河北省保定市部分高中2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学参考答案 1.BB={x|x3=4x}={0,-2,2},则A∩B={-2,0}. 2.D由(2+Dz=x-41,得x=1-211-iD=-2-21,则z=-2+21 -41 3A由千<0，得>1或<一号所以x>1”是青<0”的充分不必要条件 4.C设{am}的公差为d,则2as+a8=2(a1+4d)十a1+7d=3a1+15d=3a6,则a6=16. 5.D因为b=1.490.02>1.49°=1,1=log,7>a=log75=1og,252=log4925>c=log4924,所以c <a<b. 6.B因为g(f(-x)=g(-f(x)=g(f(x),所以g（f(x))是偶函数，排除C,D. 又f(x),g(x)均在[0，+∞)上单调递增，所以g(f(x))在[0，+∞)上单调递增，排除A.故 选B. 7.B由题意可知mg-血2-k,则sin0=s血2asn8=2 os asin.因为0<B<a<于，所 sin B sin 0 sin a 以cosa<cosB,则sin0<2 cos Bsin3=sin2,3,则0<23. 区os2之经所以in0=2 cos asin9>2si9>si月，则0>B,则月028 8.C易知f(x)的定义域为(0，十∞)， 则g(x)=xfx)=x+x)logz x3+1 由x∈0，十∞)，得上∈(0，十∞)，所以fx)与f()的值域相同，则f()的最大值为 M,则g(x)的最小值为一M又f(x)无最小值，所以g(x)无最大值. 9.BCDg(x)=f(x+)=sin(πx+),A错误， 6r一 由xE[0,1,得x+晋∈[吾，]，则g(x)在[0,1]上的最小值为g(1)=sim 一sn于B正确， 因为g(-)=sin(一2x)=0,所以g(x)的图象关于点(-号，o)对称，C正确 因为g(x)的最小正周期T=2π=2，且g(1)十g(2)=0,所以g(1)十g(2)十g(3)十…十 g62026)=202Lx1)+g(2]=0,D正确 【高三数学·参考答案v第1页（共7页）】 10.BD设直线y=ax+b与曲线y=x2+1、y=x2分别相切于点A(x1,x+1),B(x2,x), 则切线方程可写藏)一+1D=2z,红-x)和y厦2（红-，.则a=2红1 6=1-i-会，期w=2·会-由h=2a,1-)=-2i计2 2W/x2 2/x2 }得8x-81十1-0因为>0，所以由2红12得>0.令f0e)=88x十1 2√x2 (x>0),则f(x)=24x-8,当x∈(0，)时，f(x)<0,fx)单调递减，当x∈(， 十)时，f(x)>0,fx)单调递增因为f0=1>0,f1)=1>0,f停)=1-16y50, 所以x1∈(0,1)，则a十b=-x+2x1+1∈(1,2). 1,AB对于A,由a.=3m,得S.na十a)_30十1，易知nm,+1少为正整数，取m 2 2 2 nn十1)，则S=3m,则an=S,a.为“封闭数列”，A正确。 2 对于B,Sn=2十a十22十a十…十2”十a=2+1-2十na.若{an}为“封闭数列”，则存在正整 数m,使得2”十a=21-2+0,当n≥2时，得a=2-2t1+2 n-1 .由n的任意性，不妨取n 2和3则存在正整数m1和m使得221十22一2B 2-1 3-1 ,整理得21十2=21 十1，由21+2为偶数，得2？1十1为偶数，则m2-1=0,得m2=1,此时2：1+1=2，然而 21+2>2,与2m1+2=2?-1+1矛盾，故不存在常数a,使得{an}为“封闭数列”，B正确。 对于C,设a,-3,6.-Lm= 显然{an}和{bn}均为“封闭数列”， （0,n≥2， 设c.=a,十6。=，m-,当m=2时，S,=61十c,=10, 3n,n≥2， 由于c1=4,则c1≠S2,对任意大于1的正整数m,cm=3m为3的倍数，则cm≠S2, 即当n=2时，不存在正整数m,使得cm=Sn,则{cn}不是“封闭数列”，C错误 对于D,取a,=,则{an为“封闭数列”，且S。-n(a1十a）_n(n十1)， 2 2 则S1十S,=1+3=4,若1S,}为“封闭数列，则存在正整数m,使得S=4,则m(m+1)- 2 4,即m(m十1)=8，显然该方程无正整数解，D错误 12.2由f(x)=(x十a)e,得f'(x)=(x十a十1)e.因为x=-3是f(x)的极值点，所以 f'(-3)=(a-2)e3=0,解得a=2. 【高三数学·参考答案V第2页（共7页）】 18.号8+2w5因为S-abinC.所以a2+6=g2dsnC.又c=3,所以9=a2+6 一2 2abcoC,则停nC=-csC,则amC=-g,因为C∈0，R,所以C=经，则sC= 司，则9=a2+b-2 abeosC=a2+82+h=(a+b)-ab≥(a+b)3,当且仅当a=b 时，等号成立，则a+b≤2√3，则△ABC周长的最大值为3+23. 14.6任取其中一个向量作为基准，由任意两个向量平行或垂直可知，这10个向量至多分布在 两条互相垂直的直线上.设与向量m=(1,1)的夹角为锐角的向量共有m个，其余共有 10一m个.对任一条直线，若该直线的方向向量与m-(1,1)垂直，则该直线上与m=(1,1) 的夹角为锐角的向量的个数为0；否则，设与m=(1,1)成锐角的方向上有p个向量，反方向 上有q个向量.由10个向量之和为零且两条直线互相垂直，得该直线正、反两个方向上的向 量模之和相等.由于每个向量的模为1或2，锐角方向上的向量模之和不小于p,反方向上的 向量模之和不大于2g,所以p≤2g.对两条直线分别应用上述结论并相加，得m≤2(10 m),即3m≤20，又m为整数，所以m≤6.取6个向量a=(1,0),2个向量b=(-2,0)和 2个向量c=(一1,0)，则它们的和为零向量，且恰有6个向量与m=(1,1)的夹角为锐角，故 最大值为6. 15.解：(1)由题可设f(x)=xm. …1分 因为fx)的图象经过点日，号），所以号-（分） 2分 解得m= 2, …4分 则f(x)=x 5分 (2)1可得gx)=x2=反-2（x>0, …6分 因为f(1)=1,所以由f(1)+g(2x-3)<0,可得g(2x-3)+1<0,即g(2x一3)<-1. ...o …7分 又g(1)=-1,所以由g(2x-3)<-1,可得g(2x一3)<g(1).…9分 易知g(x)在(0，十∞)上单调递增，所以0<2x一3<1，…10分 解得<2。 ………12分 故原不等式的解集为(，2). …13分 16.(1)解：因为A+B+C=π，所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)= tan A+tan B 1-tan Atan B' …2分 又tanC=tanA十tanB,且△ABC是锐角三角形，所以tanA十tanB>0,…3分 【高三数学·参考答案v第3页（共7页）】 则1-tan Atan B=-1,即tan Atan B=2.…4分 因为tanA∈Z,tanB∈Z,且A<B,所以tanA=1,tanB=2,…5分 则A=至 6分 (2)证明：设A,B,C所对的边分别为a,b,c,由(1)可得tanB=2,tanC=3, 5,sin C=3v10 则cosB= 10 …8分 因为D是AC的中点，所以BD=(B+BC,…10分 则Bd2=Bi+2B.BC+BC)=子a2+c2+2 acB.)…11分 sinC=3,则c=36 由Ac得合- 5,…13分 则Bi2=子a2+e2+2 accos B)=a2,… …14分 则|BD=a,即BC=BD. 15分 17.解：(1)当n=1时，a1=S1=3a1-2,解得a1=1. …1分 当n≥2时，由Sn=(2+1-1)an-2, 得Sn-1=(2m-1)am-1-2,… 2分 则an=Sn-Sn-1=(2+1-1)an-(2-1)am-1,… 3分 则2=2”-11 a12n+122…… 5分 则{a}是以1为首项，2为公比的等比数列， 6分 则a=(号) …7分 2x() 2 (2)由(1)可得b, 1+(2)2 …9分 2n+1 则 …12分 an 设)的前项和为T,则工，=4（合君+号号十… 1 1 0 an 2m-1+12m+1 5……0…l3分 4_2m+1-2 =2-2+1-2+1 15分 18.解：(1)f(x)=3cos(2x-）-cos2x=3(eos2zcos晋+sin2xsin若) c0s2x… …1分 【高三数学·参考答案V第4页（共7页）】 2 cos 23 3 sin2x-cos2x=sin(2x+g）.… 2分 当2张r<2z+晋≤x十2张，k∈Z,即十k≤r≤径+km,k∈Z时f)≥0，则g) |f(x)川-f(x)=0.…3分 当x+2k2x+骨<2x+2张x,k∈Z,即登+kr<<+x,k∈Z时，-1长f)<0。 则g(x)=|f(x)川-f(x)=-2f(x)=-2sim(2x+)∈(0,2]. …4分 0,-是十ex≤x≤+kπ，kE乙， 故g(x) -2s(2z+君）)，登+<x<晋+xk∈z 可得g(x)的最小正周期为π，值域为[0,2]. …5分 (2)(方法-)由g(x)的图象可知，若+k∈[4，t+买]∈2D,则gx)在[，+]上 的最大值为2，不符合题意.… 6分 若+kπE[,+]k∈Z,则gx)在[，+]上的最大值为g)或g+), … …7分 若g)在[c,t+]上的最大值为gd),则-2sin(2:+)-尽，得sin(2+)=- 2 则由g)的图象可得，2+若-受+2x,k∈Z,且2(e+）+吾<19+2张xk∈Z,得： 3T士k元，k∈Z.… 4 …8分 若g(x)在[，t+]上的最大值为g(+),则-2sim(2+）-3,得sin(2z+）) 则由g)的图象可得，2x+-智+2，k∈乙，且2+晋≥-晋+2k,k∈Z,得1 √3 晋+eπk∈乙 …9分 因为>0，所以t的最小值为行 …10分 （(方法=)油x[1+],得2x+音∈[2x+晋，2+】 6分 2π、2π 因为>0，所以2+晋>石2+智 …7分 2π4π 又g(x)在[t,t计T]上的最大值为3，所以：的最小值满足21+3-3， …9分 【高三数学·参考答案v第5页（共7页）】 解得的最小值为空 …10分 (3)油g(x)=1,可得-2sin(2x+若)=1，得sin(2x+）=-, …11分 则2z士不-7T+2kr或2z士天_T+2kπ，k∈乙，…12分 解得x=受十kπ或x-+友，k∈乙 …13分 结合g(x)的图象可知，当k<m<十k元，k∈时，g(x)在[0，m]上的图象与直线y=1 的交点个数为0，不符合条件；…14分 当受十k≤m<+k,k∈N时，g(x)在[0，m]上的图象与直线y=1的交点个数为奇数， 符合条件；…15分 当管+kr≤m<经+x,kEN时，g(x)在[0，m]上的图象与直线y=1的交点个数为偶 数，不符合条件…16分 综上所述，m的取值范围为[受十x,否+)k∈.…17分 19.(1)解：因为f(x)=x-x2+lnx,x>0,所以f'(x)=1-2+1=-(2x+1(x-1 …1分 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， ……2s分 故f(x)的最大值为f(1)=0.… …3分 (2解：由vz∈0,1，x)≥a-+1,得Vxe0,la1++ ……4分 令)=1+是+血x-1（0<x≤1)，则'(x)=-名+1-lnx+是2-n)-2 …5分 令p(x)=x(2-lnx)-2(0<x≤1)，则p'(x)=1-lnx>0在(0,1]上恒成立，则p(x)在 (0,1]上单调递增，则p(x)≤9(1)=0，… …6分 从而h'(x)≤0在(0,1]上恒成立，则h(x)在(0,1]上单调递减，则h(x)≥h(1)=1,… …7分 故a的取值范围为（一0∞，1门.…8分 (3)证明：不妨令an<bn,则由(1)可知0<am<1<bn.…9分 令H(x)=g(x)-g(2-x)(0<x<1),则H′(x)=g'(x)+g'(2-x)= 【高三数学·参考答案V第6页（共7页）】 -(2x+1)(x-1)(5-2x)(1-x)_2(1-x)2 x 2-x x(2->0在(0,1)上恒成立，则H(x)在(0,1) 上单调递增，则H(x)<H(1)=0,则g(x)<g(2-x)在(0,1)上恒成立.…10分 由0<am<1<bm,得g(am)<g(2-am).因为g(bn)=g(am),所以g(bm)<g(2-am).… ……11分 又bn∈(1，十∞)，2-an∈(1，十∞)，且g(x)在(1，十∞)上单调递减，所以bm>2-am,即 an十bn>2.…12分 由bnm-b员+lnbm十n=0,得lnbn=b2-bn一n. 因为bm>1,所以易得lnbn<bn一1，…13分 则由lnbn=b-bm-n,得b-bn-n<bn-1,则b-2bn-n十1<0， 即[bn-(√n+1)][bn+(n-1)]<0,得1-n<bm<√n+1, 从而1bn<√n十1.…14分 同理，由0<an<1,g(an)=an-a员十lnan十n=0,得am-a员十lnam=-n. 由g(am+1)=an+1一a+1十lnan+1十n十1=0，得a+1-a+1十lnam+1=-n-l, 则a+1-a+1十In a1<an-a员+lnam,即f(an+i)<f(an). 因为f(x)在(0，l)上单调递增，所以an+1<an,故a.≤a1.… …15分 由(2)可知，当a=1时，由f(x)≥x-x2-1+1,得1nx≥1-1 1 因为a1-a+lna1+1=0(0<a1<1),所以lna1>1-, 则a-a-1>l即ai-ai-2a+10 设k(x)=x3-x2-2x+1(0<x<1), 则'(x)=3x2-2x-2,当0<x<1时，k'(x)<0, 则kx)在(0,1D上单调递减，因为(0)=1>0，（号）=一日<0， 所以0<a,<号，则a,<a1<号则a.十6.<a+, 16分 放2<a,+b.<元+是 17分 【高三数学·参考答案v第7页（共7页）】高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 水 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，等式与不等式，函数与导数，三角 乐 函数与解三角形，平面问量，复数，数列。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={一2,0,1,4}，B={xx3=4x},则A∩B= A.{-2,1} B.{-2,0} C.{0,1} D.{0,4} 裁 2.若复数x满足(2+i)之=之一4i,则之= A.2-2i B.2+2i C.-2-2i D.-2+2i 3.“x>1”是“ 到 2x+1<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在公差不为0的等差数列{an}中，2a5十a8=48,则 茶 A.ag=16 B.a7=16 C.a6=16 D.a4=16 5.设a=l0g75,b=1.490.2,c=1og924,则 A.b<c<a B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且f(x),g(x)均在[0，+∞)上单调 线 递增，则g(f(x)的图象可能为 7.如图，当光线从介质6射入介质ε时，光线会发生折射，入射光线与法线1的夹角为人射角， 折射光线与法线（的夹角为折射角.物理学家斯涅耳发现，在介质8和介质ε固定不变的情 【高三数学可第1页（共4页）】 况下，人射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比.当入射角为 入射光线： 法线 a时，折射角为日，其中0<3<a<平，若将入射角变为2a,设此时 介质8 0 的折射角为0，则 介质e A号<0< B.B<0<23 折射光线 C.0=23 D.0>23 &.设函数fx)=x牛1)1二的最大值为M,且fz无最小值，则函数名)=x)的 x3+1 A.最大值为 B.最小值为M一M 1 C.最小值为一M D投大值为M及 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若将函数f(x)=sin元x的图象向左平移5个单位长度，得到函数g(x)的图象，则 A.g()=sin(nz+) Bg(x)在[o,1门上的最小值为一sin晋 Cg(x)的图象关于点(-号，0)对称 D.g(1)+g(2)十g(3)+…+g(2026)=0 10.若直线y=ax十b与曲线y=x2十1、y=x均相切，则 A.ab=1 Bb=号 ca+be(号，l) D.a+b∈(1,2) 11.设数列{am}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n,存在正整数m,使得am=Sm,则称 {an}为“封闭数列”，下列结论正确的是 A.若an=3n,则{an}为“封闭数列” B.若am=2m十a,则不存在常数a,使得{an}为“封闭数列” C.若{an}和{bn}均为“封闭数列”，则{am十bn}一定为“封闭数列” D.若{an}为“封闭数列”，则{Sn}一定为“封闭数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若x=一3是函数f(x)=(x十a)e的极值点，则a=▲ 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S.已知c=3,a2十b2=9一 4 3⊙，则cosC=▲一，△ABC周长的最大值为▲· 14.平面内的10个向量满足：①这10个向量的和为零向量，②每个向量的模为1或2，③任意两 个向量平行或垂直.这10个向量中与向量m=(1,1)的夹角为锐角的向量个数的最大值 为▲ 【高三数学可第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知署函数f)的图象经过点（分，受》，两数gx)-子(x)兰 (1)求f(x)的解析式： (2)求不等式f(1)+g(2x一3)<0的解集. 16.(15分) 在锐角△ABC中，A<B<C,且tanC=tanA+tanB,tanA∈Z,tanB∈Z. (1)求A: (2)若D是AC边的中点，证明：BC=BD. 17.(15分) 已知数列{am}的前n项和为Sn,且Sn=(2+1一1)an一2. (1)求{an}的通项公式： 2来数列2会的前灵和 2若.许 【高三数学可第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数f(x)=3cos(2z-)-cos2x,g(x)=|f(x)川-f(zx). (1)求g(x)的最小正周期和值域； (2)若g(x)在[t,t+平](e>0)上的最大值为3，求t的最小值： (3)若g(x)在[0，m]上的图象与直线y=1的交点个数为奇数，求m的取值范围. 务 19.(17分) 已知函数f(x)=x一x2十lnx. (1)求f(x)的最大值： (2)若YxE(0,1],f(x)≥ax-x2-1+1,求a的取值范围； x (3)记函数g()=f(x)+n(n∈N~)的零点分别为a.和6，证明：2<a.+b,<m+ 封 线 【高三数学7第4页（共4页）】