江苏扬州市仪征市第二中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

仪征市第二中学高一数学月考试卷　参考答案 2026.10 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B D D C D A ACD BCD ABC 1．已知集合 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项验证集合间的关系与运算． 【解答】A： 但 ，所以 ，错误； B：，正确； C：，错误；D：，错误．故选 B． 2．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解出 ，再判断两条件间的推出关系． 【解答】由 得 ，即 ，解得 或 ， 时一定有 ，充分性成立； 但 时 也成立，推不出 ，必要性不成立， 所以是充分不必要条件，选 A． 3．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（　　） A．至少存在一个 ，使得 成立 B．对任意 ，，都有 C．， D．菱形的两条对角线长度相等 【答案】B 【分析】先判断是否为全称量词命题，再看真假． 【解答】A 是存在量词命题； B 是全称量词命题，且 恒成立，是真命题； C 是存在量词命题；D 是全称量词命题，但菱形的对角线不一定相等，是假命题．故选 B． 4．下列四个命题： ①，；②，； ③，；④至少有一个实数 ，使得 ； 其中真命题的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】逐条判断真假：①配方，②判别式，③举反例，④举出一个解即可． 【解答】①，真命题； ②，所以不存在 使其小于零，假命题； ③取 ，则 ，假命题； ④取 ，则 ，真命题， 所以真命题的序号是①④，选 D． 5．已知命题 ：，，若命题 是假命题，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 为假命题即其否定为真：对任意实数 都有 ，按二次项系数分类． 【解答】当 ，即 时，不等式为 ，恒成立，符合； 当 时，需 ，即 ，解得 ； 当 时，二次函数开口向下，不可能恒大于零， 综上 ，选 D． 6．若 且 ，则下列不等式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 与 推出 ，再逐项判断． 【解答】由 ，且 ，得 ，结合 得 ． A：，正确；B：，正确； C：因为 ，所以 ，于是 ，错误； D：，正确．故选 C． 7．已知不等式 对任意 都成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按 、、 三种情况讨论，注意 时还需函数的最大值小于零． 【解答】当 时，不等式为 ，恒成立，符合； 当 时，抛物线开口向下，只需其最大值小于零：，即 ，所以 ； 当 时，抛物线开口向上，不可能恒小于零，不符合， 综上 ，选 D． 8．已知正数 ， 满足 ，则 最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分子用 代换，化成关于 的函数再求最小值． 【解答】由 得 ， 所以 ，其中 ． 设 ，则 ， 令 得 （负值舍去），且 时 、 时 ， 所以 时取最小值 ，选 A． 9．已知 ，，，，则集合 可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 且 即 ，先求交集再逐项检验． 【解答】，所以 ， 即 可以是 、、、，故选 ACD． 10．下列不等式中有解的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】逐个判断判别式或配方，看是否存在满足不等式的 ． 【解答】A：，抛物线开口向上， 恒成立，无解； B： 有解 ； C： 对 成立，有解； D：，即 ，有解， 故选 BCD． 11．下列命题是假命题的是（　　） A．不等式 的解集为 B．函数 的零点是 和 C．，则函数 的最小值为 D． 是 成立的充分不必要条件 【答案】ABC 【分析】逐项判断命题真假，注意集合、零点、最值与充要条件的规范表述． 【解答】A：由 得 ，解集不是 ，是假命题； B：零点是 和 ，写成点 、 是错误的，是假命题； C：设 ，则 在 上递增，最小值为 ，是假命题； D： 即 ，能推出 ，而 推不出 ，所以是充分不必要条件，是真命题， 所以假命题是 ABC． 12．若函数 的两个零点是 和 ，则不等式 的解集为______． 【答案】 【分析】由零点用韦达定理求 、，再解不等式． 【解答】由题意 ，，所以 ，， 不等式 即 ，也就是 ， 即 ，解得 ， 所以解集为 ． 13．已知 ，则 的最大值是______． 【答案】 【分析】把式子变形后对 用基本不等式． 【解答】因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以最大值为 ． 14．已知实数 ，，则 的取值范围是______． 【答案】 【分析】、 均为正，用同向不等式相乘（或先求 的范围）． 【解答】由 得 ；由 ， 且各数均为正，相乘得 ， 所以 的取值范围是 ． 15．（本小题 13 分）已知全集 ，集合 且 ，． (1)求 ，，； (2)如图①，阴影部分表示集合 ，求 ； (3)如图②，阴影部分表示集合 ，求 ． 【答案】(1)，，；(2)；(3) 【分析】先解不等式组化简 ，再按集合运算求各问． 【解答】由 得 ；由 得 ， 所以 ，即 ， 又 ． (1)；． (2)图①中阴影为 中不在 中的元素， 所以 ． (3)图②中阴影为 的补集，所以 ． 16．（本小题 15 分）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 ；(2) 【分析】(1)用求根公式；(2)移项通分，化为整式不等式，注意分母不为零． 【解答】(1)方程 的根为 ，且开口向上， 所以解集为 或 ． (2)移项得 ，即 ， 化简得 ，即 ， 它等价于 且 ，解得 ， 所以解集为 ． 17．（本小题 15 分） (1)已知 ，求 的最小值； (2)已知 ，求 的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)把 拆成 ，凑成基本不等式；(2)把 化为二次函数求最值． 【解答】(1)因为 ，所以 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以最小值为 ． (2)， 因为 ，所以 时取最大值 ． 18．（本小题 17 分） 已知集合 ． (1)若 ，求 ， 的值； (2)若 ，且 ，求 ， 的值． 【答案】(1)，；(2)， 【分析】 中元素是方程的根： 表示方程有两个相等的根 ； 表示两根为 、． 【解答】(1)若 ，则方程 有两个相等的实根 ， 由韦达定理 ，，所以 ，． (2)由 且 得 ， 由 知 、 是方程 的两根， 所以 ，． 19．（本小题 17 分）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 200 m² 的十字形地域，计划在正方形 上建一座花坛，造价为 4200 元/m²；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m²；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 80 元/m²．设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：m）． (1)用 表示 的长度，并求 的取值范围； (2)当 为何值时， 最小？并求出这个最小值． 【答案】(1)，；(2) 时 最小，最小值为 元 【分析】先由十字形面积求矩形的宽，把各部分的面积都用 表示，再写出造价函数，用基本不等式求最值． 【解答】(1)设矩形的宽（即 ）为 ，由两个矩形构成面积为 的十字形（重叠部分为边长为 的正方形）得 ，所以 ， 于是 ． 由 得 ，又 ，所以 ． (2)正方形 的面积为 ；四个矩形（阴影）的面积为 ；四个三角形的面积为 ， 所以 ， 由基本不等式 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 所以 时 最小，最小值为 （元）． 高一数学月考试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 仪征市第二中学高一数学月考试卷 2026.10 一、单选题（本题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合 ，，，则（　　） A． B． C． D． 2．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（　　） A．至少存在一个 ，使得 成立 B．对任意 ，，都有 C．， D．菱形的两条对角线长度相等 4．下列四个命题： ①，；②，； ③，；④至少有一个实数 ，使得 ； 其中真命题的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 5．已知命题 ：，，若命题 是假命题，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．若 且 ，则下列不等式中错误的是（　　） A． B． C． D． 7．已知不等式 对任意 都成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知正数 ， 满足 ，则 最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，共 18.0 分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知 ，，，，则集合 可以为（　　） A． B． C． D． 10．下列不等式中有解的有（　　） A． B． C． D． 11．下列命题是假命题的是（　　） A．不等式 的解集为 B．函数 的零点是 和 C．，则函数 的最小值为 D． 是 成立的充分不必要条件 三、填空题（本题共 3 小题，共 15.0 分） 12．若函数 的两个零点是 和 ，则不等式 的解集为______． 13．已知 ，则 的最大值是______． 14．已知实数 ，，则 的取值范围是______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题 13 分）已知全集 ，集合 且 ，． (1)求 ，，； (2)如图①，阴影部分表示集合 ，求 ； (3)如图②，阴影部分表示集合 ，求 ． 16．（本小题 15 分）解下列不等式： (1)； (2)． 17．（本小题 15 分） (1)已知 ，求 的最小值； (2)已知 ，求 的最大值． 18．（本小题 17 分） 已知集合 ． (1)若 ，求 ， 的值； (2)若 ，且 ，求 ， 的值． 19．（本小题 17 分）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 200 m² 的十字形地域，计划在正方形 上建一座花坛，造价为 4200 元/m²；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m²；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 80 元/m²．设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：m）． (1)用 表示 的长度，并求 的取值范围； (2)当 为何值时， 最小？并求出这个最小值． 高一数学月考试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $