第05讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题（知识清单+3类技巧总结+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第05讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题 第一部分 知识梳理 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分离参数（注意分离参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 第二部分 题型精讲 方法01 分离变量法 【典例1】（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）已知． (1)讨论函数的单调性； (2)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）对原函数求导，根据导数的正负区间，直接判断出函数的单调递减和递增区间； （2）（i）代入求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程； （ii）分离变量，用导数求函数最值可得答案. 【详解】（1）对求导得， 令，解得， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）当时，， （i）当时，，所以切点坐标为， 由（1）可知，当时，，切线斜率； 所以曲线在点处的切线方程为，即； （ii）不等式在上恒成立， 代入得到对任意的恒成立， 因为，所以，即对任意的恒成立， 令，则原问题转化为求在上的最小值，即需要满足. 对求导得， 令，求导得， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围是. 【典例2】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求切点，再求导得到切线斜率，由点斜式求出切线方程； （2）先求导，根据导函数符号确定单调区间，再判断并计算函数极值； （3）采用分离参数法，转化为求函数的最大值，利用导数求出新函数的最值，进而得到参数的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以. ，所以切线的斜率. 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）若，则，定义域为，所以. 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）若对任意的恒成立，即在恒成立，变形可得. 令，所以 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故，所以，即的取值范围是. 【变式1】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的最大值； (2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的最大值. （2）对给定恒成立的不等式分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，因此， 所以函数的最大值为0. （2）当时，不等式， 令函数，则，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以a的取值范围是. 【变式2】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】(1) 先确定函数定义域，对函数求导后因式分解，结合参数的取值分类讨论导数符号，即可得到函数单调性. (2) 先化简已知不等式，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造新函数求其最大值即可得到参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为. . ∵ ，∴ . 当时，, 故, ∴ 在上单调递减. 当时，令，解得. 当时，, 故，单调递减. 当时，, 故，单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）∵ ，, ∴ , 化简得， 即对恒成立. 设， , 则. 令，解得. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. ∴ . ∴ ，即. 故的取值范围为. 【变式3】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）由得到，整理得到，构造函数，则，求，利用导数法求出的单调性，利用单调性得到的最大值，从而得到实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，，． 所以切点为，切线斜率为0． 因此切线方程为． （2）由题意，对任意，都有，即， 因为，两边同除以，整理得，所以， 设，题意等价于， 求导得， 令，得，所以在区间上单调递增， 令，得，所以在区间上单调递减． 因此在处取得最大值， 所以，实数的取值范围为． 方法02：分类讨论法 【典例1】（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，． (1)求的最值； (2)当时，若存在实数，，满足，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)函数有最小值，无最大值； (2)实数的取值范围为； (3)实数的取值范围为. 【分析】（1）利用导数工具研究其单调性即可求解最值； （2）利用导数工具研究函数的单调性和极值即可由题意得解； （3）将题设等价转换为恒成立，求出函数的最小值即可求解. 【详解】（1）由题，则时，时， 所以在上单调递减，在单调递增， 又时， 所以函数有最小值，无最大值； （2）时，， 则， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有极小值为，有极大值为， 所以当时，若存在实数、、满足， 则实数的取值范围为； （3）当时恒成立，即恒成立， 显然时上述不等式恒成立， 当时，， ， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 【典例2】（25-26高一下·北京延庆·期末）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出函数的导函数并代入得到切线斜率，再算出确定切点坐标，最后用直线的点斜式整理得到切线方程； （2）先对求导得到含参数的导数函数，通过分类讨论的不同取值范围，分析导函数的正负以确定在时的单调性，进而验证是否恒成立，最终筛选出符合条件的的取值范围. 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 因，即切点为 ， 又，则切线斜率 ， 则曲线在点处的切线方程为. （2）当时，对任意，恒成立，则在上单调递增， 又，则当时， ，符合题意； 当时，，分子是开口向下的二次函数， 则存在，使得当时，当时 ， 即函数在处先增后减，当足够大时，增长远慢于负项， 则必然存在 使得 ，不符合题意. 综上，的取值范围是. 【变式1】已知函数，． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递减区间是；当时，单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）先求导得到，分、两种情况，依据导函数的正负判断原函数的单调性，进而划分出单调区间； （2）法1：借助（1）得到的单调性结论，分、、三类讨论：举反例推翻，直接验证成立，求出函数最小值并令最小值解出的范围，最终整合得到取值范围； 法2：对、、分类参数分离构造函数，通过求导分析单调性得到不同区间下的最值与极限情况，从而求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得， 当时，，函数在上单调递减． 当时，令，得， 因在上单调递增， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述：当时，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是，单调递增区间是； （2）法1：当时，由（1）知在上单调递减， ，与恒成立矛盾； 当时，恒成立； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为， 令，得． 综上，实数a的取值范围是． 法2：由恒成立，得． 当时，恒成立； 当时，由恒成立，可得恒成立； 当时，由恒成立，可得恒成立； 设，则， 令得，故当时，，在上单调递减， 故当或时，，在，上单调递增， 所以当时，的最小值为，此时． 当时，，且当时，，此时， 综上，a的取值范围是． 【变式2】（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (3) 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. （2）对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 【变式3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，． (1)若，求的极值点； (2)若，都有，求的取值范围． 【答案】(1)有极小值点，无极大值点． (2) 【分析】（1）求出，判断其符号可得极值点； （2）就和分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， ， 令，则，， 解得，（舍去）， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以有极小值点，无极大值点． （2），， 由基本不等式知， 当时，，， 则函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当时，，， 记， 则是开口向上，对称轴为的二次函数． 又，所以在上单调递减，则. 所以时，，单调递减，， 不符合题意， 综上． 方法03：等价转化法 【典例1】（25-26高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)若函数有一个极值点为，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)在（2）的条件下，设函数，若对，总有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可. （2）求出函数及导数，再按分类求出函数的单调区间即可. （3）等价变形不等式，由时不等式成立确定范围，再构造函数并利用导数确定单调性即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 此时，当时，；当时，， 则是函数的极大值点，符合题意， 所以. （2）函数的定义域为， 求导得，而， 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，由，得或；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，，函数在上单调递减； 当时，，由，得或；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）不等式， 令，依题意，，恒成立， 则，解得，求导得， 当且仅当时取等号，于是函数在上单调递增，， 所以a的取值范围是. 【典例2】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知函数，. (1)若函数在处取得极大值，求实数的值以及的极值； (2)已知，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，极大值，极小值 (2). 【分析】（1）由导函数为0，求出的值，再检验，最后根据函数单调性求极值即可. （2）构造，求导分析其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数最小值大于零，求解即得. 【详解】（1）根据题意，，定义域为， 则. 因为函数在处取得极大值，所以， 解得或2. 当时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 此时为极小值点，不合要求； 当时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 此时为极大值点，为极小值点，符合要求. 综上，，，. （2）根据题意，，定义域为， 则. 因时，则， 由得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，解得，解得， 故实数的取值范围是. 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，不等式对于一切恒成立，求b的取值范围． 【答案】. 【分析】根据不等式恒成立，进行参数分离并构造函数，并用导数求得，即可求b的取值范围． 【详解】因为不等式对于一切恒成立，得，即. 令，. 再令，， 所以在上单调递增，且， 当时，，得，所以在单调递减； 当时，，，所以在单调递增； 所以. 所以，即. 【变式2】（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数，． (1)若在上单调递增，，求实数的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，构造函数并判断函数的单调性，求出的范围，再由构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解； （2）依题意需证成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证. 【详解】（1）因为，所以， 因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 即，即在区间上恒成立， 设，，因为与在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减， 所以，则， 由可得， 令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以的最小值为，则， 综上可得． （2）证明：要证成立，需证成立， 令，则， 再令，显然在上是增函数， 当时，，当时，， 所以，即，即， 当时，，，当，． 所以，得证． 【变式3】（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）设函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，在上单调递减，在和上单调递增． 当时，在上单调递减，在和上单调递增． 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增． (2) 【分析】（1）先求导得，然后分、、、讨论，即可求解； （2）由题不等式恒成立等价于不等式在上恒成立，当时，不等式显然成立，当时，即在上恒成立，设，再利用导数求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）依题意得． ①当时，，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在和上单调递增． ②当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增． ③当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ④当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增． 所以当时，在上单调递减，在和上单调递增． 当时，在上单调递减，在和上单调递增． 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增． （2）当时，不等式恒成立， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式显然成立，此时； 当时，即在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，注意到， 所以当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在时取到最小值为， 所以，所以， 综上，的取值范围为. 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 2．（25-26高三·全国·二轮复习）若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，问题转化为恒成立，求的取值范围. 【详解】设，因为函数总在直线的上方， 所以在上恒成立. 因为， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 由. 故选：C 3．已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先依题意分离参数，再构造函数并探讨其最值，进而即可求出的取值范围． 【详解】由在恒成立， 则，，      令，， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为． 故选：D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知不等式，在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用含参讨论，借助端点值，要使得恒有，则在的区间不能有，从而找到矛盾，即可得到结论. 【详解】由题意可得，在上恒成立， 构造函数，令， 其， 令， 则 当时，有， 所以在上单调递减， ①当时，，故单调递减，，符合题意． ②当时，令，可得当时， ，故，此时，不符合题意． ③当时，令，可得当时， ，且，故， 即，此时，不符合题意． 综上，的取值范围为， 故选：C． 5．（24-25高二下·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，即，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意，则，等价于， 令，因为，所以在上单调递增， 所以， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此， 故选：B 6．（2024·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导可得函数的单调性，即可求解最值，进而即可. 【详解】由在上恒成立，令， 则．令，则， 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 则，所以， 故选:C． 7．已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得在上恒成立，令，求出的最大值即可求解. 【详解】的定义域为， 由在定义域上恒成立，得在上恒成立， 令，， 令得， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以，所以. 故选：A 二、多选题 8．设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】根据题意可得，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题. 【详解】若恒成立，则恒成立， 构建，则， ∵，故，则有： 当，即时，则当时恒成立， 故在上单调递增，则， 即符合题意，故满足条件的正整数为1或2； 当，即时，令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 构建，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， ∵， 故满足的整数； 综上所述：符合条件的整数为1或2或3，A、B、C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 9．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】参变分离，构造新函数，求得单调性即可求解． 【详解】因为在上恒成立，即在上恒成立， 取，所以，显然递增，即， 所以在单调递增，所以， 所以， 故答案为：． 10．（24-25高二下·天津河西·阶段检测）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为_________________. 【答案】 【分析】分离参数，构造函数，结合导数判断函数单调性及最值情况，进而可得参数范围. 【详解】由已知， 不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即函数在处取得最大值为， 所以， 故答案为：. 四、解答题 11．（2026·宁夏吴忠·三模）已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【详解】（1）当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. （2）， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 12．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，结合极值点和韦达定理求解即可； （2）代入，并对函数求导，分析函数单调性，进而结合端点值建立关于的不等式求解. 【详解】（1）对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. （2）由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 13．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 14．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数， (1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值； （2）对于分类讨论，构造函数结合导数判断函数单调性，求得参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 得，由，解得. （2）由题意得，在上恒成立. ①当时，不等式可化为， 令，则， 当时， . 所以函数在上单调递增. 所以在处取得最小值 ， 故实数的取值范围. ②当 时，由得， 此时，不符合题意. 综上，的取值范围为 . B能力提升 15．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知函数，函数的图象与的图象关于轴对称. (1)求函数的解析式； (2)当时，证明：； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)设， 则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，单调递增， 所以，所以. (3). 【分析】（1）利用可求函数解析式； （2）令，求导，利用基本不等式可求函数的最小值，可得结论； （3）由题意得，求导，利用的单调性可得，即对恒成立，令，利用导数求得的最小值，进而可求得实数的最大值. 【详解】（1）因为函数的图象与的图象关于轴对称， 所以. （2）略. （3）由得， 即， ， 所以在上单调递增，所以， 即对恒成立. 令， 当时，， 所以在上单调递增， 所以，故，解得， 即实数的最大值为. 16．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若函数在处的切线平行于直线，求实数的值； (2)若方程在上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】第一问先利用导数求切线斜率，再利用两直线平行，斜率相等构建等式求解即可. 第二问把方程在上恰有3个不相等的实数解转化为新函数有3个零点，讨论单调性，满足极值点在上，极大值大于零，极小值小于零，，，构建不等式组求解即可. 第三问不等式对恒成立，分离参数转化为，求新函数的最小值即可. 【详解】（1），，函数在处的切线斜率为， 又因为函数在处的切线平行于直线，所以， 即. （2）即整理得， 因为方程在上恰有3个不相等的实数解， 所以在上恰有3个不相等的实数解， 令，即时，恰有3个零点； 时，恒成立，单调递增，不可能有3个零点； 时，令得或， 令得, 所以在和时单调递增，在时单调递减； 因为时，恰有3个零点， 所以化简得 求解得取交集得. （3）不等式对恒成立，即， 化简有， 因为所以，即， 令  ，， 令  ，恒成立， 即时，单调递增， 又因为，所以时恒成立， 即时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，综上：. 17．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若，都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是定义域为的奇函数，结合的表达式可得定义域内的解析式； （2），都有转化为对任意恒成立，通过求解的最大值与最小值，可得. 【详解】（1）函数是定义域为的奇函数，所以. 设，则，， 由是定义域为的奇函数可得. 综上所述 （2），都有， 所以对任意恒成立. 时，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 则时，取得极小值也是最小值， 且当，当，所以， 又因为奇函数，则当时， 所以，即实数m的取值范围为 18．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知函数． (1)若的切线经过点，求此切线的方程； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设经过点的切线的切点为，利用导数联立方程组，即可求出，进而得出切线方程； （2）当时，，等价于，构造函数，利用导数判断单调性，分析函数最值，即可得到结果. 【详解】（1）由题知，定义域为， 且， 设经过点的切线的切点为， 则，解得， 所以切线斜率为， 所以此切线的方程为，即. （2）当时，， 等价于， 令，只需， 因为， 所以令，令， 则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 又，， 且， 所以存在唯一满足，使得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值在或处产生， 则因为，， 且，即， 所以， 因为，即， 所以， 所以的取值范围为. 19．（25-26高二下·北京西城·期末）已知函数，，，且曲线在点处的切线斜率为0． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算法则进行求解即可； （2）根据函数的单调性与导数的正负性的关系进行求解即可； （3）根据函数最值的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 因为曲线在点处的切线斜率为0， 所以； （2）函数的定义域为全体正实数， 由（1）可知：， 当时，解得，所以函数在上单调递增； 当时，解得，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由（2）可知：函数单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的最小值为， 要想对任意，都有恒成立， 只需， 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $第05讲拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题 第一部分知识梳理 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一 个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式： 步骤： ①分离参数（注意分离参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max;若a<f(x)对x∈D恒成 立，则只需a<f(x)mm ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成 立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，△<0或a<0,△<0)求解。 3、等价转化法 当遇到f()≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数 F(x)=f(x)-g(x)或者“右减左”的函数H()=g(x)-f(x),进而只需满足 F(x)mm≥0，或者H(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的 问题。 第二部分题型精讲 方法01分离变量法 【典例1】(26-27高三上江苏泰州阶段检测)已知f(x)=(x-a)e」 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a=1时， (i)求曲线y=f(x)在点(，f()处的切线方程； (i)若不等式f(x)≥x-2在1，+o)上恒成立，求实数k的取值范围. 【典例2】(26-27高三上江苏扬州阶段检测)已知函数 f(x)=ae*-Inx-cos(x-1)(az0),g(x)=Inx-bx+1(bER) (1)若a=1,求曲线y=f()在点(（f()处的切线方程： (2)若b=2,求8(x)的极值： (3)若g(x)≤0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，求b的取值范围； 【变式1】(26-27高三上·上海浦东新-阶段检测)己知函数f(,=nr-ax+l(a∈R). (1)当a=1时，求函数f(x)的最大值： (2)若对任意的x>0,都有f(x)≤2x成立，求a的取值范围. 【变式2】(20z6山东济南模拟预测）已知图数f()-=2r+a-x-1nx+1(aeR). (1)讨论函数f(x)的单调性： 2xeL+o,f(>ar2+1,求o的取值范园. 【变式3】(26-27高三上云南昆明阶段检测)已知函数f(x=血r-2+x,x>0. (1)当a=1时，求曲线y=()在x=1处的切线方程： (2)若对任意x>0,都有f(x)≤2x,求实数a的取值范围. 方法02：分类讨论法 【典例1】(25-26高二下·贵州贵阳阶段检测)已知函数f(x)=xe, g(x)=ax3-x2+x-1 1)求f(x)的最值： (2)当a=-1时，若存在实数x,x,x满足8(x)=8(x)=8()=m,求m的取值范围： (3)当x≥0时，f(x)-g(x)≥1恒成立，求a的取值范围. 【典例2】(25-26高一下·北京延庆期末)设函数f(x)=lh(x+l)+a2(a∈R). (1)求曲线y=f:)在点(0，f(0》处的切线方程： (2)若x>0,f(x)>0成立，求a的取值范围. 【变式1】已知函数f()=e2+am,aeR. (红)求f(x)的单调区间： (2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 【变式2】(25-26高二下·内蒙古呼和浩特期末)已知函数f(x)=nx+(a∈R) (1)若a=2,求函数f(x)的最小值： (2)讨论f(x)的单调性： a若f≥+h后在x∈(0，切)上恒成立，求。的取值范国. 527高三·全国·一轮复习)已知函数/y)=n(c+0)-r+2 (1)若a=2,求f(x)的极值点； (2)若x∈[0，+∞)，都有f)≥0，求a的取值范围. 方法03：等价转化法 【典例1】(25-26高二下·广西百色·期末)已知函数f(x)=aln(x-l)-x(a>0), (1)若函数f(x)有一个极值点为2，求a的值： 2时论弱数F=号-+》的年调性 (3)在(2)的条件下，设函数G(x)=-x2+2x+1,若对x∈[l,2],总有G()<F(x),求a 的取值范围. 【典例2】(25-26高二下四川成都阶段检测)已知函数f(x)=x-3m,g(x)=a2hx. (1)若函数h(x)=f()+g(x)在x=1处取得极大值，求实数a的值以及h(x)的极值： 2)已知a>0,且不等式f(x)>2g()恒成立，求实数a的取值范围 【变式1】(2025高二全国专题练习)已知函数 f(x)=e2-(b+2)x,b∈R,g(x)=lnx+ln2e,不等式f(x)≥g()对于一切x∈(0，+oo)恒成 立，求b的取值范围. 【变式2】(25-26高三上河北沧州阶段检测)已知函数f(x)=(x+a)e-2x, g(x)=In(x+a)-x+1 (1)若f()在(0，+o)上单调递增，8)≤1，求实数a的值： (2)证明：f()≥g(x) 【变式3】(2526高三上四川绵阳阶段检测)设函数f八)=e-号-， (1)讨论函数f(x)的单调性； 2若8()=-(r+4)-e,当x0,+∞)时，不等式f)≥gx)恒成立，求实数m的取 值范围， 第三部分题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1.(25-26高二下·安徽芜湖阶段检测)已知不等式ar-x-lx≥0对任意x>0恒成立，则 实数a的取值范围为()》 A.[L,+o) [ c.o. 2.(25-26高三·全国二轮复习)若函数f()=e总在直线y=x-l的上方，则实数a的 取值范围是() A.(-l,+oo) B.（-e,-2) C.（-2,+oo) 0. (-0,-2] 3.已知函数f(x)=e(2x-),若f(x≥c-k在(-o,)恒成立，则k的取值范围为 () A.（-o,-e] B.(-o,-e)U(-e,-刂c.[0,1U(1,+oo) D.[l,+o) 4.(2026高三全国专题练习)已知不等式(-x2)e≤a+l,在x∈[0，+∞)上恒成立，则 实数a的取值范围是() A.[0,+oo) B.(0,+oo) C.[1,+0) D.(1,+oo) 5.(24-25高二下江苏苏州-阶段检测)己知函数(x)=e-(a-l)x,g)=n(a),若 f(x)≥g(,)在(0，+o)上恒成立，则实数a的最大值为() A.1 B.e C. D.2ve 6.(2024陕西模拟预测)r∈l,2],有a≥-xnr+x2恒成立，则实数a的取值范围为 () A.e,+o) B.[1,+0) D [2e,+o) 7.已知函数f(,=ax-hx,若f(,>0在定义域上恒成立，则a的取值范围是() A信o B.(（L,+o) c.(e,+o) 0.( 二、多选题 8.设函数f()=(x+)(x+I)>0),若f()>(k-1)x-1恒成立，则满足条件的正整 数k可以是() A.1 B.2 C.3 D.4 三、填空题 9.(24-25高二下·上海·阶段检测)已知函数f(x)=lhx+a,g(x)=e-1,若f()<g(x)在 (3,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是 10.(24-25高二下·天津河西·阶段检测)对任意的x>0,不等式山x-+1≤0恒成立， 则实数a的取值范围为 四、解答题 11.(2026宁夏吴忠三模)已知函数f()=(x+l)e-a (1)当a=0时，若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，求点P的坐标； 2)若f(x)2-x2-4x恒成立，求a的取值范围. 12.(25-26高二下湖北襄阳阶段检测)设函数f(x)=2x+32+3hr+8c在x=1及x=2 时取得极值. (1)求出a,b的值： 2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)>c成立，求c的取值范围. 13.(25-26高三上河北衡水阶段检测)已知函数f)=lnx+。-2,a∈R (1)讨论(x)的单调性 (2)若对任意x∈(0，+o)都有f()>0恒成立，求a的取值范围. 14,(24-25高二下福建福州期中)已知函数f()=m(a≠0)。 (1)若函数f(x)在点(，0)处的切线与直线3x+y-2=0互相垂直，求实数a的值： 2若不等式f()之子在[6，∞)上恒成立，求实数。的取值范围， B能力提升 15.(26-27高三上云南阶段检测)已知函数f()=e-x,函数8()的图象与f(x)的图 象关于y轴对称 (1)求函数8(x)的解析式： (2)当x>0时，证明：f(x)>g(x): (3)当x>l,a>l时，不等式e+lnx-x+lna≥ar恒成立，求实数a的最大值. 16.(26-27高三上广东深圳阶段检测)已知函数f倒=+3。 ax2-a 2 (1)若函数f)在x=1处的切线平行于直线y=x,求实数a的值： ®若方程/0侧-+2在4上恰有3个不相等的实数解，求实数，的取值范国： (3)若不等式3e≥∫(x)+4a对x∈(-l,+o)恒成立，求实数a的取值范围. 17.(26-27高三上吉林长春阶段检测)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0 时，f(x)=e(x+2). 1)求f(x)的解析式： 2)若x,x2∈R,都有f(x)一f(≤m,求实数m的取值范围. 18.(25-26高二下辽宁大连期末)己知函数f(x)=x(血x+) (1)若f(x)的切线经过点(0，-)，求此切线的方程； 2当x之时，≥k,求实数A的取值范周。 er 19.(25-26高二下北京西城期末)己知函数f()=-nx+b,a,beR,且曲线 f(x)在点山f()处的切线斜率为0. (1)求a的值： (2)求函数f(x)的单调区间： (B创若对任意：0四，都有：≥恒成立，求6的取值范围。