专题02 数列的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题02 数列的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 等差数列与等比数列综合 1．（25-26高二上·天津西青·期末）已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）根据，列方程组求解即可； （2）错位相减法求即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为是公比大于0的等比数列，且， 所以是各项都为正数的等比数列，设其公比为. 由可得：， 解得或（负值舍去）， 则，； （2）由（1）知， 所以， 两式相减可得 ， 整理得. 2．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）应用等差数列及等比数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 依题意得 又，解得 所以，． （2）设， 所以，① ，② 得： ． 即数列的前n项和． 3．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知等差数列的前项和为，满足．等比数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）计算等差数列，等比数列的基本量，并利用通项公式可得答案； （2）利用分组求和可得答案. 【解答过程】（1）由题意得，， 又， ，公差， ， 又公比， ； （2）记数列的前项和为， 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1)，或. (2) 【解题思路】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可. （2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为. 则，得. 又，则，得， 代入，得，因此. 设等比数列的首项为，公比为. 由，，所以， 两式相减得，联立得，解得或. 若，代入得， 因此. 若，则，因此. 综上，，或. （2）因为，所以. 由的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和： 奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列， 末项为，所以和为. 偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项， 所以和为. 因此，整理得. 5．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求的前项和； (3)若，求的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解即可； （2）根据分组求和法，结合等差数列及等比数列的求和公式求解； （3）根据错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）令的公比为，则，令的公差为， 由，整理，解得，或（舍去）， 故， 又由可得， 即，解得， 故； （2）， ∴ ； （3）由（1）可得， 则①， ②， ①-②，得， 所以. 题型二 数列的求和 6．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2)． 【解题思路】（1）令，将其代入递推式，求出数列的通项公式，即可求证； （2）由（1）求得数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得其前项和． 【解答过程】（1）证明：设数列的通项为， 则，则． 将代入递推式， 得， 化简得，则． 因为，所以． 由此可知，对任意正整数，都有，即， 故数列是常数列，且． （2）由（1）得，故， 设①， 则②， 用，得， 则，由此得． 7．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知正项等比数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，． (2)，． 【解题思路】（1）根据等比数列前n项和公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为q，由题意可知， 若等比数列的公比，则，，不符合题意，                所以等比数列的公比，                则，                即，                解得或（舍），                所以．                故数列的通项公式为， （2）由（1）知，                所以，                ，                即．                所以数列的前n项和，． 8．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【解答过程】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则 . （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 9．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）设数列满足 . (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）结合等差数列的定义，利用构造法可证明数列为等差数列； （2）结合等比数列求和公式，利用分组求和及错位相减法可得. 【解答过程】（1）证明：由题可知， 两边同时除以得：，且， 故是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）易知， 前项和， 令， 故， 两式相减得 ， 则， 所以. 10．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，，，. (2). 【解题思路】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出； （2）利用裂项相消的方法求出即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，. （2）由于， ， 所以. 题型三 数列中的不等式恒成立、有解问题 11．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为； （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）利用等差数列前项和公式，将转化为关于和的方程，令，代入，得到另一个关于和的方程，联立两个方程求解即可. （2）（ⅰ）先写出的表达式，再乘以等比数列的公比得到，将两式相减，利用等比数列求和公式化简得到. （ⅱ）先将代入，化简得到关于的不等式，分为奇数和偶数两种情况讨论，取两种情况的交集得到最终的取值范围 【解答过程】（1）设数列的公差为d，由得， 由，令得， 联立，得，， 所以． （2）（ⅰ）由（1）可得， 所以，① ，② 得：， 所以． （ⅱ）将代入不等式得， 当n为奇数时，不等式等价于恒成立， 因为，所以； 当n为偶数时，不等式等价于恒成立， 因为，所以； 综上可知k的取值范围为． 12．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列 的前n项和； (3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，再由时，利用，进而得到为等比数列，求得，即可求解. （2）由（1）得到，结合错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为对任意n∈N*恒成立，设，根据，分n为偶数和为奇数，两种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【解答过程】（1）由，有，有. 则数列是公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式为. 取n=1，由，有，解得， 当时，，则，即， 因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，，经检验，n=1时该式成立， 所以数列的通项公式为. （2）由. 记， 有. 两式作差，得， 有，则. 所以. （3）不等式化为，即， 设，有， 当n=1时，；当时，， 所以在时单调递减， 当n为奇数时，，则， 由，得，即，解得， 当n为偶数时，，则，即， 由，得，解得. 所以实数的取值范围为. 13．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】(1)利用与的关系可得，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得. (2)分组求和可得，可将原不等式转化为，可得到的最大值. 【解答过程】（1）当时，由，得，解得， 当时，由，可得，， 两式相减得 ， 所以， 即，因为， 所以， 即可得是且公差为的等差数列. 即. 由题意得，即，解得或， 因为是递增的等比数列， 所以，所以，得， 所以， 即，. （2）由(1)得，，， 所以. 若存在使得成立，即能成立， 设，则， 所以是递减数列，故的最大值为， 因此的最大值为. 14．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知数列的首项为1，前n项和为，且. (1)写出，的值，并证明：； (2)求数列的前n项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用数列的递推公式结合题目条件证明; （2）利用错位相减法结合等比数列的求和公式计算; （3）利用已求得的奇数项与偶数项通项及原递推关系导出，将所给不等式转化为对任意正整数恒成立。进而分析数列的单调性，通过比较相邻项的差值符号确定其最大项，即可求得的取值范围. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， 由可得，，① 所以，② 两式相减得，， 因为数列的各项均不为， 所以. （2）由可知，是首项为，公差为的等差数列， 所以， 于是， ， ， 所以 ， 因此，. （3）由（1）（2）可知，，， 因为，所以， 由，可得，， 令，则， 当时，，即， 当时，，即， 所以数列的最大项为， 因此，的取值范围是. 15．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前2025项和； (3)设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）把递推式变形，证明为常数； （2）先求，再对裂项，用裂项相消求和； （3）对进行裂项相消求和得到，代入不等式化简得到，通过分析函数的单调性，求出其最大值，从而确定的取值范围. 【解答过程】（1）证明：由，又， 两边同除以得，即， 又，故. 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得，， 则， 前项和，. 当时,. （3）由（1）知， 因此， 数列的前项和为： ， 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得：， 令，分析其单调性： ， 故在上单调递减，因此. 要使对一切恒成立，只需，即. 所以，实数的取值范围为. 题型四 数列中的不等式证明 16．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【解答过程】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2）证明： ∴. 又，所以. 17．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）构造等比数列，求出其通项公式，进而求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，由裂项相消求和法求数列的前项和，并由的性质及不等式的性质证明. 【解答过程】（1）因为，所以. 由，得. 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 所以， 所以数列的通项公式是. （2）证明：由（1）知，所以， 所以. 所以. 随着的增大而增大，所以当时，取得最小值，最小值为. 因为，所以. 综上，. 18．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）由已知可得，利用裂项相消法可求出，即可证得结论成立. 【解答过程】（1）解：由已知可得， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以，. （2）证明：， 所以， . 故对任意的，. 19．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列和满足：，，，． (1)设，，求的值； (2)设，，求数列的通项公式； (3)设，证明：． 【答案】(1). (2). (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用递推关系式，分别令和，将及代入，由外向内逆推求出和的值，注意利用舍去负根； （2）利用消去原递推式中的，整理得到，进而构造出首项为、公比为的等比数列求解； （3）先由基本不等式得出，再对进行恒等变形，巧妙裂项得到，利用该裂项公式求和并放缩，即可证明目标不等式. 【解答过程】（1）令，得，， 因为，，，，，所以． （2）因为，所以， 因为，所以， 即，因为，所以， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． （3）证明：因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 因为，，所以， 即， 所以，故． 所以， 即． 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【解答过程】（1）证明：由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）证明：由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 题型五 数列的实际应用 21．（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）2026年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池.该厂2026年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨. (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕? (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂欲从2027年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？（参考数据：，） 【答案】(1)2027年9月底 (2)2027年11月份开始 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2026年7月起第个月深度净化的废水量为吨，写出数列的前项和，再计算即可. 【解答过程】（1）设从2026年7月起第个月处理后的废水排放量为吨， 则由已知条件知:数列是首项为，公差为的等差数列，故， 令，化简得，解得， 故该厂在2027年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕. （2）设从2026年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为的等比数列， 故，（为正整数）， 则数列的前项和为， 从2026年7月起第个月废水存量为， 当时，， 当时，， 故2027年11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化. 22．（25-26高二上·云南保山·期末）某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. (1)求，的值； (2)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 【答案】(1)2210，2331 (2)证明见解析， (3)第9年 【解题思路】（1）根据题意先求出，进而求得. （2）根据题意列出的递推关系式，然后变形化简得到是以1000为首项，为公比的等比数列，最后根据等比数列的通项公式计算即可. （3）根据（2）的结论列出不等式，然后求解不等式即可. 【解答过程】（1）由题意得，则， ， ． （2）由题意可得，所以． 因为，所以， 所以是以1000为首项，为公比的等比数列， 则，即． （3）由（2）得，则，即2， 两边取常用对数得， 所以， 则该牧场第9年年初羊的存栏数超过3000． 23．（25-26高二上·重庆·期末）某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 【答案】(1)322 (2)12 【解题思路】（1）根据等差数列前项和公式计算即可. （2）根据等差数列前项和公式列不等式求解即可. 【解答过程】（1）设第一排原有个座位，由题意可知，解得. 故该体育场观众席第一排原有322个座位. （2）由（1）知，第一排原有322个座位，则改造后第一排的座位数为个. 因为改造后为12排，且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律， 所以改造后第12排的座位数为个. 所以改造后的总座位数为. 由题意知，解得. 因为为整数，所以的最小值为12. 24．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． (1)设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； (2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 【答案】(1)， (2)至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入 【解题思路】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入； (2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果. 【解答过程】（1）由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列， 所以，； 同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2）设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即， 即， 令，，则上式化为，即， 解得，即，所以，， 即，所以， 所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入． 25．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 【答案】(1)2026年9月 (2)2026年的11月 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为，由已知条件，，当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列，而从2025年7月起第个月废水存量为：，再结合等比数列的前项和公式求解． 【解答过程】（1）设从2025年7月起第个月处理后的废水排放量为， 则数列是首项为4，公差为1的等差数列， 所以， 令，整理得， 解得或， 又因为是正整数，则， 当时，处理后的废水排放量大于新产生的6吨废水，所以不会有废水存积. 故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 则数列的前项和， 而从2025年7月起第个月废水存量为：， 当时，， 当时，， 所以2026年的11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化． 题型六 数列与其他知识的交汇问题 26．（25-26高二下·上海·期中）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用的关系可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求得，进而利用单调性可求得的最小值； （3）由题意可得为等比数列，求得，令，利用作差法可得的单调性，进而可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当； 当时，， . 当时，代入符合； 所以，； （2）， . 由单调性知，递增，当时，， 当时，，所以 所以，所以， 所以最小值为. （3） 数列为等比数列，首项为，公比为2， 所以. 所以，令， 所以 当时，， 当时，，所以， 又，，， 因为集合为正整数有且仅有两个元素， 当时，集合为正整数有且仅有两个元素. 所以实数为为的取值范围. 27．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知，点在函数的图象上，其中. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求及数列的通项； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【解题思路】（1）点代入函数解析式得，等式两边加1化简后取对数，可证题设结论； （2）利用（1）求得后可得； （3）已知得，变形为，可得，由裂项相消法的思想可得和即可. 【解答过程】（1）证明：由已知得，则， 由，知，两边取对数得， 注意到，则有， 故是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知， 故，． （3）由，得， 则有，． 又，则． ， 由，，，故． 28．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． (1)写出的前6项； (2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简可得，令，结合正弦函数的图象性质可得或，取其中的正数构成递增数列可得结果； （2）由错位相减法求和可得结果. 【解答过程】（1）由题意 ． 由，得． 所以或． 即或，取其中的正数构成递增数列． 知的前6项为． （2）由（1）知，所以． 所以．① ．② ①－②，得 ． 所以. 29．（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)集合共有4个元素，求实数范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）用换递推公式中的，然后两式相减，化简得，利用等比数列通项公式可得，利用等差数列的通项公式可得； （2）代入和，裂项相消，可求和； （3）令，研究数列的单调性，要求 恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个 ， 使得 ，只需. 【解答过程】（1）当时，用替换得：， 将原式与时的式子相减得： ， 两边乘以得， ； 当时，有，上式也成立， 故是首项为、公比为的等比数列， 因此， 点在直线 上， 所以， 故是首项为、公差为的等差数列， 因此， （2）由 (1) 知 ，，， 所以， 故. （3）由 (1) 知 ，，所以，该表达式对有意义， 令， 计算部分值：，，，，， 又 ， 当时， 故对恒成立， 在时单调递减，所以对恒成立. 集合的元素是满足的自然数（）， 要求恰好有4个元素，即恰好有4个，即，使得， 当时，均满足，至少有5个元素； 当（即时，满足， 而不满足，恰好4个元素； 当时，满足条件的减少至2个或更少. 因此，恰有4个元素当且仅当， 即. 30．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，且 (2) (3)存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由见解析 【解题思路】（1）求出，利用相关点法求轨迹方程； （2）推出为等差数列，求出，利用裂项相消法求和； （3）先求出切点坐标，联立求出与点坐标，由对称性可得在轴上，根据向量平行得到方程，求出答案. 【解答过程】（1）所有幂函数均过点，点在抛物线上，故， 设点，，则，， 由得， 故，所以， 又在抛物线上，且与点不重合， 所以，且，， 即，且， 化简得，且； （2）由题意得，设点，，， 则的半径为，，解得， 因为与外切，则， 即，整理可得， 又，所以，即， 故数列是为首项，公差为2的等差数列， 则，， ， ； （3）存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下： 的方程为，显然与为两切线， 最大时，，由（2）知，，其单调递减，故最大值为， 故切点坐标为， 若过点的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故过点的直线斜率也不为0， 设过的直线方程为， 联立与得， 设，则， 则，故点横坐标为， 将代入中得， 故，同理可得， 由对称性可知在轴上，不妨设， 则，， 点N，T，S始终三点共线，故， ， ， 化简得，显然， 所以，即时，上式恒成立， 故存在定点，使得点N，T，S始终三点共线. 题型七 数列新定义问题 31．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①； ②. 【解题思路】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）是，理由如下： 因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 32．（25-26高二上·江苏常州·期末）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列． (1)若数列是“”数列，求的值； (2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； (3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2) (3)存在，． 【解题思路】（1）根据可直接得到结果； （2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得； （3）根据题意，得，利用换元转化为方程的问题即可求得结果. 【解答过程】（1）数列是“”数列， ． （2）正项数列是“”数列，， ，即，又，故，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， （3）由“”数列定义知：， 则， ， ， ，令， 故在有解， 当时，不符合； 当时，令，图象为开口向上的抛物线，此时，此方程有解； 当时，对称轴，所以在上无解， 即实数的取值范围为． 33．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请求出的值并判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，是“数列”，理由见解析 (3)存在，，． 【解题思路】（1）根据数列定义，先求差数列的公比，确定数列是等差数列，再写出通项； （2）先利用求出参数，再通过与的关系推导递推式，构造等比数列求通项，最后验证差数列是等比数列； （3）先由数列定义求出通项，再通过放缩确定，代入不等式解出的范围，得到唯一正整数解． 【解答过程】（1）（1）因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以． （2）由已知条件可得，故，所以． 当时，根据已知递推式可得， ①②得， 又也成立，所以， 设，即，所以， 又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即， 所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”． （3）由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故， 假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以， 又， 所以，则． ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，． 34．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. (1)已知 ，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； (2)已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 【答案】(1)数列和都为“整有界数列”，理由见解析； (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明见解析，的最小值为 【解题思路】（1）由题意可得，根据其单调递减，所以取M=1，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”.根据等比数列求和公式，可得，分别讨论n为奇数和偶数两种情况，结合条件，分析即可答案. （2）（ⅰ）将条件变形为，根据等比数列的定义，可证是以2为首项，2为公比的等比数列，可得，根据累加法，化简整理，即可得答案. （ⅱ）分析可得，则，根据求和公式，代入计算，可得，结合题意，分析即可得答案. 【解答过程】（1）数列和都为“整有界数列”，理由如下： 因为 ，则， 当时，， 当时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. （2）（ⅰ）因为， 所以，则 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 则， 各式相加可得， 则，， 所以，又满足上式， 所以. （ⅱ）证明：由（ⅰ）得， 当时，，当时，， 当时，增速快于，所以，即， 所以对于任意，， 所以， 所以， 所以， 而， 故结合题意可知正整数的取值需大于等于12， 所以取即为M的最小值，对于任意，， 所以是“整有界数列”. 35．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据“友好数列”以及错位相减求和法证得数列为“友好数列”. （2）利用退一作差法，结合等比数列的定义求得. （3）根据“友好数列”以及等差数列的定义证得数列为等差数列. 【解答过程】（1）证明：因为数列的通项公式分别为， 所以. 设， 则， 两式相减，可得 ， 所以. 又， 所以对任意，都有， 所以为“友好数列”. （2）因为，所以，，， 且 ， 所以，① 当时，，② ①-②得，即. 当时，①可化为，即， 所以成立，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （3）因为数列为“友好数列”， 所以对任意的，都有. 设等比数列的公比为，则. 当时，可得，即. 由得或. 当时，. 当时，，则. 当时，，则. 这与矛盾，所以不符合题意. 当时，， 进而时，恒有，① 所以时，恒有，② ①-②可得. 故数列为等差数列. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 等差数列与等比数列综合 1．（25-26高二上·天津西青·期末）已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 2．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 3．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知等差数列的前项和为，满足．等比数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 5．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求的前项和； (3)若，求的前项和． 题型二 数列的求和 6．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 7．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知正项等比数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 8．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 9．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）设数列满足 . (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和. 10．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型三 数列中的不等式恒成立、有解问题 11．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为； （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 12．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列 的前n项和； (3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 13．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值. 14．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知数列的首项为1，前n项和为，且. (1)写出，的值，并证明：； (2)求数列的前n项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 15．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前2025项和； (3)设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 题型四 数列中的不等式证明 16．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 17．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 18．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 19．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列和满足：，，，． (1)设，，求的值； (2)设，，求数列的通项公式； (3)设，证明：． 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 题型五 数列的实际应用 21．（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）2026年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池.该厂2026年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨. (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕? (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂欲从2027年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？（参考数据：，） 22．（25-26高二上·云南保山·期末）某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. (1)求，的值； (2)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 23．（25-26高二上·重庆·期末）某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 24．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． (1)设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； (2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 25．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 题型六 数列与其他知识的交汇问题 26．（25-26高二下·上海·期中）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 27．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知，点在函数的图象上，其中. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求及数列的通项； (3)记，求数列的前项和. 28．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． (1)写出的前6项； (2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 29．（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)集合共有4个元素，求实数范围. 30．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 数列新定义问题 31．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 32．（25-26高二上·江苏常州·期末）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列． (1)若数列是“”数列，求的值； (2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； (3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 33．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请求出的值并判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 34．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. (1)已知 ，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； (2)已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 35．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $