第07讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）（知识清单+4类技巧总结+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第07讲拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根) 第一部分知识梳理 1、函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的 零点， (2)三个等价关系 方程f(x)=0有实数根一函数y=f(x)的图象与x轴有交点一函数y=f(x)有零点. 2、函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也 就是∫()=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理. 注意：单调性+存在零点=唯一零点 第二部分题型精讲 题型01判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数 【典例1)(26-27高三上北京朝阳阶段检测)已知函数f()-=-c+(a-1x。 (1)若f(x)的一个极值点为x=2,求f(x)的极大值： (2)求f(x)的单调区间； (3)讨论∫(x)的零点个数（直接写出结果）， 【典例2】(2627商三上北京海淀阶段检测)已知函数()-二。 (1)求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值： 2)若x=0是函数8(，)=f(a)f()+sinx的极值点. (i)证明：-1<a<0; (ⅱ)求g(x)在区间(-π，π)上的零点个数. 【变式1】(26-27高三上山东潍坊阶段检测)已知函数f)=1- e+1 ()判断f(x)的奇偶性： 2证明：当x20时，f):当x<0时，f)>: (3)讨论F(x)=f()-:的零点个数 【变式2】(2026四川遂宁·一模)设a>0,a≠1，函数f(x)=a,g()=logx. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程； Q当a=6时，素方程g闲1=m有背个实数根西，且5<，正明：名名< (3)讨论方程（田=g()解的个数，并说明理由. 【变式3】(26-27高三上·北京海淀阶段检测)已知函数f(x)=e(x+) (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)求函数f(x)的极小值： (3)若m≥0，直接写出方程f(x)=m解的个数 题型02利用最值（极值）研究函数零点（方程的根）问题 【典例1】(26-27高三上江苏无锡阶段检测)己知函数f(x)=x-3r+2(aeR)】 (1)当a=1时，求f(x)的单调区间与极值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. 【典例2】(26-27高三上河南南阳阶段检测)已知函数f(x)=x++bx+2在x=0和 x=2处取得极值. (1)求a,b的值，并求函数f()的极值： (2)若函数8(x)=f(x+3x2-3mr有三个零点，求实数m的取值范围. 【变式1】(25-26高二下-四川攀枝花期末)已知函数f(x)=x3+a2-a2x+1 ()当a=1时，求曲线y=f(x)在(()处的切线方程； 2)若函数∫(x)有三个零点，求实数a的取值范围. 【变式2】(25-26高二下·天津滨海新区·期中)已知a∈R,函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax. (1)若f(x)在x=3处取得极值，求实数a的值： (2)讨论函数f(x)的单调性： 3)若a>l,f(x)在R上有三个零点，求a的取值范围. 【变式3】(25-26高二下·陕西西安阶段检测)已知函数f(x)=2x3-3x2-36x+a. (1)若a=60,求曲线y=f()在(2，f(2)处的切线方程： (2)若f(x)有三个零点，求a的取值范围. 题型03利用数形结合法研究函数的零点（方程的根）问题 【典例1】(25-26高二下山东济宁期中)己知函数f=3r+m+b(a,beR)在x=2处 取得极小值一3 (1)求a,b的值： (2)若方程∫(x)+4-me=0有唯一的实数根，求实数m的取值范围. 【变式1】(25-26高三上山西太原开学考试)已知函数f()=x, (1)过点(0，©)作曲线y=f(x)的切线，求切线的方程； 回求简数问的年闲X,井求两数内在[2习 的值域： 3)若函数y=f(x)-a有且仅有一个零点，求实数a的取值范围. 【变式2】(24-25高二下湖北武汉·期中)已知函数f(x)=a-(x+) ()当a=1时，求函数f(四的单调区间： (2)若函数(x)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围. 题型04构造函数研究函数零点（方程的根）问题 【典例1】(26-27高三上吉林四平阶段检测)已知函数f()=r++bx的两个极值 点分别为-2和3 (1)求f(x)的解析式： (2)若直线y=-4x+c与曲线y=f(x)有且仅有两个公共点，求c的值. 【典例2】(26-27高三上北京丰台阶段检测)已知函数f()-x+x (1)求曲线y=f(x)在点f()处的切线方程： (2)求证：函数f(x)有唯一极值点： )求证：。 【变式1】(262刃高三上福建福州开学考试)已知酒数f()-怎二+。 (1)当=0时，求函数f(x)的单调区间和最值. (2)若函数f(x)在区间L,+∞)上存在零点，求实数九的取值范围. 【变式2】(26-27高三上北京昌平阶段检测)设函数f()=e“-e“ (1)当a=2,b=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率： (2)当a=3,b=2时， (i)求f(x)的极值： 5 (i)若22， 求正：关于，的方程/因=e“在网上无解， 【变式3】(25-26高二下·江苏苏州阶段检测)已知曲线f(,)=x-+1,若曲线f()在 (L,f0)》处的切线方程为y=3x+b, (1)求a,b的值： (2)求过点（一1,0）且与曲线f,相切的直线方程： (3)若过点（一山，）有且只有一条直线与曲线()相切，求实数t的取值范围. 第三部分题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1.(25-26高二下福建厦门-阶段检测)若函数f(x)=x-3x+2a在区间(0,2)内有两个零 点，则实数a的取值范围是() A.(1,+oo) B.(2,to) c.(02) D.(0,) 2.(24-25高二下山东烟台期未)若函数f(x)=x血x-x+k存在两个不同的零点，则实 数k的取值范围为() A.（-oo,1) B.(0,1) c.(-o,e) D.(0,e 3.(2025天津河北模拟预测)函数f(x)=hx+8-x的零点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2025重庆三模)若函数f(x)=-3-x+a在(0,1)上有零点，则a的取值范围为 () A.(1,4) B.（-4,0) c.(0,4) D.（-∞，4) 5.(23-24高二下湖北十堰期末)已知直线y=-2x+a与函数f(x)=x2-4x的图象有 两个不同的交点，则实数a的取值范围为() A.(3,+o) B.[3,+o) c63 D.(2,3 6.(26-27高三·全国一轮复习)已知方程山x=ax有两个不同的解，则实数a的取值范围 为() A.0<a< D e B.0<a<1 C.0<a<e L<a<1 e 二、多选题 7.(2021高二下重庆江北阶段检测)已知函数f()-?-nx+m在区间L,内有唯 零点，则m的可能取值为() A. e-l 1 e B.e+l C.e D.1+2 e 8.(24-25高二下·浙江台州阶段检测)函数f()=nr+m-4x的零点个数可能是 () A.0 B.1 C.2 D.3 三、填空题 9.(2025江苏盐城三模)已知函数f(x)= xe*-a,x<a, 2-x-2a,x≥a有三个零点，则实数的取值 范围是」 10.(23-24高二下安徽六安期中)已知关于x的方程x2+x-1=e有且只有两个实数 根，则实数k的取值范围是 四、解答题 11.(25-26高二下·全国课堂例题)给定函数f(w)=(x+)e. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f()=a(a∈R)的解的个数 12,(2425商-下河南格阳除段检》已知屑数f化=r+2+加-c在=有及x1 处取得极值. (1)求a,b的值； (2)若关于x的方程f(x)=0有三个不同的实根，求c的取值范围. 13.(2026高二全国专题练习)已知f(x)=am-bx+4在x=2处取得极小值3 (1)求f(x)在x=3处的切线方程： 2)若k∈R,讨论8()=f(x)零点的个数. 14.(25-26高三上重庆阶段检测)已知函数f(x)=x2-(2a+l)x+alnx. (1)当a=1时，讨论f()的单调性 证明当a>时，f在合2a+ 上有且仅有一个零点 B能力提升 15.(2026山东济南模拟预测)已知函数f()=(x+l)nr-a(x-),其导函数为f'(x). (1)当a=1时， ()求曲线∫(x)在(()处的切线方程： (i)若函数8()=f(x)-'(x),求8(x)的极值； (2)讨论'(x)零点的个数. 16.(25-26高二下山东东营期末)函数f(x)=x-3x+a,a∈R. (1)若a=1,求函数(x)的单调区间： (2)判断函数f(x)的零点个数 17,(25-26高=下北京期末)已知x=1和x=2分别是函数f()=}r+ax2+hx+c的极 值点. (1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间： (2)若f(x恰有两个不同的零点，求c的值. 18,(2627高三上上海浦东新阶段检)函数y=,其中因=-++， 定义域是一切实数 )求函数y=f(x)过点0,4 的切线方程； 当x∈0吗时，方程间-a+片只有一个解，求实数。的取值范园 19.(2026江苏南通模拟预测)已知f(x)=e, (1)求f(x)的最小值： (2)若方程f(x)=a心有两个不等的实根，求a的取值范围. 第07讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根） 第一部分 知识梳理 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 第二部分 题型精讲 题型01 判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数 【典例1】（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）已知函数． (1)若的一个极值点为，求的极大值； (2)求的单调区间； (3)讨论的零点个数（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和. (3)当时，无零点， 当或时，有1个零点， 当时，有2个零点. 【分析】（1）利用极值点处导数为零求出参数，再通过分析导数正负确定极大值点为并代入原函数求出极大值. （2）将导数通分并因式分解出两个根和，通过比较与及的大小关系，分类讨论导数正负以确定单调区间. （3）令将参数分离出来，转化为水平直线与新函数图像的交点个数问题. 【详解】（1）由， 则， 由题意得，即， 此时，则， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则为极小值点，符合题意， 所以的极大值为. （2）由题意得，令，解得， 当，即时， 因为，所以恒成立， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为， 当，即时， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为和， 当，即时，在上恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间， 当，即时， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为和. （3）令，整理得， 设，则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以对于任意，恒有，则， 设， 则， 设，则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，因此在上恒成立， 由此可知的正负完全由决定， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，且时，，时，， 如图： 所以当时，与无交点，此时无零点， 当或时，与有1个交点，此时有1个零点， 当时，与有2个交点，此时有2个零点. 【典例2】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若是函数的极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求在区间上的零点个数． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)（i）已知，则， 因为是极值点，所以，解得， 即， 令在上连续，则，所以在上单调递增， 由， 所以方程在区间内有且仅有一个实根，即得证； （ii）2个 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定极值和端点值并比较大小，即可得最值； （2）（i）对函数求导，结合极值点得，进而将问题化为研究根的个数及其所在的区间，即可证； （ii）问题化为研究在区间上根的个数，构造相关函数，应用分类讨论及导数研究函数的区间零点个数，即可得. 【详解】（1）由题设， 令，得，且位于区间内， 当时，，在上单调递增， 当 时，，在上单调递减， 因此在处取得极大值，也是最大值， 最大值，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为； （2）（i）略 （ii）， 设，与零点相同. ，于是的1个零点为0， ， 当，，，又， ，在上单调递减，，故在没有零点. 当，，，又， ，在上单调递增，，故在没有零点. 当，令，则，在上单调递减， ，故存在使， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，，故在上有1个零点. 综上，在上有2个零点，即在上有2个零点. 【变式1】（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明：当时，；当时，； (3)讨论的零点个数． 【答案】(1)是奇函数； (2)证明：令，则， 所以在上单调递减，且， 当时，，即，， 当时，，即，. (3)当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为3. 【分析】（1）直接用奇函数的定义进行判断； （2）构造函数，并进行求导分析单调性可证明不等式； （3）分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为. 则， 所以为奇函数. （2）略 （3）由，得，由(2)知. ①当时，，即在上为增函数 又，所以在上仅有一个零点. ②当时，，即在上为减函数. 又，所以在上仅有一个零点. ③当时，因为，所以在上有一个零点. 因为为奇函数，所以可首先考虑的情况. 由，得， 则，所以该方程有两个不同的实数根和， 且，从而， 所以. 由，得，所以. 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，且， 由，得， 从而. 令，则， 所以在区间上单调递增， 从而. 又，所以，所以. 因为. 所以，且， 所以在区间上仅有一个零点. 由为奇函数，可得在区间上仅有一个零点. 因此，当时，在上有3个零点. 综上所述，当或时，的零点个数为1， 当时，的零点个数为3. 【变式2】（2026·四川遂宁·一模）设，，函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：； (3)讨论方程解的个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)略 (3)略 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）变形方程并构造函数，利用导数确定的范围，再利用极值点偏移推理证明不等式. （3）按分类，在时，由反函数的性质并利用导数确定方程解的情况；在时，利用导数确定方程解的情况. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）证明：当时，函数的定义域为， 方程，令函数， 则是方程的两个实根，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，，而，又直线 与函数图象的两个交点横坐标为，则， 令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，因此，又， 于是，又，且函数在上单调递减， 则，所以. （3）单调增函数与其反函数的图象若有交点，则该交点必在直线上， 令单调递增函数与其反函数的图象有交点，则，且， 假设，若，由是单调递增函数，得，则，矛盾； 若，由是单调递增函数，得，则，矛盾，因此假设错误，， 当时，是增函数，函数与互为反函数， 若函数与的图象有交点，则该交点必在直线上， 因此方程解的个数等价于方程的根的个数， 令，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当，即时，函数有2个零点，方程有2个解； 当，即时，函数有1个零点，方程有1个解； 当，即时，函数没有零点，方程有0个解； 当时，若，则，即，因此方程在上无解， 当时，方程，令函数， 求导得， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0或从小于1的方向趋近于1时，， 当，即时，，则，函数在上单调递减， 而当从大于0的方向趋近于0时， ，当从小于1的方向趋近于1时，， 因此函数在上存在唯一零点，即方程有1个解； 当，即时，存在，，使得， 当或时，，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 由，得， 则， 同理，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 又，因此， ，则函数在上有3个零点，即方程有3个解， 所以当时，方程解的个数为3； 当或时，方程解的个数为1； 当时，方程解的个数为2； 当时，方程解的个数为0. 【变式3】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极小值； (3)若，直接写出方程解的个数. 【答案】(1) (2) (3) 1个 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分析函数的单调性，进而结合极值的定义求解即可； （3）画出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】（1）由，得， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由，得， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为. （3）由（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，时，，时，， 作出函数的图象： 由图可知，当时，函数与有一个交点，此时方程有1个实数解. 题型02 利用最值（极值）研究函数零点（方程的根）问题 【典例1】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）代入后对函数求导，利用导函数的正负求得单调区间，进而求得极大值与极小值. （2）对含参的函数求导并分类讨论其单调性，在函数存在极值的情况下，令其极小值严格大于零，从而确保三次函数的图像与轴仅有一个交点即可. 【详解】（1）当时，，则， 令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极大值为， 极小值为， 且的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由题意得， 当时，恒成立，此时单调递增， 当时，，当时，， 由零点存在性定理可得，有且仅有1个零点，符合题意， 当时，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时的极大值为， 因为，所以极大值恒成立， 极小值为， 若只有个零点，则有，即，即， 即，结合，解得， 综上，的取值范围为. 【典例2】（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）已知函数在和处取得极值． (1)求，的值，并求函数的极值； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即得； （2）结合（1）可得，则，分和两种情况讨论的单调性和极值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 由题意，得，则， 解得， 此时，， 令，解得：， 令，解得：，或，所以的单调递增区间为， 令，解得：，所以的单调递减区间为， 经检验，当时，在和处取得极值， 函数的极大值为：，极小值为 （2）结合（1）可得函数， 所以， 当时，在上恒成立，此时在上单调递增，此时只有唯一零点，故不满足题意， 当，， 令，解得：或，所以的单调增区间为，， 令，解得：，所以的单调减区间为， 要使函数有三个零点，则， 解得：， 综上实数的取值范围为： 【变式1】（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）分、与进行讨论，结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得. 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 则曲线在处的切线方程为，即； （2）若，则，， 则在上单调递增，不符合题意； 若，， 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则，解得； 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则， 解得； 综上可得：. 【变式2】（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) ：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (3) 【分析】通过求导，根据极值的性质导数等于0来求解参数； 通过求导，根据导数的正负来判断原函数的单调性； 根据零点的数量来判断满足条件的极值的正负情况，从而求解参数的取值范围. 【详解】（1）函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. （2）， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 终上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. 【变式3】（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，根据图象趋势与零点情况，即得不等式组，求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为， 所以所求切线方程为，即. （2）因，令，得或. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因时，；当时，， 由有三个零点，可得， 故的取值范围是. 题型03利用数形结合法研究函数的零点（方程的根）问题 【典例1】（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合极值点和极值可得，并根据函数单调性检验即可； （2）令，原题意等价于与有且仅有1个交点，利用导数判断的性质和图象，结合图象即可得结果. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 由题意可得：，解得， 则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极小值，即符合题意， 综上所述：. （2）对于方程，即为，可得， 令，原题意等价于与有且仅有1个交点， 因为， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 由图可知：或，所以实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知函数， (1)过点作曲线的切线，求切线的方程； (2)求函数的单调区间，并求函数在的值域； (3)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为；在上的值域为 (3) 【分析】（1）设切点坐标并利用导数表示斜率，写出切线方程后代入已知的曲线外一点求出切点，进而得到最终的切线方程. （2）通过求导确定函数的极值点并划分单调区间，再通过计算给定闭区间端点及极值点的函数值来确定值域. （3）将方程零点个数问题转化为两函数图象的交点问题，结合极值点单调区间画出函数图象，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，则，设切点坐标为， 则切线方程为， 代入得， 即，解得， 所以切点为，斜率， 则切线方程为，化简得. （2）由（1）得，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为，所以在内单调递增， 所以在区间内，，， 所以在上的值域为. （3）原问题转化为只有一个解，即与的图象只有1个交点， 由（2）得在取极小值，也是最小值， 即，且有， 令，当时，，取，则有， 则原式， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，易得的增长率在上高于的增长率， 所以当时，，由此可得， 综上，满足题意的与如图: 故的取值范围为. 【变式2】（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单减区间为；单增区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）由得，问题转化为直线与的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 由得，由得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）令得， 令，其中， 则函数有且仅有个零点等价于函数与的图象有个交点， ，由得，由得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极大值为， 当时，，当时，且， 所以的取值范围是. 题型04 构造函数研究函数零点（方程的根）问题 【典例1】（26-27高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数的两个极值点分别为和． (1)求的解析式； (2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）极值点是导函数的零点，先求，，由极值点，是方程的两根，利用韦达定理求出，，得到函数解析式； （2） 直线与曲线仅有两个公共点，等价于方程只有两个不同实根，整理后构造新函数，转化为新函数有两个零点，即新函数一个极值等于0． 【详解】（1）， 由题意，得和是关于的方程的两根， 由韦达定理，得，解得， 此时， 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意. 综上，； （2）直线与曲线有且仅有两个公共点， 等价于关于的方程仅有两个实根，即关于的方程仅有两个实根， 设，则， 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 且，， 根据题意，得或，解得或． 【典例2】（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数有唯一极值点； (3)求证：． 【答案】(1) (2)略 (3)略 【分析】（1）通过求函数值确定切点，求导数确定切线斜率，最后代入点斜式得出切线方程. （2）对导函数的分子构造辅助函数，利用单调性和零点存在定理证明导函数有且仅有一个变号零点，从而确认唯一极值点。 （3）将复杂的不等式等价变形以分离对数与指数部分，并引入中间量将其拆分为两个基础不等式分别证明. 【详解】（1）由题意得， 则，， 所以其切线方程为，整理得. （2）令，则， 因为，所以恒成立，即在上单调递减， ，， 根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 当时，，即，单调递增， 当时， ，即，单调递减， 所以在处取得极大值，且为唯一极值点，得证. （3）要证，即， 因为，所以有， 因为，所以有， 所以原不等式转化为证明，即证， 下证: 因为，即证，令， 则，令，解得或(舍)， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，故恒成立， 下证， 令，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故恒成立， 综上，，所以原不等式成立，得证. 【变式1】（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和最值． (2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间，的单调递减区间；的最大值为，无最小值． (2) 【分析】（1）先求导得出，再根据正负确定单调区间，进而求出最值. （2）分和讨论，时再根据正负细分情况，结合函数单调性和零点存在定理确定范围. 【详解】（1）由题意可得：的定义域为， 当时，，， 令，，解得，， 当时，，，所以， 当时，，，， 所以的单调增区间，的单调减区间， 即在处取得最大值，，无最小值． （2），， 若，当时，，， 所以，在上无零点，舍去， 若，则， 令，则， 则在上单调递减，且， ①若，即，此时，，在上单调递减， 又因为，所以，不合题意，舍去， ②若，即，此时，则存在，使得，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且，所以存在唯一的，使得，满足条件， 综上所述，实数的取值范围为． 【变式2】（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）设函数． (1)当，时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当，时， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）若，求证：关于的方程在上无解． 【答案】(1)1 (2)（ⅰ）极小值，无极大值． （ⅱ）略 【分析】（1）利用导数的几何意义可得； （2）（i）由导数分析单调性可得极值； （ii）将方程等价于，两边同除以，构造函数求导后再令，再利用导数分析单调性和最值可证. 【详解】（1）当，时，， ，， 所以曲线在处的切线的斜率为1. （2）（ⅰ）当，时，， ， 令，得，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增； 故在处取极小值，无极大值． （ⅱ）证明： 当时，等价于， 两边同除以得：， 令， ， 令，则， 由，得， 当时，，故， 因此在上单调递增，又，故时，即， 因此在上单调递增，又，故时， 即恒成立，原方程无正实根． 故时，方程在上无解． 【变式3】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知曲线，若曲线在处的切线方程为． (1)求a，b的值； (2)求过点且与曲线相切的直线方程； (3)若过点有且只有一条直线与曲线相切，求实数t的取值范围． 【答案】(1)，. (2)或. (3)或 【分析】（1）利用导数的几何意义可求，得到函数解析式后可求； （2）设切点坐标，根据导数几何意义求出切点方程后代入所过的点，求出切点坐标，从而得切线方程； （3）由（2）的切线方程可得切点横坐标满足的方程，构建新函数并利用导数判断其单调性后结合极值的性质可求的取值范围. 【详解】（1），由题设有，故， 故，所以，故，故. 综上，，. （2）设切点为，则切线的斜率为， 故切线方程为：， 因为切线过，所以， 故，故或， 故过点的切线方程为或. （3）由（2）中的切线方程有有且只有一个实数解， 即有且只有一个实数解， 设，则有且只有一个零点， 而， 当或时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 所以，所以，故或. 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 2．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究的单调性，由此列不等式组求得的取值范围. 【详解】函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，且， 所以要使函数存在两个不同的零点， 则需，解得. 故选：B 3．（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】应用导数研究函数的区间单调性，结合区间值域及零点存在性定理判断零点个数. 【详解】由题设且定义域为， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当或时，故在定义域上有2个零点. 故选：C 4．（2025·重庆·三模）若函数 在上有零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对函数求导，判断函数在内的单调性，然后根据函数在上有零点这一条件来求解的取值范围. 【详解】因为， 对函数求导得. 所以函数在上单调递减. 因为在上有零点， 所以. 即：，. 求解得：. 故选：A. 5．（23-24高二下·湖北十堰·期末）已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得曲线斜率为的切线方程可得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增． 令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时， 所以当时，直线与的图象有两个不同的交点． 故选：A. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意参变分离，进而构造函数，结合导数分析单调性并求解范围. 【详解】由知，，令，， 令，可得， 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减； 故，又当，，当，， 因为方程有两个不同的解， 所以的图象有两个不同的交点， 所以． 二、多选题 7．（20-21高二下·重庆江北·阶段检测）已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意，可以将问题转化为方程在区间内有唯一实数根，构造函数，，利用导数得在区间内单调递增，可得，进而确定答案. 【详解】由题意有方程在区间内有唯一实数根， 即方程在区间内有唯一实数根，令， ，所以在区间内单调递增， 所以，所以， 因为，， 故选：ABC 8．（24-25高二下·浙江台州·阶段检测）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解. 【详解】由，，得， 求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数. 函数的导函数，当时；当时. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 时有最大值，时， 时，，. 过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示. 所以函数的零点个数为1个或2个. 故选：BC. 三、填空题 9．（2025·江苏盐城·三模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 10．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知关于的方程有且只有两个实数根，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】由题意构造函数，对该函数求导，并利用导数求得单调区间与极值，再画出函数图象，即可求得的取值范围. 【详解】原方程可变形为， 令函数，则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值，且极大值为， 当时，取得极小值，且极小值为， 又当趋向于时，趋向于0，当趋向于时，趋向于， 所以的大致图象如图，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求参数的范围问题.本题的关键点是方程有且只有两个方程，构造函数，结合导数求得单调区间与极值，从而得到函数的大致图象，即可求得参数的取值范围. 四、解答题 11．（25-26高二下·全国·课堂例题）给定函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值，无极大值； (2) (3)当时，方程的解为个；当或时，方程的解为个；当时，方程的解为个. 【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）由函数的单调性、极值即可作出图象. （3）利用数形结合法即可求解. 【详解】（1）由，定义域为 ， 令，即， 令，即， 令，即， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，为极小值点， 所以函数的极小值为，无极大值. （2）略 （3）方程解的个数等价于与的交点个数. 由（2）可知当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个. 12．（24-25高二下·河南洛阳·阶段检测）已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验； （2）结合函数的单调性和极值情况，只需满足，解之即得. 【详解】（1）由题意得， 由函数在及处取得极值，得 解得，此时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 故. （2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根，所以 解得，所以实数c的取值范围是． 13．（2026高二·全国·专题练习）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 14．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减， (2)略 【分析】（1）利用导数计算研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性及零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）证明：易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. B能力提升 15．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； (2)讨论零点的个数. 【答案】(1)（i） （ii）极大值为，无极小值 (2)当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点 【分析】（1）（i）结合题意与导数的几何意义求解切线方程即可，（ii）结合题意求出，再结合导数研究单调性，进而求解极值即可. （2）对进行求导得到的单调性，进而结合零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）（i）由题意得，则切点为， 又，所以， 所以切线方程为，即. （ii）由题意得， 所以，令，解得， 当变化时，的变化情况，如下表所示， 1 0 单调递增 单调递减 当时，有极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意得，令， 则，令，解得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为； ①当，即时，恒成立，所以无零点； ②当，即时，，所以有1个零点； ③当，即时，； 当时，；当时，， 所以在和上各有一个零点，即有2个零点. 综上：当时，无零点； 当时，有1个零点；当时，有2个零点. 16．（25-26高二下·山东东营·期末）函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)判断函数的零点个数． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的符号即可确定函数的单调区间； （2）根据函数的零点定义，将函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，利用求导判断函数的单调性与极值，图象趋势情况，数形结合即可求得参数在不同取值情况下函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 由可得，由可得或， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由可得，依题意，函数的零点个数即函数与直线的交点个数. 因，当时，，当或时，， 则函数在上单调递增；在和上单调递减， 且当时，，当时，，， 故当或时，两函数有1个交点；当时，两函数有2个交点；当时，两函数有3个交点； 即当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 17．（25-26高二下·北京·期末）已知和分别是函数的极值点． (1)求，的值及函数的单调区间； (2)若恰有两个不同的零点，求的值． 【答案】(1)，，的单调递增区间为，，的单调递减区间为 (2)当且仅当或时，有两个不同的零点． 【分析】（1）利用，求解即可； （2）利用零点存在定理讨论在区间，和上零点个数即可求解. 【详解】（1），，． ，分别为函数的极值点．且． 即 ，． ． ∴当，时，，单调递增； 当时，，单调递减． 则，分别为函数的极大极值点和极小值点． 的单调递增区间为，，的单调递减区间为． （2）当或时，至多有一个零点． 当，即．此时且， ∴在区间内存在唯一零点，此时恰有两个不同的零点． 当，即．此时且 ∴在区间内存在唯一零点，此时恰有两个不同的零点． 当且时，即．此时，． 在区间，，内分别存在唯一零点． 综上所述，当且仅当或有两个不同的零点． 18．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）函数，其中，定义域是一切实数. (1)求函数过点的切线方程； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，设切点为，利用导数求出切线斜率，结合切线过点即可求解； （2）构造函数，将方程只有一个解转化为直线与的图象只有一个交点，利用导数求出的单调性即可求解. 【详解】（1）已知函数，则， 设切点为，其中，切线的斜率，切线方程为， 因为切线过点，将代入得，即， 将和 代入得， 化简得，解得或， 当时，切点为，斜率，切线方程为，即； 当时，切点为，其中，斜率， 切线方程为，即； 因此过点的切线方程为或. （2）将方程变形为，令， 由于在时，方程只有一个解，等价于在时，直线与的图象只有一个交点， 求导，令 ， 由于，，所以在内，没有零点， 又因为，，因此在上单调递减， 端点值为，， 因为单调递减，值域为，要使直线与的图象只有一个交点，只需， 所以实数的取值范围. 19．（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2)的取值范围是 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，进而求得最小值； （2）先确定是方程的一个根，将问题转化为时仅有一个实根，构造函数分析其单调性和值域，确定参数范围即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，. 故的最小值为. （2）方程整理为，显然是方程的一个实根. 要使方程有两个不等实根，只需有且仅有一个非零实根，即时仅有一个实根. 令，则 . 令，则，解得. ①当时，，单调递减，此时， 且时，，时，，此时值域为， 因此当时，在有唯一解； ② 当时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处取最小值， 当时，， 因此当时，在上有唯一解； 当时，在上无实数解； 当时，在上有2个解； 因此，满足条件. 综上，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $