精品解析：天津市博文中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

九年级数学阶段性练习 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 神舟二十三号载人飞船在2026年5月25日成功发射，我国的航天领域已稳居世界前列，是全球航天格局的重要力量．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当或时， C. 顶点的坐标为 D. 当时，随的增大而减小 8. 一架无人机沿竖直方向执行航拍任务，其飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论 ①无人机起飞2秒后的高度是； ②无人机从起飞到落地经过的路程是； ③无人机起飞3秒时达到最高点； ④当时，无人机的高度． 其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③ 9. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转角得到，此时点D落在的延长线上，连接，则长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为等边三角形，点D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接．已知，的周长是15，则的边长是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 10 12. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 14. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 16. 某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为，根据题意列出方程为______________________． 17. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 18. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线．结合图象，下列说法中：①；②；③：④对于任意实数，都有；⑤若且，则；⑥若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的有__________ 三、解答题（本大题共8小题，共46分） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 20. 在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______； （2）这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数； （3）根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数． 21. 某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元． （1）直接写出与的函数关系式； （2）求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少； （3）若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 22. 已知抛物线（为常数）． （1）当时，求抛物线与轴的交点坐标； （2）若抛物线与轴只有一个交点，求的值，并写出该交点的坐标； （3）若抛物线的顶点在直线上，求的值，并求此时抛物线与轴两交点间的距离． 23. 已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）当时，求的值； （3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性练习 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】各选项均为整式方程，只需依据未知数个数与最高次数逐一判断是否为一元二次方程． 【详解】解：选项A：只含1个未知数，最高次数为1，不符合题意； 选项B：只含1个未知数，最高次数为2，符合题意； 选项C：只含1个未知数，最高次数为3，不符合题意； 选项D：含2个未知数，不符合题意． 2. 神舟二十三号载人飞船在2026年5月25日成功发射，我国的航天领域已稳居世界前列，是全球航天格局的重要力量．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，熟悉顶点式的顶点坐标为是解题关键． 将二次函数解析式化为顶点形式 ，即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为． 故选：D． 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根等价于根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 一元二次方程有实数根， ∴根的判别式， 方程中，代入得 ， 即， 解得． 5. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出平移前的顶点坐标，再根据平移方式可得平移后的顶点坐标． 【详解】解：∵平移前抛物线的解析式为， ∴平移前的顶点坐标为， ∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的顶点坐标为，即． 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的抛物线的解析式为； 故选：B． 7. 抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当或时， C. 顶点的坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线一般式配方为顶点式，再结合开口方向、与轴交点判断各选项正误． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点的坐标为，故A、C正确． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 令，得， 因式分解得， 解得，． 结合开口方向，可知当或时，，故B正确． 8. 一架无人机沿竖直方向执行航拍任务，其飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论 ①无人机起飞2秒后的高度是； ②无人机从起飞到落地经过的路程是； ③无人机起飞3秒时达到最高点； ④当时，无人机的高度． 其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 由图象可知，点，，在抛物线上，顶点为，设函数解析式为，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可． 【详解】解：由图象可知，点，，在抛物线上，顶点为， 设函数解析式为 将代入得：， 解得：， ∴． ①令，则，故①错误． ②无人机从起飞到落地经过的路程应为该无人机从上升到落下的长度，故为，故②正确； ③∵顶点为， ∴无人机起飞3秒时达到最高点，故③正确； ④∵开口向下，对称轴 ∴离对称轴越近，函数值越大 ∵与关于对称， ∴：上升，越来越大， ：下降，越来越小 在内，函数最小值出现在两端，和 ∴ ∴两端点都大于20，中间都比端点高，故④正确； 综上所述结论正确的有②③④. 故选：C． 9. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 10. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转角得到，此时点D落在的延长线上，连接，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的旋转问题，涉及勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质．过C作于F，由，知是等腰直角三角形，可得，即得，，再由旋转性质可得，，，证明，根据勾股定理得 【详解】解：过C作于F，如图， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 将绕点B顺时针旋转角得到， ，，， ， ， ， ； 故选： 11. 如图，为等边三角形，点D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接．已知，的周长是15，则的边长是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质和等边三角形的性质与判定，利用旋转前后图形全等，得到线段相等，即，，再结合的周长是15，得，故，即可解题． 【详解】解：绕点逆时针旋转，得到， ∴，， 为等边三角形， ， ， ∵的周长是15， ∴， ∴， ∴， 的边长为， 故选：C． 12. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故①正确，符合题意； ∵， ∴铅球到达最高点时的高度为， 故②错误，不符合题意； 当时，， 解得，， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知点的坐标，结合平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标变化规律计算对应对称点的坐标. 【详解】解：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横、纵坐标都分别互为相反数. ∵点的坐标为 ∴ 对称点的横坐标为的相反数，纵坐标为的相反数 ∴ 所求对称点的坐标为． 14. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出关于的方程解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两个实数根，可通过根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ 一元二次方程的一般形式为，其中，，, ∴ 根据根与系数的关系，两根之和，两根之积， 将上述结果代入代数式，计算得． 16. 某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为，根据题意列出方程为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降低的百分率为x，根据某种药原来每瓶为40元，经过两次降价，现在每瓶售价25.6元列出方程，解方程即可． 【详解】设平均每次降低的百分率为x，根据题意得：40（1﹣x）2=25.6． 故答案为40（1﹣x）2=25.6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 17. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 【答案】##94度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，可求出，进而得出，然后利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， ． 18. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线．结合图象，下列说法中：①；②；③：④对于任意实数，都有；⑤若且，则；⑥若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的有__________ 【答案】 ④⑤⑥ 【解析】 【分析】由抛物线开口方向确定 的符号，由对称轴确定 的关系，由与 轴交点确定 的符号；利用 时的函数值及 判断 的符号；利用顶点坐标是最小值点判断不等式；利用对称性判断 ；利用函数最小值与直线位置关系判断方程根的情况． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线过点， ∴， 将代入得，即， ∴， ∴， ， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，函数取得最小值， ∴对于任意实数，都有， ∴， 即，故④正确； 若， 则， 即对应的函数值相等， ∵， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴，故⑤正确； 若顶点坐标为，则函数的最小值为， 方程可变形为， ∵， ∴直线在抛物线最低点下方，无交点， ∴方程没有实数根，故⑥正确； 综上，正确的有④⑤⑥． 三、解答题（本大题共8小题，共46分） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法，即可求解； （2）利用公式法，即可求解； （3）利用配方法，即可求解； （4）利用直接开平方法，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【小问4详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 20. 在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______； （2）这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数； （3）根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数． 【答案】（1）40，25 （2）3，3，3 （3）估计暑期该校七年级学生读书的总册数为1200册 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数，众数和平均数，利用样本估计总体： （1）利用条形图计算总人数，利用1减去其他百分数求出的值； （2）根据众数，中位数和平均数的计算方法，进行求解即可． （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：； ， ∴； 故答案为：40，25； 【小问2详解】 3册的人数最多，故众数为3， 将数据排序后，排在第20和第21位的数据均为3，故中位数为3， 平均数为： 【小问3详解】 （册）． 21. 某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元． （1）直接写出与的函数关系式； （2）求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少； （3）若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（） （2）（）；当时最大，最大利润为元 （3）售价定为元时利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据销量随降价的变化规律列函数关系式即可； （2）利用总利润、单件利润、销售量的关系构建二次函数，再结合二次函数性质求最大值即可； （3）先由销量限制确定x的取值范围，再根据二次函数的增减性求最大利润即可． 【小问1详解】 解：∵ 原销量为200件，售价每降低1元多售出20件，降价x元， ∴每天的销售量为y 与的函数关系式，即（）． 【小问2详解】 解：∵ 单件利润为元，销量为件， ∴ （）， ∵， ∴ 抛物线开口向下，函数有最大值． 对称轴为， ∵ ， ∴ 当时，W取得最大值． 最大值为（元）． 【小问3详解】 解：由题意得，即，解得， 又∵ ， ∴ ， ∵开口向下，对称轴为， ∴在范围内，W随x的增大而减小． ∴当时，W取得最大值，最大值为4500元． 此时售价为（元）． 答：售价应定为45元时利润最大，最大利润为4500元． 22. 已知抛物线（为常数）． （1）当时，求抛物线与轴的交点坐标； （2）若抛物线与轴只有一个交点，求的值，并写出该交点的坐标； （3）若抛物线的顶点在直线上，求的值，并求此时抛物线与轴两交点间的距离． 【答案】（1）和 （2）的值为，该交点的坐标为 （3）的值为，抛物线与轴两交点间的距离为 【解析】 【分析】（1）由，可得抛物线解析式为，即可求解； （2）由抛物线与轴只有一个交点，可得，即可求得的值，再求出与轴的交点的坐标即可； （3）由抛物线，可得抛物线的顶点坐标为，代入，即可求得的值，再代入，可得抛物线与轴的交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为和． 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴抛物线与轴两交点间的距离为． 23. 已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）当时，求的值； （3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】（1）该抛物线顶点的坐标为 （2）10 （3）1 【解析】 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； 【小问3详解】 解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $