26.4.2 最大利润问题（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦二次函数的最大利润问题，通过旅行社营业额、商品销售等实际情境导入，衔接二次函数顶点式求最值的知识，以例题解析和分层练习为支架，帮助学生构建从数学性质到实际应用的思维路径。 其亮点在于以“用数学眼光观察、思维思考、语言表达”为核心，设计A学习理解（基础题）、B应用实践（综合题）、C迁移创新（方案设计题）三级练习，融入中考真题（如2025大庆中考题），通过问题驱动和模型构建，提升学生的应用意识与运算能力，教师使用可系统训练学生解决实际问题的能力。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数 第2课时　最大利润问题 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点　销售中的最大利润问题 1. 某旅行社在“五一”黄金周期间接团去外地旅 游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x满足 关系式y＝－x2＋100x＋28400，要使所获营业额最 大，则此时旅行团有(　C　) A. 30人 B. 40人 C. 50人 D. 55人 C 2 3 4 5 6 7 8 1 2. 某商店在销售某种商品时，已知所获利润y(元)与 销售的单价x(元)之间的关系式为y＝－x2＋24x＋ 2956，则获利最多为(　B　) A. 3144元 B. 3100元 C. 144元 D. 2956元 B 2 3 4 5 6 7 8 1 3. (2026·北京西城区月考)某种商品每件的进价为30 元，经调查表明：在某段时间内，若以每件x元(30 ＜x＜40，且x为整数)的价格出售，可卖出(42－x) 件，要使利润最大，每件的售价应为(　C　) A. 34元 B. 35元 C. 36元 D. 38元 C 2 3 4 5 6 7 8 1 4. 某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野 菜.经市场调查发现，山野菜的日销售量y(千克)与 每千克售价x(元)之间满足y＝－3x＋b的函数关系， 当x＝20时，y＝66. (1)求b的值. 解：(1)将(20，66)代入y＝－3x＋b，解得b＝126. 解：(1)将(20，66)代入y＝－3x＋b，解得b＝126. 2 3 4 5 6 7 8 1 (2)设该批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为 w元. ①求w关于x的函数解析式. ②当每千克山野菜的售价定为多少元时，该批发商 每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润 为多少元？ 解：(2)①由题意得w＝(x－18)(－3x＋126)＝－3x2＋ 180x－2268， ∴w关于x的函数解析式为w＝－3x2＋180x－2268. 解：(2)①由题意得w＝(x－18)(－3x＋126)＝－3x2＋ 180x－2268， ∴w关于x的函数解析式为w＝－3x2＋180x－2268. 2 3 4 5 6 7 8 1 ②w＝－3x2＋180x－2268＝－3(x－30)2＋432.∵－3 ＜0， ∴当x＝30时，w最大，最大值为432. ∴当每千克山野菜的售价定为30元时， 该批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大 ，最大利润为432元. ②w＝－3x2＋180x－2268＝－3(x－30)2＋432. ∵－3＜0， ∴当x＝30时，w最大，最大值为432. ∴当每千克山野菜的售价定为30元时， 该批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大， 最大利润为432元. 2 3 4 5 6 7 8 1 5. (2025·大庆中考)为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元(每套售价为整数).如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套.经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套.设每天的利润为W(元)，每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数). 2 3 4 5 6 7 8 1 (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； 解：(1)由题意，设每个A纪念品的成本为x元， 每个B纪念品的成本为y元， 则解得 答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成 本为35元. 解：(1)由题意，设每个A纪念品的成本为x元， 每个B纪念品的成本为y元， 则解得 答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成 本为35元. 2 3 4 5 6 7 8 1 (2)求当a为何值时，每天的利润W最大. 解：(2)由题意，每套成本为25＋35＝60(元)，售 价为a元， ∴每套利润为(a－60)元.∵售价为72元时销量为 80套， 每降价1元销量增加10套， ∴销量为80＋10(72－a)＝800－10a. ∴利润W＝(a－60)(800－10a)＝－10a2＋1400a －48000＝－10(a－70)2＋1000. 解：(2)由题意，每套成本为25＋35＝60(元)， 售价为a元， ∴每套利润为(a－60)元. ∵售价为72元时销量为80套， 每降价1元销量增加10套， ∴销量为80＋10(72－a)＝800－10a. ∴利润W＝(a－60)(800－10a)＝－10a2＋1400a －48000＝－10(a－70)2＋1000. 2 3 4 5 6 7 8 1 ∵65≤a≤72且a为整数，∴当a＝70时，每天的 利润W最大. ∵65≤a≤72且a为整数， ∴当a＝70时，每天的利润W最大. 2 3 4 5 6 7 8 1 6. 大熊猫属于中国独有的一种动物，数量稀少，被 称为“中国国宝”，某店专门销售熊猫公仔玩具， 成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元) 之间存在如图所示的一次函数关系.若规定每天熊猫 公仔玩具的销售量不低于240件，则每天获取的最大 利润为 元. 3840　 2 3 4 5 6 7 8 1 7. 某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动. 根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种 白鹅获得的利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的 函数关系式为y1＝ax2，饲养B种白鹅获得的利润 y2(万元)与投资金额x(万元)之间的函数关系式为y2＝ －3ax2＋bx.画出两函数的图象如图所示. (1)求函数y1，y2的表达式. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：(1)由条件可得 解得∴y1＝ x2，y2＝－x2＋2x. 解：(1)由条件可得 ∴y1＝x2，y2＝－x2＋2x. 2 3 4 5 6 7 8 1 (2)王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白 鹅.根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最 大？最大总利润是多少？ 解：(2)设投资m(0＜m＜ 10)万元饲养A种白鹅， 则B种白鹅的投资额为(10 －m)万元. 解：(2)设投资m(0＜m＜10)万元饲养A种白鹅， 则B种白鹅的投资额为(10－m)万元. 2 3 4 5 6 7 8 1 由题意得y1＋y2＝m2＋［－(10－m)2＋2(10－m)］， 整理得y1＋y2＝－m2＋m＋5＝－(m－5)2＋7.5， 答：当投资5万元饲养A种白鹅，投资5万元饲养B 种白鹅时，可使得总利润最大，最大总利润为 7.5万元. ∴当m＝5时，y1＋y2有最大值，最大值为7.5. 答：当投资5万元饲养A种白鹅，投资5万元饲养B 种白鹅时，可使得总利润最大，最大总利润为 7.5万元. 2 3 4 5 6 7 8 1 8. 新考向 方案设计 (2026·广州期中)某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式.因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件.要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装总件数相等.每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元，如果每天 多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 2 3 4 5 6 7 8 1 服装 种类 加工人 数(人) 每人每天加 工量(件) 平均每件 获利(元) 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 任务1：求x，y之间的数量关系. 任务2：设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的 函数表达式. 任务3：制定使每天总利润最大的加工方案. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：任务1：根据题意，得(70－x－y)×1＝2y. 整理得y＝－x＋. 任务2：根据题意得“雅”服装每天获利为x[100－ 2(x－10)]元， ∴w＝2y×24＋(70－x－y)×48＋x[100－2(x－10)]＝ (－16x＋1120)＋(－32x＋2240)＋(－2x2＋120x)， 整理得w＝－2x2＋72x＋3360. 2 3 4 5 6 7 8 1 任务3：由任务2得w＝－2x2＋72x＋3360＝－2(x－ 18)2＋4008， ∴当x＝18时，w的值最大，此时y＝－×18＋＝ ， 不符合题意.∴x≠18.∵抛物线开口向下，∴取x＝ 17或x＝19. 任务3：由任务2得w＝－2x2＋72x＋3360＝ －2(x－18)2＋4008， ∴当x＝18时，w的值最大，此时y＝－×18＋＝， 不符合题意.∴x≠18.∵抛物线开口向下， ∴取x＝17或x＝19. 当x＝17时，y＝，不符合题意； 当x＝19时，y＝＝17， 符合题意.∴70－x－y＝34.综上， 2 3 4 5 6 7 8 1 安排19名工人加工“雅”服装， 17名工人加工“风”服装， 34名工人加工“正”服装，可使每天的总利润最大. 2 3 4 5 6 7 8 1 $