第2章 第4节 单摆（Word版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

4　单　摆 　 　　知识点一　单摆及单摆的回复力 1.单摆的组成：由细线和小球组成。 2.理想化模型 （1）细线的质量与小球相比可以忽略。 （2）小球的直径与线的长度相比可以忽略。 （3）细线没有弹性。 （4）忽略摆球摆动过程中所受的阻力作用 3.单摆的回复力 （1）回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 （2）平衡位置：摆球静止时，摆线拉力与摆球所受重力平衡的位置。 （3）回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 知识点二　单摆的周期 1.单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 2.周期公式 （1）提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 （2）公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球的质量无关。 （3）意义：单摆周期公式的发现，为人类利用简谐运动定量计时提供了可能，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟。 ｜特别提醒｜ 1.单摆的周期只与其摆长和当地的重力加速度有关，而与振幅和摆球的质量无关，它又叫作单摆的固有周期。只有摆角θ很小时，单摆才做简谐运动。 2.单摆的等时性是伽利略首先发现的，而单摆的周期公式是惠更斯首先提出的。 　 　　培优点1　正确认识单摆的回复力 [典例1]　当摆角很小时，单摆的振动是简谐运动，此时单摆振动的回复力是（　　） A.摆球所受重力与摆线拉力的合力 B.摆线拉力沿水平方向的分力 C.摆球所受重力、摆线拉力及摆球所受向心力的合力 D.摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力 [解析]　摆球的回复力不是摆球所受重力和摆线作用于摆球的拉力的合力，也不是摆球所受重力、摆线拉力和沿圆弧运动时的向心力的合力，也不是摆线的拉力沿水平方向的分力，而是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力，A、B、C错误，D正确。 [答案]D ｜解题通法｜ 单摆回复力的性质 单摆的回复力是重力在圆弧切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力。摆球所受的合外力在摆线方向的分力提供摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力。因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零（此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力）。 培优点2　单摆周期公式的理解 [典例2]　[多选]某单摆由1 m长的摆线连接一个直径为2 cm的铁球组成，下列关于单摆周期的说法正确的是（　　） A.用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变 B.摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小 C.用大球替代小球，单摆的周期不变 D.将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变小 [解析]　用等大的铜球替代铁球，单摆的摆长不变，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期不变，A正确；在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，单摆的周期不变，B错误；用大球替代小球，单摆的摆长变长，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期变大，C错误；将单摆从赤道移到北极，重力加速度变大，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期变小，D正确。 [答案]AD ｜解题通法｜ 单摆周期大小的决定因素及应用 单摆的周期公式T＝2π是在单摆做简谐运动的条件下才适用的，改变单摆的摆长能改变单摆的周期，同一单摆在重力加速度不同的两地周期也不相同，单摆的周期与振幅、摆球的质量无关。另外根据周期公式的变形g＝还可以测量重力加速度。 培优点3　单摆受力及运动分析 [典例3]　关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（　　） A.摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用 B.摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大 C.摆球受的回复力最大时，摆线中的张力比摆球的重力大 D.摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 [解析]　摆球只受重力和摆线的张力作用，回复力和向心力都是按作用效果命名的力，受力分析不予考虑，A错误；摆球在最大位移处受的回复力最大，向心力为零，此时摆线中的张力与重力沿摆线方向的分力大小相等（即摆线张力小于重力），回复力在平衡位置处（摆球最低点）为零，此时小球的速度最大，由F向＝m知此时向心力最大，加速度为向心加速度，方向指向圆心，B正确，C、D错误。 [答案]　B ｜解题通法｜ 单摆的运动规律 单摆的运动既是圆周运动，又是简谐运动（摆角很小的情况下）。 （1）单摆振动到平衡位置时，回复力F为零，而合力不为零，此时合力提供摆球做圆周运动的向心力。 （2）单摆振动到最大位移处时，向心力为零，而合力不为零，此时合力提供摆球振动的回复力。 培优点4　对摆长与重力加速度的理解 [典例4]　如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O'点钉一个光滑钉子，使OO'＝，将单摆拉至A处由静止释放，小球将在A、B、C间来回摆动，若摆动中摆线与竖直方向的夹角小于5°，则此单摆的周期为（　　） A.2π B.2π C.π D.π [解析]　根据单摆的周期公式T＝2π，可得此单摆的周期为T＝（T1＋T2）＝（2π＋2π）＝π（ ＋），C正确。 [答案]C ｜解题通法｜ 摆长和重力加速度的理解要点 （1）摆长l ①实际的单摆中，摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋，L为摆线长，d为摆球的直径。 ②等效摆长：图（a）中甲、乙两单摆在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin α，这就是等效摆长，其周期T＝2π。图（b）中，乙摆在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙摆在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效。 （2）重力加速度g ①若单摆系统只处在重力场中，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，m为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上m和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值。不同地点g的取值不同。 ②在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止在平衡位置时摆线的拉力与摆球的质量的比值。 学科网（北京）股份有限公司 $