5.3.1函数的单调性（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第03讲 5.3.1函数的单调性 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图是函数的导函数的图象，则（    ） A．在区间内是常函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数 【答案】D 【分析】根据题意，结合导函数的图象，利用函数的单调性与的函数值间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由时，（正实数）， 则在区间内是单调递增的一次函数，所以A错误； 对于B中，当时，，当时，， 所以在区间内先增后减，所以B错误； 对于C中，当时，，在区间内是减函数，所以C错误； 对于D中，当时，在区间内是增函数，所以D正确． 故选：D. 知识点02：求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 【即学即练2】（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数，若在某区间上单调递增，则该区间可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 由得；得； 故的单调递增区间为，递减区间为， 故该区间可以是. 知识点03：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1、已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. 2、已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 3、已知函数在区间上不单调导函数在区间上存在变号零点 【即学即练3】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 【即学即练4】（24-25高二下·上海黄浦·阶段检测）若在上单调递增，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 知识点04：含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 第三部分 题型精讲 题型01 求函数的单调区间 【典例1】（25-26高二下·山东济南·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. 函数单调递增等价于，即. 对选项A，当时，且，∴ ，即，故在上单调递增，A符合要求. 对选项B，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，B不符合要求. 对选项C，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，C不符合要求. 对选项D，当时，时，此时；时，此时，故在上不是单调递增，D不符合要求. 【典例2】已知函数，则单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 【变式1】（25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，再由导数可得到函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 根据导数与函数单调性的关系，令 ， 整理得，解得， 因此函数的单调递增区间为. 【变式2】（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 题型02函数与导函数图象间的关系 【典例1】（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数单调性与导函数间的关系判断即可. 【详解】由图象可得，在上单调递减，故在恒成立，在上是先增后减再增， 故其导函数在上的函数值是先正后负再正，只有D选项符合题意. 【典例2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】由图可知，函数的单调递增区间为：，，单调递减区间为：，即或；， 又不等式等价为：或， 得或， 所以不等式的解集为． 【变式1】（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）设是函数的导函数，在同一平面直角坐标系中作出与的大致图象，据图分析一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若是的图象，是的图象， 当时，单调递减，对应在轴下方）； 当时，单调递增，对应（在轴上方），符合规律，故A正确. 对于B，若是的图象，是的图象， 恒成立，对应单调递增，故B正确. 对于C，若是的图象，是的图象， 则恒成立，且单调递增，对应单调递增，且斜率越来越大（越来越陡），完全符合的趋势，故C正确. 对于D，图中恒在轴上方，恒在轴下方，两曲线的单调性都是先增､再减､再增， 若是的图象，对应给出图象部分的函数应单调递增，显然不符合； 若是的图象，对应给出图象部分的函数应单调递减，也不符合，故D错误． 【变式2】（25-26高二下·广东广州·期中）函数的图象如图所示，其导函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性可得到导函数的正负，即可得到结果. 【详解】当时，在区间内单调递减， 因此导函数，图像在轴下方，排除选项A、B. 当时： 先单调递增，再单调递减，最后单调递增， 因此导函数在区间内的符号变化为“正→负→正”， 图像先在轴上方，再到下方，最后回到上方，C正确，D错误. 【变式3】（25-26高二下·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】由图知函数的单调递减区间为和，单调递增区间为， 所以时，；时，； 由，得或， 所以． 题型03已知函数在区间上单调，求参数 【典例1】（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对求导得：，由题意在恒成立， 即在恒成立， 时，，故. 【典例2】（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为在上恒成立，由此可求结论. 【详解】函数求导得， 已知在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则是极小值点， ，， 在的上确界为3， ． 【变式1】（25-26高二下·天津·阶段检测）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 【变式2】（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 【变式3】（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 题型04 已知函数在区间上存在单调区间，求参数 【典例1】（25-26高二下·广东广州·期末）函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，根据题意，转化为在上有解，得到在上有解，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为在上存在单调递减区间， 则满足在上有解，即在上有解， 即在上有解，所以． 【典例2】（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原函数求导，将“存在单调递增区间”转化为导函数在给定区间上存在大于零的解，分离参数后构造新函数，利用导数研究新函数在区间上的最值，即可推得参数的取值范围. 【详解】函数在上存在单调递增区间，等价于在上有解， 对求导得：， 有解等价于：有解， 令，则只需，求导得：， 当时，，，故，即在上单调递减， 因此的最小值在处取得：， ，故的取值范围是. 【变式1】（25-26高二下·福建莆田·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数存在单调递减区间转化为不等式在有解问题，结合不等式的性质可得. 【详解】函数的定义域为，求导得： . 若在内存在单调递减区间，则存在，使得. 由于，故等价于，整理得. 当时，，因此，即. 要存在满足，只需小于在区间内的最大值即可， 因为当，当，所以. 故实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高二下·四川成都·期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数存在单调递增区间转化为导数大于0在给定区间内有解，分离参数后求解对应函数的值域即可得到的取值范围． 【详解】求导得，定义域为， 因为在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解， 设，，求导得在上恒成立， 因此在上单调递增， 所以，即只需满足即可． 【变式3】（25-26高二下·北京房山·期末）若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的一个取值是______． 【答案】1（答案不唯一，任意大于0的实数均可） 【详解】∵函数， ∴在上能成立， ∴能成立， 由于的值域为， 所以即可. 题型05 已知函数的单调区间为（是），求参数 【典例1】若函数的单调递减区间为，实数__________． 【答案】 【分析】求出导函数，先排除，当时求出函数的单调区间，结合函数的单调递减区间为可得答案. 【详解】的定义域为．． 若，，所以的单调增区间为，无单调减区间，不合题意． 若，令，得． 当时，有；当时，有． 所以的单调增区间为，单调减区间为． 又因为函数的单调递减区间为，所以． 故答案为：2. 【典例2】函数的一个单调递增区间为，，则减区间是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】求导，分类讨论和时，函数的单调性，利用导数判断函数的单调性即可得解. 【详解】函数，则， 当时，恒成立，函数在其定义域内是递增． 当时，令，解得：， 当时，，函数是递增． 函数的一个单调递增区间为，故得：，解得：， 在时，，函数是递减． 故选：B． 【点睛】思路点睛：本题考查函数的单调性与导数的联系，利用，判断函数的单调增区间，利用，判断函数的单减区间，考查学生的分析能力． 【变式1】若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为______． 【答案】 【分析】求，根据条件可得和4是的根，即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为， ∴所以和4是的两根， ∴． 故答案为：−4. 【变式2】已知函数的单调递减区间是，则__________. 【答案】 【分析】求导，根据函数单调递减区间是，可得为导函数的两个零点，从而可得出答案. 【详解】， 因为函数单调递减区间是， 所以，解得， 则，令，得， 所以函数单调递减区间是， 所以. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二下·全国·课堂例题）若函数的单调减区间为，求a的值． 【答案】 【分析】根据导数正负分析函数单调性，再结合已知单调区间求出参数a的值. 【详解】由题意可得：， ①当时，， 在上为增函数， ②当时，令，解得， 当时，， 在上为减函数， 的单调递减区间为， ，即． 题型06 已知函数在区间上不单调，求参数 【典例1】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 【典例2】（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】，令， 因为函数在区间上不单调， 所以在上有变号零点， 即，解得， 故选：C 【变式1】（25-26高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】求导，令，根据在上不单调，由在上有变号零点求解. 【详解】， 令， 因为在上不单调， 在上有变号零点，即在上有变号零点， 当 时， ，不成立； 当 时，只需 ，即 ， 解得 或 ， 所以 在上不单调的充要条件是或 ， 所以在上不单调的一个充分不必要条件是， 故选：B 【变式2】（24-25高二下·重庆城口·阶段检测）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解；    若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是    故答案为：． 【变式3】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数不是单调函数，则a的取值范围为________． 【答案】或 【分析】求出函数的导数，分类讨论解或即可. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得，由，得， 函数在上递减，在上递增，即不是单调函数，因此； 当时，由，得，由，得或， 在上递减，在上递增，不是单调函数，因此； 当时，恒成立，在上递增，不符合题意； 当时，由，得，由，得或， 在上递减，在上递增，不是单调函数，因此， 所以a的取值范围为或. 故答案为：或 题型07含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型) 【典例1】（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）已知函数，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性. 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】(1)利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标写出切线方程；(2) 先求的导函数，分类讨论参数的取值判断导函数符号，进而确定的单调性. 【详解】（1）当时，， ，故切点为， ， 故切线斜率， 由点斜式得切线方程，整理得； （2）由题设得，定义域为， ， (i)，对任意，恒成立，故，即，因此在上单调递增； (ii)，令，即，解得， 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 综上，时在上单调递增；时在单调递减，在单调递增. 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在 上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数分类讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 求导可得，， 所以切点为，切线斜率为，切线方程为； （2）. 当时，对任意都有， 故，在上单调递增. 当时，令得， 当时，，当时，， 故 在上单调递增，在上单调递减. 综上：当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，，可得， 则，且，即切线的斜率为，切点为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由函数，其定义域为，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，令，可得， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 【变式2】（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）先求时的函数值和导数值，再用点斜式得到切线方程即可； （2）通过求导后对参数分类讨论，根据导数的正负即可判断函数的单调区间. 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为，又， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为：，即. （2）因为函数的定义域为，且， 令，得，即. 若，，为常数函数； 若，由，得，由，得； 若，由，得，由，得； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式3】（25-26高二下·河南信阳·期中）已知函数（）. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）根据导函数的几何意义，以及切线的概念，列出方程，求出参数即可； （2）根据函数导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论，判断导函数的正负，求出原函数的单调性. 【详解】（1）函数的定义域为. 求导得，则曲线在点处的切线斜率为. 直线可化为，斜率为2. 由切线与直线平行，得，解得. （2）由（1）知，（）. ①当时，恒成立，所以在上恒成立， 故在上单调递增. ②当时，令，得，即. 当，，所以，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 题型08 含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解) 【典例1】（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数，其中. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：；当时，单调递减区间为：，单调递增区间为： 【分析】（1）通过求导，确定切线斜率，即可求解； （2）求导，通过，分析导数符号，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，则， 所以函数在点处的切线方程为：，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，因为，所以，令，得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：； 当时，因为，所以，令，得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：. 综上，当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：； 当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：. 【典例2】（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】当时，在内单调递减，在内单调递增，； 当时，在内单调递减，在内单调递增． 【分析】对函数求导可得，令，得或．再按和进行讨论，确定单调区间. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 且，， 令，得或． ①当时，， 令得， 令得， 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当时，， 令得， 令得， 可知在内单调递减，在内单调递增． 综上所述， 当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增． 【典例3】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或； (2)当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【分析】（1）设出切点，根据切线斜率得到方程，求出或，进而得到实数的取值； （2）求导，分，和三种情况，得到函数单调区间 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2），令，得或， ①当时，恒成立，所以在R上单调递增； ②当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上所述，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【变式1】（24-25高三上·湖南·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减； 当时， 函数在上单调递减，函数在上单调递增. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据导数的正负性和函数单调性的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以曲线在处的切线方程为； （2）， 函数的定义域为全体正实数， 当时，当时，，函数在上单调递减； 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时， 函数在上单调递减，函数在上单调递增. 【变式2】（25-26高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）先利用导数写出切线斜率，再利用斜率坐标公式建立方程，求出切点，最后代入点斜式即可写出方程； （2）先求导分解因式，再根据的正负，比较两根2和的大小，分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 即，解得， 所以，又， 所以切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为， 且 当时，由，得，在上单调递增， ，得，在上单调递减； 当时，因为， 当时，，在上单调递减； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式3】（24-25高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 【分析】（1）求导，可得结果； （2），讨论，，，根据导数正负判断单调性． 【详解】（1） ． （2）由题， 由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，， 在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 故当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 题型09含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解) 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增 当时，在，上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）函数在区间单调递增，转化为导数大于等于在区间恒成立，分离参数后求新函数最小值，从而得到参数范围； （2）求导后把导数符号问题转化为二次函数符号讨论，结合二次方程判别式与根的正负，分类讨论得到原函数单调性. 【详解】（1）依题意，， 令，则， 令，，则， 故在上单调递增；故； 经检验，当时，，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为； （2）依题意，， 令，其中； 若，即时，恒成立， 所以，在上单调递增； 若，则或，令，解得，， 其中，； 若，则，此时，， 所以，在上单调递增； 若，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【典例2】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）利用导数的几何意义，在点处的切线与轴平行，即代入即可求解； （2）确定函数定义域，求导确定导函数的零点，根据导数确定函数单调性即可. 【详解】（1）由题可知函数定义域为，， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以. （2）由（1）可知函数定义域为， ， 令，恒成立， 令，解得（舍去）或， 若，，单调递减； 若，，单调递增. 【变式1】已知函数，．试讨论函数的单调性． 【答案】当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】求导之后为不可因式分解的类二次函数，根据开口方向分为和，由于函数的定义域为，所以在方程有根的情况下分析还需要分析根的符号. 【详解】的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，可得或， 因为，所以舍去， 所以当时，， 则在上单调递减， 所以当时，， 则在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）已知函数，,讨论的单调性. 【答案】 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】对函数求导后，将导函数中含参数的二次函数的分子取为，结合其图象，对其对应方程的判别式分别讨论，得到不同区间上导函数的符号，即得函数单调性. 【详解】由题得，其中， 令，，其图象对称轴为直线， ． ①若，则，此时，则，所以在上单调递增； ②若，则， 此时在R上有两个根，，且， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在R上不单调，等价于在R上有2个不等实根， 即判别式，即，解得或． 2．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为在上单调递减，所以对一切恒成立，即对一切恒成立. 当时，，故 ． 反之，当时，对一切恒成立，满足 在上单调递减. 所以实数的取值范围为. 3．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知函数，则（   ） A．在R上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上不是单调函数 【答案】C 【详解】函数的定义域为， 求导得，在定义域内，恒成立， 故在上是增函数． 4．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，函数定义域为，且，故函数为奇函数， 当时，，当时，，故不满足单调递增条件； 对于B选项，函数定义域为，，因此函数为奇函数， 对函数求导得，，当时，，因此函数在上单调递增， 故符合条件； 对于C选项，函数定义域为，，因此函数为偶函数，不符合条件； 对于D选项，函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数，不符合条件. 5．（26-27高三上·山东日照·开学考试）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，根据单调递减区间对应导数小于等于0的解集，可知区间端点是导数等于0的根，代入求解即可得到的值. 【详解】 对求导，得. 已知的单调递减区间为，因此方程的两个实根为. 将代入，得，解得. 当时，，当时，，即恒成立，符合题意. 6．（25-26高二下·甘肃酒泉·阶段检测）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以在单调递增， 且的值在上越来越大，在上越来越小， 即：函数的图象的切线斜率先变大后减小，故B正确，其余错误． 7．（25-26高二下·广东东莞·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 令，即，且， ，故的单调递增区间为． 8．（25-26高二下·重庆·阶段检测）函数 的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行求导，利用导数求函数的单调区间即可. 【详解】，则, 令，即，又因为，所以， 因此单调递减区间为. 二、多选题 9．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】求导后利用导数正负即可判断原函数单调性. 【详解】， 当时，，当时，， 故在区间、上单调递增，在上单调递减， 故A、B、D正确，C错误. 10．（25-26高二上·河南濮阳·期末）将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【分析】根据各选项的两个函数图象特征，确定函数与其导函数图象即可. 【详解】对于A，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意， 此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，A错误； 对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象， 的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确； 对于C，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立， 的图象在轴下方，符合题意，C正确； 对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立， 的图象在轴上方，符合题意，D正确. 故选：BCD 三、填空题 11．（25-26高二下·北京石景山·期末）已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，则不等式的解集为________ 【答案】 【详解】，则函数单调递增， 由图可知函数在，单调递增， 则不等式的解集为． 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在R上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用函数单调性与导函数符号之间的关系求解. 【详解】若在R上单调递增，则在R上恒成立， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 四、解答题 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递减区间是，单调递增区间是． 【分析】（1）根据导数的几何意义，列出方程组求得， （2）求得，进而求得函数的单调区间． 【详解】（1）点在切线上，则， ，则， 由题意得，解得， 所以； （2）由（1）得， 由得或；由得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． 14．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）（1）求函数在处的导数； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）10；（2）的单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）求导代入即可. （2）利用导数求解单调区间即可. 【详解】（1）因为，所以， 则. （2）由题可知函数定义域为R， 因为，所以， 令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为． 15．（25-26高二下·广西来宾·期末）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递减区间为 ，单调递增区间为 【分析】（1）根据导数的几何意义可求在点处的切线方程； （2）根据导函数的单调性及，可求的单调区间. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2）因为函数，在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. B能力提升 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)当，时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，若函数在内不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先求导数，再分两类讨论，①和②，由①可得函数是单调递减函数不符合题意；由②，再构造函数，再求导，可得，从而可得在内单调递增，进而将问题转化为在上有变号零点，再结合零点存在性定理可得. 【详解】（1）当，时，，求导得， 所以，，所以切线方程为， 所以函数的图象在处的切线方程为． （2）由题知，， ①当时，因为，所以，， 所以，因此在内单调递减，不满足题意，舍去； ②当时，令，则， 因为，所以，，所以， 则在内单调递增，即在内单调递增. 要使函数在内不单调，则在上有变号零点， 又因为，故只需， 又因为，因此. 综上①②，实数的取值范围为． 17．（25-26高二下·天津南开·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1) (2)①当时，增区间为，减区间为；②当时，增区间为和，减区间为；③当时，增区间为，无减区间；④当时，增区间为和，减区间为. 【分析】（1）求导，确定切线斜率，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数的符号，即可求解. 【详解】（1）当时，， 计算得，即切点为， 求导得：，切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得； （2）对函数求导得： ， 因，故，的符号由分子的符号决定， ①时，恒成立， 当时，，即，当时，，即， 故的增区间为，减区间为； ②时， 当或时，，即， 当时，，即， 故的增区间为和，减区间为； ③时，在上恒成立，即在上恒成立， 故的增区间为，无减区间； ④时， 当或时，，即， 当时，，即， 故的增区间为和，减区间为. 综上：①当时，增区间为，减区间为； ②当时，增区间为和，减区间为； ③当时，增区间为，无减区间； ④当时，增区间为和，减区间为. 18．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数，． (1)设曲线在处的切线为l，若l与曲线相切，求a； (2)设函数， （ⅰ）讨论的单调性； （ⅱ）若在区间单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ⅱ） 【分析】（1）先利用导数的几何意义求直线的方程，再结合二次方程解的个数求的值. （2）（ⅰ）求导，分情况讨论导函数的符号，可得函数的单调区间； （ⅱ）利用（ⅰ）的结论，可求a的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以. 所以，， 所以曲线在处的切线：. 因为直线：与相切，所以方程只有1解. 若，则方程可化为，无解； 若，由. 所以. （2）（ⅰ）由题意，，. 所以，. 当时，由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，由或. 若即，则或，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 若即，在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，则或，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，在上单调递减； 当时，要想在上单调递减，须有. 综上，在区间单调递减，可得. 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数无严格单调区间；当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）根据导数的几何意义，可求出切点横坐标，再代入原函数，求出切点坐标，最后代入切线方程求出的值； （2）先求导，整理可得，对分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 由切线方程为，则，即，解得， 所以，则切点坐标为， 代入切线方程得，则． （2）由，则， 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 20．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【分析】（1）当时，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合已知点坐标求出切线方程； （2）求导，结合函数定义域，按进行分情况讨论，并结合导数判定函数的单调性． 【详解】（1）当时，，求导得， ，， 在点处的切线方程为，化简得． （2）由，得 ， 的定义域为， 当时：，在区间单调递增； 当时： 当时，；当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 5.3.1函数的单调性 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图是函数的导函数的图象，则（    ） A．在区间内是常函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数 知识点02：求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 【即学即练2】（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数，若在某区间上单调递增，则该区间可以是（     ） A． B． C． D． 知识点03：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1、已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. 2、已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 3、已知函数在区间上不单调导函数在区间上存在变号零点 【即学即练3】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【即学即练4】（24-25高二下·上海黄浦·阶段检测）若在上单调递增，则的取值范围是________． 知识点04：含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 第三部分 题型精讲 题型01 求函数的单调区间 【典例1】（25-26高二下·山东济南·期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（     ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数，则单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型02函数与导函数图象间的关系 【典例1】（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【变式1】（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）设是函数的导函数，在同一平面直角坐标系中作出与的大致图象，据图分析一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·广东广州·期中）函数的图象如图所示，其导函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________． 题型03已知函数在区间上单调，求参数 【典例1】（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·天津·阶段检测）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．D． 【变式2】（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 已知函数在区间上存在单调区间，求参数 【典例1】（25-26高二下·广东广州·期末）函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·福建莆田·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·四川成都·期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·北京房山·期末）若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的一个取值是______． 题型05 已知函数的单调区间为（是），求参数 【典例1】若函数的单调递减区间为，实数__________． 【典例2】函数的一个单调递增区间为，，则减区间是（    ） A． B． C． D．， 【变式1】若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为______． 【变式2】已知函数的单调递减区间是，则__________. 【变式3】（25-26高二下·全国·课堂例题）若函数的单调减区间为，求a的值． 题型06 已知函数在区间上不单调，求参数 【典例1】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．D． 【变式1】（25-26高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．D． 【变式2】（24-25高二下·重庆城口·阶段检测）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 【变式3】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数不是单调函数，则a的取值范围为________． 题型07含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型) 【典例1】（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）已知函数，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性. 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式1】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式2】（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 【变式3】（25-26高二下·河南信阳·期中）已知函数（）. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性. 题型08 含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解) 【典例1】（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数，其中. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【典例2】（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，讨论函数的单调性． 【典例3】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【变式1】（24-25高三上·湖南·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式2】（25-26高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； (2)讨论的单调性. 【变式3】（24-25高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 题型09含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解) 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【典例2】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【变式1】已知函数，．试讨论函数的单调性． 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）已知函数，,讨论的单调性. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知函数，则（   ） A．在R上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上不是单调函数 4．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·山东日照·开学考试）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·甘肃酒泉·阶段检测）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广东东莞·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·重庆·阶段检测）函数 的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 10．（25-26高二上·河南濮阳·期末）将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 11．（25-26高二下·北京石景山·期末）已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，则不等式的解集为________ 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在R上单调递增，则实数的取值范围是________. 四、解答题 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间． 14．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）（1）求函数在处的导数； （2）求函数的单调区间. 15．（25-26高二下·广西来宾·期末）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求的单调区间. B能力提升 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)当，时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，若函数在内不单调，求实数的取值范围． 17．（25-26高二下·天津南开·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调区间． 18．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数，． (1)设曲线在处的切线为l，若l与曲线相切，求a； (2)设函数， （ⅰ）讨论的单调性； （ⅱ）若在区间单调递减，求a的取值范围． 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 20．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $