专题15 锐角三角函数、解直角三角形及其应用（3年汇编）（江苏专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

专题15 锐角三角函数、解直角三角形及其应用 3年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2024-2026） 命题规律 考点01 锐角三角函数的有关计算 （2025·江苏南通·中考真题） （2025·江苏常州·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） （2024·江苏无锡·中考真题） （2026·江苏盐城·中考真题） （2024·江苏常州·中考真题） （2024·江苏扬州·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） · 情境设置：以矩形、菱形、网格、直角三角形为背景，结合平移、折叠等图形变换。 · 考查重点：特殊角三角函数值计算、由边角关系求三角函数值、构造直角三角形求解。 · 命题趋势：弱化纯记忆计算，强化在几何图形中转化与构造，注重与图形变换融合。 考点02 解直角三角形的实际应用—仰俯角 （2026·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏南通·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） （2024·江苏宿迁·中考真题） · 情境设置：飞机测控点、测量旗杆、无人机测楼高、测量古塔等真实测量情境。 · 考查重点：仰角俯角概念识别、构造直角三角形、三角函数建模求解高度距离。 · 命题趋势：情境贴近生活实践，强调数学建模与应用意识，数据真实化。 考点03 解直角三角形的实际应用—坡度、坡角 （2025·江苏镇江·中考真题） （2025·江苏扬州·中考真题） （2024·江苏南京·中考真题） （2026·江苏宿迁·中考真题） · 情境设置：坡道行走、正方体容器置于斜坡、路灯上坡等坡度坡角情境。 · 考查重点：坡度坡角转化、垂直升高与水平距离计算、分段路径综合求解。 · 命题趋势：注重坡度与生活场景结合，强化多段路径与图形综合，考查转化能力。 考点04 解直角三角形的实际应用—方位角 （2024·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） （2024·江苏南京·中考真题） · 情境设置：港口与岛屿、灯塔方位、古代"邑的计算"等航海与历史文化情境。 · 考查重点：方位角识别与转化、构造直角三角形、多目标点距离与角度求解。 · 命题趋势：融合传统文化与航海实际，强调方位角建模，考查综合运算能力。 考点05 解直角三角形的其他综合应用 （2026·江苏淮安·中考真题） （2026·江苏苏州·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏镇江·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2025·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） · 情境设置：机械臂、遮阳伞、拉杆箱、折叠梯、景观墙测量等工程与生活情境。 · 考查重点：实际问题抽象为几何模型、多直角三角形联合求解、动态与折叠分析。 · 命题趋势：情境多元化综合化，强调跨知识点整合与实践创新，突出建模素养。 考点01 锐角三角函数的有关计算 1．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 6．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 8．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 考点02 解直角三角形的实际应用—仰俯角 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）    4．（2024·江苏宿迁·中考真题）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量七凤塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角． … 已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度， （参考数据：） 考点03 解直角三角形的实际应用—坡度、坡角 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 3．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 4．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 考点04 解直角三角形的实际应用—方位角 1．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 3．（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．） 考点05 解直角三角形的其他综合应用 1．（2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 2．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 3．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 8．（2025·江苏徐州·中考真题）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作．同学们测得，，．求的长度（精确到）． 答案（参考数据：，，，，，） 9．（2024·江苏淮安·中考真题）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 10．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 11．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； (2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 1．（2026·江苏宿迁泗洪县·中考模拟）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则的值为________． 2．（2026·江苏宿迁宿城区·中考模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 3．（2026·江苏南京·中考模拟）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面尺，第二次露出水平面尺，已知两次与水平面的夹角分别是与，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离． 4．（2026·江苏盐城盐都区·中考模拟）海春轩塔始建于唐贞观年间，为七层八角密檐砖塔，是江苏省现存最古老的塔之一．某兴趣小组想测量塔高，方案与测量结果如下表： 测量海春轩塔的高度 测量工具 测角仪、无人机 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果    步骤如下： ①先在塔底水平地面点处测得塔尖的仰角； ②后用无人机在点的正上方米的点处，测得塔尖的仰角为． 已知，，，四点在同一个平面内，于点，于点，求海春轩塔的高度． (结果精确到米，参考数据：，，) 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 锐角三角函数、解直角三角形及其应用 3年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2024-2026） 命题规律 考点01 锐角三角函数的有关计算 （2025·江苏南通·中考真题） （2025·江苏常州·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） （2024·江苏无锡·中考真题） （2026·江苏盐城·中考真题） （2024·江苏常州·中考真题） （2024·江苏扬州·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） · 情境设置：以矩形、菱形、网格、直角三角形为背景，结合平移、折叠等图形变换。 · 考查重点：特殊角三角函数值计算、由边角关系求三角函数值、构造直角三角形求解。 · 命题趋势：弱化纯记忆计算，强化在几何图形中转化与构造，注重与图形变换融合。 考点02 解直角三角形的实际应用—仰俯角 （2026·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏南通·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） （2024·江苏宿迁·中考真题） · 情境设置：飞机测控点、测量旗杆、无人机测楼高、测量古塔等真实测量情境。 · 考查重点：仰角俯角概念识别、构造直角三角形、三角函数建模求解高度距离。 · 命题趋势：情境贴近生活实践，强调数学建模与应用意识，数据真实化。 考点03 解直角三角形的实际应用—坡度、坡角 （2025·江苏镇江·中考真题） （2025·江苏扬州·中考真题） （2024·江苏南京·中考真题） （2026·江苏宿迁·中考真题） · 情境设置：坡道行走、正方体容器置于斜坡、路灯上坡等坡度坡角情境。 · 考查重点：坡度坡角转化、垂直升高与水平距离计算、分段路径综合求解。 · 命题趋势：注重坡度与生活场景结合，强化多段路径与图形综合，考查转化能力。 考点04 解直角三角形的实际应用—方位角 （2024·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） （2024·江苏南京·中考真题） · 情境设置：港口与岛屿、灯塔方位、古代"邑的计算"等航海与历史文化情境。 · 考查重点：方位角识别与转化、构造直角三角形、多目标点距离与角度求解。 · 命题趋势：融合传统文化与航海实际，强调方位角建模，考查综合运算能力。 考点05 解直角三角形的其他综合应用 （2026·江苏淮安·中考真题） （2026·江苏苏州·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏镇江·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2025·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） · 情境设置：机械臂、遮阳伞、拉杆箱、折叠梯、景观墙测量等工程与生活情境。 · 考查重点：实际问题抽象为几何模型、多直角三角形联合求解、动态与折叠分析。 · 命题趋势：情境多元化综合化，强调跨知识点整合与实践创新，突出建模素养。 考点01 锐角三角函数的有关计算 1．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】作垂线于，先利用勾股定理计算的长度，再利用面积法求出的长度，最后通过正弦的定义求出的值． 【详解】解：如图，作于，则， 四边形为矩形， ， ． 纸片沿方向平移到， ， ， ． ，， 的面积， ， ． 6．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 8．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 【答案】 【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 考点02 解直角三角形的实际应用—仰俯角 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）    【答案】17 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：17． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量七凤塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角． … 已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度， （参考数据：） 【答案】73.2米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意得，米，米，，， 在中，， ， 在中，， ， 米， ， 解得， （米， 答：塔的高度为73.2米． 考点03 解直角三角形的实际应用—坡度、坡角 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处 (2)6 (3)①线段的倾斜程度更大；② 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． （3）①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 4．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 考点04 解直角三角形的实际应用—方位角 1．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2)2.0千米 (3) 【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； 故答案为：； （2）过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为2.0千米． （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 3．（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．） 【答案】港口到航线的距离约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题．设交航线于点，过点作于点，过点作于点，由锐角三角函数定义求出、的长，设，再由锐角三角函数定义求出，则，然后由锐角三角函数定义列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设交航线于点，过点作于点，过点作于点， 则， 由题意知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 答：港口到航线的距离约为． 考点05 解直角三角形的其他综合应用 1．（2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1) 证明：， ∴根据光的反射定律可知． ． ∵， ． 是等边三角形； (2)①75    ②的长为厘米 【分析】(1)首先根据光的反射原理得到，然后，再由平角的定义得，再由平行线的性质得即可证的结论； (2)①首先根据题意及光的反射原理得到，再根据平角的定义得到； ②过点P作于F，首先，根据已知条件得到，然后，再证得，(厘米)，进而证得是等腰直角三角形，得，再由的余弦值得到的长，最后，由可得结果． 【详解】（1）略 （2）①解：∵，平面镜绕点顺时针旋转到位置， ∴根据光的反射定律可知， ∴； ②解：如图②，过点P作于F， 由(1)知，由①知， ∴． 由(1)知是等边三角形，又知厘米， ∴(厘米)， 又∵， ∴，(厘米)， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴(厘米)， ∴(厘米)，即光点向下移动的距离的长为厘米． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解． （1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米， 故答案为：； ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米， 故答案为：； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， 所以， 解得，又， 所以； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于， 延长交于，过作交于， 则，，， ， 所以在中，，， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）； （2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果； （3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）、、、均与所在直线平行， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图， 作于， ， ，， ， 设，则，， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 【答案】画幅的面积约为 【分析】连接，过点A作于F，则，先证明四边形是矩形，得到，，再求得，，然后利用锐角三角函数和线段的和与差求得，进而可求解． 【详解】解：连接，过点A作于F，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴画幅的面积约为． 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作．同学们测得，，．求的长度（精确到）． 答案（参考数据：，，，，，） 【答案】的长度约为． 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则，设，可得，再进一步利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作于，则， 设，而， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长度约为． 9．（2024·江苏淮安·中考真题）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 10．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 11．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； (2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可； （2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ，， ，． ， ． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G． 由题意可知，四边形为矩形， ． 在中，， ． ， ， ，． ，， ，． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为． 1．（2026·江苏宿迁泗洪县·中考模拟）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据已知图形去添加合适得辅助线，从而得出，再求解即可． 【详解】解：连接，由图可知： ，，， 满足， ∴， 设小方格的边长为，则，， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，构造辅助线使得再结合解直角三角形相关知识是解此题的关键． 2．（2026·江苏宿迁宿城区·中考模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 【答案】## 【分析】作交于点，先通过，得到的长度，再通过勾股定理求得，在利用面积法求得，最后利用求得答案． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·江苏南京·中考模拟）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面尺，第二次露出水平面尺，已知两次与水平面的夹角分别是与，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离． 【答案】竹竿的长度为尺，水底固定处到水平面的距离为尺． 【分析】过点作水平面的垂线，交水面于，设竹竿的长度为尺，则尺，尺，根据正弦函数的定义可得方程，解方程可求出的值，进而求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作水平面的垂线，交水面于， 设竹竿的长度为尺，则尺，尺， 由题意可知，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 答：竹竿的长度为尺，水底固定处到水平面的距离为尺． 4．（2026·江苏盐城盐都区·中考模拟）海春轩塔始建于唐贞观年间，为七层八角密檐砖塔，是江苏省现存最古老的塔之一．某兴趣小组想测量塔高，方案与测量结果如下表： 测量海春轩塔的高度 测量工具 测角仪、无人机 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果    步骤如下： ①先在塔底水平地面点处测得塔尖的仰角； ②后用无人机在点的正上方米的点处，测得塔尖的仰角为． 已知，，，四点在同一个平面内，于点，于点，求海春轩塔的高度． (结果精确到米，参考数据：，，) 【答案】海春轩塔的高度约为米． 【分析】过点作，垂足为，则四边形是矩形，由题意可知，，，则；设米，则米，米，在中，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，则四边形是矩形， 米． 由题意可知，，， ， 设米，则米，米． 在中， ， 解得． 米， 答：海春轩塔的高度约为米． 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题15锐角三角函数、解直角三角形及其应用 3年真题1年模拟：答案版 三年真题分类园 国品考点01锐角三角函数的有关计算 1.C 2.C 3.A 4.C 613 5.65 V6-√2 6.4 1 7.2 1 8.3 9.【答案】-6 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键， 分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可 【详解】解： (N2-1)°+2tan45°-32 =1+2×1-9 =-6 考点02解直角三角形的实际应用-仰俯角 1/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.B 2.6V5 3.17 4.【答案】73.2米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键， 根据题意得到DF=CE=24米，AG=EF=CD=1.2米，∠BDG=37°，∠BFG=45°，解直角三角形即可得 到结论 【详解】解：由题意得，DF=CE=24米，AG=EF=CD=1.2米，∠BDG=37°，∠BFG=45°， 在Rt△BDG中， am∠BDG=tam37°=BC≈0.75 DG ·GD=BG 0.75, 在Rt△BFG中，∠BFG=45°， ..FG=BG, DF=24米， DG-FG=BG -BG=24 0.75 解得BG=72, AB=72+12=73.2（米)， 答：塔AB的高度为73.2米. 考点3解直角三角形的实际应用一坡度、坡角 1.D 4 2.9 P 3.()横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m,影长的顶端正好在处 (2)6 3)O线段OA的倾斜程度更大；② (a)(b)(c) 4.【答案】小亮沿垂直方向上升了51.5米 2/15 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】过点C作CF⊥AD,垂足为F,过点E作EG⊥BD,垂足为G,分别在直角三角形ACF和直角 三角形BEG中，利用正弦分别求出CF和BG,于是可求出沿垂直方向上升的米数. 【详解】解：如图，过点C作CF⊥AD,垂足为F,过点E作EG⊥BD,垂足为G, E -1.-10° D 由题意得四边形CFDG是矩形， ∴.CF=DG 在直角三角形ACF和直角三角形BEG中， ·sin∠A=C C sin∠BEG=BG EB sinl5°= CF 100、 sinl0°=BG 150, ∴.CF=100×sin15°≈100×0.26=26=DG、BG=150×sin10°≈150×0.17=25.5， BD=BG+DG=26+25.5=51.5(米). 答：小亮沿垂直方向上升了51.5米， 园品考点04解直角三角形的实际应用一方位角 1.①<C44=90°∠C4,4=76° (2)2.0千米 3)2.4km 2.【答案】(1)4km 8 ②21 【分析】本题考查解直角三角形的应用。相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据DC-BD作精 助线构造相似三角形是解题的关键 BM BD D过点B作BLAD:垂足为M证明ABDM SACDA,得出C4CD,结合DC AC=6km,求出BM=5,再在Rt△4BM中利用三角函数即可求解 3/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DM BD 2 (2)在Rt△ABM中，利用三角函数求出AM,利用△BDM∽△CDA,得出ADCD5,则可求出 AD Rt△ADC 再在 中利用三角函数即可求解. 【详解】(I)解：如图，过点B作BM⊥AD,垂足为M, :AC⊥AD .BM∥AC, .△BDM∽△CDA, BM BD :.CA CD' DC-5BD 2 AC=6km' BM 2 .65 得：BM=12 5, 12 Rt△ABM中，由sin∠BAD=sin37°= BM-5≈3 AB AB5' 得AB≈4. 答：岛A与港口B之间的距离为4km: 北 M B D 370 416 (2)解：在Rt△ABM中，4M=AB×cos37°≈4 55, .△BDM∽△CDA, DM BD 2 AD CD5' 0-w-53.6 577, 4/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16 在R△MDc中，mC=P=又=8 AC621 3.【答案】港口C到航线的距离约为8km 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题.设BC交航线于点D,过点B作BE⊥AD于点E, 过点C作CF⊥AD于点F,由锐角三角函数定义求出DE、AE的长，设CF=km,再由锐角三角函数定 km 义求出 4 则 然后由锐角三角函数定义列出方程，解方程即可. 【详解】解：如图，设BC交航线于点D,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F, 北 F-- 176° B --e 219 则∠BDE=∠CDF=76°，BE=12km. 由题意知：∠BAE=37,∠CAF=21°， ,tan∠BDE= BE DE' .DE=BE 12 =3km tan76°4 ·tan∠BAE=BE AE AF= BE 12 tan37°≈3-l6km 4 设CF=xkm, :tan∠CDp=C =tan76°≈4 E 5/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 -xkm 4 4F=AE+DE+DF=16+3+x=19+xkm .tan∠CAF=C 8 AF =tan21°≈ 21, CF 8 AF 21 解得：X≈8， 答：港口C到航线的距离约为8km 考点05解直角三角形的其他综合应用 1.(1)15 (2)40cm 2.(1) 证明：∠OPA=60°， ∴.根据光的反射定律可知∠BPC=∠OPA=60°， ∴.∠OPC=180°-∠OPA-∠BPC=60° ABIlI, .∠POC=∠OPA=60° ∴.△OPC是等边三角形： (2)①75 ②CE的长为(605-30)厘米 3. 41①18：@026：(23=-5x+18- 0sxs9+23 73 2 30 (3)可以，EG的最小值为60· 5.(1)DE:(2)5,MN=EN-10:(3)MN=40cm 6/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6. 【答案】画幅ABCDE的面积约为8592cm2 【分析】连接BE,过点A作AF⊥BE于F,则∠AFB=∠AFE=90°，先证明四边形BCDE是矩形，得到 BE=CD=80cm,∠CBE=∠DEB=90~SCE=BC-CD=80O0(cm）,再求得∠ABF=30P, ∠AEF=15°，然后利用锐角三角函数和线段的和与差求得AF,进而可求解. 【详解】解：连接BE,过点A作AF⊥BE于F,则∠AFB=∠AFE=90°， :∠BCD=∠EDC=90°， .∠BCD+∠EDC=180°， .BC∥ED,又BC=ED=IO0cm, “四边形BCDE是平行四边形， :LBCD=90°， .四边形BCDE是矩形， :.BE=CD=80cm,∠CBE=∠DEB=90°，SE形cDe=BC.CD=8000(cm) :∠ABC=120°，∠AED=105°， .∠ABF=∠ABC-∠CBE=30°，∠AEF=∠AED-∠DEB=15°， BF=、AR AF=AF 1AF EF=AF AFA =tan∠4EF-anl5≈0.27 3.7AF tan∠4BF tan30° BF+EF BE, .1.7AF+3.7AF=80. 解得1F≈14,8(em） :S4e-7BE,AF=)x80×14.8=592(cm）, 2 7/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :S五边形1cne=Se形acE+S,4e=8592(cm2） ∴.画幅ABCDE的面积约为8592cm2 7.【答案】此河流的宽度为36米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键.过点C作CD⊥AB于 点D,解Rt△ADC表示出CD=O.9x,再解RtACDB求出x,即可求解CD 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D, 42 61 河岸D B 设AD=x,则由题意得BD=60-x, 在Rt△4DC中，∠BAC=420, tand=CD AD' .CD=tan A.AD=0.9x. e在RtACDB中，∠A4BC=61,tan B=C BD 1.8=09x 60-x 解得：x=40】 ∴CD=0.9×40=36(米)， 答：此河流的宽度为36米。 8.答案（参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99」 tan9.8°≈0.17) B 【答案】AC的长度约为17.9m, 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°」 8/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设BD=x,可得 D=(22.2-x)m 再进一步利用三角函数求解即可. 【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°， B D 设BD=x,而BC=22.2m, CD=(22.2-x)m 在RtAABD中，∠B=34.2°， :tanB=D、AD =tan34.2°≈0.68 BD x .AD=0.68x, 在RtAACD中，∠C=9.8°， .'tan C= AD_0.68x=tan9.8°≈0.17， CD22.2-x .3.774-0.17x=0.68x, 解得：x=4.44, 片c0sC=CD-22.2-4.44 c0s9.8°≈0.99 AC AC :AC=17.76 17.9(m) 0.99 .AC的长度约为17.9m 9.【答案】30cm. 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长， 解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解. 根据题意，设AB=xCm,分两种情况计算出AQ和AN的长，利用AQ=AW建立方程 (60+x)·sin53°=(60+2x)sin37° ,求出“值即可. 【详解】解：如图1，过点A作AQ1GC,垂足为Q. 9/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设每节拉杆的长度为x厘米，则AB=xcm,AC=(x+60)cm 则sin∠ACG=sin53°=4g=Ag AC 60+x 所以AQ=sin53°.(60+x): 如图2，过点A作4w1GC,垂足为N.4C=(2x+60)cm 图1 图2 因为sin∠ACG=sin37°=4W AN AC60+2x, 所以AW=sin37°.(60+2x) 由题意得AQ=AN, 则sin53°.(60+x)=sin37°.(60+2x), 解得x=30, 故每节拉杆的长度为30cm, 10.【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过B作BH⊥AC于H,构造包含特殊角的直角三角形， 用解直角三角形的方法来解决问题. 过B作BH⊥AC于H,设AH=m,由含30度角的直角三角形的性质得到AB=2AH=2x,由锐角的正 切定义得到BH=V5m,判定△BC是等腰直角三角形，因此CH=BH=v5m,得到 3x+x=1640 求出x≈600.7，即可得到AB的长。 【详解】解：过B作BH⊥AC于H, 10/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A 设AH=xm, .∠BAC=60° .∠ABH=90°-60°=30°」 .'AB =2AH 2xm, :tan4=tan60°= BH =5 AH ..BH=3.xm :∠BCA=45°，∠BHC=90°， .△BHC是等腰直角三角形， CH=BH=3 xm AH+CH=3x+x=AC=1640 ..rs 1640 V3+1 ≈600.7 ,AB=2x≈1201(m) 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是120lm. 1.【答案】CD=10Wi0cm CD=205em 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： (I)过点C作CE⊥AD,垂足为E,判断四边形ABCE为矩形，可求出CE,DE,然后在Rt△CED中， 根据勾股定理求出CD即可； (2)过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于点G.判断四边形ABFG为矩形，得出 11/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AGD二90·在R4GD中，利用正切定义求出DG=年4G。利用购股定理求出D4G, AD=50,可求出BF=AG=40,FG=AB=10,CF=20,DF=40.在Rt△CFD中，根据勾股定理求 出CD即可. 【详解】(1)解：如图，过点C作CE⊥AD,垂足为E A D C 答图1 由题意可知，∠B=∠A=90°， 又：CE⊥AD, 四边形ABCE为矩形 AB=10,BC=20. .AE=20,CE=10 AD=50 .ED=30 ·在Rt△CED中， CD=VCE2+ED2=V102+30=10W10 即可伸缩支撑杆CD的长度为 v10cm (2)解：过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD于点G. D G A 2D 答图2 由题意可知，四边形ABFG为矩形， ∴.∠AGD=90° DG 3 在RtAAGD中，tana= AG 4, 12/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DG=3 G 1 ..AD=AG2+DG2= 5 AG 4 :AD=50 .AG=40.DG=30 ∴.BF=AG=40.FG=AB=10 .CF=20.DF=40 在Rt△CFD中，CD=CF2+DF=V202+40=205 即可伸缩支撑杆CD的长度为 0v5cm 一年模拟练测园 1.3 22 3.【答案】竹竿的长度为13尺，水底固定处到水平面的距离为8尺. 【分析】过点B作水平面的垂线BH,交水面于H,设竹竿的长度为x尺，则AB=(x-4)尺， BE=仁-3尺，根搭正弦西数的定义可得方在x-》=x-到，解方程可卡山，的恤，进而求出BH的 4 长即可得出答案 【详解】解：如图，过点B作水平面的垂线BH,交水面于H, 13/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4尺/3尺 水平面H -A 253 B水底固定处 设竹竿的长度为尺，则4B=(-用尺.BE=(-3》尺， 由题意可知，∠BAH=62°，∠BEH=53°， .BH=AB.sin62°，BH=BE.sin53°， 4 解得：x=13, :BH=4x13-3)=8 5 答：竹竿的长度为3尺，水底固定处到水平面的距离为8尺. 4.【答案】海春轩塔的高度AB约为20.8米 【分析】过点D作DE⊥AB,垂足为E,则四边形BCDE是矩形，由题意可知，∠ADE=3I°， ∠ACB=45,则4B=BC,设4B=x米，则BC=DE=x米，E=(-83)米，在RADE中，根据 am31°=AE=-830.60,即可求解. DE x 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E,则四边形BCDE是矩形， Eh----- 31°D 米. B 45C ∴.BE=CD=83 由题意可知，∠ADE=31°，∠ACB=45°， ∴.AB=BC 14/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设MB=x米，则BC=DE=x米 AE=(x-83)米 在A6,mp-号-00 解得x≈20.8 AB=20.8米， 答：海春轩塔的高度AB约为20.8米 15/15