15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

第2课时等 已知识要点扫描 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简 写成“等角对等边”) 已经典例题剖析 【例】如右图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 点D,AF平分∠BAC交CD 于点E,交BC于点F.求证：CE=CF. 【解】'，∠ACB=90°， ,∴.∠CAF+∠CFE=90 CD⊥AB,.∠ADE=90°， ∴.∠EAD+∠AED=90° :AF平分∠BAC, .∠CAF=∠EAD, ∴.∠AED=∠CFE. 又，∠AED=∠CEF, ∴∠CEF=∠CFE, ..CE=CF. 【点拨】先由直角三角形得到∠CAF十 ∠CFE=90°，∠EAD+∠AED=90°，然后结 合角的平分线和对项角相等得到∠CEF ∠CFE,最后得到CE=CF 已基础对点训练 知识点①根据定义判定等腰三角形 1.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且(a十b -c)(a-c)=0,则△ABC一定是( A.任意三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.不等边三角形 2.如果三角形一条边上的中线和这条边上的 高重合，那么这个三角形一定是 () A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 要三角形的判定 3.在平面直角坐标系中，点A(1,3)在第一象 限，点P在x轴上.若以P,O,A为顶点的 三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有 ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 知识点② 根据定理判定等腰三角形 4.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB.若 OD=3cm,则CD等于 () A.1.5 cm B.2 cm C.3 cm D.4cm 第4题图 第5题剧 5.如图，已知△ABC,点D,E分别在边AC, AB上，∠ABD=∠ACE.下列条件中，不能 判定△ABC是等腰三角形的是 () A.AE=AD B.BD=CE C.∠ECB=∠DBCD.∠BEC=∠CDB 6.如图，∠B=∠C-36°，DM,EF分别垂直平 分AB,AC,则图中的等腰三角形有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 第6题图 第7题园 7.如图，在△ABC中，AB一AC,∠A=36°， BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线， 则图中的等腰三角形有 () A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 上册第十五章 8.如图，在△ABC中，O为 ∠ABC和∠ACB的平分线的 交点，ODAB交BC于点D, 第8题阁 OE∥AC交BC于点E.若BC =10cm,则△ODE的周长为 A.11 cm B.10cm C.9 cm D.8 cm 变式题两对平行线→一对平行线 (1)如图，在△ABC中，过点A作DE∥BC 交∠ABC的平分线BD于点D,交∠ACB 的平分线CE于点E.若BC-7,DE-9, 则△ABC的周长为 文式题(1)图 变式题(2)图 (2)如图，∠ABC的平分线BF与△ABC 的外角∠ACM的平分线CF相交于点F, 过点F作DF∥BC交AB于点D,交AC 于点E,则BD,CE,DE之间的数量关系 是 9.如图，一般海轮位于灯塔P的南偏东T0°方 向的M处，它以40nile/h的速度向正北 方向航行，2h后到达位于灯塔P的北偏东 40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为 n mile. 第9题图 第10短周 10.(教材变式)如图，将长方形纸片ABCD沿 对角线BD折叠.若AB=4cm,BE= 5cm,则重叠部分（△BDE)的面积是 cm2. 40 八年级数学版 11.(2024一2025新余渝水区期中)如下图，已 知∠A=∠D=90°，点E、点F在线段BC 上，DE与AF交于点O,且AB=DC,BE =CF.求证：OE=OF. 12.(2024一2025上饶期中)如下图，AD∥BC, E为DC的中点，AE平分∠BAD.求证： BE平分∠ABC. 知识点③作等腰三角形 13.如下图，在△ABC中，AB=AC,∠A= 36°，用尺规作图：在AC上找一点D,使 △ABD,△BCD都是等腰三角形（保留作 图痕迹，不写作法).6189 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.B变式题(1)C(2)30°2.B3.70°4.36 5.解：AD=BD,∠A=∠ABD=40 '∠CDB=∠A+∠ABD,∠CDB=80° BD=BC,,∠CDB=∠C=80 .∠DBC=180°-∠CDB-∠C=20" 6.C7.B8.(1)27(2)30 9.解："AB=AC,∠BAC=100', ∠B-∠C-2as0-∠BAC)-40 BD=BE,∠BDE=∠BED=2180-∠B)=70 AB=AC,AD平分，∠BAC,∴AD⊥BC, ∴.∠ADB=90, '.∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-70°=20 ◆一题多解法 ,AB=AC,∠BAC=100°， ÷∠B=∠C=7as0-∠BAC)=40 :BD=BE,∠BED=∠BDE=是180-∠B) =70”. :AD平分∠BAC,∠EAD-∠BAC-50, ÷∠ADE-∠BED-∠EAD-70'-50°=20 10.40或70°或100° 第2课时等腰三角形的判定 1.C2.B3.C4.C5.D6.D7.A 8.B变式题(1)16(2)BD-CE=DE9.8010.10 11.证明：：BE=CF, .BE十EF=CF+EF,即BF=CE 在Rt△ABF和Rt△DCE中， (BF=CE, AB=DC, ∴.Rt△ABF≌Rt△DCE(HL), ∴.，∠AFB=∠DEC,.OE=OF 12.证明：如图，延长AE交BC的延长线于点F AD∥BC, ∴.∠D=∠DCF,∠DAE=∠F ,E是CD的中点， .DE=CE, .△AED2△FEC(AAS), ..AE=FE. AE平分∠DAB, .∠EAD=∠BAE, .∠BAE=∠F, BA-BF, :BE平分∠ABC. 13.解：如图，点D即为所求， 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1.D2.B3.24 4.证明：：△ABC为等边三角形， ·∠ABD=∠C=60°，AB=BC [AB=BC. 在△ABD和△BCE中，∠ABD=∠C, BD=CE, ·△ABD2△BCE(SAS),.AD=BE 5.解：(1)△DBC和△EAC全等. 理由：△ABC和△EDC都是等边三角形， ,∠ACB=60°，∠DCE=60°，AC=BC,DC=EC, .∠BCD=60°-∠ACD,∠ACE=60-∠ACD, ∠BCD=∠ACE,△DBC≌△EAC(SAS), (2)正明：，'△DBC2△EAC, ,∴.∠B=∠EAC=60 又，'∠ACB=60°，'.∠EAC=∠ACB, .AE∥BC 6.B7.08.29.2.5 10.征明：(1)：△4BC是等边三角形， .∠A=∠B=∠C=60°. ,DE∥BC, .∠B=∠ADE=60°，∠C=∠AED=60', ∴.∠A=∠ADE=∠AED=60°， ∴，△ADE是等边三角形. (2),'△ABC是等边三角形 .∠A=60,AB=AC=BC ,BD=CE,∴.AB-DB=AC-EC,即AD=AE, ∴.△ADE是等腰三角形 又∠A=60°，.△ADE是等边三角形 11.解：(1)：△ABC是等边三角形， '.∠ABC=∠ACB=60 又∠2=3， ∴.∠ABC-∠2=∠ACB-∠3，即∠ABD=∠BCE, ∠BEC=180°-∠2-∠BCE=180°-（∠2+∠ABD)= 180°-60=120 (2)是.理由如下： 由(1)可知，∠BEC=120°，∠DEF=60° 同理可得∠DFE=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形 第2课时含30角的直角三角形的性质 1.B2.B3.D4.4 5.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC, ÷∠B=∠C=是180*-∠BAC)=30 又：AD⊥BC,∠ADB=90°， AD=子AB=2×12=6,即底边上的高为6 2 6.C7.7,2 易错易混专练等腰三角形中的 分类讨论问题 1.C2.72成36或108 3.解：设等腰三角形顶角的度数为x,则底角的度数为x十3即或x -30. 44444 上册参老答案 195