专题01 数列的通项公式五大问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第二册

专题01 数列的通项公式五大类型 题型一 累加法求数列通项 题型二 累乘法求数列通项 题型三 观察法求数列通项 题型四 由递推关系式求数列通项 题型五 由Sn求通项公式 题型一 累加法求数列通项 1．已知数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 3．数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 4．若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 6．已知数列满足，，则__________. 7．已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第_____项. 8．若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 9. （1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 10．已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求的取值范围； (3)请比较与的大小，并说明理由． 题型二 累乘法求数列通项 11．在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 12．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 13．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 14．已知数列中，，，则________. 15．已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 16．数列中，若,，则_____. 17．已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 18．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 19．已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项的和为，求． 20．（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 题型三 观察法求数列通项 21．已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 22．数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 23．已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 24．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 25．数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 26．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 27．数列中，已知，依次计算出后，归纳、猜测得出的表达式为________. 28．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第个图形有___________个点． 29．已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为___________． 30．正方形，，，…，正方形按如图方式放置，点、、、…在直线上，点、、、…在轴上.已知点的坐标是，则点的横坐标是_____________.（用含的式子表示）    题型四 由递推关系式求数列通项 31．已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 32．“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． 33．数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 34．已知数列中，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 35．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 36．设为数列的前n项和，当时，，已知，，．则数列的通项公式为________ 37．已知数列满足，，则______． 38．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若是递减数列，求实数的取值范围. 39．（1）根据已知条件，，写出数列的前5项； （2）已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式． 40．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 题型五 由Sn求通项公式 41．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 42．记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等差数列 C．不是等差数列 D．当且仅当时，取到最小值 43．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 44．已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．已知为数列的前n项积，若，则数列的前项和_______． 46．若数列的前项和是（为正整数），则数列的通项公式是_____． 47．已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 _____ 48．已知数列的前项和为，若，且． (1)求的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和为. 49．已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求． 50．已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的通项公式五大类型 题型一 累加法求数列通项 题型二 累乘法求数列通项 题型三 观察法求数列通项 题型四 由递推关系式求数列通项 题型五 由Sn求通项公式 题型一 累加法求数列通项 1．已知数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，由于，所以A错误； 因为，，所以，故， 当时，， 所以， 所以，又， 所以，可得时，， 因此，得，故D错误； 关于B和C，只需比较与大小， 易知，所以， 所以，，， 所以，所以，可得，所以，B正确，C错误． 2．在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【详解】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 3．数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 【答案】B 【详解】由，， 得． 4．若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列满足，，，则. 令，则，故可得，且， 故为递增数列，且，因，则数列为递减数列. 对于A，因为递减数列，故，故A错误； 对于B，因为，所以. 因为递增数列，当时，，故，即， 则，故，即B错误； 对于C，成立，故C正确； 对于D，由（仅取等号，均大于2）， 累加得， 当时，，即，故D错误. 5．已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 6．已知数列满足，，则__________. 【答案】333000 【详解】由已知条件可得，则. 令， 则 即. 所以，，…，. 累加得，所以. 于是，. 则. 7．已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第_____项. 【答案】8 【详解】由两边同时除以可得，移项得：，其中，令，则有，当时，将代入上式： ，，……，. 将以上个等式两边分别相加得：，右边中间项全部抵消，剩下，由得：，所以. ，，由， 即， 解得，又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 8．若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 9. （1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意，， 则，，，…，， 以上各项相加得，所以. 因为也适合上式，所以. （2）由，得，得， 所以当时，,, ， 满足上式，所以数列的通项公式为. 10．已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求的取值范围； (3)请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由如下： 令，， 当时， ， 又， 因此，即， ， 则，所以. 【详解】（1）数列中，， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，， 而， 因此， 当为偶数时，，数列单调递减，； 当为奇数时，，数列单调递增，， 所以的取值范围是. （3）略 题型二 累乘法求数列通项 11．在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 12．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 13．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 14．已知数列中，，，则________. 【答案】/4.375 【详解】由，得， 所以，， 则. 故答案为：. 15．已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 【答案】 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 16．数列中，若,，则_____. 【答案】 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 17．已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 18．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 【答案】(1), (2) 【详解】（1），所以， （2）当时，，即, 当时，， 所以，因为，所以， 经检验符合，所以. 19．已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项的和为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知， 当时，， 则， 化简可得，即，，，，， 等式左右分别相乘可得，即， 又，所以； （2）由（1）得，即， 所以. 20．（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 则， 当时，满足上式， 所以. 题型三 观察法求数列通项 21．已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【详解】根据数列前的几项可得，， 所以. 22．数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 23．已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 24．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 25．数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将写成，所以该数列各项分子为，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列， 所以此数列的一个通项公式为，故C正确. 26．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分子：，规律为. 分母：，规律为. 所以通项可以为 27．数列中，已知，依次计算出后，归纳、猜测得出的表达式为________. 【答案】 【详解】因为， 所以，猜测. 故答案为：. 28．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第个图形有___________个点． 【答案】 【详解】根据已知图形得出规律为：第个图形是以一个点为中心向个方向各延展出个点，因此它有个点， 故答案为：. 29．已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为___________． 【答案】 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 30．正方形，，，…，正方形按如图方式放置，点、、、…在直线上，点、、、…在轴上.已知点的坐标是，则点的横坐标是_____________.（用含的式子表示）    【答案】 【详解】由点的坐标是，且四边形为正方形，得点的坐标为， 当时，，即点的坐标为， 又四边形为正方形，则点的坐标为，同理得点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为；依此类推：得点的横坐标为. 故答案为： 题型四 由递推关系式求数列通项 31．已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，当时，，…，， 以上各式相乘，得， 又＝1，所以（）， 因为＝1满足上式，所以， 因为， 所以. 32．“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据数列前项和的性质，对任意，有， 因此：， 结合斐波那契数列的递推关系，可得，， 代入上式得： 已知，故原式的值为. 33．数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【详解】观察可得，，， 所以，又， 所以． 34．已知数列中，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知， 则时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 可见，数列呈周期性，，周期为4， 一个周期内4项和为， ， 数列的前项和为：． 35．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【详解】数列中，，当时，； 当时，，两式相减得 ， 整理得，而不满足上式。 所以. 36．设为数列的前n项和，当时，，已知，，．则数列的通项公式为________ 【答案】 【详解】解法一：因为 ， 移项变形： ， 利用 ，左边为 ， 右边化简为： ， 因此得到 的递推： 即 ，令 ， 则 是公比为2的等比数列，首项 ， 因此： ,即得： , 两边同除以 ，得： 令 ， 则 是公差为1的等差数列，首项 ， 因此： , 由 ，得 ，验证初始项均符合条件. 解法二：已知当时，， 移项整理得： ， 则， 代入已知验证得，与题目给的一致，因此该递推对所有成立. 特征方程为，解得二重根，因此设通项形式为 代入得： ，解得， 因此，验证满足所有条件，即为数列通项. 37．已知数列满足，，则______． 【答案】 【详解】由题意，对等式整理可得，所以. 设，则，故，等式两边取对数可得. 令，则，故数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，故，则，则． 38．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若是递减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，，，， 将上述个式子相加，得：， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 当时，，上式也成立， 所以； （2）因为是递减数列，所以， 即， 由（1）可知，，所以， 设，则， ， 当时，，即； 当时，，即； 所以是数列的最大项，即， 所以，实数的取值范围是. 39．（1）根据已知条件，，写出数列的前5项； （2）已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式． 【答案】（1） （2）， 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的前5项分别为； （2）因为，， 所以，，， ， 所以数列的前5项分别为， 由数列的前5项猜想， 验证：当时，，满足题意； 当时， ， 所以， 所以成立； 40．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且，可得， 即对任意恒成立，可得， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 可得， 所以. 题型五 由Sn求通项公式 41．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，故. 42．记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等差数列 C．不是等差数列 D．当且仅当时，取到最小值 【答案】D 【详解】对于C，由， 得到，则数列是公差为2的等差数列，C错误； 对于A，，A错误； 对于B，，则， 当时，， 满足上式，因此，，不是等差数列，B错误； 对于D，， 因此当且仅当时，取到最小值，D正确. 43．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列的前项和， 所以，当时，; 当时，，， 故， 当时，不满足， 所以. 44．已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 则， 因为，即，则， 可得，可知数列是以首项，公差的等差数列， 又因为，则，即， 可得，解得， 则， 所以的取值范围是. 45．已知为数列的前n项积，若，则数列的前项和_______． 【答案】 【详解】由题意， 为数列的前项积，故满足，， 因此，且. 已知，将代入得： . 等式两边同乘得：， 即 当时，，结合， 得，即，解得 综上，数列是首项，公差的等差数列. 由等差数列通项公式得：. . 46．若数列的前项和是（为正整数），则数列的通项公式是_____． 【答案】 【详解】当 时，. 当 时， ， 也满足，所以公式对所有正整数 都成立. 故答案为：. 47．已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 _____ 【答案】 【详解】由题意可得，所以， 当时，， 当时，，符合上式，因此. 故答案为： 48．已知数列的前项和为，若，且． (1)求的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当 时，代入递推式得 ，已知 ，故 ，. 当 时，有 ①； 当 时， ②； ①-②得 ， 验证 时 ，故 对所有 成立. 将①中替换为 得 ③； ③-①得 ④； ④减去 ，得 ()，即数列奇数项、偶数项均为公差为 4 的等差数列： 当为正奇数时，设 ()，； 当为正偶数时，设 ()，。 综上， (). （2）将 代入得： ， 故 . 数列的前项和为：，其中 ， 因此： 49．已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知①， 当时，②， ① −②得：，又， 代入化简得，， 则， （2）由，则， 所以， 故. 50．已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，， 因为数列为等差数列，设公差为，则， 所以， 所以. 当时，； 当时，. 当时，上式亦成立. 所以. （2）因为时，， 所以，，，，…，， 各式相乘得：， 又，所以，. 当时，上式亦成立. 所以， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01数列的通项公式五大类型 题型归纳 题型一累加法求数列通项 题型二累乘法求数列通项 题型三观察法求数列通项 题型四由递推关系式求数列通项 题型五由Sn求通项公式 题型专练 题型一累加法求数列通项 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】C 200 5.【答案】101 6.【答案】333000 7.【答案】8 8.【答案】D g【答案1a-2aeN:2a=a+ 10【答案】数到a,及=+ 2 当n22时，8=8-+0a-+a-0=n,而4-8=1满足上式。 所以数列{a}的通项公式是a,=n. (2由(4)得4=-日，乃=-44+24A-%4++(旷4-2仁2 ann’ (2k-1)(2k+1) 119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-)k_(-1),11 而2k-2k+04（2k一十2+， 图tg-5g+(旷2(-r2l 当n为偶数时，户=-1+2中，蒙列口单调强减，名三写 5 当n为奇数时.R=-12中，数列化)单拥递，号<-行 所以的取应色用民[背》子引 2 (3)50Va6>Va+V4++Vam5,理由如下： 令-a-+,五-音i, 当n≥2时，Z--m+n-a-n-n 到2-a-y+a-a可-a-n-可或a+n-laa+利到 6-可0可-号ag。 x亿-元jm+-可)-引2n+am-可-n-ma--0-mn->0, 因此Tn-Tn-Vn>0,即In-Tn1>Vn, T=T+(g,-T)+(T-T)++(Tn-Tn)>i+2+3++√n. 2 则T6>√a+Na,+…+Va6所以5aVaa6>Va+Va,++Va6 题型二累乘法求数列通项 11.【答案】A 12.【答案】C 13.【答案】D 35 14.【答案】84375 15.【答案】a.=n(n+ 219 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4048 16.【答案】2025 17.【答案】an=n.2,neN 8【g类104-4--2，所议434- （2)当月=2时，4u=n+22 dntln+2 =n+ia,即a,n+1, 02.0.4=n+l.n3 当n≥2时，a,an2“Gnn-12' a=n+1 所以日2，因为g=1所以a=”, 2 经检验a=1符合，所以a,=”+ 2 19.【答案】(1)由己知3S.=(n+2)a, 当n≥2时，3S=(n+)a, 则3an=3Sn-3S1=(n+2)a。-(n+1)a1, 0m=n+ln01=na2-n-14-44_3 化简可得an-i,即an,n-2:an-3…’2:41 等式左右分别相乘可得 a=n+1.n.n-1.....4.3 d n(n+l) n-ln-2n-32i,即 a 2 n(n+1) 又a=1,所以a,= 2 aw女20 女女女女d-g+-2品 4424 20.【答案】(1)当n=1时，4=S=3, 当n≥2时，a,=,-Sn1=+n+1-[(n-+(n-)+]小=2n, 3,n=1 所以a,三 2n,n≥2 0。=2n-3 (2)当n≥2时，a,2n-1, 319 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则a.=%2.829.44=2m-3.2n-53.1 1 a1a2a644=2n-12n-3…5342m-42m- 当n=1时，4=1满足上式， 所以a= aeN)】 题型三观察法求数列通项 21.【答案】B 22.【答案】A 23.【答案】B 24.【答案】D 25.【答案】C 26.【答案】C 2 27.【答案】a.=6n-5 28.【答案】n2-n+1 2n-1 29.【答案】2 30.【答案】2”-1 题型四由递推关系式求数列通项 31.【答案】D 32.【答案】A 33.【答案】C 34.【答案】D 3 hs1 35.【答案】a= 0 21,n≥2 36.【答案】a,=n×2 > 37.【答案】54-3 38。【答案】(（因为2a4-2”a,=n,所以41-a,= 2” 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 2 3 n-1 所以4-4=2,4-4=2,0-4=2,0.-0=2n≥2)， 1.2.3..n-1 将上述n-1个式子相加，得：a,-a=2+2+2++ 2-, 123 设S1=a.-0=222+2+4”- 2-， 1,23 ,n-2,n-1 则22+2+2+ 2-+ 2, 1 2” 2 以-2品22-2 2-寸， 又a=小所以a=4+5=1+2-2”-3g0 2(n≥2)， 当01时，3岁岩=3-21，上式他成立， 所以a,=3-n+1 2-: (2)因为{a。-n}是递减数列，所以a-(n+)<an-n, 即al-an<入， 由山可知，04-a,只，所以2公<元， n 设4=公，则元>0)m 61-b,=t1-”-n+1-2n_1-n Γ22”2+1 2+h, 当n=1时，b-bn=0,即b+1=bn; 当n>1时，b1-bn<0,即bl<bn; 所以4=么=弓是数列物}的最大项，即么） 所以2>3，实数2的取值范用是o)。 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 39.【答案】(1)因为4=2，a=4an+1(n≥2) 所以当n=2时，a2=4a1+1=3. 当n=3时，a3=4a2+1=13」 当n=4时，a4=4a3+1=53」 当n=5时，a=4a4+1=213, 所以数列{a,}的前5项分别为23,18,53,213， 2)因为a=2,0=2-≥2， an- 4222,4=2-1-2-24 所以%=2-1=2-1-3 a, 233,4=2-1=2-35 a 44, 4,=2-1=2- 46 a4255, 所以数别a前了现分别为2青号。 由数列{a,}的前5项猜想a,="+1, n’ 验证：当n1时，4=子-2，满足医 当n≥2时，41="-1+1n n-1n-1, 所以2-=2-"-20-a-》-4=a, an nn n 所以双告成立。 40.【答案】(1)因为a,=n(a-a),且a=2,可得（(n+l)a.=n0, 即-品对任在nN相成立，可得号号=…受-2， n+l n n n-1 1 所以an=2n (2)由(1)可知：an=2n, 1 =1-1 则5（2m-12n-10川2n+川22m2 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n 所以S=2n+1 题型五由Sn求通项公式 41.【答案】D 42.【答案】D 43.【答案】D 44.【答案】B 3n2+5n 45.【答案】 2 46.【答案】a.=2n-5 47.【答案】2n+2 48.【答案】(1)当n=1时，代入递推式得S+S,=2×P+2×1+1=5,已知S=1,故S,=4, a2=S2-S1=3 当n≥1时，有Sn+S1=2n2+2n+1①； 当n≥2时，S+S,=2n-l+2(n-)+1=2m2-2n+1②： ①-②得Sn1-Smn1=an+an1=4n, 验证n=1时a+a=4=4×1,故an+al=4n对所有neN成立. 将①中n替换为n+1得S+Sn2=2(n+2+2(n+l)+1=2n2+6n+5③： ③-①得a+aa2=4(n+l)④： ④减去an+a=4n,得an2-a,=4(n∈N),即数列奇数项、偶数项均为公差为4的等差数列： 当n为正奇数时，设n=2k-1(k∈N),4=1+4(k-)=4k-3=2n-1； 当n为正偶数时，设n=2k(k∈N),ak=3+4(k-1)=4k-1=2n-1。 综上，a=2n-1(neN'), (2)将a,=2n-1,a=2n+1代入bn得： 6=可2an-6eaB+aw-2可 4n24n2-1+1 =1+ 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 放6=1+21) 11 邀别6的，现和方红：乙-亲-习+欢共中名- 2-r6 因此：Tn=n+ 1 2n_n(2n+1)+n_2n+2n(nEN) 2'2n+1 2n+12n+1 49.【答案】(1)已知Sn=a.+2n2-2①， 当n≥2时，S=a+2(n-l2-2②， ①-②得：S。-Sm=a-an+4n-2,又Sn-Sn1=an, 代入化简得an=4n-2,(（n≥2，n∈N). 则a,=4n+2,(neN) aA-产0a3B'a2 1=1 所=脑+s+的-得》得》+葡2司-得 50.【答案】(1)由题意3 4，号=8， S1_S3 因为数列S) 为等差数列，设公差为，则d=73=1, n d 7-3 以S。=3+n-3)d=4+(n-3)x1=n 所以Sn=n(n+1). 当n=1时，4=S=1x(1+1)=2: 当n≥2时，an=Sn-Sm=n(n+1)-(n-1)n=2n 当n=1时，上式亦成立 819 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以an=2n】 6=41=2(n-_n-1 (2)因为n22时，6.an2(n+n+1: 4-{6-24=34-4么-n-l 所以6=3，b4,b,5,b6,…,bn+1 6={2.34n=1-1x2=2 各式相乘得：b3456n+1n(n+)n(n+) 2 又6=1所以6，+)？≥2 当n=1时，上式亦成立. 所a日 所--分片日4-24 9/9