理（分层作业，17大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 2.4 等腰三角形的判定定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定 题型02 等腰三角形的判定——等角对等边与线段的计算和证明 题型03 等腰三角形的判定——找等腰三角形的个数 题型04 等腰三角形的判定——等腰三角形的性质与判定问题 题型05 等边三角形——等边三角形的判定 题型06 等边三角形——等边三角形的性质与判定综合问题 题型07 等腰三角形的性质——等腰三角形与基本作图问题 题型08 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定与实际问题 B组 能力进阶 题型01 等腰三角形的判定——等腰三角形与格点问题 题型02 等腰三角形的判定——构造等腰三角形解决问题 题型03 等腰三角形的判定——等腰三角形与折叠问题 题型04 等腰三角形的判定——等腰三角形综合问题 题型05 等边三角形——等边三角形与作图问题 题型06 等边三角形——与等边三角形有关的折叠问题 C组 思维拔高 题型01 等腰三角形的判定——满足等腰三角形的点或直线的个数 题型02 等边三角形——构造等边三角形解决问题 题型03 等边三角形——等边三角形中的多结论问题 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定题型01 1．一个等腰锐角三角形，三个内角的度数比可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知△ABC，点分别在边上，，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 4．如图，点，在上，，，    (1)求证：； (2)若与的交点为点，求证：是等腰三角形 5．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知，平分交的延长线于点，且．平分交的延长线于点．，交于点． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 等腰三角形的判定——等角对等边与线段的计算和证明题型02 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于M，点N在上，连接，，，则的周长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 2．如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 3．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，则可判定AB=AC的依据是________； 4．（25-26八年级上·河北衡水·期中）在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 5．（24-25七年级下·山东威海乳山·期末）如图，在中，，分别以，为边作两个等边和，连接并延长交于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 等腰三角形的判定——找等腰三角形的个数题型03 1．下列三角形中，等腰三角形的个数是（  ）   A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 4．如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 等腰三角形的判定——等腰三角形的性质与判定问题题型04 1．如图，已知，，不正确的等式是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，若，则的长为________． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，于点E，于点F，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：∵平分，； ∴．（依据：__________________________） ∵，， ∴． 在和中， ∴（依据：） ∴． ∴__________=__________．（依据：等角对等边） 又∵平分 ∴．（依据：__________________________） 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，已知点在线段的反向延长线上，平分，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，F为的中点，连接并延长交边于点，若，则的周长为________________． 5．（24-25八年级下·河南项城·月考）如图，在中，是的平分线，过点作的平行线，交的延长线于点．于点． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 等边三角形——等边三角形的判定题型05 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．等边三角形的判定定理：三个________都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的________________是等边三角形． 3．在△ABC中，AB=AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是___（只要写出一个即可）． 4．（24-25八年级上·福建莆田·月考）如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形． 5．（25-26八年级·上海·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 等边三角形——等边三角形的性质与判定综合问题题型06 1．（24-25八年级上·山西吕梁·月考）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于______厘米． 3．如下图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，．，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：． (2)求直线，所夹锐角的度数． (3)试判断的形状，并说明理由． 4．如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F，求证：BE＝EF＝FC． 等腰三角形的性质——等腰三角形与基本作图问题题型07 1．（2025·贵州遵义·模拟）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北·期中）尺规作图．不写作法，保留作图痕迹．如图，过点A作射线交于点D，且． 4．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，小红用尺规作出一个等腰三角形，其判定依据是“等腰三角形的定义”，请你再用两种不同方法尺规作出等腰三角形，并分别写出判定依据（保留作图痕迹，无需写出作法）． 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定与实际问题题型08 1．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 3．（24-25八年级下·陕西渭南·质检）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 4．（25-26八年级上·湖北·期中）上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得， (1)求海岛到海岛的距离； (2)渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 等腰三角形的判定——等腰三角形与格点问题题型01 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段．    (1)求作等腰直角三角形，其中． (2)计算的面积． 等腰三角形的判定——构造等腰三角形解决问题题型02 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，梯形中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，点恰好是的中点，若，则的长是_________． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则________． 3．已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 4．如图，在中，，平分，求证：． 等腰三角形的判定——等腰三角形与折叠问题题型03 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，则的面积是（    ） A．30 B． C．78 D． 2．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，长方形纸片沿对角线折叠，点落在处，交于，设重叠部分为，给出以下四个结论：①是等腰三角形；②和一定是全等三角形；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后和一定相等．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 等腰三角形的判定——等腰三角形综合问题题型04 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列说法：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形，其中正确的结论是（    ） A．①④ B．①②④ C．②③ D．①②③ 2．如图，在 中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①； ②； ③当时，E，F分别是，的中点： ④若，，则． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，直线恰好经过点，给出下列四个结论： ①若连结，则是等腰三角形； ②若连结，则是等腰三角形； ③； ④． 其中正确结论的序号有______． 等边三角形——等边三角形与作图问题题型05 1．（25-26八年级上·天津·期中）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心， 长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，， (1)请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） (2)连接，求证：是等边三角形． 3．（25-26八年级·广东佛山·期末）如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． (1)写出确定点的操作过程． (2)以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知在中，，． (1)尺规作图：在边上求作点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若于点D，，求的长． 5．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 等边三角形——与等边三角形有关的折叠问题题型06 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则__________． 2．如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 3．（25-26八年级上·辽宁·期中）如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点．    (1)根据轴对称的性质易证是________． (2)直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． (3)若，求的长． 等腰三角形的判定——满足等腰三角形的点或直线的个数题型01 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 等边三角形——构造等边三角形解决问题题型02 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，为等边的边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点．证明：． 2．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图1所示，在中，，，为线段上一点，为中点，连接．作，得到射线，过点作交射线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)如图2，当时，连接、，求证：为等边三角形． 4．（26-27八年级·福建·学情自测）在等边中，点是边上的点（不与点，重合），连接． 【初步感知】 (1)如图①，点是边上的点，连接交于点，若，求证：； 【深入探究】 (2)如图②，是的外角的角平分线，若，求证：； 【拓展运用】 (3)如图③，在【初步感知】的条件下，延长至点，连接，当时，设，请直接写出的值． 等边三角形——等边三角形中的多结论问题题型03 1．如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 2．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.4 等腰三角形的判定定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定 题型02 等腰三角形的判定——等角对等边与线段的计算和证明 题型03 等腰三角形的判定——找等腰三角形的个数 题型04 等腰三角形的判定——等腰三角形的性质与判定问题 题型05 等边三角形——等边三角形的判定 题型06 等边三角形——等边三角形的性质与判定综合问题 题型07 等腰三角形的性质——等腰三角形与基本作图问题 题型08 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定与实际问题 B组 能力进阶 题型01 等腰三角形的判定——等腰三角形与格点问题 题型02 等腰三角形的判定——构造等腰三角形解决问题 题型03 等腰三角形的判定——等腰三角形与折叠问题 题型04 等腰三角形的判定——等腰三角形综合问题 题型05 等边三角形——等边三角形与作图问题 题型06 等边三角形——与等边三角形有关的折叠问题 C组 思维拔高 题型01 等腰三角形的判定——满足等腰三角形的点或直线的个数 题型02 等边三角形——构造等边三角形解决问题 题型03 等边三角形——等边三角形中的多结论问题 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定题型01 1．一个等腰锐角三角形，三个内角的度数比可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，三角形的分类， 正确计算三个内角度数是解题的关键． 根据三角形内角和定理，结合每个角度的占比，求出各选项三角形的每个角的度数，即可判断． 【详解】解：A、三个内角度数为：，是直角三角形，不符合题意； B、三个内角度数为：，不是等腰三角形，不符合题意； C、三个内角度数为：， 每个角均小于，且有2个角度数相等，是等腰锐角三角形，符合题意； D、三个内角度数为：，是钝角三角形，不符合题意， 故选：C． 2．如图，已知△ABC，点分别在边上，，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】添加、、可利用判定，进而可得，从而可得是等腰三角形；添加不能判定，因此也不能证明，进而不能证明是等腰三角形． 【详解】解：、添加， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形，故此选项不合题意； 、添加， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形，故此选项不合题意； 、添加， 又， ， ， 为等腰三角形，故此选项不合题意； 、添加，不能证明， 因此也不能证明，进而得不到为等腰三角形，故此选项符合题意； 故选：． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法． 3．下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系． 【详解】解：选项A：∵, ∴, 三个角均不相等, ∴不能判定为等腰三角形； 选项B：∵, ∴, ∴, ∴, ∴为等腰三角形； 选项C：∵, ∴, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定； 选项D：∵, 周长为13, ∴, ∴，但, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定． 故选：B． 4．如图，点，在上，，，    (1)求证：； (2)若与的交点为点，求证：是等腰三角形 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴； (2) 证明：由（1）得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边； （1）根据条件可得，通过即可证明； （2）根据可得，即可证明 【详解】（1）略 （2）略 5．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知，平分交的延长线于点，且．平分交的延长线于点．，交于点． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质与判定进行证明是解决本题的关键． （1）先判定， 得出．再利用平分，平分，证明，再证明，得出，得出，，即可证明； （2）利用平分，得出，利用，得出，则，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 等腰三角形的判定——等角对等边与线段的计算和证明题型02 1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于M，点N在上，连接，，，则的周长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等角对等边．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的判定得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于M， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键． 由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，同理可得，则，可得答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 即． 故选：B． 3．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，则可判定AB=AC的依据是________； 【答案】等角对等边． 【分析】此题根据等腰三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）． 故答案为：等角对等边． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意此定理应用的前提是：在一个三角形中，等角对等边． 4．（25-26八年级上·河北衡水·期中）在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用外角性质用表示出，由三角形内角和定理得出的度数，由此得出结论． （2）先求出，利用等角对等边求出，即可求出的周长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 5．（24-25七年级下·山东威海乳山·期末）如图，在中，，分别以，为边作两个等边和，连接并延长交于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵，， ∴， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）证明， 得出即可； （2）先分别求出，，得出，根据等角对等边求出结果即可． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． （2）略 等腰三角形的判定——找等腰三角形的个数题型03 1．下列三角形中，等腰三角形的个数是（  ）   A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据题图所给信息，根据边或角分析即可 【详解】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形， 第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形； 第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形； 第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形； 故答案为：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 2．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 4．如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1) 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)图中的等腰三角形有、 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键． （1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 等腰三角形的判定——等腰三角形的性质与判定问题题型04 1．如图，已知，，不正确的等式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故B选项、C选项正确，D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 2．（25-26八年级·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，于点E，于点F，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：∵平分，； ∴．（依据：__________________________） ∵，， ∴． 在和中， ∴（依据：） ∴． ∴__________=__________．（依据：等角对等边） 又∵平分 ∴．（依据：__________________________） 【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等；；；；等腰三角形三线合一． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得．即可利用证明，有．结合等角对等边得．再依据等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】略 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，已知点在线段的反向延长线上，平分，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，F为的中点，连接并延长交边于点，若，则的周长为________________． 【答案】(1) 证明：平分， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形； (2)32 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用角平分线和平行线的性质证得，即可得结论； （2）用证明，推出，再求出即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·河南项城·月考）如图，在中，是的平分线，过点作的平行线，交的延长线于点．于点． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，再根据得，，然后根据得，进而可得的度数； （2）先根据角平分线定义得，再根据得，，则，由此得，则，再证明得，继而得，据此即可求出的长． 【详解】（1）解： 是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， 故；； （2）解：是的平分线， ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ， ． 等边三角形——等边三角形的判定题型05 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 2．等边三角形的判定定理：三个________都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的________________是等边三角形． 【答案】 角 等腰三角形 【分析】根据等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形，进行作答即可． 【详解】解：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形； 故答案为：角，等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法，是解题的关键． 3．在△ABC中，AB=AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是___（只要写出一个即可）． 【答案】或等（答案不唯一） 【分析】根据等边三角形的判定方法即可求解. 【详解】∵在△ABC中，AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， 故只需或即可得出△ABC为等边三角形. 【点睛】此题主要考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法. 4．（24-25八年级上·福建莆田·月考）如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形． 【答案】 证明：，， ， ，， ， ，， ， 为等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，以及等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，即可解答． 【详解】略 5．（25-26八年级·上海·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 【答案】 探究（1） 证明：∵是上的中线， ∴． ∵是上的高， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． 探究（2） 已知：在中，，是腰上的高，是底边上的高，且， 求证：是等边三角形． 证明：∵是上的高，是上的高， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定，解题的关键是利用已知条件推导等腰三角形的腰与底边相等． （1）利用中线性质得线段相等，结合高的垂直性质证明三角形全等，进而推出腰与底边相等，判定等边三角形； （2）根据三角形面积公式或全等三角形判定，由高相等推导腰与底边相等，再结合等腰三角形性质判定等边三角形． 【详解】略 等边三角形——等边三角形的性质与判定综合问题题型06 1．（24-25八年级上·山西吕梁·月考）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的等边三角形的判定与性质的应用，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 根据，可得为等边三角形，继而由等边三角形三边相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 2．如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于______厘米． 【答案】18 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，从而求出是等边三角形，，从而得解． 【详解】解：∵、分别是关于、的对称点， ， ， ， ， 是等边三角形， 厘米， 故的周长厘米， 故答案为：18． 3．如下图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，．，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：． (2)求直线，所夹锐角的度数． (3)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：和均为等边三角形， ，，， 在和中， ， ． (2) (3)是等边三角形， 理由如下： 由（1）可知，，． ，分别为，的中点， ． 在和中， ， ，， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）如图，延长交于点．由全等三角形的性质可得到，由对顶角相等即可得到，即为直线，所夹锐角的度数； （3）由“”可证，可得，，可证是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交于点． 由（1）可知，， ． ， ，即直线，所夹锐角的度数为． （3） 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 4．如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F，求证：BE＝EF＝FC． 【答案】 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°． ∵BO，CO是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∴∠BOC=180°-30°-30°=120°． ∵BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和F， ∴OE=BE，OF=CF， ∴∠BOE=∠OBC=∠OCF=∠COF=30°， ∴∠EOF=120°-30°-30°=60°． ∵∠OEF，∠OFE是△OBE，△OFC的外角， ∴∠OEF=∠OBE+∠BOE=60°，∠OFE=∠COF+∠OCF=60°， ∴∠EOF=∠OEF=∠OFE， ∴△OEF是等边三角形， ∴OE=EF=OF， ∴BE=EF=CF． 【分析】先根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，再根据角平分线的定义得∠OBC=∠OCB=30°，即可求出∠BOC，然后根据垂直平分线的性质得OE=BE，OF=CF，进而得出∠BOE=∠COF=30°，再求出∠OEF，∠OFE，∠EOF的度数，即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义等，判定△OEF是等边三角形是解题的关键． 等腰三角形的性质——等腰三角形与基本作图问题题型07 1．（2025·贵州遵义·模拟）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，等角对等边．观察可得平分，根据角平分线的定义求得，根据平行线的性质求得，得出，再根据等角对等边以及三角形三边关系即可求解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系得 故选：B． 2．如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知，平分，垂直平分运用垂直平分线性质，三角形内角和定理等角对等边性质求解即可． 【详解】由图知，平分，垂直平分 ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴，， 中， ∴ ∴，故B项正确，不符合题意； ∵， ∴ ∴，故C项正确，不符合题意； ∴ ∴，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作角平分线和中垂线，三角形内角和定理，中垂线定理，角平分线定义，等角对等边性质，熟悉相关定理是解题的关键． 3．（25-26八年级上·湖北·期中）尺规作图．不写作法，保留作图痕迹．如图，过点A作射线交于点D，且． 【答案】 解：如图，点D即为所求， 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的判定，以A为顶点，在的上方，向左作，交于D即可． 【详解】略 4．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，小红用尺规作出一个等腰三角形，其判定依据是“等腰三角形的定义”，请你再用两种不同方法尺规作出等腰三角形，并分别写出判定依据（保留作图痕迹，无需写出作法）． 【答案】 解：如图所示，即为所求．依据：线段垂直平分线的性质， 依据：同一个三角形中，等角对等边， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，图1中，任作一条线段，作线段的垂直平分线，在线段的垂直平分线上任取一点C（不在线段上），连接，由线段垂直平分线的性质可得，则为等腰三角形；图2中，任作一个，过点B作交射线于C，则，则为等腰三角形． 【详解】略 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定与实际问题题型08 1．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和为，可得，则是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：，， ， ，即是等腰三角形， ， ． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·质检）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则米，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， 米， 米， 米， ∴米， 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得， (1)求海岛到海岛的距离； (2)渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛到海岛的距离为40海里 (2)海岛派出的救援队先到达渔船处 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，理解题意是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到，即可求解； （2）证明是等边三角形，进而得到的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ，， ， ， （海里）， 海岛到海岛的距离为40海里； （2）解：，， 是等边三角形， ， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， ， 海岛派出的救援队先到达渔船处． 等腰三角形的判定——等腰三角形与格点问题题型01 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解，本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：掌握确定等腰三角形的方法． 【详解】解：当为底时，作线段的垂直平分线，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 故选：． 2．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； (2) 解：如图所示，即为所求； 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1) 即为所求（答案不唯一）； (2) 即为所求（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段．    (1)求作等腰直角三角形，其中． (2)计算的面积． 【答案】(1) 解：如图，即为所求．    (2)10 【分析】（1）以点A为直角顶点画出图形即可； （2）利用割补法计算即可． 【详解】（1）略 （2）． 【点睛】本题考查了等腰三角形，利用网格求面积，解题的关键是掌握等腰直角三角形的定义，同时掌握割补法的应用． 等腰三角形的判定——构造等腰三角形解决问题题型02 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，梯形中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，点恰好是的中点，若，则的长是_________． 【答案】 【分析】延长与的延长线交于点，构造三角形全等，得到对应边相等，再利用等角对等边求解即可． 【详解】解：根据题意可知为平分线， ∴， 延长与的延长线交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则________． 【答案】10 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等角对等边性质，延长交于点E，首先证明出，得到，，，然后结合得到，进而得出，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）和判定（，，，，），等角对等边性质． 【详解】解：如图所示，延长交于点E， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴ ∴，，， ∴； ∵，即， ∴； ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 3．已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 【答案】 解：所画直线如图所示： 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据所给条件，结合等腰三角形判定进行分析，即可解题． 【详解】略 4．如图，在中，，平分，求证：． 【答案】 证明：如图，在上取点，使得， 在和中， ， ， ， ，且， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 在上取点，使得，证明，可得，即可解答． 【详解】略 等腰三角形的判定——等腰三角形与折叠问题题型03 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，则的面积是（    ） A．30 B． C．78 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，折叠的性质，证明是解题的关键． 由折叠的性质可得，再由长方形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，     ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：C 2．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠可知，，，，，进而可知，再结合四边形的周长是，，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长是，， ∴，则， 则， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，长方形纸片沿对角线折叠，点落在处，交于，设重叠部分为，给出以下四个结论：①是等腰三角形；②和一定是全等三角形；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后和一定相等．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，，，得出，由折叠的性质得出，，，，得到，继而得出是等腰三角形，①正确， 可证，可得到②③正确，无法得到和相等，进而判断④，即可得到答案． 【详解】解：长方形， ，，，， ， 由题可知， ，，，， ，，， ， 是等腰三角形， ①正确， 在和中， ， ②正确， 是等腰三角形，， 折叠后得到的图形是轴对称图形， ③正确， 折叠后，和不一定相等， ④错误， 综上正确的结论是：①②③， 故选：C ． 等腰三角形的判定——等腰三角形综合问题题型04 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列说法：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形，其中正确的结论是（    ） A．①④ B．①②④ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的判定定理，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的定义，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据等边三角形的判定定理，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的定义进行排除选项即可． 【详解】解：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形，说法正确； ②如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形，说法正确；理由如下：如图，是的一个外角，平分，且，求证：是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等，根据“线段垂直平分线的性质”可知该说法正确； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形，题中并未说明这两个角是两个底角还是一个顶角和底角，所以不一定是等边三角形，故说法错误； 故选：D． 2．如图，在 中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①； ②； ③当时，E，F分别是，的中点： ④若，，则． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线的性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质定理判断④． 【详解】解：∵在中，和的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 当时，， ∴、不是、的中点，故③错误； 作于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴点在的平分线上， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④，共3个 故选：C． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，直线恰好经过点，给出下列四个结论： ①若连结，则是等腰三角形； ②若连结，则是等腰三角形； ③； ④． 其中正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【分析】根据尺规作圆可判定①；根据尺规作垂直平分线可判定②；根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理平角的性质可判定③；根据线段的等量关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连结， ∵以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，两直线恰好经过点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，故②正确； 由②正确可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，故③错误； ∵，， ∴在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 【点睛】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，尺规作图的知识，数形结合分析思想是解题的关键． 等边三角形——等边三角形与作图问题题型05 1．（25-26八年级上·天津·期中）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心， 长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点．连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 2．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，， (1)请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） (2)连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1) 如图所示：即为所求： (2) 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）根据作一条线段垂直平分线的方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的性质，得出，根据等边对等角得出，求出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了基本作图，等边三角形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质． 3．（25-26八年级·广东佛山·期末）如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． (1)写出确定点的操作过程． (2)以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 【答案】(1)解：如图，过点D，作，交于E； (2)证明：∵等腰中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴是等边三角形． 【分析】（1）过点D，作交于； （2）先证明是等边三角形，根据平行线的性质得即可证得是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知在中，，． (1)尺规作图：在边上求作点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若于点D，，求的长． 【答案】(1) 点P即为所求作. (2) 【分析】本题考查基本尺规作图、等边三角形的判定与性质，正确作图是解答的关键． （1）根据“有一个角为的等腰三角形是等边三角形”,在上截取即可； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由所作知，，又， 是等边三角形， ， 于点D， ． 5．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： (2) 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 等边三角形——与等边三角形有关的折叠问题题型06 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则__________． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得到，得，得到，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 即， 又， ， 故答案为：4． 2．如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 【答案】等边三角形， 证明：由折叠的性质可知：，， ∵是边的中线， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查了翻折变换、平行线的判定以及等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．由折叠的性质可得出、，根据角的计算可得出，再根据中线的定义即可得出，由此即可证出是等边三角形． 【详解】略 3．（25-26八年级上·辽宁·期中）如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点．    (1)根据轴对称的性质易证是________． (2)直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． (3)若，求的长． 【答案】(1)等边三角形； (2) 解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． (3)的长为3． 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，以及平行线的性质． （1）由折叠的性质求出，进而可证明是等边三角形； （2）由是等边三角形得，由平行线的性质得，进而可证是等边三角形； （3）由等边三角形的性质得，再证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形； （2）略 （3）∵和是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）可知，由（2）可知， ∴ ∴， ∴． ∴，即的长为3． 等腰三角形的判定——满足等腰三角形的点或直线的个数题型01 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 2．如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【详解】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 等边三角形——构造等边三角形解决问题题型02 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，为等边的边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点．证明：． 【答案】 证明：如图， 过点作交于点； 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， )， ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，过点作交于点；得出是等边三角形，进而证明)即可得证． 【详解】略 2．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是中线， ∴，即， ∵， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】根据已知条件得到，在的延长线上截取，连接，得到，得到，由等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】略 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图1所示，在中，，，为线段上一点，为中点，连接．作，得到射线，过点作交射线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)如图2，当时，连接、，求证：为等边三角形． 【答案】(1) 如图， (2) 证明：， ， ， ，， ， ； (3) 证明：延长至使，连接， ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵，则， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等； （1）按要求补全图形，即可求解； （2）由角的和差得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （3）延长至使，连接，证明得出，，进而证明，证明，推出，，即可得出，则为等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．（26-27八年级·福建·学情自测）在等边中，点是边上的点（不与点，重合），连接． 【初步感知】 (1)如图①，点是边上的点，连接交于点，若，求证：； 【深入探究】 (2)如图②，是的外角的角平分线，若，求证：； 【拓展运用】 (3)如图③，在【初步感知】的条件下，延长至点，连接，当时，设，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的外角的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）先得出，再证出即可； （2）过点作，交于点，先得出是等边三角形，，进而可得，，再证出即可； （3）在上截取，连接，先证出，则，，再得出，然后设，则，分别求出，，代入化简即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，， ∴． 等边三角形——等边三角形中的多结论问题题型03 1．如图，已知与都是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点与相交于点与相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先利用证明，得到，证明，得到，进而证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故③正确； ∴，故④正确； ∵，， ∴是等边三角形，故②正确； 故选D． 2．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误． 【详解】解：是等边三角形， ，． ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． ， ；故①正确． ， ，即． ， ． ， ；故②正确． ③如图，作的平分线交于点K，则， ， ． ，即． ， ． 是等边三角形． ． 在和中， ． ． ． ；故③正确． ， ，，． 由③得，， ． ． ． ． ． ． ，故④错误． 故正确的有，3个， 故选：B． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $