13.2.2 三角形的中线、角平分线、高课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

# 人教版八年级上册 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 专项练习 （全文约1500字，适合直接打印练习） ## 知识要点速记 1. **三角形的高**：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 - 锐角三角形：三条高都在三角形**内部**； - 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部； - 钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形**外部**，一条高在内部； - 三条高所在直线交于一点，这个点叫**垂心**。 2. **三角形的中线**：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 - 三角形有三条中线，都在三角形内部； - 三条中线交于一点，叫做**重心**； - 一条中线把三角形分成**面积相等**的两个小三角形（等底同高）。 3. **三角形的角平分线**：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 - 三条角平分线都在三角形内部； - 三条角平分线交于一点，叫做**内心**； ⚠️ 区分：三角形的角平分线是**线段**，角的平分线是射线。 > 核心易错点：高不一定在三角形里面；中线平分边长、平分面积；角平分线平分内角。 ## 一、基础过关（判断+填空+选择） ### 判断题（对√，错×） 1. 三角形的高一定在三角形内部。（） 2. 三角形的一条中线可以把三角形分成面积相等的两部分。（） 3. 三角形的角平分线是一条射线。（） 4. 直角三角形只有一条高。（） 5. 任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线。（） ### 填空题 6. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，若BC=10，则BD=______。 7. 在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠BAC=80°，则∠BAE=______°。 8. 直角三角形的两条______互为高。 9. 三角形三条中线的交点叫做______；三条角平分线交点叫______；三条高所在直线交点叫______。 10. 若AD是△ABC的高，则∠ADB=∠ADC=______°。 ### 选择题 11. 下列说法正确的是（） A. 钝角三角形只有一条高 B. 三角形的中线是射线 C. 三角形的三条中线一定交于一点 D. 三角形的角平分线把三角形分成面积相等的两部分 12. 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，下列说法错误的是（） A. BF=CF B. ∠BAE=∠CAE C. AD⊥BC D. AF⊥BC 13. 把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段是（） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 以上都可以 14. 钝角三角形的高有几条在三角形外部（） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 ## 二、中档解答题 15. 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的面积为12，求△ABC的面积。 16. 在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=35°，∠C=60°，求∠DAC的度数。 17. 在△ABC中，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=60°，求∠BAE的度数。 18. 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=7，AC=5，△ABD的周长是15，求△ACD的周长。 ## 三、拓展提升题 19. 在△ABC中，AD为BC边上的高，若∠BAD=50°，∠CAD=20°，分两种情况画出图形，求∠BAC的度数。 20. 已知△ABC，AM是BC边上的中线，AN是BC边上的高，BC=8，AN=5。求△ABM的面积。 ## 参考答案 1. × 钝角三角形有两条高在外部 2. √ 3. × 三角形角平分线是线段 4. × 直角三角形三条高 5. √ 6. 5 7. 40 8. 直角边 9. 重心；内心；垂心 10. 90 11. C 12. D 13. B 14. C 15. 解：∵AD是中线，BD=DC，△ABD与△ADC等底同高，面积相等 S△ADC=S△ABD=12，∴S△ABC=12+12=24 16. 解：AD是高，∴∠ADC=90° 在Rt△ADC中，∠DAC=90°−∠C=90°−60°=30° 17. 解：∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−60°=80° AE平分∠BAC，∠BAE=80°÷2=40° 18. 解：AD是中线，BD=CD C△ABD=AB+BD+AD=15，AB=7，∴BD+AD=8 C△ACD=AC+CD+AD=AC+BD+AD=5+8=13 19. 分两种： ①高AD在△ABC内部：∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70° ②高AD在△ABC外部（钝角三角形）：∠BAC=∠BAD−∠CAD=50°−20°=30° 20. 解：AM是中线，BM=1/2 BC=4 AN是高，S△ABM=1/2 × BM × AN = 1/2 ×4×5=10 ## 解题小结 1. 看到**中线**优先想：中点、面积平分； 2. 看到**高**优先想：垂直、90°、直角三角形互余； 3. 看到**角平分线**优先想：分成两个相等的角； 4. 遇到无图题（比如第19题）一定要分类讨论，避免漏解。 要不要我把这一节和上一节《三角形的边》合并成一份综合卷？ 人教版数学（新教材）八年级上册 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/28 第十三章 三角形 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 1. 理解三角形的中线、角平分线、高线等概念和区别. (重点) 2.了解三角形重心的概念，会画出任意三角形的中线、角平分线、高线. (难点) 3. 探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程. (难点) 4. 进一步提升学生的几何直观感知能力. 学习目标 两边之和大于第三边. 两边之差小于第三边. 与三角形 有关的线段 三角形的边 ？ 三角形具有稳定性. 三角形的中线、角平分线、高 情境导入 符号语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ＝BC 反之： ∵BD＝CD (BD＝BC) ∴AD是△ABC的中线 操作1：如图所示，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线。 探究新知 试一试：你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？ 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 你发现了什么？ 探究新知 符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD＝∠CAD ＝∠BAC 反之： ∵∠BAD＝∠CAD (∠BAD＝∠BAC) ∴AD是△ABC的角平分线 操作2：如图所示，画∠A 的平分线AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线． 探究新知 试一试：你能用同样方法，画出△ABC的另外两条角平分线吗？ 你发现了什么？ 一个三角形有三条角平分线，这三条角平分线相交于一点. 探究新知 操作3：如图所示，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 符号语言： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° 反之： ∵∠ADC=90°(∠ADB=90°) ∴AD是△ABC的高 探究新知 探究1：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 锐角三角形的三条高都在三角形的内部(图(1)）；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边(图(2)）；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上(图(3)）。 探究新知 探究1：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 一个三角形有三条高，这三条高所在的直线相交于一点. 探究新知 知识点1 三角形的中线 1.如图，已知是的中线，，则 的长为( ) B （第1题） A.4 B.5 C.6 D.8 返回 举一反三 11 （第2题） 2.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片， 则他支起的这个点应是三角形__________的交点,即____心. 三条中线 重 （第3题） 3.［教材习题变式］如图，在中， 是 边上的中线，的面积是，则 的面 积为____ . 12 返回 举一反三 12 4.［2025绍兴月考］如图，已知为的中线， ， ，的周长为，则的周长为____ . 22 （第4题） 返回 举一反三 13 探究2：如图所示，线段AD是△ABC的边BC上的中线， △ABD与△ACD的面积有什么关系？ △ABD与△ACD的面积相等 即： 理由如下： 作△ABC的边BC上的高AE 则BDE，CDE ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ∴ 探究新知 例 1：如图 ，在△ABC 中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD，BE 分 别是边 BC，AC 上的高，且 AD＝6.5，求 BE 的长． 解：在△ABC 中，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的高，已知 AC＝8，BC＝6，AD＝6.5， 根据三角形面积公式，得 即 解得 A B C D E 探究新知 根据三角形面积公式求高 解决与三角形高线和面积有关的问题时，根据三角形面积公式可求得不同边上的高． 探究新知 例 2：如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 分析：根据 CD 是△ABC 的中线，可得 BD＝AD ． 所以△ACD 和△BCD 的周长差就是 AC 和 BC 的差． A B C D 探究新知 解：因为CD 是△ABC 的中线， 所以BD＝AD． 所以△ACD 和△BCD 的周长差为 (AC＋CD＋AD)－(BC＋CD＋BD) ＝AC－BC＝9－3＝6（cm）， 即△ACD 和△BCD 的周长差为 6 cm． A B C D 例 2：如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 探究新知 三角形中线常见的两个应用 （1）根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角形的周长有关的问题； （2）根据中线把三角形分成面积相等的两部分，用于求解与面积有关的问题． 探究新知 例 3：如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 分析：（1）根据∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4， 所以 AD 是 △AEF 和 △ABC 的角平分线； （2）根据 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 可得∠2＋∠3＝∠1＋∠4， 所以∠EAF＝∠BAC． 1 2 3 4 A B E D F C 探究新知 20 解：（1）AEF ，ABC； （2）因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 所以∠2＋∠3＝(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)， 即∠EAF＝∠BAC． 例 3：如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 1 2 3 4 A B E D F C 探究新知 三角形中边角的等量变换 ——沟通已知与未知的纽带 在判断角之间或线段之间的数量关系时，往往根据已知或隐含的相等关系进行等量变换，从而沟通已知与未知，这也体现了数学中的转化思想． 复习巩固 1. 三角形的三边长分别为 2，7，a，则 a 的取值范围是________. 5 < a < 9 【教材P9习题13.2 第1题】 当堂检测 23 2. 长为 100 cm，70 cm，50 cm，30 cm 的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 解：组成三角形的有(1)100 cm，70 cm，50 cm；(2)70 cm，50 cm，30 cm 两种选法. 因为只有这两种能满足“两边的和大于第三边”. 【教材P9习题13.2 第2题】 当堂检测 C A B 3. 对于下面每个三角形，分别过顶点 A 画出它的中线、角平分线和高. 解：如下图，AD，AE，AF 分别是△ABC 的中线，角平分线和高. （1） （2） （3） 【教材P9习题13.2 第3题】 C A B D E F (F) E D C A B D E F 当堂检测 4. 如图，在△ABC中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高. 填空： 【教材P9习题13.2 第4题】 C A B E D F （1）BE = _____ = _____； （2）∠BAD =_______= ______； （3）∠AFB =_______= 90°； （4）若 BC = 8，AF = 5， 则 S△ABC =______， S△ABE =______. BC CE ∠CAD ∠BAC ∠AFC 20 10 当堂检测 综合运用 5. 一个等腰三角形的一边长为 6，周长为 20，求其他两边的长. 解：①当腰长为 6 时，底边长为 20 – 6×2 = 8. ∵6 + 6 > 8，∴能组成三角形. ②当底边长为 6 时，腰长为 = 7. ∵ 6 + 7 > 7，∴能组成三角形. 故其他两边长分别为 6，8 或 7，7. 【教材P10习题13.2 第5题】 当堂检测 6.（1）已知等腰三角形的一边长为 5，一边长为 6，求它的周长； （2）已知等腰三角形的一边长为 4，一边长为 9，求它的周长. 解:（1）16或17. （2）22. 【教材P10习题13.2 第6题】 当堂检测 7. 如图，在△ABC 中，AB = 2，BC = 4， 则△ABC 的高 AD 与 CE 的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式） 【教材P10习题13.2 第7题】 解：∵S△ABC = BC·AD = AB·CE， ∴ BC·AD = AB·CE. ∴ A B E D C 当堂检测 拓广探索 8. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，DE // AC，DE 交 AB 于点 E， DF // AB，DF 交 AC 于点 F. 图中∠1 与∠2 有什么关系？为什么？ 【教材P10习题13.2 第8题】 A B E D C F 1 2 当堂检测 A B E D C F 1 2 解：∠1 = ∠2. 理由： ∵ DE // AC，∴∠1 = ∠DAC (两直线平行，内错角相等). 同理，∠2 =∠DAB. 又 AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAC =∠DAB. ∴∠1 =∠2. 当堂检测 知识点2 三角形的角平分线 （第5题） 5.［2025北京朝阳区月考］如图，若是 的角平 分线，则下列结论不正确的是( ) C A.平分 B. C. D. 返回 举一反三 32 6.如图，在中， ， ，是 的角平分 线，则 _____. （第6题） 返回 举一反三 33 7.［教材习题变式］如图，是 的角平 分线，交于点，交于点 ， 则图中与 有什么数量关系？ 解：， . ， . 是 的角平分线， . 返回 举一反三 34 三角形的重要线段 高 三条高或其所在直线相交于一点 中线 等分边，等分三角形的面积 三条中线相交于三角形内部一点，这个交点是三角形的重心 角平分线 三角形的内角被分成两个相等的角 三条角平分线相交于三角形内部一点 垂线，90°角 课堂小结 谢谢观看 THANKS $