2.2.2直线的两点式方程 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

年级

高二年级

学科

数学

教师

课题

2.2.2　直线的两点式方程

教学

目标

直观想象

通过“两点确定一条直线”的几何背景，经历由两点坐标求直线方程的探究过程，体会几何要素代数化的思想，发展直观想象素养。

逻辑推理

能利用斜率公式和直线的点斜式方程推导直线的两点式方程，理解两点式方程是点斜式方程的变式，掌握其适用范围。

数学运算

理解直线的截距式方程是两点式方程的特殊情形，能根据条件选择适当的方程形式求直线方程，并完成不同形式方程间的互化。

数学抽象

能从直线方程四种形式的共性与个性中抽象出确定直线的两个基本要素，进一步体会坐标法研究几何问题的基本思路。

教学

重难点

1.掌握直线的两点式方程的推导过程及其适用范围(重点)。

2.理解直线的截距式方程与两点式方程的关系，掌握截距式方程的适用范围(重点)。

3.能根据条件选择适当的方程形式求直线的方程，注意分类讨论思想的运用(难点)。

教学过程

教师活动

学生活动

导入新课

教师：我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何要素有两类：一类是直线上的一点和直线的倾斜程度（斜率），由此我们建立了直线的点斜式方程与斜截式方程；另一类呢？

教师：“两点确定一条直线”。如果直线l经过两点P

教师：“两点确定一条直线”。如果直线经过两点，（其中），你能根据上节课所学的知识与方法，求出

学生回顾：确定一条直线有两种方式：①直线上一点和直线的斜率；②两点确定一条直线。

由这两点坐标所确定的直线方程吗？

教师：引导学生回顾：经过两点，，且时，直线的斜率公式是什么？

教师：点斜式方程只用了其中一个点和斜率，能否把另一个点也“用进去”，直接用两点坐标写出直线方程？

学生：由斜率公式，斜率。

学生思考并尝试用点斜式写出方程。

新课讲授 一、直线的两点式方程

图1

教师：如图1，设点，（其中）是直线l上的两个定点。求直线l的方程。

教师（引导）：因为，所以直线l的斜率存在，且

教师：任取，中的一点，例如取点，由直线的点斜式方程，得

整理，得

这就是经过两点，（其中）的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。

教师（追问）：两点式方程能不能表示平面内的所有直线？

师生（共同分析）：①当时，直线与x轴垂直，倾斜

学生画出图形（图1），明确已知直线上两点的坐标，尝试独立推导。

学生：把两点坐标代入斜率公式求出斜率k，再套用点斜式方程。

学生分组讨论、交流，代表汇报推导过程。

学生讨论后明确：①当直线与x轴垂直（两点的横坐标相等）时斜率不存在；②当直线与y轴垂直（两点的纵坐标相等）时斜率为0，这两种情形都不

角为90°，斜率不存在，直线没有两点式方程，此时直线方程为

②当时，直线与y轴垂直，斜率为0，直线也没有两点式方程，此时直线方程为

因此，两点式方程只适用于斜率存在且不为0的直线。若把两点式方程化为整式形式

则它对两点的坐标没有限制，可以表示过任意两点的直线（两点可以重合的情形除外）。

例1　已知△ABC的三个顶点A(-5,0)，B(3,-3)，C(0,2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程。

图2

解：如图2，过B(3,-3)，C(0,2)的两点式方程为

即

这就是边BC所在直线的方程。

边BC上的中线是顶点A与边BC的中点M所连线段。由中点坐标公式，得点M的坐标为

即点M的坐标为。过A(-5,0)和点M的两点式方程为

能用两点式表示。

学生独立完成例1，两名学生板演，其余学生在练习本上完成，然后互相评析。