13.2.2 三角形得中线、角平分线、高 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 新知引入 定义 图示 线段中点 角平分线 垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 A B 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 O B A 新知探究 如图所示，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 几何语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ＝BC (或BC＝2BD＝2CD ) 反之： ∵BD＝CD (或BD＝BC) ∴AD是△ABC的中线 动手操作：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？ A B C A B C D E F D A B C D E F E F O O O 发现：一个三角形有三条中线，这三条中线都在内部且相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 新知探究 探究 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，猜想一下△ABD与△ACD有什么关系？并说明理由. A B C D 解：S△ABD=S△ACD，理由如下： 过点A作AE⊥BC，垂足为点E， ∴S△ABD= BD·AE ， S△ACD= CD·AE 又∵AD是边BC上的中线， ∴BD=CD. ∴S△ABD=S△ACD . E 新知探究 A B C D 符号语言： ∵AD 是△ABC 的中线，( 已知 ) ∴S△ABD= S△ACD= S△ABC 新知归纳 三角形的一条中线平分三角形的一条边及三角形的面积. 1.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点， 且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）. A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2 A 新知应用 解：∵ AD是△ABC的中线 ∴BD=CD ∵ △ABD的周长比△ADC的周长大2cm ∴（AB+AD+BD）-(AC+AD+CD)=AB-AC=2cm ∵AC=5cm ∴AB=AC+2=5+2=7cm. 2. 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝_____. 提示：运用整体思想将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差. 7cm 新知应用 如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 反之： ∵∠1＝∠2(或∠1＝∠BAC) ∴AD是△ABC的角平分线 几何语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD＝∠CAD ＝∠BAC 1 2 A B C D 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. 新知探究 问题：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察你有什么发现？ A B C A B C A B C D E F O D E F O D E F O 发现：三角形的三条角平分线都在三角形内部，并且交于一点. 三角形三条角平线的交点叫作三角形的内心. 新知探究 如图, AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数. A B C E 解：∵ ∠B=45°,∠C=60° ∴∠BAC=180°－∠B－∠C =180°－45°－60°=75° ∵ＡE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE=∠BAC= 75°=37.5° ∵∠AEB=180°－∠BAE－∠B =180°－37.5°－45°=97.5° 新知应用 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 几何语言： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° 反之： ∵∠ADC=90°(或∠ADB=90°) ∴AD是△ABC的高 A B C D 新知探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C ∟ D E F ∟ ∟ 锐角三角形的三条高都在三角形的内部且交于同一点. A B C ∟ D ∟ 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，它的三条高交于直角顶点. A B C D E F 钝角三角形的三条高不相交. 三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部. 新知探究 三角形三条高线的交点叫作三角形的垂心. 1.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) D 新知应用 2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点D，且AD＝4. 若点P在边AC上移动，则BP长的最小值是 　　　. 新知应用 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段. ∵ AD是△ABC的边BC上的中线. ∴ BD=CD=BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段. ∵AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2=∠BAC 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. 课堂总结 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G.交BE于点H，给出以下结论：①BF=AF; ②∠AFG=∠AGF; ③∠FAG=2∠ACF; ④S△ABE=S△BCE; ⑤BH=CH; ⑥AD·BC=AB·AC；其中结论正确的有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 E F G H C 分析:根据三角形的中线的性质可得④正确;根据角平分线的性质、直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②正确; 随堂练习 根据角平分线的定义， ∠FAG=∠ACB=2∠ACF判断③正确； 根据三角形的面积公式可得⑥正确：根据已知条件不能确定①和⑤正确，故选C 2．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm D 随堂练习 3.如图所示，在△ABC中，AD、CE分别是△ABC，△ACD的中线，△ABC 的面积是4 ，那么△BEC 的面积是（　　） A.　2.5 B.　2 C.　1.5 D.1 B 随堂练习 4.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，ED//AC交BC于点D． 若∠BAC=，则∠BED=___________ (用含的式子表示)． 90° 解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时， ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD ＝70°＋20°＝90°； ②如图2，当高AD在△ABC的外部时， ∠BAC＝∠BAD－∠CAD ＝70°－20°＝50°． 综上所述，∠BAC的度数为90°或50°． 5．已知AD是△ABC的高,∠BAD＝70°,∠CAD＝20°,求∠BAC的度数． 随堂练习 6. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠BAC＝60°＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠BEC＝90° ∴∠B＝90°-40°＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－50°－30°＝100°. 随堂练习 解：设AB＝AC＝2，则AD＝CD＝ （1）当AB+AD＝12，BC+CD＝6时，有2+＝12， 解得：＝4，则2＝8. ∴AB＝AC＝8，BC＝6-4＝2. （2）当BC+CD＝12，AB+AD＝6时，有2+＝6， 解得＝2，所以2＝＝4. ∴AB＝AC＝4，BC＝12-2＝10. ∵4+4<10，∴此时不能构成三角形. 综上所述，等腰三角形ABC的腰长为8，底边长为2. 7.如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长. 随堂练习 8.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，若△ABC的面积为30，BD=5，求△BDE中BD边上的高。 解：过点E作EF⊥BC交BC于点F，如下图， ∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线 ∴S△ABD = S△ABC， S△BDE = S△ABD ∴S△BDE = S△ABC = ×30= ∵△ABC的面积为30，BD=5 ∴S△BDE = ⋅DB⋅EF= ×5×EF= 解得:EF=3 即△BDE中BD边上的高为3. 随堂练习 9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE的度数. 解：∵在△ABC中， ∠B=80°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°－∠B－∠C =180°－80°－30°=70°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC＝70°=35° ∵AD⊥BC，∠B=80°， ∴∠ADB=90° ∴∠BAD=90°－80°=10°. ∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°. 随堂练习 10.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26°，求∠DAE的度数． 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C =180°-90°-26°=64°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°， ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°． 随堂练习 $