1.3.1 空间直角坐标系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

年级

高二年级

学科

数学

教师

课题

1.3.1  空间直角坐标系

教学目标

1.经历类比平面直角坐标系建立空间直角坐标系的过程，认识空间直角坐标系的构成要素，会画空间直角坐标系，掌握空间直角坐标系中点和向量的坐标表示，发展数学抽象与直观想象素养。

2.能在具体的空间图形（长方体模型）中确定点和向量的坐标，掌握坐标轴上、坐标平面内点的坐标特点，体会由二维到三维的类比推广与化归思想，提升数学运算素养。

3.通过实际情境感受建立空间直角坐标系的必要性，在探究活动中养成严谨求实的科学态度和合作交流的学习习惯。

教学重难点

1.空间直角坐标系的建立过程与结构要素（原点、坐标轴、坐标平面、单位正交基底）（重点）。

2.空间直角坐标系中点和向量的坐标表示，以及求点和向量的坐标的方法（重点）。

3.由平面直角坐标系类比推广到空间直角坐标系，理解坐标(x,y,z)的双重意义（难点）。

教学过程

教师活动

学生活动

导入新课

教师：我们已经在必修课程中学习了平面向量，并且知道，在平面内选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，就建立了一个平面直角坐标系（如图1）。这样，平面内的每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）来表示，从而把平面向量的运算化归为数的运算。

图1  平面直角坐标系与单位正交基底

学生回顾平面向量与平面直角坐标系的联系，思考教师提出的问题，感受建立空间直角坐标系的必要性，明确本节课要研究的问题。

教师提出问题，学生思考、讨论交流：

问题1：在平面直角坐标系中，平面内的每一个点和向量都可以用一对有序实数表示。那么，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用上一节学过的空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？

问题2：如果可以，空间直角坐标系应该怎样建立？空间中的点和向量又该如何用有序实数来表示呢？

教师：类比是研究新问题的有力工具。本节课我们就类比平面直角坐标系的建立过程，研究空间直角坐标系及其坐标系中点和向量的坐标表示。

新课讲授  一、空间直角坐标系的建立

教师：类比平面直角坐标系的建立过程，在空间选定一点和一个单位正交基底。以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系（如图2）。

图2  空间直角坐标系与单位正交基底

教师归纳知识点：

1.空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系。其中点叫做原点，都叫做坐标向量。

2.坐标平面：通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分。

3.画法要求：画空间直角坐标系时，一般使（或），。

4.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。

学生类比平面直角坐标系的形成过程，理解空间直角坐标系的构成要素；用右手体验并判断右手直角坐标系，练习画空间直角坐标系。

教师引导学生结合图2用右手做出判断，体会“拇指—食指—中指”与“x轴—y轴—z轴”的对应关系。

新课讲授  二、空间点的坐标与空间向量的坐标

问题3：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？

教师引导学生结合图3分“点”和“向量”两种情况进行探究：

图3  空间直角坐标系中的长方体

在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作。其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标。

有序实数组叫做向量在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作。

教师强调：这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示。符号具有双重意义，它既可以表示一个点，也可以表示一个向量，在表述时要注意区分。

学生在教师引导下，对照长方体图形，分别探究空间点与空间向量的坐标表示过程，理解坐标(x,y,z)的意义，并辨析符号(x,y,z)表示点与表示向量时的区别。

新课讲授  三、点和向量的坐标的确定

设点，和在轴、轴和轴上的坐标分别是，和，那么点（向量）的坐标为。

学生借助几何直观探究垂面法确定坐标的方法，独立完成例1的求解，讨论归纳坐标轴上、坐标平面内点的坐标特点。