专题02 数列求和五大问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第二册

专题02 数列求和五大类型 题型一 公式法求和 题型二 错位相减法 题型三 倒序相加法 题型四 裂项相消法 题型五 分组（并项）求和法 题型一 公式法求和 1．已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以 ． 2．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．39 B．9 C．19 D．29 【答案】C 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 故此数列的项数为. 3．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】根据等差数列的前项和公式，，所以，解得. 4．已知数列的前项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第行有个数，则该数阵第行从左向右第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，； 当时，满足； 综上所述：； 该数阵前行共有：个数， 则第行从左向右第个数为. 5．已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，， 由得（1） 由（2）， 将式（2）代入式（1）得，，解得， 将代入式（2）得，，解得， 所以. 6．已知正项等比数列的前项和为，，，则________． 【答案】 【详解】因为为正项等比数列，所以公比，且对任意，. 根据等比数列的性质得，又，所以. 因为，所以公比，首项. 故由等比数列前项和公式得. 7．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则____. 【答案】4107 【详解】因为是首项，公差的等差数列，所以， 因为是首项，公比的等比数列，所以， 所以， 所以 8．在等差数列中，若首项，公差，则________． 【答案】145 【详解】因为等差数列的首项，公差， 所以. 9．记表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2026项和为_________. 【答案】4062 【详解】由，则， 设，则，且， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以， 可得，，，，， 累加可得：， 则，， 显然满足上式，则. 依题意，， 设， 当时，，即，所以， 因此当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，， 当时，. 综上所述，数列的前2026项和. 10．已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)（等价形式也可） 【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为， 由，则，解得， 所以数列的通项公式为； 所以，，则， 又，则，解得， 所以数列的通项公式为． （2）结合（1），得的前项和为， 的前项和为， 所以数列的前项和． 题型二 错位相减法 11．已知数列满足，，数列的前项和为，若恒成立，则M的最小值为（   ） A．不存在 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】，， 当时， ， ， 又时，满足，，， ，， ，， ，；又，，. 所以M的最小值为1. 12．已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】C 【详解】对于A，因为数列是递增的等比数列，且， 所以，即， 联立得 ，解得或（舍去）， 则，，故A错误； 对于B，则，故错误； 对于C，易知，则， ， 两式相减得， ，则，故正确； 对于D，易知，则， 所以是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以， 易知是单调递增，且当时，，故错误； 故选：C 13．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 则， 则， 两式作差得， 所以， 即得， 计算得. 故选：C. 14．若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则， 设数列的前项和为， 则，， 两式相减得：， 解得， 所以， 所以，故的整数部分为. 故选：A. 15．已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 【答案】 【详解】因为是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，即，又， 所以是首项为1，公差为的等差数列． 得，所以， 所以， 则， 两个等式作差可得， ， 故．则． 16．已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 【答案】 【详解】当时，，则， 即，故公比为3； 当时，，解得， ， 由题意知，，则， 解得，， 令，则①， ②， 用①减②得，， 解得， ． 17．已知数列的通项公式为，其前项和为，则_______． 【答案】 【详解】， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 18．已知数列的前n项和为且． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求； (3)对于第（2）题中，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得，当时也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以数列的通项公式为 （2）， 则， ， 两式相减可得： ， 整理可得 （3）由（2）可知若对任意的恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，即，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增， 即当时，， 当时，，所以， 故的取值范围为． 19．设数列的前n项和为，已知．若． (1)计算，，的值，并猜想数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)设，数列的前n项和为，求． 【答案】(1)； (2)证明：当时，，则. 当时，，即， 即，而， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. 因为，所以. (3) 【详解】（1）， ， 即，，，猜想 （2）略. （3），用错位相减法求和法得： ，① ，② ①-②得： = 20．记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. (3)设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，可知是公比为的等比数列，故， 当时，，，故， 由得，又，所以， 故； （2）记的公差为，由可知， 由得，即， 整理得，即，解得或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 故的通项公式为.所以， 当时，，， 两式相减，得到， 又注意到时，，满足， 故. （3）由（1）可知， ， 由， 当 时，，，则 ； 当 时，，，则； 所以， 因为 ，所以 ，故 ， 因此 恒成立，又因为随着 增大， 增大， 减小， 而当时，. 若不等式 对任意的 恒成立，则需 ，即 ， 因为 为整数，所以 的最小值为 . 题型三 倒序相加法 21．已知，为等差数列，为坐标原点，直线上三点，，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，三点在直线上，且， 所以.又因为为等差数列，所以 因为， 所以. 所以. 所以. . 所以. 所以. 22．已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 则， 由， 得， 则 ，即， 由，得， 则数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列， 偶数项是以为首项，4为公比的等比数列， 则数列为：， 显然数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即，则， 所以， 则数列的前7项和为 . 故选：D 23．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 【答案】A 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 24．已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 25．若等差数列满足，则______. 【答案】 【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，， 则， 设， 则， 两式相加可得，解得. 26．若等差数列满足，则_____. 【答案】 【详解】由等差数列满足， 根据等差数列的性质，可得对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加，可得，解得. 27．已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 【答案】4046 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，， 故，即有. 由，则当时，有， 故， 故所求和为. 故. 28．已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； （2）， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 29．已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. (2)由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 【详解】（1）略 （2）略 30．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由 ① 得 ② ①－②得：， 在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有： （2）， 两式相减得： 整理得： （3）， 所以 所以，为定值，则 且，两式相加得，因此 题型四 裂项相消法 31．已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 32．南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的关于三角垛的求和都与高阶等差数列有关．如图就是一个三角垛，最顶层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，第层的球数是前个正整数的和， 可得. . . 33．定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】由题设有，故， 当时，， 故当时，有，所以， 而，故，故（） 所以， 故， 故对，总有恒成立，且当时，， 故，故，故. 故实数的最小值为. 34．已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【详解】因为，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，可得，所以 所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以的最小值是． 35．数列中，，则数列的前2026项和______. 【答案】 【详解】因为， 所以 . 36．数列的前项和为________. 【答案】 【详解】已知数列，该数列的通项为：， 前 99 项和为：. 37．已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 【答案】 【详解】，即， 所以数列是公差为1的等差数列， 因为， 所以， 因此， 则， 所以数列的前项和. 38．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． (1)求数列、的通项公式； (2)设的前项和为，求 (3)设，求的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 由，得，即 由，得，即，解得，， 故 设递增等比数列的公比为，因，则． 由成等差数列，得，即， 解得或，因，则． 故 （2）由（1）得 于是 得 两式相减得. 又， 代入可得 从而 （3）由（1）可知，所以 又，故 因此 所以 39．设公比为的等比数列的前项和为，且. (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由， 当时：①， 当时：②， 由①得，代入②得，解得 代入，得， 所以. （2）由（1）得，所以， 于是， 所以 40．已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且是和的等比中项，是公比不为1的等比数列，，且是和的等差中项． (1)求数列和的通项公式； (2)求使得成立的最小正整数； (3)设数列的前项和为，求的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2) (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，解得或（舍去）， 故， 设等比数列的公比为， 因为是和的等差中项， 则，解得或（舍去）， 又，所以. （2）， 则， 则 ， 而， 所以可化为， 解得， 故使得成立的最小正整数为. （3）， 当为奇数时，，函数单调递减， 故，又， 所以， 当为偶数时，，函数单调递增， 故，又， 所以， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 题型五 分组（并项）求和法 41．数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：， 所以. 42．已知各项均为正数的数列的前项和为，，，，，则（    ） A．125 B．127 C．250 D．511 【答案】A 【详解】由对数的运算性质，，因此，当时，得. 又，将两式相除可得， 所以数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列； 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列. 故 . 43．设数列{an}的前n项和构成数列{Sn}，{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn}，已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=3，则C2026=（    ） A．3079520 B．1520 C．1521 D．3079521 【答案】B 【详解】因为数列满足， 则， 因此数列是周期为2的周期数列，且奇数项，偶数项. 所以，当，时，， 当，时，. 所以 所以． 44．已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 【答案】D 【详解】当时，， 即有； 当时，； 则，即， 故 . 45．已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________． 【答案】 【详解】由题意可知：在数列中为第项， 且与之间插入个的和为， 因为，， 则， 设，则， 可得，且，即，所以； 当为奇数时，则， 可得， 所以. 46．已知数列的前n项和为，若，则________． 【答案】30200 【详解】当，时，， 当，时，， 两式联立得， 故，所以，所以， 又，故，即， 将与相加可得 ， . 47．已知数列的前项和为，，则_________． 【答案】324 【详解】由， 当为奇数时，为偶数， 则，， 两式相减得； 当为偶数时，为奇数， 则，， 两式相加得， 则 ． 48．在等差数列中，,， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则, , 所以解得,. 所以． （2）， 所以, . 49．记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令，则， 化简得，又，所以 由题意 于是两式相减可得 化简可得 因为，所以，所以， 所以为首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为. （2）由上可知，当为奇数时，设，则，. 当为偶数时，设，则， 所以当为偶数时,. （3）由上可知，当为偶数时，设，, ,即 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上， 最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即. 当为奇数时，设，. ，化简得 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上 最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即. 综上所述， 50．已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，而 所以数列为以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为， 则， 所以， 则， 所以， 又， 所以. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列求和五大类型 题型一 公式法求和 题型二 错位相减法 题型三 倒序相加法 题型四 裂项相消法 题型五 分组（并项）求和法 题型一 公式法求和 1．已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．39 B．9 C．19 D．29 3．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知数列的前项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第行有个数，则该数阵第行从左向右第个数是（    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正项等比数列的前项和为，，，则________． 7．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则____. 8．在等差数列中，若首项，公差，则________． 9．记表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2026项和为_________. 10．已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型二 错位相减法 11．已知数列满足，，数列的前项和为，若恒成立，则M的最小值为（   ） A．不存在 B．1 C． D． 12．已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 13．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（   ） A． B． C． D． 15．已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 16．已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 17．已知数列的通项公式为，其前项和为，则_______． 18．已知数列的前n项和为且． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求； (3)对于第（2）题中，若对任意的恒成立，求的取值范围． 19．设数列的前n项和为，已知．若． (1)计算，，的值，并猜想数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)设，数列的前n项和为，求． 20．记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. (3)设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 题型三 倒序相加法 21．已知，为等差数列，为坐标原点，直线上三点，，满足，则（     ） A． B． C． D． 22．已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D． 23．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 24．已知函数，（    ） A． B． C． D． 25．若等差数列满足，则______. 26．若等差数列满足，则_____. 27．已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 28．已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 29．已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 30．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 题型四 裂项相消法 31．已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 32．南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的关于三角垛的求和都与高阶等差数列有关．如图就是一个三角垛，最顶层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则（    ） A． B． C． D． 33．定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 34．已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 35．数列中，，则数列的前2026项和______. 36．数列的前项和为________. 37．已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 38．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． (1)求数列、的通项公式； (2)设的前项和为，求 (3)设，求的前项和． 39．设公比为的等比数列的前项和为，且. (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求. 40．已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且是和的等比中项，是公比不为1的等比数列，，且是和的等差中项． (1)求数列和的通项公式； (2)求使得成立的最小正整数； (3)设数列的前项和为，求的最大值和最小值． 题型五 分组（并项）求和法 41．数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 42．已知各项均为正数的数列的前项和为，，，，，则（    ） A．125 B．127 C．250 D．511 43．设数列{an}的前n项和构成数列{Sn}，{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn}，已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=3，则C2026=（    ） A．3079520 B．1520 C．1521 D．3079521 44．已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 45．已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________． 46．已知数列的前n项和为，若，则________． 47．已知数列的前项和为，，则_________． 48．在等差数列中，,， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 49．记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 50．已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02数列求和五大类型 题型归纳 题型一公式法求和 题型二错位相减法 题型三倒序相加法 题型四裂项相消法 题型五分组（并项)求和法 题型专练 题型一公式法求和 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】62 7.【答案】4107 8.【答案】145 9.【答案】4062 10.【答案】(1)设等差数列{a}的公差为d,正项等比数列{b,}的公比为9(g>0), 由4=1，则4+a4=2a+4d=2+4d=10,解得d=2, 所以数列{an}的通项公式为a,=1+2(n-)=2n-1: 所以4=3，a,=9,则4=a4=27, 又=3，则6=h9=3g=27,解得9=3， 所以数列亿，}的通项公式为b,=33=3”、 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)结合1，得a}的前n项和为4-白+加_+2”-n=2, 2 2 {6,}的前，项和为B。=h -9=3.1-3”=3-3 1-9 1-32， 所以数列{a,+b,}的前n项和S。=4,+B,=r+3”-3 21 题型二错位相减法 11.【答案】B 12.【答案】C 13.【答案】C 14.【答案】A 20 15.【答案】 52n+5 16.【答案】8-83” 17.【答案】 (2n-5)3”+5 4 18.【答案】(1)当n=1时，S2=2S+2,S=4=2,解得4=4， 当n≥2时，由S1=2Sn+2,可得Sn=2Sn+2, 两式相减可得a+=2an,当n=1时也成立， 由此可得数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列， 则an=ag=2”(neN)）, 所以数列{an}的通项公式为an=2”(neN) (2)bn=(2n+1)an=(2n+)2”, 则Tn=32+522+723+…+(2n-1)-2+(2n+1)-2。 2Tn=3-22+5-23+7.24+…+(2n-1)-2”+(2n+1)21, 两式相减可得： -Tn=3-2+2-22+2-23++22”-(2n+12, 整理可得Tn=(2n-1)小2+2(n∈N) 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)由(2)可知若对任意的n∈N,2(亿，-2)≤3”恒成立， 即 3” 1 (2n-)-2m4n-2分”恒成立， mC4-4n-23 <1时，即n 当cn 2所以当n≤2时，cn<c. 所以当m=1时，5-子当n-2时.6是 3 81 27 81 当n=3时，680，当n=4时，6224： 可以看出Cm在n=3处取得最小值，所以从n=3后才开始递增， 即当n=1,2,3时，9>G2>G, 当n≥3时，6>0>>6，>G,所以4 ■809 27 故元的取值范围为(0,80， 19.【答案】(1)4-2a-1→a=1,a+a2=2a2-2→a2=3. a+a2+a=2a-3→a=7. 即h=2,6,=4,h=8,猜想b,=2” (2)证明：当n=1时，4+1=2a,则4=1. 当n≥2时，a.=S,-S1=(2a,-n）-(2a1-n+)=2an-2an1-1,即a,=2a1+1, 即an+1=2(a+l),而a+1=2≠0， 所以数列{a,+是首项为2，公比为2的等比数列： 因为4+1=2”，所以0n=2”-1, (3)c.=nb=n·2”,用错位相减法求和法得： Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2”,① 2-T.=1x2+2×23+…+(n-l)-2”+n2m,② ①-②得：-T,=1×2+1×22+1×23+…+1×2”-n-2=(1-n）21-2 .Tn=(n-1)2m1+2 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.【答案】(1)由SH=2Sn,S=a>0可知{S}是公比为2的等比数列，故Sn=2a, n=1 ≥2时3=274'a=3-81=24故a=2a.n≥2 当 由2a,=a44得8a=2G,又an>0,所以4=2， 2,n=1 故a,=2时，n22 (2)记b}的公差为d,由2h=b,+b,=4可知血=2， 由b,=bb,b,得（色+d)(色+2d)=(色-d)h,(色+4d),即(2+d)(2+2d)=2(2-d)(2+4d), 整理得5-3d-2-0副6+2-)=0，解得d=号政4= 当d=号时，4s=6+15-)1=-华<0，不合题室，含去： 5 当d=1时，b,=6,+(5-3)d=14>0,符合题意， 0, n=1 故6，)的通项公式为6=n-1所以a,6.={-12,n≥2 当n≥2时，Tn=0+1×2++(n-)×2",2T,=0+1×22++(n-2)×2+(n-1)×2”, 两式相减，得到7=a-小2-++2）-a-小-220-20）-n-少2-2+2=a-22+2. 1-2 又注意到n=1时，T=ah=0=(1二2)2+2=0，满足Tn=(n-2)2”+2, 故T,=(n-2）2”+2. 2,n=1 a (3由(1)可知，a.-2,n22,由，a+la+0 22 当n=1时，4=2：4=2，则G(2+1(2+09: 2 11 当 ≥2时a,=2,4u=2则.2+12+02+12+ 以风6+-号44g号G小号 因为nN,所以2”+12≥3，放2r+>0, 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 此R.=。”<。恒成立，又因为随着增大，2”+增大，2”+减 5 而当n)+o时，R,→ 9 若不等式R<g对任意的neN恒成立，则需9)，即m之5： 因为m为整数，所以m的最小值为5. 题型三倒序相加法 21.【答案】A 22.【答案】D 故选：D 23.【答案】A 24.【答案】A 2025 25.【答案】2 2025 26.【答案】4 27.【答案】4046 28,【答案】山)点a8aeN)均在商数7=方+分的图象上，=方+0， 1+=1,即a=1 当n=1时，8=2+2 当2t.8-0+分-5a-+a-可】 4 (2)“g(=4+2· 4 ，4-x4 4 4x 2 8()+81-)4+2+4+24+2+4+2x44+24+21, a-a6=8品)87)aeN). a 1. 2 (2025 2026 +82027 ①， 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又TZ026=b2o6+b0s+b024+…+h2+h 2026 2025 2024 2）, 1 =g +g 2027 +8 十+8 2027 2027 2027十82027②， ①，②，得276=20269 1 2026 (2027/+8 :2026 2027 .T2026=1013 29.【答案】0由影意得f9+f0-9=1g20-10x+g10+10r 1+x 2-x =1lg(20-10x×10+105)=1g100=2. 1+x2-x 则八分+/2++…+2， 2. 2n 2n =2+23+2n3++分. 两式相加得2a.=2(2n-),即a.=2n-1 8猫宽Ba-bon-2. 1= 1 n n 令网= 2中，因为反比例西数y=花 、上单调递减， n 1 所以fm在[L,+o)上单调递增，即T,在，+∞)上单调递增，故≤工，<2得证 0.【容类】山白号+学++受=aeN)0 2n 49++…+g==n-1(n22)② 得22 2- ①-②得：2=l,4=2≥2) 在①式中令n=1得2 =1,4=2合适上式，所以对任意的正整数”都有：0=2 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2”2 两式相减得：25，= 111n - 222++ 22m1 2时=1-1、n 1- 2”2+ 整理得：S。=2-n+2 2 1 (3)b.=2°+20， 1 2” 2” 所以60-=20+20=20+2"-2020(20+2 1 所以b,+b0-m=20,为定值，则Tg=h+b,++bs+b, 且=，+++6+有：丙武相加得2江。”，因此7。-” 题型四 裂项相消法 31.【答案】C 32.【答案】C 33.【答案】B 34.【答案】C 2026 35.【答案】2027 99 36.【答案】200 37.【答案】n+ 38.【答案】(1)设等差数列{a}的首项为4，公差为d. 由4=S+1,得4+2d=2a+d+1,即a-d+1=0 由S=a,+2,得3a+3d=4+3d+2,即2a=2,解得a=1,d=2, 故an=a+(n-l)d=2n-1. 设递增等比数列b}的公比为q,因血=1，则q>1. 由b,b,b-4成等差数列，得2b,=b+6-4,即2g=1+92-4, 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得9=3或9=-1，因9>1，则9=3. 故b,=3 (2)由(1)得a,bn=(2n-1)3- 于是n=1+33+532++(2n-1)3 得3江=3+3-32+5.33+…+(2n-3)3叫+(2n-1)3 两式相减得2T。=1+23+32+…+3-）-(2n-1)3”. 30-0 代入可得-2T,=1+3(3-1-2(n-1)3”=-2-2(n-1）-3” 从而T,=(n-1)3”+1. (3)由(1)可知a.=2n-1,所以3-”4+o）2 2 an+42n+31 1 又h=3,放C..+mba+3n3(a+3 t4-c++6-〔ra京 1 所以4，=1-(n+)3 39.【答案】(1)由Sn=a1-2, 当n=1时：S=43-2→4=49-2①， 当n=2时：S,=4,-2→a+a9=a92-2②， 2 由①得4= 2+2424-2,解得g=2, 1,代入②得g十g-91 代入4= 2 -1,得a=2 所以9=2,41=2」 (2)由(1)得a,=2-2=2",所以b.=log2d=lg2(2）/=log22"=2n, 于是ao可n0招 11 1 8/12 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.【答案】(1)设等差数列{a}的公差为(d≠0)， 25 由题意得3a,+3d=25 9 ，解得 (a+d}2=a(a+4d) d50或3（舍去） 9d=0 牧%名+9a--25” 9 设等比数列{凸，}的公比为9(9+)， 因为b4是b2和b的等差中项， 则2hg=hg+hg2,解得q=2或g=1(舍去)， 4=4-空8-曾(” (24-252a-x25(2+_62(2m-l2n+. 9 9 81 1811 =81×(1-1_ 则a,a625*(2n-1)(2n+01250*2n-12m+1)” 1+1++1 则a44,a anan 什0》…如1h (11 81 1 1250 2n-12n+1 岛 2n 路答西 而3125 1+1++1>72 所以aa24a ,81×2n>8 +aa之31254可化为1230*2>25 解得n>40, 故使得a,44,4 ++。>25A成立的最小正整数，为4 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)Tn= 9 当。为.工引-周x+】 单调递减， 故-5别9 所以7<s2 50 9 9。为，工-引-门函数x--日】 单调递增， -五-引-器 25 所以8≤12， 25 5 综上所述，当m=1时，T,取得最大值，最大值为9：当m=2时，T,取得最小值，最小值为18 题型五分组（并项）求和法 41.【答案】A 42.【答案】A 43.【答案】B 44.【答案】D 1-3 45.【答案】1元-52 46.【答案】30200 47.【答案】324 48.【答案】(1)设等差数列an}的公差为d, 则%+d=4 (a+3d)+(a+6d)=15, 所以解得4=3，d=1. 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以an=a+(n-l)d=n+2 (2)6n-1 1 a.a(n+2)nt3+n=11 -+n= n+2n+3+n, 所以Sn=b+b2+b+…+bn, 6 2 3n3+12n2+1ln 6n+18 49.【答案】(1)令n=1,则4S=4a=a+2a-3, 化简得4-2a-3=0,又a>0,所以a=3 4S,a2+2a,-3 由题意4s=d2+2a-3 ≥2 于是两式相减可得4an=a-a1+2an-2an1,n≥2 化简可得(an-an1-2)(an+an)=0,n≥2 因为4.>0，所以an+a≠0，所以an-an1=2, 所以{an}为首项为3，公差为2的等差数列 所以数列{a}的通项公式为an=3+2(n-l)=2n+1(neN）」 (2)由上可知，当n为奇数时，设n=2k-1(k∈N),则b1=ak1-a=-2,b,=-2. 当n为偶数时，设n=2k(化∈N),则bk=ak+a2k1=4k+1+4k+3=8k+4, 所以当n为偶数时，b.=4n+4. T2n=(b+b+…+b2m-1)+(b2+b4+…+b2n）) -2n+2+8m+4=4n+6maeN') 2 (3)由上可知，当n为偶数时，设n=2k(k∈N),Tk=4k2+6k, T≥20k+,即Ik-20k=4k2-14k≥2k∈N) 7 考虑二次函数f(=4x2-14x的性质，对称轴在x=4,且开口向上， 最接近对称轴的整数为2，所以当k=2时，有最小值-12，即2≤-12 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当n为奇数时，设n=2k-1(k∈N),I1=T4-b,4=4k2+6k-(8k+4=4k2-2k-4。 T≥20k-10+元，化简得42-22k+6≥元 11 考虑二次函数f)=42-22x+6的性质，对称轴在x=4,且开口向上 最接近对称轴的整数为3，所以当k=3时有最小值-24.即九≤-24. 综上所述，九≤-24 50.【答案】(1)因为a.=3a1+4(n≥2)， 所以0，+2=3(a1+2),(n≥2)，而4+2=3≠0 所以数列{a,+2为以a+2=3为首项，3为公比的等比数列， 所以an+2=3”,所以0=3”-2： (2)由(1)可知b.=n:an=n3”-2n, 设数列{cn}的通项公式为cn=n3”,前n项和为Cn, 数列{dn}的通项公式为dn=2n,前n项和为D., 则C=13+232+…+n-3” 所以3Cn=1.32+233+…+n-31 则-2C,=3+32+3++3”-n-3_30-39-n-3n 1-3 所以C,=30-39+n3_3+(2m-3 4 2 4 又D.=2生20=ma+. 2 所以Z=C-n.-2m-l"+3-na+l 4 12112