2.6直角三角形（分层作业，10大题型）数学新教材浙教版八年级上册
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内容正文：
分层作业
2.6 直角三角形
A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高
目 录
A组 巩固过关
题型01 利用直角三角形的两个锐角互余求角度
题型02 直角三角形的性质——直角三角形斜边的中线
题型03 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状
B组 能力进阶
题型01 三角形内角和与平行线的综合应用
题型02 内角和与角平分线的综合应用
题型03 应用三角形内角和定理解决三角板问题
题型04 直角三角形的性质——直角三角形与作图问题
C组 思维拔高
题型01 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题
题型02 直角三角形的性质——直角三角形的有关证明问题
题型03 直角三角形的性质——直角三角形与动点问题
利用直角三角形的两个锐角互余求角度题型01
1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27八年级上·陕西榆林·月考）如果直角三角形的两个锐角的度数分别是，，则的值为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
直角三角形的性质——直角三角形斜边的中线题型02
1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）在中，，点为斜边中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，点为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（ ）
A．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．三角形的中位线等于第三边的一半
D．直角三角形两锐角互余
3．（26-27上·广东佛山·月考）如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°．
4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为____________．
利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状题型03
1．在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形．
3．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
4．已知为的中线，．
(1)是怎样的角？
(2)证明你的猜想．
三角形内角和与平行线的综合应用题型01
1．如图，，，垂足为E，若，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
2．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，，．
（1）求证：；
（2）若于点H，BC平分，，求的度数．
内角和与角平分线的综合应用题型02
1．（25-26八年级上·湖北荆州·月考）如图，在中，是高，是角平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④．正确的是_________．（填序号）
应用三角形内角和定理解决三角板问题题型03
1．（25-26八年级上·天津·月考）一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
4．如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．
（1）若，则_______°；
（2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是_________________．
直角三角形的性质——直角三角形与作图问题题型04
1．如图，已知，点D在边上，请利用直尺和圆规在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，在边上求作一点，使等于的一半．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
应用三角形内角和解决折叠中的角度问题题型01
1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，是边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，再将沿翻折，点落在点处．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边上的点处，若，则___________．
3．（24-25八年级上·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则_______．
4．（25-26八年级下·河南安阳·月考）如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形．
直角三角形的性质——直角三角形的有关证明问题题型02
1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，为的中点，于点，其延长线交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有___________（填序号）．
2．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，，的延长线于点．
(1)求证：；
(2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
4．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知，点A，B为射线，上的一点，连接，点C为中点，连接
(1)【问题发现】如图②，延长至点D，使得，连接，则线段与线段的数量关系为______，位置关系______；
(2)【动手操作】作点B关于对称点为E，点A关于的对称点为F，连接，，连接EF，根据题意补全图形，并求的度数；
(3)【问题探究】在（2）条件下，探究：线段与线段的数量及位置关系，并说明理由．
直角三角形的性质——直角三角形与动点问题题型03
1．如图，中，，点在射线上运动，交射线于点．
（1）如图1，若，当平分时，求的度数；
（2）如图2，当点在线段上时，①判断与的数量关系并说明理由；
②作于，、的角平分线相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由；
（3）如图3，当点在的延长线上时，作于，的角平分线和的角平分线的反向延长线相交于点，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由．
2．在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．
(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；
(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；
(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？
3．（24-25八年级上·福建福州·期中）（1）如图1，等腰中，，和分别是、边上的高，与交于点F，若．
①写出图1中所有的全等三角形_______；
②直接写出的度数为________；
（2）如图2，、是的高，，，求证：；
（3）如图3，等腰直角，，平分，平分，M、N分别是射线、上动点，若，求的最小值．
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分层作业
2.6 直角三角形
A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高
目 录
A组 巩固过关
题型01 利用直角三角形的两个锐角互余求角度
题型02 直角三角形的性质——直角三角形斜边的中线
题型03 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状
B组 能力进阶
题型01 三角形内角和与平行线的综合应用
题型02 内角和与角平分线的综合应用
题型03 应用三角形内角和定理解决三角板问题
题型04 直角三角形的性质——直角三角形与作图问题
C组 思维拔高
题型01 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题
题型02 直角三角形的性质——直角三角形的有关证明问题
题型03 直角三角形的性质——直角三角形与动点问题
利用直角三角形的两个锐角互余求角度题型01
1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】解：直角三角形中，一个锐角等于，
另一个锐角的度数．
故选：B．
2．（26-27八年级上·陕西榆林·月考）如果直角三角形的两个锐角的度数分别是，，则的值为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
【答案】A
【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质列等式，消去y后求解x．
【详解】解：∵直角三角形两锐角和为，
∴，
合并同类项得，
解得．
3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
直角三角形的性质——直角三角形斜边的中线题型02
1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）在中，，点为斜边中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解．
【详解】解：在中，，点为斜边中点，，
则，
故选：C．
2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，点为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（ ）
A．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．三角形的中位线等于第三边的一半
D．直角三角形两锐角互余
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：，点D为的中点，
∴．
∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
故选：B．
3．（26-27上·广东佛山·月考）如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°．
【答案】18
【分析】先求解，结合直角三角形斜边上的中线可得，进一步可得答案．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴．
4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为____________．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助线．连接根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：连接，由题意可得，
，点是的中点，
，即，
点是的中点，，
，
故答案为：．
利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状题型03
1．在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故选：B．
2．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形．
【答案】 直角
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为，
∴第三个角是，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：，直角．
3．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【答案】
证明：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．
【详解】略
4．已知为的中线，．
(1)是怎样的角？
(2)证明你的猜想．
【答案】(1)是直角
(2)
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟练掌握这些性质和定理．
（1）猜想是直角．
（2）由等腰三角形的性质推出，，得到，由三角形内角和定理即可求出，得到．
【详解】（1）是直角．
（2）略
三角形内角和与平行线的综合应用题型01
1．如图，，，垂足为E，若，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
2．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，，．
（1）求证：；
（2）若于点H，BC平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
．
（2）53°
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明；
（2）根据平行线的性质得出∠ABD=74°，再根据垂直和角平分线的定义，结合直角三角形的两锐角互余即可得出答案．
【详解】
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
∴∠FGC=∠1=53°
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
内角和与角平分线的综合应用题型02
1．（25-26八年级上·湖北荆州·月考）如图，在中，是高，是角平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
根据三角形内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、直角三角形的性质可得的度数，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是高，是角平分线，
∴，，
∴．
故选：D
2．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④．正确的是_________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线，角平分线，直角三角形两个锐角互余，
先根据等底等高的三角形面积相等可判断①；再根据直角三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质推导②；然后根据直角三角形的性质求出，根据角平分线定义判断③；最后根据已知条件无法判断④，可得答案．
【详解】解：∵是中线，
∴，
∴．
∴①正确；
∵是角平分线，
∴．
∵为高线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴②正确；
∵为高，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴．
∴③正确；
根据条件不能说明，
∴④不正确．
故答案为：①②③．
应用三角形内角和定理解决三角板问题题型03
1．（25-26八年级上·天津·月考）一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．如图（见解析），先求出，再根据三角形的外角性质求解即可得．
【详解】解：如图，，
∴．
故选：B．
2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示：
由对顶角相等可得，
∵此三角形是直角三角形，
∴，即．
故选：C．
3．如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
【答案】D
【分析】过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，可以得到，有即可得出答案．
【详解】解：过点G作，有，
∵在和中，
∴
∴，
∴
故的度数是105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
4．如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．
（1）若，则_______°；
（2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是_________________．
【答案】 38
【分析】（1）根据三角形内角和定理易求的度数．已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数；
（2）在中，，同理在中，，相减即可得到．
本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识；注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
即．
故答案为：38；
（2）．理由如下：
在中，，
，
，
，
即，
．
即；
故答案为：．
直角三角形的性质——直角三角形与作图问题题型04
1．如图，已知，点D在边上，请利用直尺和圆规在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】满足题意的点E如图所示：
【分析】过点D作的垂线，其与的交点即为点，则，故，即可作答．
【详解】略
2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，在边上求作一点，使等于的一半．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
【答案】
如图，即为所求；
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据作垂线的方法作图即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点；
连接，交于点；
根据作图可知，垂直平分，
∴为中点，
∴．
应用三角形内角和解决折叠中的角度问题题型01
1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，是边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，再将沿翻折，点落在点处．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余得到，根据折叠得到，，由三角形的外角的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，
∴，，
∵将沿翻折，点落在点处，
∴，
∵，
∴，
故选：B ．
2．如图中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边上的点处，若，则___________．
【答案】30
【分析】由折叠的性质及已知，可分别求得∠BDC及∠BCD的度数，由三角形内角和定理可求得∠B，进而求得∠A的度数．
【详解】由折叠的性质得：，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，直角三角形两内角互余等知识，折叠性质的应用是解题的关键．
3．（24-25八年级上·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则_______．
【答案】或
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
由折叠可知：，
当时，
∵，
∴，
∴，
解得(不存在)；
当时，
∴，
解得，
即；
当时，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
综上，或，
故答案为：或．
4．（25-26八年级下·河南安阳·月考）如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形．
【答案】证明：在中，
∵，
∴
由沿翻折得，
∴，
由沿翻折得，
∴
∴
即是直角三角形．
【分析】首先，沿翻折得到，可得对应角，其次，沿翻折使点与点重合，可得对应角，再把拆分为和的和，根据上述关系，，在中，，因此，从而证明是直角三角形．
【详解】略
直角三角形的性质——直角三角形的有关证明问题题型02
1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，为的中点，于点，其延长线交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有___________（填序号）．
【答案】①②③⑤
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键；
过点B作交延长线于点G，利用题中条件，先后证明，．
①利用直角三角形的性质，推出，由推出，所以；
②由推出，由推出，再求解即可；
③由推出，由，所以；
④过点B作于点H，证明，推出，又，所以；
⑤利用计算可得结果．
【详解】如图，过点B作交延长线于点G，
，，
，
，
，，
，
，
又，
，，
，
又，，
，
，
又点M为的中点，
，
又，，
，
，
故结论①正确；
由①知，，，
由可得，
由可得，
又，
，
故结论②正确；
由可得，
又，
，
故结论③正确；
过点B作于点H，
则，，
又，
，
又，，
，
，
又，
，
故结论④错误；
由①知，，
，
，
故⑤结论正确；
综上可知，正确的结论是①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
2．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
证明：如图，延长交于点，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
(2)．
【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证；
（2）根据，，得，从而，，进而利用面积公式即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，，的延长线于点．
(1)求证：；
(2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
证明：，，
，
，
，
，
；
(2)
解：理由如下：
如图，延长交于点F，
，
在和中
，
，
在和中
，
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）先证明，由对顶角相等可得，可得出，最后由可得结论；
（2）延长交于点F，先证明，可得，再证明可得再证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
4．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知，点A，B为射线，上的一点，连接，点C为中点，连接
(1)【问题发现】如图②，延长至点D，使得，连接，则线段与线段的数量关系为______，位置关系______；
(2)【动手操作】作点B关于对称点为E，点A关于的对称点为F，连接，，连接EF，根据题意补全图形，并求的度数；
(3)【问题探究】在（2）条件下，探究：线段与线段的数量及位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)补全图形如图，
(3)
解：，，理由如下：
设，交于点K，
由（1）知，．
．
由（2）知．
．
根据对称的性质可知，．
，
，
在和中，
≌．
，．
，
．
．
，
．
，即；
综上，，．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、对称的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）证，即可得解；
（2）依据题意补全图形，根据对称性可得，，即可得解；
（3）设，交于点K，证，即可得解．
【详解】（1）解：点C为中点，
，
在和中
．
，．
．
故答案为：，
（2）解：由对称性可知，
，．
．
（3）略
直角三角形的性质——直角三角形与动点问题题型03
1．如图，中，，点在射线上运动，交射线于点．
（1）如图1，若，当平分时，求的度数；
（2）如图2，当点在线段上时，①判断与的数量关系并说明理由；
②作于，、的角平分线相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由；
（3）如图3，当点在的延长线上时，作于，的角平分线和的角平分线的反向延长线相交于点，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由．
【答案】（1）30°；
（2）①相等，
在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠EDC+∠ADB=90°，
∴∠EDC=∠BAD；
②∠G的度数不变， 理由：∵EF⊥BC，
∴∠EDF+∠DEF=90°，
∵∠ADB+∠EDF=90°，
∴∠ADB=∠DEF，
∵∠BAD+∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠DEF=90°，
∵∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，
∴∠DAG=∠BAD，∠DEG=∠DEF，
∴∠DAG+∠DEG=（∠BAD+∠DEF）=45°，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°，
∴∠G=45°；
（3）不变，45°.
【分析】（1）先求出∠ACB=30°，再利用角平分线得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出结论；
（2）①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论； ②先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF=90°，进而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论；
（3）利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ADC=120°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=30°；
（2）略
（3）∠G的度数不变化，
理由：如图3，
∵AD⊥DE，
∴∠ADB+∠BDE=90°，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF+∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠DEF，
∵EM是∠DEF的角平分线，
∴∠DEM=∠DEF=∠ADB，
∵AG平分∠BAD，
∴∠DAG=∠BAD， 延长DE交AG于N，
∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE，
∴∠ENG=∠AEN+∠EAG =90°+∠DAE+∠EAG =90°+∠DAG =90°+∠BAD，
∴∠G=180°-（∠ENG+∠GEN） =180°-（∠ENG+∠DEM），
=180°-（90°+∠BAD+ ∠ADB），
=90°-（∠BAD+∠ADB） =45°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和和外角的性质，解（1）的关键是求出∠ADC=120°，解（2）的关键是求出∠DAG+∠DEG=45°，解（3）的关键是利用三角形的外角的性质．
2．在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．
(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；
(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；
(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∵于D，于E，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴；
(2)
解：不成立，结论：；
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴；
(3)或14或16秒
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键，还用到了分类讨论的思想．
（1）根据于D，于E，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，于是；
（2）同（1）易证，则，，于是；
（3）只需根据点M和点N的不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：①当时，点M在上，点N在上，如图，
∵，
∴，
解得：，不合题意；
②当时，点M在上，点N也在上，如图，
∵，
∴点M与点N重合，
∴，
解得：；
③当时，点M在上，点N在上，如图，
∵，
∴，
解得：；
④当时，点N停在点A处，点M在上，如图，
∵，
∴，
解得：；
综上所述：当或14或16秒时，与全等．
3．（24-25八年级上·福建福州·期中）（1）如图1，等腰中，，和分别是、边上的高，与交于点F，若．
①写出图1中所有的全等三角形_______；
②直接写出的度数为________；
（2）如图2，、是的高，，，求证：；
（3）如图3，等腰直角，，平分，平分，M、N分别是射线、上动点，若，求的最小值．
【答案】（1）①，；②；
（2）证明：如图，延长，交于点，
∵，，
∴，
∵，且，
∴，则，
∵，则
∴，
∴，则，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，则，
（3）8
【分析】（1）①根据等腰三角形三线合一可知，则，可证，再结合直角三角形两锐角互余可证，进而可证，即可得结论；
②根据，，得，易知，即可求解；
（2）延长，交于点，根据，求得，进而证得，再证，，可得结论；
（3）如图，在上截取，连接，，先证，得，则，当时，取得最小值，此时有最小值，如图，当时，延长，交于点，则，再证，得，再证，可证得，由，即：，求得当时，，即可求解．
【详解】解：（1）①∵，，则，
∴，则，
在与中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，则，
∴，
又∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
故答案为：，；
②由①可知，，，
∴，
∴，即，
故答案为：；
（2）略
∴；
（3）如图，在上截取，连接，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则，当时，取得最小值，此时有最小值，
如图，当时，延长，交于点，则，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵平分，
∴，则，
∴，即，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∴，
∵，即：，
∴当时，，即的最小值为8，
∴的最小值为8．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，垂线段最短，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
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