专题01 图形的相似与平行线分线段成比例（题型专练）数学新教材人教版九年级下册

专题01 图形的相似与平行线分线段成比例 （题型突破·举一反三） 题型01 相似多边形 题型02 相似多边形性质 题型03 线段长度的比 题型04 比例性质 题型05 成比例线段 题型06 由平行判断成比例的线段、求值（A型、X型） 题型07 借助中间比、连等比求相关线段的长或比值 题型08 由平行判定相似 ▌题型01 相似多边形 1．相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，角的对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。 【典例1】（26-27九年级上·陕西渭南·期中）下列各组图形属于相似图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【变式1-2】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）矩形矩形，它们的相似比为，这两个矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知点的坐标为，求点的坐标． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格图内，延长到点E，延长到点F，使，，以，为邻边作．与是相似图形吗？为什么？ ▌题型02 相似多边形性质 1．相似多边形的性质：若两个相似多边形的相似比为，则：①对应角相等；②对应边、对应的线段（对角线，对应的高、中线、角平分线）之比都等于；③周长之比等于；④面积之比等于。 【典例2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【变式2-1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． ▌题型03 线段长度的比 1．两条线段长度的比 2．注意：①是长度之比，必须单位统一；②结果是正数，没有单位；③有顺序： 【典例3】（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【变式3-1】（2026九年级·河北·专题练习）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）若，则的值为________； ▌题型04 比例性质 1．基本性质： 2．更比性质： 3．合、分比性质： 4．等比性质：若（），则 【典例4】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知、均为正数，如果，那么下列各式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 【变式4-2】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． ▌题型05 成比例线段 1．成比例线段：四条线段，如果满足（即），就说这四条线段成比例。 2．注意：成比例是有顺序的：成比例 ≠ 成比 3．比例中项：若，则是的比例中项，等价于。线段的比例中项一定是正数，舍去负根。 【典例5】（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知线段a、b、c、d依次成比例，其中线段，，，那么线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）已知，，则其比例中项的值为（     ） A．3 B． C． D． 【变式5-2】（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知线段a、b、c，且． (1)求的值为 ； (2)若线段a、b、c满足，求c的值． 【变式5-3】（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的高线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)、、、是成比例线段吗？说明理由． ▌题型06 由平行判断成比例的线段、求值（A型、X型） 1．平行线分线段基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图， ，直线交于，直线交于，则 2．记忆口诀 “上比下＝上比下，上比全＝上比全”。同一比例式的两个比，必须取自同一条直线上的线段，且“上、下、全”的位置要一一对应。 3．两种基本图形 ①A字型：两条直线相交于一点，被一组平行线所截，交点在平行线的同侧； ②X字型（八字型）：两条直线相交于一点，被一组平行线所截，交点在两条平行线之间。 4．推论（由两种基本图形从而得到有关于三角形） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 5．解题步骤 ①找出平行线，确定“被截的两条直线”；②按“上比下、上比全”写出比例式；③代入已知量解方程；④检验结果是否为正、是否符合图形。 【典例6】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·河北张家口·三模）在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知：如图，直线，直线、分别与直线、、交于点、、和点、、，，、，则________． 【变式6-3】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在中，点D为边上一点． (1)用尺规在边上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，，求的值． ▌题型07 借助中间比、连等比求相关线段的长或比值 1．中间比的作用：要证，若且，则。这里的就是“中间比”，它是连接两条比例式的桥梁。 2．找中间比的两条路径：①同一条平行线在不同三角形中产生两个比例式，公共的那个比就是中间比；②用等线段替换：如正方形、平行四边形中相等的边可以互相替换，把两个比化成同一个比。 【典例7】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，分别是上的点，且，，，，求的长． 【变式7-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点D、E分别在的边、上，若，点G在上，，连接并延长交于点F，则________． 【变式7-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，，，，，求的长． 【变式7-3】（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，已知，分别求出和的值． ▌题型08 由平行判定相似 1．平行相似定理：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 【典例8】（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（    ） A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米 【变式8-1】（2026·宁夏银川·一模）已知：如图，，，则________． 【变式8-2】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式8-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 图形的相似与平行线分线段成比例 （题型突破·举一反三） 题型01 相似多边形 题型02 相似多边形性质 题型03 线段长度的比 题型04 比例性质 题型05 成比例线段 题型06 由平行判断成比例的线段、求值（A型、X型） 题型07 借助中间比、连等比求相关线段的长或比值 题型08 由平行判定相似 ▌题型01 相似多边形 1．相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，角的对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。 【典例1】（26-27九年级上·陕西渭南·期中）下列各组图形属于相似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形， 项中一个是四边形，一个是三角形，形状不同，不是相似图形； 项中一个是五边形，一个是六边形，形状不同，不是相似图形； 项中一个是平行四边形，一个是正方形，对应角不相等，形状不同，不是相似图形； 项中两个图形形状相同，大小不同，是相似图形． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似． 【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意； B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意； D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意． 【变式1-2】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）矩形矩形，它们的相似比为，这两个矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知点的坐标为，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【详解】解：∵点的坐标为，矩形， ∴， ∵矩形矩形，它们的相似比为， ∴， ∴，解得， ∵矩形，点在第三象限， ∴点的坐标为． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格图内，延长到点E，延长到点F，使，，以，为邻边作．与是相似图形吗？为什么？ 【答案】见详解 【详解】与是相似图形． 理由：如图， ∵四边形、四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴与是相似图形． ▌题型02 相似多边形性质 1．相似多边形的性质：若两个相似多边形的相似比为，则：①对应角相等；②对应边、对应的线段（对角线，对应的高、中线、角平分线）之比都等于；③周长之比等于；④面积之比等于。 【典例2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴，解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ． ▌题型03 线段长度的比 1．两条线段长度的比 2．注意：①是长度之比，必须单位统一；②结果是正数，没有单位；③有顺序： 【典例3】（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：，解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 【变式3-1】（2026九年级·河北·专题练习）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设该化石的实际长度为， 依题意得，，解得：， ∴该化石的实际长度为． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【答案】 【详解】解：由图可知，， ，，， ，解得， 经检验，是原方程的根，即． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）若，则的值为________； 【答案】 【详解】解：由，设，（）， ∴． 故答案为：． ▌题型04 比例性质 1．基本性质： 2．更比性质： 3．合、分比性质： 4．等比性质：若（），则 【典例4】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知、均为正数，如果，那么下列各式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， A、、均为正数，但值不确定，不一定为，错误； B、，正确； C、应为，错误； D、不一定等于，错误． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时，解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 【变式4-2】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，，解得或（舍去）． 故选：B． 【变式4-3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． ▌题型05 成比例线段 1．成比例线段：四条线段，如果满足（即），就说这四条线段成比例。 2．注意：成比例是有顺序的：成比例 ≠ 成比 3．比例中项：若，则是的比例中项，等价于。线段的比例中项一定是正数，舍去负根。 【典例5】（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知线段a、b、c、d依次成比例，其中线段，，，那么线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵线段、、、成比例， ∴. 将，，代入上式，得， ，解得. 【变式5-1】（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）已知，，则其比例中项的值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设其比例中项的值为t， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴其比例中项的值为． 【变式5-2】（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知线段a、b、c，且． (1)求的值为 ； (2)若线段a、b、c满足，求c的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设（），则，，， ∵， ∴，解得， ∴. 【变式5-3】（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的高线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)、、、是成比例线段吗？说明理由． 【答案】见详解 【详解】(1)如图所示 (2)解：、、、是成比例线段．理由如下： ∵在中，是斜边上的高， ， ， ， ∴、、、是成比例线段． ▌题型06 由平行判断成比例的线段、求值（A型、X型） 1．平行线分线段基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图， ，直线交于，直线交于，则 2．记忆口诀 “上比下＝上比下，上比全＝上比全”。同一比例式的两个比，必须取自同一条直线上的线段，且“上、下、全”的位置要一一对应。 3．两种基本图形 ①A字型：两条直线相交于一点，被一组平行线所截，交点在平行线的同侧； ②X字型（八字型）：两条直线相交于一点，被一组平行线所截，交点在两条平行线之间。 4．推论（由两种基本图形从而得到有关于三角形） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 5．解题步骤 ①找出平行线，确定“被截的两条直线”；②按“上比下、上比全”写出比例式；③代入已知量解方程；④检验结果是否为正、是否符合图形。 【典例6】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 【变式6-1】（2026·河北张家口·三模）在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知：如图，直线，直线、分别与直线、、交于点、、和点、、，，、，则________． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴， ∵，、， ∴，解得， ∴． 【变式6-3】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在中，点D为边上一点． (1)用尺规在边上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，，求的值． 【答案】(1)见详解；(2)4 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知，， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴的值为4． ▌题型07 借助中间比、连等比求相关线段的长或比值 1．中间比的作用：要证，若且，则。这里的就是“中间比”，它是连接两条比例式的桥梁。 2．找中间比的两条路径：①同一条平行线在不同三角形中产生两个比例式，公共的那个比就是中间比；②用等线段替换：如正方形、平行四边形中相等的边可以互相替换，把两个比化成同一个比。 【典例7】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，分别是上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 【变式7-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点D、E分别在的边、上，若，点G在上，，连接并延长交于点F，则________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴． 【变式7-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，已知，分别求出和的值． 【答案】 【详解】解：， ， ， ，且， ， ， ， ． ▌题型08 由平行判定相似 1．平行相似定理：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 【典例8】（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（    ） A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米 【答案】C 【详解】解：过点O分别作于点E，延长交于点F，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得． ∴物体的高度为． 【变式8-1】（2026·宁夏银川·一模）已知：如图，，，则________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ，即． 【变式8-2】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】见详解 【详解】(1)证明：， ； (2)证明：， ， ， ， ， ． 【变式8-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 图形的相似与平行线分线段成比例 (题型突破举一反三) 1题型01相似多边形 三典例精析 【典例1】 【答案】D 【详解】解：根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形， A项中一个是四边形，一个是三角形，形状不同，不是相似图形： B项中一个是五边形，一个是六边形，形状不同，不是相似图形： C项中一个是平行四边形，一个是正方形，对应角不相等，形状不同，不是相似图形； D项中两个图形形状相同，大小不同，是相似图形。 三举-反目 【变式1-1】 【答案】D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似. 【详解】解：A.两个等腰直角三角形的内角均为90°、45°、45°，对应角相等，对应边成比例，一定 相似，故A不符合题意： B.两个等边三角形的内角均为60°，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意： C. 两个正方形的内角均为90°，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意： D.两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D 符合题意. 【变式1-2】 【答案】点E的坐标为(-4，-6) 【详解】解：：点B的坐标为(9,6)，矩形0ABC, ..OA=BC=9,OC=AB=6 :矩形OABC∽矩形ODEF,它们的相似比为3：2， OF OD 2 OC 0A 3 OF OD 2 6=9=3,解得0F=4,0D=6: :矩形ODEF,点E在第三象限， ∴点E的坐标为(-4，-6)」 【变式1-3】 【答案】见详解 1113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】口AEGF与口ABCD是相似图形. 理由：如图 -7 :四边形ABCD、四边形AEGF是平行四边形， :AB=CD,AD=BC,AE=FG,AF=EG,ADI BCI EG,ABII CDI FG. .∠ABC=LAEG,∠ADC=∠F .∠A=∠C,∠A=∠G, .∠C=∠G AE=2AB,AF=2AD .FG=2CD,EG=2BC AB AD DC BC 1 ·AEAF FG EG2' .AEGF与口ABCD是相似图形. 1题型02 相似多边形性质 典例精析 【典例2】 【答案】A 【详解】解：：相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为4：9， 它们的相似比为2：3 ,相似多边形的周长比等于相似比， .它们的周长比为2：3 设较大多边形的周长为3x,较小多边形的周长为2x, 它们的周长之差为20， .3x-2x=20,解得x=20, .较大多边形的周长为3×20=60 故选：A, 举一反三 【变式2-1】 2113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD∽四边形EFGH,相似比为k, .∠A=∠E,AD=kEH,∠DCB=∠HGF, ·选项A,D说法正确，不合题意： .∠DCB=∠HGF, ∴.DC∥HG ·选项B说法正确，不合题意： 现有条件不能得出BC⊥EF, ·选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C. 【变式2-2】 【答案】B 【详解】解：，矩形纸片对折，折痕为EF, 1 4F-2B-20 ,矩形AFED与矩形ABCD相似， a b AB-AD,即b1 AD AF a' 2 a2=2b2, .a>0,b>0. ∴a=V2b, a:b=√2：1. 【变式2-3】 【答案】(1四50：(2)2 【详解】(1)解：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC ∠B=180°-∠A=180°-130°=50°， ,ABCD∽EMFC」 3113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠M=∠B=50°： 故答案为：50： (2)解：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AB=CD ,口ABCD∽EMFC, CE ME AD AB AB=4,BC=6,ME=3, CE 3 AD=6, 64 CB=9 9 1 .DE CE-CD= -4= 2 1题型03线段长度的比 E 典例精析 【典例3】 【答案】A 【详解】解：设塔的实际的高度是x厘米， 由题意得：2.2：x=1:500,解得x=1100 因为1100厘米=11米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A, 三举-反目 【变式3-1】 【答案】C 【详解】解：设该化石的实际长度为cm, 74 依思意得，14x解得：x=8' 4113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.该化石的实际长度为8cm 【变式3-2】 【答案】AP=4 【详解】解：由图可知， CP=AC-AP=10-AP. AP AB AB=8'BC=12'CP BC' AP 8 10-AP12,解得AP=4 经检验，AP=4是原方程的根，即AP=4 【变式3-3】 【到 a b 【详解】解：由53，设a=5k'b=3(k≠0）， a-b_5k-3k_2k_2 a 5k5k5 2 故答案为：5· 1题型04比例性质 E 典例精析 【典例4】 【答案】B 【详解】解：：a:b=1:2, .b=2a, A、a、b均为正数，但值不确定，a+b不一定为3，错误； a B、 a+ba+2a3,正确： C、应为b=2a,错误： D,Q+4 5 a+1不一定等于3，错误. 5113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三举-反目 【变式41】 【答案】1或-2 【详解】解：k=m+”-卫=m-n+卫-n+p-m p n m ∴.，n,p都不为0， :.pk=m+n-p,nk=m-n+p,mk=n+p-m, 三个式子相加得pk+nk+mk=m+n-p+m-n+p+n+p-m, 则k(p+n+m)=m+n+p, 当m+n+p≠0时，解得k=1, 当m+n+p=0时，则p=-(m+m), k=m+m-2=D卫-22-2. 综上所述，飞的值为1或-2. 【变式4-2】 【答案】B 1 【详解】解： 由题意得l:a= 01，写=1，解05克，5会去 故选：B。 【变式43】 【答案】500m 【详解】解：根据图可知AB所在海拔差为400-200=200m,BC所在海拔差为200-100=100m, :若A、B两地的实际直线距离为1000m且A,B,C在同一直线上， ÷高差倍数：100÷200=1 实际直线距离：1000×。=500m 故答案为：500m。 题型05 成比例线段 6113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例5】 【答案】A 【详解】解：，线段a、b、C、d成比例， a c …bd 36 将 a=3cm'b=4cm'c=6cm 代入上式，得4d, 3d=24,解得d=8cm €举一反三 【变式5-1】 【答案】C 【详解】解：设其比例中项的值为t, 由题意得，t2=ab, a=1,b=9, .12=1×9=9, t=±3， 其比例中项的值为±3 【变式5-2】 9 【答案】①5：(2)24 a b 【详解】(1)解：：45 a 4 b5' a+b4+59 ·b=55 经g-名号k(k,03,则a=4b=5c=6 (2)解：设456 a+b+c=60 7113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .4k+5k+6k=60,解得k=4, ∴.c=6k=24 【变式5-3】 【答案】见详解 【详解】(1)如图所示 D 米 (②)解：AC、CD、AB、BC是成比例线段.理由如下： ,在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高， SAc=号ACx BC=CDxAB, 1 2 .AC.BC=CD·AB, AC AB CD BC' .AC、CD、AB、BC是成比例线段 题型06 由平行判断成比例的线段、求值(A型、X型) E 典例精析 【典例6】 【答案】B 【详解】解：对于A,2, .AADEAAFG DE ADAD FG AF DF. 故A不符合题意： 对于B,4I马IBC AD AE DF EG DF EG BF GC' AD DF BF DF AE EG' GC EG 8113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD BF AE GC' AD AE BF GC, 故B符合题意； 对于C,川， AE AD AG AF' 又AF≠AB, AF AB AE AD ≠ AG AB 故C不符合题意； 对于D,:4I川BC DF EG GC BF GC EG 故D不符合题意. 举一反三 【变式6-1】 【答案】A 【详解】解：如图， B D DE∥AB CE CD AE BD' 又：AD为△ABC的中线， CD :BD =1 1 CE :AE .AC=2CE =6cm 【变式6-2】 【答案】9 【详解】解：alb‖c, AB DE ·BCEF' :AB=4,BC=2、DE=6, 46 六2EF,解得EF=3' 9113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DF=DE+EF=6+3=9 【变式6-3】 【答案】(1)见详解；(2)4 【详解】(1)解：如图所示为所求： C E A (2)解：：CD=3,AD=2,BC=10, .CA=CD+DA=3+2=5, 由(1)知，DF∥AB, CD CE ·.CACB 设BE=x,则CE=CB-BE=10-x, 310-x 3+210,解得x=4 BE的值为4 题型07 借助中间比、连等比求相关线段的长或比值 典例精析 【典例7】 【答案】EC=l0cm 【详解】解：：DF∥AE, BF BD 3 EFAD2 .BF =9cm, .'EF =6cm. :BE=BF+EF =15cm, :DE∥AC. BE BD 3 .EC DA 2' 15-3 .EC2’ .EC= 2×15 =10cm 3 举一反三 【变式7-1】 【答案】4：3 【详解】解：如图，过点D作DH∥BF交AC于点H, 10/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H G B C .DH∥BF AH AD EF EG HF BD =3 =3 HF DG 设HF=a, .AH =3a,EF =3a. .AF AH+HF =4a, .AF:EF=4a:3a=4:3 【变式7-2】 【答案】BC=12 【详解】解：：DE∥BC,EF‖AB 四边形BDEF是平行四边形， .BF DE=4. :AB=9,AD=3, .'BD=AB-AD=6, DE∥BC. AE AD 3 1 ·ECBD62' :EFI‖AB. BF AE 1 “CFEC2 :.CF=2BF=8 ∴.BC=BF+CF=4+8=12」 【变式7-3】 【答案】DC=3cm,EC=2.4cm 【详解】解：'AD=2cm,AB=6cm, .BD=AB-AD=6-2=4cm, AD-21 BD42' AD 1 :DE AF,且BD2' DF 1 AE 1 DC 2'EC 2' FD=1.5cm,AE =1.2cm, 1.5_11.2_1 DC2'EC2 ∴.DC=3cm,EC=2.4cm 11/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型08由平行判定相似 三典例精析 【典例8】 【答案】C 【详解】解：过点O分别作OE⊥CD于点E,延长EO交AB于点F,如图 A B .ABICD,OE⊥CD .EF⊥AB 0E=2,0F=4 .AB‖CD .△COEABOF,△40BACOD CO OE 2 1 CD OC BO-OF-42'AB BO' 0.81 六AB2,解得AB=1.6 .物体的高度AB为l.6m. 三举一反目 【变式8-1】 【答案】1：9 【详解】解：DE∥BC, △ADE~△ABC, AD:BD=1:2, ∴.BD=2AD .AB=AD+BD=AD+2AD=3AD AD 1 S.ABC AB 3AD 3 )即se5=1:9 【变式8-2】 【答案】见详解 【详解】(I)证明：，DE∥BC, ∴.△AND∽△AMB. (②)证明：·△AND∽△AMB, DN AN BM AM' DE∥BC, 12/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△ANE∽△AMC, NE AN MC AM DN NE BMMC· 【变式8-3】 【答案】见详解 【详解】证明：过点C作CM∥AB,交DF于点M, y D EM B 则△FCM∽△FBD. BF BD CF CM :点D为AB的中点， .BD=AD BF AD CF CM ①， CM∥AB, .△ECM∽△EAD, AD AE ·CM-EC②， 由①和②可知， BFAE CF EC 13/13