第6章 第7节 角的和差（听课本）-【牵手名师】2026-2027学年七年级上册数学课件（浙教版·新教材）

精 听课 手名师 准学讲练 数学 本 七年级上册 浙教版 听课本 第7节角的和 差 牵手名师精准学讲练数学 知识点7》 一、角的和差★ 1.一般地，如果一个角的度数是另两 个角的度数的和，那么这个角就叫作另两 个角的和；如果一个角的度数是另两个 角的度数的差，那么这个角就叫作另两个 角的差。 2.两个角的和或差仍是一个角。 ☆☆☆注意：用符号表示角的大小关 系时，角的符号“∠”一定不能遗漏。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 二、角的平分线★★ 1.从一个角的顶点引出的一条射线， 把这个角分成两个相等的角，这条射线叫 作这个角的平分线。 2.如图，OC是∠AOB的平分线，那么 会有∠A0C=∠B0C-∠AOB, ∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠AOC =2∠BOC。 听课本 A C B ☆☆☆注意：角的平分线是一条从角 的顶，点引出的、在角的内部的、把角平分的 射线，不是线段或直线。 牵手名师精准学讲练数学 例题解读》 【例1】如图，将一副三角尺叠放在一起，使直 角顶点重合于点O,若∠COB=3∠AOD, OE为∠AOD的平分线，则∠COE的度 数是(D)。 A E B 0 (例1) A.45° B.60° C.65 D.67.5 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式1.1】如图，已知∠COB= OD平分∠AOB,且∠COD ∠AOD的度数为(C)。 B A (变式1.1) A.40° B.45 C.60° 听课枣 2∠AOC =20°，则 D.75° 牵手名师精准学讲练数学 【变式1.2】如图，∠AOB：∠BOC：∠COD= 2:3:4,射线OM,ON分别平分∠AOB, ∠COD,若∠MOV=84°，则∠AOB的度数 为(B)。 W C D B M A 0 (变式1.2) A.14° B.28 C.42° D.56° 听课困 牵手名师精准学讲练数学 【例2】如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥ OF,OF平分∠BOD,∠BOF：∠BOC= 1:4,则∠BOE的度数为(C)。 B D 0 (例2) A.45° B.559 C.60° D.65° 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【变式2.1】如图，直线AB,CD相交于点O, OE⊥CD,OF平分∠BOD,若∠AOE十 ∠BOF=66°，则∠BOC=132°。 D E B C (变式2.1) 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【变式2.2】已知∠AOB和∠BO℃互为邻补 角，OD平分∠BOC,射线OE在∠AOB 内部，且4∠BOE十∠BOC=180°， ∠DOE=65°，OM⊥OB,则∠MOE= 115°或65°。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 【例3】如图1，射线OC在∠AOB内部，图中 A 共有三个角，分别是∠AOC,∠AOB, ∠BOC,若其中有两个角的度数之比为 1：2,则称射线OC为∠AOB的“幸运 线”。如图2，若∠MON=120°，射线OP 为∠MON的“幸运线”，则∠MOP的度数 是60°或80°或40° 听课本 M C 0 B N 0 图1 图2 (例3) 牵手名师精准学讲练数学 【变式3.1】如图，已知O为直线AC上一 A. 点，以O为端点作射线OB,∠AOB= 120°，将射线OA绕点O逆时针旋转，旋 B. 转速度为5°/s,旋转后OA对应射线为 OA1,旋转时间为ts,当OA1与OC重 C. 合时运动停止，射线OD为∠A1OB的 D. 平分线，射线OE为∠COA1的四等分 线，即∠(0E=∠C0A当∠COE ∠BOD|=40时，t的值为(B)。 听课本 号 或 28 B 罗 或 28 A C 9或0 (变式3.1) 19 3 牵手名师精准学讲练数学 【变式3.2】已知射线OC在∠AOB的内部， 若∠AOB,∠AOC和∠BOC三个角中 有一个角的度数是另一个角的度数的 日，则称射线0C是∠A0g的奇分线。 (1)判断一个角的平分线是不是这个角 的奇分线。 (1)一个角的平分线是这个角的奇分线 听课本 (2)如图，∠MPN=54°。 ①若射线PQ是∠MPN的奇分线，求 ∠QPN的度数。 ②射线PF从PN位置开始，以每秒旋 转3°的速度绕点P按逆时针方向旋转， 当∠FPN首次等于180°时停止旋转， 设旋转的时间为ts。当t为何值时，射 线PM是∠FPN的奇分线？ M M N ◇ N 备用图 (变式3.2) 牵手名师精准学讲练数学 (2)①∠MPN=54°，若射线PQ是∠MPN的奇分线， 则根据奇分线的定义可知有3种情况符合题意： 当∠QPN=?∠QPM时， )当3154十2X54时，解得 ∠QPN+∠QPM=2∠QPM+∠QPM=54, 当3t=54×2时，解得t=36; 当3t=54+2×54时，解得t=54。 解得∠QPM=36°， 综上所述，当t为27或36或54时，射线PM是∠FPW 则∠QPN=18°； 的奇分线。 当∠QPM=∠QPN时， ∠QPN+∠QPM=∠QPN+g∠QPN=54, 解得∠QPN=36°； 当∠QPN=∠MPN时， ∠QPN=2×54=27, 综上所述，∠QPN的度数为18°或36°或27°。 T床 牵手名师精准学讲练数学 【例4】如图，∠AOC=110°，B是射线OA的 反向延长线上的一点。现将射线OA绕 点O顺时针旋转至与射线OB重合为 止，若射线OA旋转的速度为10°/s,旋 转时间为ts,则当射线OA,射线OB,射 线OC分别构成两个相等的角（重合除 外)时，t的值是4或。 14.5 听课本 A、 C B (例4) 牵手名师精准学讲练数学 【变式4.1】定义：从一个角（小于180°）的顶 点出发，在角的内部引两条射线，如果 这两条射线所构成的角等于这个角的 号，那么这两条射线所构成的角叫作这 个角的“三分角”。如图1所示，若 ∠COD-3∠A0B,则∠COD是∠AOB 的“三分角”。 A B B 图1 图2 (变式4.1) 听课本 (1)如图1，已知∠AOD=70°，∠COB= 50°，∠COD是∠AOB的“三分角”，求 ∠COD的度数。 (2)如图2，已知∠AOB=60°，OD是 ∠AOB的平分线，射线OC从OA出发， 绕点O以3°/s的速度按顺时针方向旋 转，设旋转时间为ts,当∠COD是 ∠AOB的“三分角”时，求t的值。 牵手名师精准学讲练数学 【变式4.1】解：(1)因为∠AOD=70°，∠COB=50°， 所以∠COD=70°+50°-∠AOB。 因为∠COD是∠AOB的“三分角”， 所以∠COD=号∠AOB, 所以∠COD=120°-3∠COD, 所以∠COD=30°。 听课枣 牵手名师精准学讲练数学 (2)因为∠AOB=60°，OD是∠AOB的平分线， 所以∠AOD=30°， 因为∠COD是∠AOB的“三分角”， 所以∠C0D=号∠A0B=20. 分两种情况讨论， 当∠AOC=∠AOD-∠COD-10时，t= 10 3 50 当∠AOC=∠AOD+∠COD=50°时，t= 3 综上所述，1的值为号或9。 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式4.2】如图1，已知射线OC在∠AOB 的内部，若∠AOB,∠AOC和∠BOC三 个角中有一个角的度数是另一个角度 数的2倍，则称射线OC是∠AOB的奇 妙线。 M C B P N 图1 图2 (变式4.2) 听课本 (1)一个角的平分线 是（选填 “是”或“不是”)这个角的奇妙线。 (2)如图2，∠MPN=60°。 ①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则 ∠QPN的度数为20°或30°或409 ②若射线PF从PV位置开始，以每秒 旋转3°的速度绕点P按逆时针方向旋 转，当∠FPN首次等于180°时停止旋 转，设旋转的时间为ts。当t为何值 时，射线PM是∠FPN的奇妙线？ 牵手名师精准学讲练数学 ②因为射线PM是∠FPN的奇妙线， F 所以PM在∠FPN的内部， M 分三种情况： (I)如图1所示，当∠NPM=2∠FPM时， 所以∠FPM=2∠NPM=合×60=80， P N 图1 所以∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°， 所以t=90÷3=30(s); M (Ⅱ)如图2所示，当∠FPN=2∠MPN时， 所以∠FPN=2×60°=120°， 折以t=120÷3=40(s); 图2 听课本 牵手名师精准学讲练数学 (Ⅲ)如图3所示，当∠FPM=2∠NPM时， 因为∠FPM=2×60°=120°， 所以∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°， 所以t=180÷3=60(s)。 综上所述，当t为30或40或60时，射线PM是∠FPN 的奇妙线。 M F P N 图3 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【例5】刚上初中的小禾为了更加高效地完 成作业，准备进行限时训练，为此特意 去商店买了一块机械手表。某日8：30， 小禾看着手表的指针，开始思考如下 (例5) 问题。 (1)8:30时，分针和时针的夹角为多 少度？30°×2+30×0.5°=75 (2)经过多长时间，时针与分针第一次 相遇？(2)设经过x分钟，时针与分针第一次相遇， 则6x-0.5x=75,解得x- 150 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式5.1】时钟在6点10 针厅成角度是(A)。 A.125° B.120° C. 听课本 分时，时针和分 115° D.126° 牵手名师精准学讲练数学 38 【变式5.2】7时 针与分针重合。 听课本 2 11分时，钟 面上的时 牵手名师精准学讲练数学 【例6】点O为直线AB上一点，在直线AB 同侧任作射线OC,OD,使得∠COD= 90°。 (1)如图1，过点O作射线OE,使OE为 A B 图1 ∠AOD的平分线。若∠COE=25°，则 ∠DOE=65°，∠A0C= 40°. E (2)如图2，过点O作射线OE,当OE恰 A 0 B 好为∠AOC的平分线时，另作射线OF, 图2 使得OF平分∠BOD。∠EOF=135° ①若∠AOC=50°，求∠EOF的度数。 A B ②若∠AOC=a(0°<a<90°)，则∠EOF 备用图 (例6) 的度数是135°（直接填空）。 听课本 (3)过点O作射线OE,当OC恰好为 ∠AOE的平分线时，另作射线OF,使 得OF平分∠COD,当∠EOF=10°时， ∠A0C的度数是35°或.55° 牵手名师精准学讲练数学 (2)①因为∠AOC=50°，∠C0D=90°。 所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=40°。 因为OF平分∠BOD,OE平分∠AOC, 所以∠D05=7∠B0D=20,∠C0E=2∠A0C=25. 所以∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=25°+90°+20°=135°。 听课本 牵手名师精准学讲练数学 【变式6.1】如图，平面内∠AOB=∠COD= 90°，∠COE=∠BOE,OF平分∠AOD, 有以下结论：①∠AOE=∠DOE, ②∠AOD+∠COB=180°，③∠COB- ∠AOD=90°，④∠COE+∠BOF= 180°。其中正确的结论有(C)。 A.1个 B.2个 B C.3个 D.4个 E 听课枣 (变式6.1) 牵手名师精准学讲练数学 【变式6.2】已知∠AOB=100°，∠BOC= 70°，OM平分∠AOB,ON平分∠BOC, 则∠MON=15°或。 85° 听课本 牵手名师精准学讲练数学 牵手名师 精准学讲练 数学七年级上册浙教版 感谢您的观看