江苏南京市宁海中学2026-2027学年高三年级上学期10月阶阶段限时训练数学试题

宁海中学高三年级阶段限时训练（数学） 2026.10.20 一、单项选择题 1.B2.B3.A4.C5.C6.B7.C8.B 二、多项选择题 9.BC 10.ABD 11.ABC 三、填空题 12.613.114. 4V3 四、解答题 Q b →sinB=bsind l5.答案：(1)由正弦定理得：sin A sin B a 代入已知条件V3 asin B+bcos A=b中，得：V3 bsin A+bcos A=b, 因为b≠0，两边同除以b:V3sinA+cosA=1, 两边同除以2：2 A+亚-5→A=2 因为三角形ABC,.66 3 …5分 (2)方法一：利用正弦定理与三角恒等变换 2元 A= B+C=I 由(1)知3， 3 1 sin Bsin C= 4 sin Bsin3-B4.层得， s2csB- -sin B 4 2 sin B cosB- inB=1 4. 两边同乘4：2W3 sin Bcos B-2sin2B=1, 3sin 2B-(1-cos2B)=1 3sin 2B+cos2B=22sin 2+-2m28+8}- 66, B=π 解得6， B=C=I 6,即C=b=3, 1 2m9N5 S△MBc=7×3x3xsin 2 34… ……13分 注：求出B第二问给4分 方法二：利用两角和差公式与余弦定理 2π A= B+C=T 由(1)知： 3, =3, π1 cos(B+C)=cos 32 cos BcosC-sin Bsin C-1 即 1 sin Bsin C= 4,代入上式得： cos B cosC=3 4 cos(B-C)-cos BcosC+sin BsinC-3 =1 44 B-C=0→B=C=T→b=c=3 6 Samc=besindx3x3x9 1 2 24 …13分 注：求出B第二问给4分 16.答案：以O为原点，OB所在直线在x轴， 在底面内过O点作垂直于OB的直线在y轴，OE所在直线在z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 0-Xz. E D 1 =4 对B F 由题题意，圆柱底面半径R=OA=V5,高h=AD=3】 可符各点华标0(0,0.0，E(0,03).B(V5,00),A-5,00）.D(5.0,3) 33) 353。 2.4 G 由题意得， (1)证明：BF⊥EG, 计算向量BF和EG, G03)0 求点积： :.BF⊥EG,即BF⊥EG」 …6分 (2)求二面角的正弦值 设平面ADF的法向量为%=(x,,)】 AD=(0,0,3) F- 353。 .0 22 D=3%=0乃F=35x+3 2x+2=0 令=1，则4=-V5,名=0，=(1-5,0) 设平面EFG的法向量为”=(：，少，3)， EG= 23+2-32,=0→V5x,+3%2-62,=0 gG=33.3 4x+4-32,=0→3W5x,+3,-12,=0 令5=5，则⅓=1,2=1，元=(5，小 计算二面角：设平面ADF与平面EFG所成二面角为0， :%=0,%1%→0=→sin9=1 2 故平面ADF与平面EFG所成二面角的正弦值是1.…15分 注：每一个法向量给3分 17.(1)X∈(0,10,20,30) P(X=0)- .120 P(X=10)= CC3_21_7 C。12040 6321 p(X=30)=C 357 12040 12024 所以X的分布为 X 0 10 20 30 1 7 21 7 120 40 40 24 8分 E(X)=0x+10x 20x21 =21 所 120 40 40 30 24 10分 (2)记“该同学仅答对1道题”为事件M. 19 ∴这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为90 …15分 f)=e-0=e支.f=g-x.f0=-1 声线=0%的装来e-引-e--) 即2(e-1)x-2y+1=0 …4分 (2)方法一： 因为f()=e-ar'-x-2a≥0在区间[0，+o）上恒成立， as/e'-x 所 x2+2 /min 6分 ◆8（小cx g0w)-c-1r+2-(e-2x x2+2,则 (x2+2)月 ◆h()=(e-lx+2-(e-2x,则()=re+2x 当x≥0时，h()≥0，h()单调递增，h()≥h(0)=0, 所以8()≥0，所以8()单调递增， g6=go)-支 所以2.10分 方法二：f()=e-x-r-2a≥0在区间0，+o上恒成立. 由f0)=1-2a≥0得，a≤2 …6分 当a≤之时，f"(x)=e-2ax、, f"(x)=e*-2a 当x≥0时，f”(x)≥0，"(x)单调递增，“(x)≥"(0)=0， ∫'(x)在[0，+∞)上单调递增，所以f'(x)≥f'(0)=1-2a≥0， 所以，f(y在[0，+w）上单调递增， 1 a≤ 综上， …10分 方法三：放缩法 f(x)=e-a2-x-2a≥0区间[0，+∞)上恒成立， a≤ e*-x x2+2min,...... …6分 令8()=e-1-x- 2,则8'(x)=e-1-x g"(x)=e*-1 当x≥0时，8()20,8（在[0,0）上单调道猫。 g(x)≥g（(0)=0.g()在0，+0)上单调递增 s0=0.m-21+号 1+2,当x=0时取等号， e*-x 1 所以x+2)n .1 a≤ 综上， 2 …10分 (3)方法一： -8-号-号-2s.0=1 2 f闭=8-a-24,fo=12如=0，所0=号 …11分 当”2时， -e-号n-e-lge-- 当x<0时，8()<0,8'（在(0,0）上单调递藏。 当x≥0时，8()20,8（四在0，+0）上单调递指。 8()≥8'(0)=0,8()在（-0，+)上单调递增，且8(0)=0， 所以，当x<0时，8()<0，()<0，f(在(0,0)上单调递减， 当x>0时，8()>0，f'(x)>0,f()在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)m=f(0)=1 1 Q= 所以2适合，…13分 1 as. 2时，当0<x<h2a时，f()<0 当 f"()在(0，n20)上单调递减，f"()<f"(0)=0, f()在(0，ln2a)上单调递减， f'(x)<f'(0)=1-2a<0,f(x)在(0，h20）上单调递减， 此时，f()<f(0)=1,合去. 当a≤0时，当x<0时，f"(y)=e-2ar-1<0 ∫()在（-0,0)上单调递减，f'(x)>f'"(0)=1-2a>0, f(x)在（0,0)上单调递增，f()<f(0)=1,合去： 00 2时，当ln2a<x<0时，∫^()>0，"()在（血2a,0)上单调递增， f(x)<f"(0)=0,∫'()在（血2a,0)上单调递减， f'(x)>f'(0)=1-2a>0,f(x)在(n2a,0)上单调递增， 此时，()<f0)=1,舍去 综上， …l7分 方法二： ue号-号2s0-司 32 所以 2 ·恒成立， e"_x-l a≤ 2 当x>0时， +2x 3 min 2 a> x +2x 当x<0时， …11分 e*2 1 e-写42xe-号-je+2到 h(x)=,2 -+2x +2 令 3 ,则 o-e-后+2e-号-je+29-e-2刘 当x>0时，p'()>0,()在(0，+∞)上单调递增，()>p(0)=0, N(x)>0.h(x)在(0，+∞)上单调递增， x→0时， A()→，1 a≤ x2+22,所以 2 …14分 当x<0时，p(x)<0,p(在(-0,0)上单调递减，p()>p(0)=0, h(x)>0.h(x)在(-o,0)上单调递增， 0, h(x)e-x1 a≥ x2+22,所以2. 综上， …17分 1 注：方法二：由洛必达法则得到()的极限值为2，扣2分. 19.解：(1)设k+B+k7=0,则可得k+2k,+5k=0k+2k+k=0k+2k+4h=0 所以k+2k,=0,6=0,所以a,B,7线性相关： …4分 （2)0kg+ka,++k。=0,如果某个k=0,i=1,2,,m, 则k4+ka++ka+k&+…+knan=0 因为任意m-1个都线性无关，所以，，，k1,k1,,k都等于0， 所以这些系数，，，m或者全为零，或者全不为零，。 …9分 ②因为≠0，所以人，，…，1m全不为零， -2a-4a 所出4网+46++.a-0g相-专0 6÷j- …13分 +6=0+.=0 所以 E,2m........…...... …17分宁海中学高三年级阶阶段限时训练 (数学) 2026.10.20 命题人：成亮 一、单项选择题 1.若复数z满足z1+)=2i,则z=（) A.1 B.V2 C.V3 D.2 答案：B 2.已知集合A={x|x2+x-2<0},B={x|gx<1},A∩B=() A.(-2,10) B.(0,1) C.(-2,1) D.(-∞，10) 答案：B 3.已知x,y取表中的数值，若x,y具有线性相关关系，线性回归方程为少=0.95x十2.6， 则a=() A.2.2 B.2.4 0 1 3 4 C.2.5 D.2.6 a 4.3 4.86.7 答案：A 4.已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(t,一1)， 若cosa=V5 则tan(a+乃= 4 () A.-3 B.1 C.1 D.3 3 3 答案：C 5.正方形ABCD边长为4，M为CD中点，点N在AD上，BMBN=20,则BN=() A.5 B.2V5 c.5 D.10 答案：C 6.己知0<为<x3<2元，sinx=siny3= 3,则cos(5-5)=() B.9 7 C. 3 D. 3 答案：B 7.新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排 向室外.假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为.已知某款新 风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为>1)，室内空气中颗粒物的浓度与时 刻t的函数关系为⑩=(1一)m+2”。,其中常数为过滤效率.若该款新风机的过滤效率 1010 为当v的值约为1n2+3时，则t=1时室内空气中颗粒物的浓度是t=2时的多少倍 (参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986) 3 B.2 C. -2 D. 2-3 答案：C 8.若函数w)=cosx,函数yf(x)一bw)十c,在区间[0,2恰有3个零点，则b的取值范围 是 A.(0,2) B.(-2,0] c. D.+) 答案：B 二、多项选择题 9.己知复数z=2十i,Z1=x十yi(x,y∈R)i为虚数单位)，z为z的共轭复数，则下列结论正 确的是 ( A.z的虚部为一i B.z对应的点在第一象限 c.z=1 D.若z一z≤1，则在复平面内z1对应的点形成的图形的面积为 2元 答案：BC 10函数=o>0在区何[一上为单调函数，图象关于直线x=对称，则( ) A.w=3 B.将函数)的图象向右平移2π个单位长度，所得图象关于y轴对称 C.若函数)在区间(a,145上没有最小值，则实数a的取值范围是(-2元14奶 9 9’9 D.若函数fx)在区间(a, 4上有且仅有2个零点，则实数4的取值范围是[一4， 31 0) 答案：ABD 1山.设a为常数，函数0满足0)号九+)=a-)+a一，则（)。 A.Ra)-1 Bx)1恒成立 C.fx+y)=2fx)fv) D.满足条件的x)不止一个 答案：ABC 三、填空题 12.编号为1,2,3,4的四位同学，分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上，每位座 6 位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为 答案：6 13.己知非零向量，b的夹角为135°，且d=V2,c=a十xb(x∈R),c的最小值 为 答案：1 14.如图，在△ABC中，AB⊥AC,且∠BAM=30°，AM= 2.则AB:AC的最小值为 B 答案：4V3. 四、解答题 15.（本题13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知1V3 asinB+bcosA= b. (1)求A: (2)若b=3,sinBsinC=1,求△4BC的面积. 4 答案：(1)答案：（1)由正弦定理得：a-b一nB=bm4 sin A sin B 代入已知条件√3ainB+bcosA=b中，得：√3 bsin A+bcosA=b 因为b≠0，两边同除以b:V3sinA+cosA=1 两边同除以2：5、4 号6oA=月>m4+3- Γ2 62 因为三角形ABC,4+”=5江→A=2红 66 3 5分 (2)方法一：利用正弦定理与三角恒等变换 由1)知4=2π：B+C= 3 3 1 ·.'sin BsinC= 4 “乃sm(胥-)=展开得：n(5c。 4 2 nB)= 2 4 √3 1 1 sin B cos B-sin2 B= 2 4 两边同乘4：2W3 sin B cos B-2sin2B=1 > ..3sin2B-(1-cos 2B)=1 5n2B+c0s2B=2→28m(2B+7=2in(2B+爱=l 0<B<F-<2B+<5π 36 66 解得B=刀 6 :B=C=T,即c=b=3 6 2π9v3 ∴.SA4BC= ×3×3×Sin 2 34 13分 注：求出B第二问给4分 方法二：利用两角和差公式与余弦定理 由(D知：A=2红 6+ca 3 、π1 ∴.cos(B+C)=cos 32 1 即cos Bcos C-sin Bsin C= 2 :sin BsinC=,代入上式得：cos BcosC=3 4 4 ..cos(B-C)=cos B cosC+sin BsinC= 3,1 +=1 44 Ce-C :B-C=0→B=C=T一b=c=3 6 SMnc =IbcsinA=1x3x3x1393 2 2 24 13分 注：求出B第二问给4分 16.(本题15分)如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OA= BF=3,AD=3, 点G是线段BF的中点， (1)证明：BF⊥EG; E (2)求平面ADF与平面EFG所成二面角的正弦值. 答案： 8 以O为原点，OB所在直线在x轴， 在底面内过O点作垂直于OB的直线直y轴， OE所在直线在z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz。 由题题意，圆柱底面半径R=OA=V3,高h=AD=3. 可得各点坐标O(0,0,0,E0,0,3,B(V3,0,0,AV30,0D3,0,3 由题意得， F 33 （1)证明：BF1EG .BF⊥EG,即BF⊥EG 6分 (2)求二面角的正弦值 设平面ADF的法向量为n=(:,,) AD=(0,0,3AF= 333。】 AD=3=0,元AF_3 ，3 2￥+2=0 令x=1,则y=-3,=0∴2=1，-3,0 设平面EFG的法向量为=(x,y,二2) %示=33 x3+号y2-32=0→V3x+3y-6z2=0 2 2 ,%G-33.3 x2+ 41 y3-3z2=0→3W3x,+3y,-12z,=0 令x=V5,则y2=1,=12=（3,11) 计算二面角：设平面ADF与平面EFG所成二面角为O 7=0万1元→6-号>n0-1 故平面ADF与平面EFG所成二面角的正弦值成1 9 15分 注：每一个法向量给3分 17.（本题15分)为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党 党史知识'竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类 试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两 类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知某同学A类试题中有7道题能答 对，而他答对各道B类试题的概率均为号 (1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分 布和期望： (2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率. (1)X∈{0102030} PCX-0)-C3=1 C120 P=10=Cc=21=7 C品12040 PX=10)= cC_63_21 C品12040 PX=30=C-35-7 Ci12024 所以X的分布为 X 0 10 20 30 7 21 7 P 120 40 40 24 8分 所以B00=0×,1+10×7+20x21+30×7=21 120 40 40 24 .10分 (2)记“该同学仅答对1道题”为事件M a09+8cg8 103390 “这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为9 90 15分 18.(本题17分)己知函数)=e-0x_-2. 32 （1)当a=0时，求曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程； (2)若在[0，十o)上单调递增，求a的取值范围： (3)若x)的最小值为1，求a的值. 10 (1))=e- =e-号 f(x)=ex-x, f1)=e-1, 所以曲线y=)在点(1)处的切线方程y-e-2=e-1x一1)， 即2(e-1)x-2y十1=0.4分 (2)方法一： 因为fw)=ex-2-x一2a20在区间[0，+o)上恒成立， 所以- ……6分 令8w2则gwe-十2）e)2r (x2+2)2 令hx)=(ex-1)x2+2)-(ex-x)2x,则hx)=x2ex+2x, 当x≥0时，(x)20,hx)单调递增，h(x)≥h(0)=0, 所以g'(x)≥0，所以g(x)单调递增， g060u=g0-号 所以区 10分 2 方法二：f=e一2-x一2心0在区间[0，十o)上恒成立， 由0=1-20得， .6分 当a时，f=e-2am-1 "(w)=ex-2a, 当x≥0时，"(x)20,(x)单调递增，(x)2f(0)=0, fx)在[0，十o)上单调递增，所以x)2f0)=1一220， 所以，x)在[0，十o)上单调递增： 综上， -2 10分 方法三：放缩法 f(x)=ex-axr2-x-2a20区间[0，十o)上恒成立， 11 r-x、 x2-2)mmn .6分 令g00-g-1x号则ge0-6-1-x g"(w)=ex-1, 当x≥0时，g"(x)20,g'(w)在[0，十o)上单调递增， 8'(w)≥8(0)=0，gx)在[0，十o)上单调递增， B)2gO=0,所以e一21+，，当x=0时取等号易 所以片 x2+2 综上 .10分 (3)方法一： 网e子至a,0=1, w=e-a2-【-2af0=1-2a=0,5所以a=}11分 2-1 当a}时0-名至心)g 令g)=e--x-1,则gw)=e一x-1,g6)=e-1, 2 当x<0时，g"(x)<0,g(x)在(-o,0)上单调递减， 当x≥0时，g"(x)≥0，gw)在[0，十0)上单调递增， 8g(x)2g'(0)=0,gx)在(-o,+o)上单调递增，且g(0)=0, 所以，当x<0时，gx)<0,fx)<0,x)在（一o,0)上单调递减， 当x>0时，g)>0,w)>0,fw)在(0，+o)上单调递增， 所以fx)min=0)=1. 所以=)适合， 13分 当a心}时，当0x<n2a时，0， (x)在(0，n2a上单调递减，(x)<(0)=0, f(x)在(0，n2)上单调递减， fx)<f0)=1-2a<0,fx)在(0，h2)上单调递减， 此时，x)<f0)=1，舍去 当a0时，当x<0时，w)=ex-2ax-1<0, fx)在(-o,0)上单调递减，fx)>f(0)=1-2a>0, 12 fw)在（一o,0)上单调递增，x)<0)=1,舍去： 当0<a<时，当h2a<x<0时，e)>0,f在2a0)上单调递增， f(x)≤(0)=0，fx)在(n2a,0)上单调递减， f(x)>f(0)=1-2a>0,)在(ln2a,0)上单调递增， 此时，x)<f0)=1,舍去. 综上，a 17分 方法二： 0-号号2，且0=1 所以)=e-:--2之1恒成立， 32 e--1 当x>0时，( 2)mm; 3+2 3 er-x2 1 当x<0时，2( 2 ) .11分 x 3+2x er- e-0写2w0-e-1e+习 令hx)= 2三，则6)= 3+2 x C o60=e-+2到-e1e+2,则p国-e+a. 当x>0时，p'(x)>0,pw)在(0，+o)上单调递增，0(x)>0(0)=0, (x)>0,h(x)在(0，十o)上单调递增， 0时，@-}所 14分 当x<0时，p'x)<0,p()在（一o,0)上单调递减，p(x)>p(0)=0, h(x)>0,hx)在（一o,0)上单调递增， 0,所议吗 1 综上，a= 21 …………………….17分 注：方法二：由洛必达法则得到h(②)的极限值为，扣2分。 13 19.(本题17分) 对于给定的正整数n,记集合R={a=(x1,x2,x3,…,x),x∈R,j=1,2,3,…,, 其中元素称为一个n维向量.特别地，0=(0,0，…，0)称为零向量， 设k∈R,a=(a1,a,…,an)∈R,=(b1,b,…,b)∈R,定义加法和数乘：ka= (k1,k,…,kn),a+B=(a1+b1,a2+b2,…,+b). 对一组向量1,2，，（∈N+,s≥2），若存在一组不全为零的实数1，k2,,k, 使得1十22十…十k=0,则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关. (1)对=3，判断下列三个三维向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. a=(1,1,1),B=(2,2,2),Y=(5,1,4): (2)己知m(心2)个向量1，，.，m线性相关，但其中任意m一1个都线性无关，证明： ①如果存在等式k11十k22十…十km0m=0(k,∈R,i=1,2,3,·,m,则这些系数1， ,,km或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式11十k2a2十…十kmm=0,h1十12u2十…十1mCm=0(k∈R,h∈R,i= 1,2,3,,m同时成立，其中140则_-=@ I1 12 lm (解：(1)设a十B+ky=0,则可得+2k+5k=0k1+2k+k=0k1+2k+4k:=0,所 以k1+2k=0,k3=0,所以a,B,Y线性相关： 4分 （2)①k1c1十k22十…十km0m=0,如果某个=0，i=1,2,…,l, 则k11十k22十..十k-1-1十k+10+1十…十kmCm=0, 因为任意m一1个都线性无关，所以k1,k2,…1,+1,···,km都等于0， 所以这些系数，，···，km或者全为零，或者全不为零，9分 ②因为10，所以1,2，···，1m全不为零， 所以由1十1红十+h矿-0可得4=-2-号2， f代入a1十ka十km=0可得k(号 a+k2++kQ=0, 6- 所以(-k+6风++（会+a-0. 13分 14 0=0 所以在==…= 412 17分 15 宁海中学高三年级阶段限时训练（数学） 2026.10.20 一、单项选择题 1．若复数z满足，则（ ） A．1 B． C． D．2 2．已知集合，，（ ） A． B． C． D． 3．已知x，y取表中的数值，若x，y具有线性相关关系，线性回归方程为，则（ ） x 0 1 3 4 y a 4.3 4.8 6.7 A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ） A． B． C． D．3 5．正方形边长为4，M为中点，点N在上，，则（ ） A． B． C．5 D．10 6．已知，，则 （ ） A． B． C． D． 7．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，当v的值约为时，则时室内空气中颗粒物的浓度是时的多少倍（参考数据：，） A． B．2 C． D． 8．若函数，函数，在区间恰有3个零点，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知复数，（，）（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A．的虚部为 B．对应的点在第一象限 C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 10．函数（）在区间上为单调函数，图象关于直线对称，则（ ） A． B．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称 C．若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是 D．若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 11．设a为常数，函数满足，，则（ ）． A． B．恒成立 C． D．满足条件的不止一个 三、填空题 12．编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为____________． 13．已知两个非零向量和的夹角为135°，且，（），则的最小值为________． 14．如图，在中，，且，．则的最小值为________． 四、解答题 15．（本题13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若，，求的面积． 16．（本题15分）如图，四边形是圆柱的轴截面，点F在底面圆O上，，，点G是线段的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 17．（本题15分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为． （1）若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望； （2）若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 18．（本题17分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）若的最小值为1，求a的值． 19．（本题17分） 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量． 设，，，定义加法和数乘：，． 对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． （1）对，判断下列三个三维向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ，，； （2）已知m（）个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式（，，2，3，…，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，，2，3，…，）同时成立，其中，则． 学科网（北京）股份有限公司 $