专题11 二次函数压轴综合（3年汇编）（江苏专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11二次函数压轴综合 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 0考点01二次函数与线段周长问题 1.(1)-2 (②)的取值范围为-2<t<0或2<t<4. 3 B)m的值为5· 2.(1)b=4,c=3 9 (2)2 3)2,0,4,无数 3.(1)A(-2,0),B(4,0).CL,4) (2)①6：②3<t<7且t≠4；③4 考点 二次函数与面积问题 1.【答案】(1)y=-x+3 (2) y+2y2=10 不存在实数m使得 理由如下： 方法一：M(m)Nm+2) 为二次函数'=-r+2x+3 图像上两点， .y=-m2+2m+3 1/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y2=-(m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3 ∴y+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+9 m1）2 配方，相4+2%=-3m+写+写 3 当m= 3时，+2%有授大值为5. :9}<10 3 ·不存在实数m使得+2%=10 方法二：由方法一，得少+2%=-3m2-2m+9 当1+2y=1 10时.-3m-2m+9=10,即3m+2m+1=0. △=4-12=-8<0. 方程没有实数根。 不存在实数m使得片+2，=10 ③)m=1+5 2 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用， 解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解· (1)先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定B、C坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的 一次函数表达式，求解出直线BC的函数表达式， (②)先根据二次西数表达式，分别写出M、N两点的西数值、片，进而得出+2的表达式，再通 过配方或判别式判断是否存在实数m使等式成立. (3)通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出P点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出 PW∥BC,进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出m的值 2/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：二次函数”=-+2x+ 的图像与x轴交于4B两点， ∴令x=0,则y=3, 0,3) 点C的坐标为 令y=0,则-x2+2x+3=0. 解得x=-1,或x=3, ∴.点B的坐标为(3,0) 设直线BC对应函数的表达式为y=c+b,由题意，得 b=3 3k+b=0 [k=-1, 解得b-3. BC y=-x+3 直线对应函数的表达式为 (2)略： 1+V5 (3)m 1-5 2,或m 2·解答如下： 如图，作NH∥y轴，交x轴于点H,交BC于点N, M 0 W 3/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作PO⊥NH,垂足为Q,作MM'∥y轴，交BC于点M',则MM'∥NN. 当=1-m时，y=-1-m+21-m+3=-m+4 点P的坐标为 1-m,-m2+4) ·点N的坐标为 m+2,-m2-2m+3) ·点Q的坐标为 m+2,-m2+4) 点H的坐标为m+2,0)」 点'的坐标为(m+2,-m+)」 .NO=PO=2m+1 BH HN'=-m+1 ∴.∠PNQ=∠BNH=45o .PN∥BC ∴.△MDE∽AMNP MD △MDE的面积1 MN AMNP的面积4. :MD=号MN,即MD=ND: 2 .MM'∥NN'. .∴AMMD∽ANN'D MM MD 1 NN ND: 即MM'=NN' ”点M的坐标为m,-m+2m+3） M' (m,-m+3) 点”的坐标为 .m2-3m=-m2-m+2 m2-m-1=0 ，即 4/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得m 1+v5 m-1-V5 2或 2· 2.【答案】(1)b=-5,c=5 (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键 (I)先求出A,B的坐标，再用待定系数法求出b,c; (2由可得：=-5x+5,设P(mm-5m+),作PE04交AB于E,则E(m-m+5),则 PE=4m-m2,得出面积，即可解答. 【详解】(1)解：当x=0时，y=-x+5=5:当x=4时，y=-x+5=1, 则10,5).B(4,1）) [c=5 则16+4b+c=1, [c=5 解得：b=-5: (2)解：由)可得：y=r-5x+5,设P(m,m-5m+5),作PEO1交AB于E 则E(m,-m+5 ,则PE=4m-m2, :5e=4m-m㎡)x(4-0）=-2(m-2+8, 当m=2时，最大值为8. 3.【答案】(1)b=-1,c=2 5/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②2，-4B(-3,-4 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是 解题的关键。 (1)运用待定系数法即可求解； (2)根据题意设 P(m,n) 结合几何图形面积计算方法可得点P的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求 解。 【详解】(1)解二次函数'=-r+br+ 的图像与轴交于 -2.0)B1,0两点， 「-4-2b+c=0 .-1+b+c=0, [b=-1 解得，c=2, .b=-l,c=2: (2)解：由(1)可知二次函数解析式为：y=-r-x+2.4(-2,0).B,0 AB=1-(-2)=3, 设P(m) 5Pe=24B训=6， .m=4, .n=±4， “当-x2-x+2=4时，△=1-8=-7<0，无解，不符合题意，舍去： 当-+2=-4时，=-3,6=2 P2.-4hB-3,-4 6/34 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 品考点3二次函数与三角形问题 1.【答案】（①）y=(x-4)-4=xX2-8x+12 y=-2x+12 a60≤+号+5<76 14 ,0 6)点P的坐标为3或(-9,0) (3,0) 【分析】(1)根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点 分别代入两次平移后 的解析式，解出m的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再 求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出BC解析式即可. (2)设直线1：y=a,根据已知条件得出a的取值范围，再联立直线1与抛物线和直线BC,得出 写+店-2如-24+80+）.根据卷物线可东+5=8代入千+62a-2+8+ 最后得出 ++买=（口-8+60，最后由二次函数的图象和性质求解即可. 4 (3)连接BD,过点D作DE⊥x轴，垂足为E.根据正切的定义得出∠ABC=∠DBE,进而可得出点P在 点B的左侧.则存在△ABC一△PBD或△ABC∽△DBP.然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求 解即可得出答案。 【详解】(1)解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：y=(-1-m-m, 将点8,0)代入y=(x-1-m-m得：0=3-1-m-m】 解得m=1或m=4, 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：y=(x+3-m-m、 将点3,0)代入)=x+3-m-m得：0=(B+3-m-m 解得m=4或m=9, .公共解为m=4, 7/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 把m=4代入y=(c-m)}-m 得出抛物线对应的函数表达式为)=(x-4)-4=-8x+12 令y=0, 则0=x2-8x+12, 解得x=2,5=6, :42,0).B60) 令x=0,则y=12, C0,12) 设BC的解析式为y=x+b, 6k+b=0 则b=12 [k=-2 解得b=12 ∴直线BC对应的函数表达式为y=-2x+12 (2)解：如图1，设直线1：y=a, 达2N B 图1 x<x<x2C(0,12) .0<a<12 ,直线1与抛物线和直线BC都相交， 8/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [x2-8x+12=a, 可列方程 -8x2+12=a, -2x3+12=a. 得+号-8(6+5)+24=2a x2+x号=2a-24+8(x+x3) ,抛物线的对称轴是x=4, .x+x2=8 x2+x号=2a+40 又4=6-号， +6+=2+06-号-8到+0 4 1 4>0, ∴抛物线开口向上， 又0<a<12, :当a=8时，y取得最小值为60，当a=0时，y取得最大值为0-8+60=76， 60≤4a-8+60<76 60≤x+x3+x<76 (3)解：如图2，连接BD,过点D作DE⊥x轴，垂足为E. 9/34 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E\B 图2 抛物线少=(r-4)-4 D(4,-4) 顶点 :BD=V4-6)}+(-4-0=25 由(1)可知，0C=12,0B=6,DE=4,BE=2,AB=4,BC=V0-6+12-0=6N5, ~tam∠ABC=2=2,am∠DBE=4-2 6 2 .tan∠ABC=tan∠DBE=2, ∴∠ABC=∠DBE :△PBD与△ABC相似， 点P在点B的左侧. ∴，存在△ABC一△PBD或△ABC∽△DBP 当△ABC一△PBD时， AB PB 则BCBD' 4 PB 得6525 当△ABC∽△DBP时， 10/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB DB 有BCBP· 4-25 得6W5PB PB=15, 点P(g0) 14 ,0 综上，使△PBD与△ABC相似的点P的坐标为3或(9,0) 2.【答案】(1)点A的横坐标为3 (2) 匹明：点伦)用4在商数=+m+ 3m(m≠0) 图象上， :片-2+2m+ 3m,为=-8+4m+5 3 m m<3, y-y2=-2+2m+ m--8+4m+ 3 -m 3 =-2(m-3)>0 出>乃 g3g 3或m=-2√3 【分】山把0v代入=+m+ 2 m(m≠0)可得m=3,再进一步求解即可 3 (②)先求解片=-2+2m+ 3m.为=-8+4m+ -m 3,结合m<3, 11/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y-y2=-2+2m+ m -8+4m+ m 3 3 再进一步计算即可 3)先求解 0, A +5m m, 2 3m m32 -m 23 再分三种情况讨论即可. 【详解】少解，次数女++5。 m(m≠0图象过点Q,5), 2m=√3 .3 解得：m=3, “二次函数为y=- xv =3 1 2× 2 点A的横坐标为3. (2)略 3 m(m+0)中， 3 3 m 当r=0时，少= 1 2 3 2 2 -m 3，二次函数图象的顶点为A,对称轴与x轴交于点C 12/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Am, 2 3 m C(m,0), 2.48=m+ .jcgj c.) 解得： m=0（舍去)，m=2 解得：m=0(舍去)， m=￥26 3, 当m=25. 则4和c重合，舍去， 解得： m=0(含去)，m=25 3’m=-2√5 25 m= 综上： 3或m=-25 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的 关键是分类讨论思想的应用， 自6考点04二次函数与四边形问题 1.【答案】(1)y= 2x+x+1 1 2)m>2时，片>：m=2时，片=，：m<-2时，片<为 13/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15+5V4] 0,- N -15+5V41 (3)存在， 16 0 或 16 或N0-)成w@)或0)度0副 【分析】(1)将点A和点B的坐标代入y=r+x+ ,求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达 式 (2根据腿意得出=-m++(m+)+1,为=m+2+(m+2)+1,再用作差法得出 乃-少=m+2,进行分类讨论即可： (3)求出直线4B的函数解析式为y=2,然后进行分类讨论：当PQ为正方形的边时：当PQ为正方对 角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答. 【解1)解，4-。 B(2,)代入y=ax2+x+c得： a-1+c=-2 1 4a+2+c=1, 1 a=- 2 解得：c=1’ :这个=次同数的表运式为=号+x1, (2②解：C(m+）,D(m+2）都在该二次两数的图象上 y=-m++(m+0+1,为=m+2+(m+2)+1, =m++1-[a+2旷4a+2-m+号 1 当m+号0时，即m>2时，%>g: 1 14/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当m 2=0时，即m= 2时，y=2: 1 1 当m+2<0时，即m<一2时，片<，： (3)解：设直线AB的函数解析式为y=+e, _1=-k+e 把4-》0代入得：2+e, 1 解得： e=0, ∴直线4B的函数解析式为y=2, 当P为正方形的边时， @:B(2,) 1 lamn ZBOC-2, 过点M作y轴的垂线，垂足为点G,过点P作MG的垂线，垂足为点H, :P2/MN,MG∥x轴， .∠BOC=∠NMG, “.tan∠BOC=tan∠WMG= 2,则MG=2WG, 设WG=t,则MG=2t, :M(2,-22-2+1) .点N的纵坐标为-212-2t+1+t=-22-1+1, 即v(0,-2r2-1+1） :以P,Q,M,N为顶点的四边形是正方形， 15/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠PMN=90°，PM=MN ∴.∠PMH+∠NMG=90°， :∠PMH+∠MPH=90°， ∴.∠NMG=∠MPH, ,∠NMG=∠MPH,∠H-∠MGN,PM=MN., .∴△PHM≌△MGN, .PH=MG=2t,HM=NG=t, .P3-2r2+1) 把P(3-2+)代入y=2x得：-22+1=×（←30）. 解得： 3+④63④ 8, 8(舍去)， B ②如图：构造RtAMOG,RteNMH, O同理可得：aMOG≌aMH,an∠MNH= 2, 设NH=GM=2t,则G=MH=t, M(2,-2r+21+lN0,-2r+1+1）Q,-2r2+4+1） 把0，-2r+4+)代入y=2x得：-2r+41+1= t 2 16/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 解得：4=2，站=4（舍去）， w0-5) G P ③如图：构造Rt GMN,Rt△HPM, D同理可得：AGN2aHPM,an∠GMN- 2 设GN=HM=2t,则GM=HP=t, :M(2,-2r-21+0.N0,-22-1+1）P(-,-2r-4+1)） 把P(1,-2r-+)代入=得：-2n-+1=, 1 解得：(=4=-2（舍去）， .5) G M C ④如图：构造RtAGMN,RteHNP 17/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 和①同理可得：AGMN≌AHNP, tan∠GMW=J 设GM=HN=2t,则GN=HP=t, M(2,-2r+21+1）,N0,-2r2+1+1.Pt,-2r2-t+1) 把P化-2r-1+)代入y=得：2-141， 解得.3+4团 8, 4-3国 8(舍去)， 5) G--- H C 当P巴为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形HGⅡ，过点P作PK⊥W于点K, 易得∠QPK=∠BOC .tan∠QPK=tan∠Boc= 2 设OK=x,则PK=2x, 和①同理可得：△PNH≌aMPG≌△OMW≌aNI, ..HIN =PG=MJ=10,PH=GM =QJ=NI .四边形HGⅡ为正方形， .'PK=1J=2x, 18/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G(-OK)PGM-QJ-N 2, .tan∠PMG= PG 1 GM 3 设PG=HN=t,则PH=GM=3t, :M(2,-2+21+,N(0,-2r2+6+1.P-,-22+3+l) 把P1,-2r+3+)代入y=得：-2+3+1=， 1 解得：1=2,5=4（舍去）， :w(0,5) H,--Y B P K G ⑥如图：构造RtPMH,RteNPG 同理可得：△PMH≌aNPG,tan∠PNG= 3 设PG=HM=t,则PH=GN=3t, .M(-24,-2r-21+）.N0,-22-6+l.P(-3,-22-5+） 把P(2P-代入y得：2-5+1=， 解得：4=45=-2（舍去）， 19/34 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y H C 或a-列度N0度o)皮 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关 键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答， 园考点5二次函数综合（箕他问题） 1.A 2.①1-3) (②)点B的坐标 (2,0）.a=3 ⑧)01s-6:②1 ,-3,③-3<t≤1 3.(①抛物线的函数表达式为’-+2x+1,顶点坐标为，2列 ②03sp56②h≥25 ③点M的坐标为1-5，-或(-2+5,6W5-10) 4.(1)3 20/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37+√73 2)①2+1：②1或2或4 5.【答案】(1)m=-2n=-8 2①n2-1,②m=22,%=-22,m,=26,m,=-2N6 【分折】（山）根据吸收函数定义写出表达式，然后把2,0)，(4,0)代入求解即可： ②)①光求出=女2x-小的反小值为4，根报段收同数定义写表达式为=+a+2水+0- ,根 4(n-3)-(m+2)2 -=-4 2n=m+22 -1 据二次函数的性质得出 4 ，化简得4，最后根据非负数的性质和不等式 的性质求解即可： ②过点M作y轴平行线I交AB于点N,过点A,B分别作I的垂线段，垂足为C,D.联立吸收函数表达式 和次西效表达式。并化简得型20，新方程来出A、B两有的横半标分别是=，=3 则 1 区x=4,根据M为“吸收函数”的顶点，得出=m+2 MN=4- 2,根据可求出 4m ,结合 1 △1BM的面积为4得出S2m 8 =4 ,即可求解 【详解】（山)解：由题意，吸收函数的表达式为'=？+mr+n 4-2m+n=0 根据题意，得16+4m+n=0, m=-2 解得n=-8; 21/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：Oy=+2x-3=(c+1-4 ∴y=x2+2x-3 的最小值为4 由题意，吸收函数的表达式为r+(m+2)x+n-3 4n-3-(m+2y=4 根据题意，得 4 n=m+2-1. 4 .(m+2)}2≥0 @+2-12-1,即n21 4 ~m为一次函数的系数即m≠0， 考虑到当m=0时，n= 0+2-1=0 4 但当m=4时，”=1=0 4 故n=0可取， 综上所述，n之1： ②如图，过点M作y轴平行线I交AB于点N,过点A,B分别作I的垂线段，垂足为C,D VA D B M 22/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x2+(m+2)x+n-3①， 根据题意，列出方程组为 y=mx+n②. mx+n=x2+(m+2)x+n-3 把②代入①得： 即x2+2x-3=0. 解得5=3 A,B 1=、xg=-3. 点的横坐标分别是 .'x-x8=4 M为“吸收函数”的顶点， ==m+2 2, MN=lyy-y=(mEx +n)-[xi+(m+2)xw+n-3]=-2xx+3 w2-） 1BM的酒职w小水4-k个 :△ABM的面积为4， 8-=4」 2 解得%=22，m=-22,%=2V6,m,=-26 6.【答案】()为=r-6r+8 (2)4: )m-n |m-n=6 是定值， 23/34 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程 根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键 (山)利用待定系数法求出为=-2x=(-广-1，再根据平移规律即可求出抛物线”的表达式， (2)设点P的坐标为mm-2m）, 待定系数法求出直线AP的解析式为y=mr-2m,联立y=mr-2m与 2=x2-6x+8 得到-6x+8=mr-2m,解得。=4+m. ,即可求出答案； 1 )由山)可得，r2五与8+联立得到6，求出点C的标为36 x=一t 反由点M的坐标为m,m-2m,利用待定系数法求出直线CM的解析式为'气m6广。m 2 1 m+21+6x+1+m1=0mx。+x=m+2+6组 1 1 ⅓=x2-8x+1联立得到 t+n=m+-t+6 6 6 ,则 6 ,得到6 6 即可得到n-m=6,得到定值. 【详解】(1)解：：抛物线=r+r+ 与x轴交于两点 O(0,0)A(2,0) c=0 ∴.4+2b+c=0, b=-2 解得c=0, :=2-2x=(x-1-1 :抛物线”向右平移两个单位长度，得到抛物线， .h=(x-1-2)-1=(x-3}-1=x2-6x+8 即片=x2-6x+8 24/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：设点P的坐标为 m,m2-2m 设直线AP的解析式为'=c+‘,把点A和点P的坐标代入得到， 2k+t=0 则km+t=m2-2m [t=-2m 解得k=m, ∴.直线AP的解析式为y=mx-2m, 联立y=mr-2m与为=r-6r+8 得到 x2-6x+8=mx-2m xo =4+m 解得 则。-xp=4+m-m=4 (3)解：由(1)可得，方=r-2x,与为=-8x+1联立得到，-2x=-8x+1。 解得x=石 流的雀标与合-到 :点M的横坐标为m,且在片=r-2 上， :.y=m2-2m m,m2-2m 即点M的坐标为 设直线CM的解析式为y=x+S,把点C和点M的坐标代入得到， 25/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m2-2m=mr+s 121,1 则36231=6r+ 1 r=m+-t-2 6 解得 1 s=--tm 6 直线C的解析式为m+名-2名 1 与片=2-8x+ 联立得到， 1 1 m+二t-2x-二tm=x2-8x+t 6 6 x2 整理得到， m+名+6r++=0 6 1 则xc+xw=m+二t+6 6 即6+n=m+1+6 1 1 6 即n-m=6, 即lm-n=6为定值. 7.【答案】)r-2x-3 ②点P的坐标为N5+1,4) 3)y=- ,515 +2+ 4 【分析】(1)运用待定系数法求函数解析式即可： (2)可求C对应的函数表达式为：y=-2(x+1x-3) 其对称轴为直线=1.作直线x=1,交直线1于 26/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点H.(如答图①)由二次函数的对称性得，QH=PH,PM=NO,由PO=MP+QN,得到PH=PM, 设H=10<1<2）,则点P的横坐标为+1，点M的横坐标为21+，=-2+21-2) w=(+20-2习，故有2+20-2=(+22-2八.解4=5,45（合去)：板点P9生 标为(2+1,4) (3)连接DE,交x轴于点G,过点F作FI⊥ED于点I,过点F作FJ⊥x轴于点J,(如答图②)，则四 边形1GF为矩形，设9对应的西数表达式为=a(x+1(x-3a<0),可求D-4).E(o),则 DG=4,AG=2:EG=-4a,而an∠ADG=AG-2= DG42,则tan∠FAB=tan∠ADG= FJ1 A打2.设 G=m(0<m<2),则F=m,AJ=2+m, F川=2+mFm+1,2+m 2,即 2,可得 7日方收1=2m则2m+2”-4如，则a=2m。 tan ZFEI=tan LADG=FI=1 2 8①，由点F在C,上，得 到0a1+a+1-到-"2，化简得a-2小0.0.②可得24似-2)-分，解得m 5 5 因此a=- 数C的数表达式为华 4· 【详解】1)解：（1)将1-1,0)，B(B,0)代入y=r+br+c,得， [1-b+c=0 9+3b+c=0, b=-2 解得：c=-3 :.C 对应的函数表达式为： y=x2-2x-3 27/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②解：设9对应的函数表达式为=a(+(-3训a<0,将点 c(0,6)代入 得：-3a=6, 解得：a=-2 :C对应的函数表达武为：y=-2(x+1x-3),其对称转为直线x=生31 2 C 又“图象的对称轴也为直线=1， 作直线x=1,交直线1于点H(如答图①) y N M H B 答图1 由二次函数的对称性得，QH=PH,NH=MH .PM=NO 又：PO=MP+ON,而PO=HP+OH ∴.PH=PM. 设PH=01<2),则点P的横坐标为+1，点M的横坐标为21+1， 将x=1+1代入=-2(x+x-3),得=-2+20-2). 将=2+1代入=(+0x-3》,得w=(2+221-2列 yp=yM∴.-2(t+2)(t-2)=(21+2)(2t-2) 28/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即6=12，解得4=5.6=2 (舍去). 点P的坐标为(5+14) (3)解：连接DE,交x轴于点G,过点F作FI⊥ED于点I,过点F作FJLx轴于点J.(如答图②) y E 轴， 轴， C2 D 答图2 FI⊥EDFJ⊥xED⊥x ∴四边形IGF为矩形， ∴.IF=GJ,IG=FJ 设C对应的函数表达式为'=a(x+(x-3a<0) 9.C 点D,E分别为二次函数图象 的顶点， 将x1分别代入y=r-2x-3.y=a(r+10x-3)a<0) yD=-4,yE =-4a 得 :Dt-4）.EL-4a) ∴DG=4,AG=2,EG=-4a」 在RtAGD中，an∠ADG=AC=2_1 DG 4 2 .·AF⊥AD ∴.∠FAB+∠DAB=90° 29/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：∠DAG+∠ADG=90°， ∴.∠ADG=∠FAB tam∠FAB=tan∠ADG=F-l AJ2 G)=m(0<m<2) 设 ,则F1=m,AW=2+m」 FJ=2+m 2 EFI‖AD .∴∠FEI=∠ADG ∴.tan∠FEl=tan∠ADG= FI 1 E2 ∴.EI=2m 又：EG=EI+IG, .∴.2m+ 2+m=-4a, 2 .as- 2+5m ① 8 “点F在9上， a(m+1+1(m+1-3)=m+2 2· 即a(m+2(m-2)=m+2 2· :m+2≠0 o6-2列 0,@时得26-2)号 解得m,=0(舍去)，m= 30/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 .a= 4. 《C的函数表达式+切c3)三+x+5 4 4· 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，矩形的判定 与性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键. 123 8.【答案】(0y=4-4-1 (2) 解：连接CV, A M b=1 ∴.y=ax2+x-1 当x=-1时，y=a-2,即点M(-l,a-2),当x=1时，y=a,即点N(L,. .C(-I,a)N(I,a) ..CN=2 CM=a-(a-2)=2 CMLCN 在RtCMN中，MN=VCM2+CN=2W2 :DN=a+2V2-a=2W2 .DN MN. ∴.∠NDM=∠NMD DN∥CM, .∠NDM=∠CMD ∴.∠NMD=∠CMD 31/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·.MD平分∠CMN 3)-3 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)连接CN,根据题意，求得M(-山，a-2),NL,a),进而求出Cw=2,CM=a-(a-2)=2,利用勾股 定理求出MN=25,求出DN=25,从而得到∠DM=∠MD,纺合平行线的性质即可正明结论： (3)设Gm,m-),则mm+m-）,1sm≤3，求出当a=1时，名=1-b≥3，得到点G在H的上 方设0故+0-a其对存鞋为=生白.分为生之s和生空9有科情时论用可。 【详解】()解：分别将-1,0，B4,0代入)=+hr-, a-b-1=0 得16a+4b-1=0, a= 4 解得 3· b=- 4 函数表达式为少=x3 -1 44 (2)略 (3)解：设Gm,m-),则H(m,m+bm-),1sm≤3 当s1 y=x2+bx-1 时， 令x2+bx-1=x-1, 解得=0.专=1-b b≤-2. .x2=1-b≥3 32/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴点G在H的上方（如图1）， 37 1-b x 图1 设GH=t, 故/=-m2+0-bm 其对称轴为m=1,力，月上-b3 2,且222 31-b ①当2≤2 ≤3时，即5≤b≤-2 由图2可知： 3 m 图2 0-b=4 2时，取得最大值4 解得b=-3或b=5(舍去)· @当2>时、得65 由图3可知： 33/34 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 t O13 图3 当m=3时，1取得最大值-9+3-3b=4. 10 解得b=3(舍去)· 综上所述，b的值为-3 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关 键是利用二次函数的性质求最值. 34/34函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11二次函数压轴综合 3年真题1年模拟 中考命题透析园 考点分类 江苏考情(2024-2026) 命题规律 (2026江苏常州中考真题) 情境设置：以抛物线与坐标轴交点为背景，构建动点与线段 考点01二次函数与 (2025·江苏扬州中考真题) 和、周长最值问题。·考查重点：待定系数法求解析式、对称 线段周长问题 (2024江苏镇江中考真题) 求最值、线段长度转化。·命题趋势：趋向动点与将军饮马模 型结合，强调几何变换与函数联动。 (2025江苏苏州中考真题) 情境设置：抛物线与直线交点围成三角形或四边形，求面积或 考点02二次函数与 (2024江苏徐州中考真题) 面积最值。·考查重点：割补法、铅垂高求面积、动点面积函 面积问题 (2024江苏扬州中考真题) 数建模。·命题趋势：由定值计算转向含参面积最值，突出函 数思想与分类讨论。 (2026江苏连云港中考真 情境设置：含参抛物线顶点与坐标轴构成三角形，探究形状或 考点03二次函数与 题) (2025·江苏无锡中考真 存在性。·考查重点：顶点坐标、等腰或直角三角形判定、参 三角形问题 题) 数取值范围。·命题趋势：强化含参讨论与存在性探究，注重 数形结合与方程思想。 ·情境设置：抛物线与直线交点构成平行四边形或特殊四边形。 考点04二次函数与 (2024江苏无锡·中考真题) ·考查重点：待定系数法、平行四边形顶点坐标关系、分类讨 四边形问题 论。·命题趋势：真题较少但综合性强，趋向平移与存在性结 合考查。 (2024江苏无锡中考真题) (2026江苏镇江·中考真题) (2026江苏扬州中考真题) (2024江苏常州中考真题) 情境设置：新定义、函数求和、取值范围等创新情境。·考 考点05二次函数综 (2026江苏苏州中考真题) 查重点：阅读理解、函数性质迁移、分类讨论与数形结合。· 合（其他问题） (2024江苏宿迁·中考真题) 命题趋势：新定义题增多，强调自主探究与综合运用能力。 (2024江苏苏州中考真题) (2024江苏连云港·中考真 题) 1/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三年真题分类园 自6考点01二次函数与线段周长问题 1.(2026江苏常州中考真题)如图，二次函数'=+x-3的图像与x轴相交于点4(-0，B,与》 轴相交于点C. 备用图 (1)b= (2)若 D(4）,E)在抛物线上，且3<为<片，求'的取值范国。 ③)连接8C.若0<m<1,过点P(0作轴的重线交BC于点G,交抛物线于点日，过点2(m,0)作 轴的垂线交BC于点M,交抛物线于点N,当GH+MN最大时，求m的值. 2。（2025江苏扬州中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数'--2x+3 G 图象（记为） 与轴交于点4.B,与'轴交于点C,二次函数"=+c+的图象（记为G)经过点4，C,直线 G, x=1与两个图象G.G分别交于点M,V,与轴交于点P. 2/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 I)求b,c的值. (2)当点P在线段AO上时，求MN的最大值. 3)设点M,N到直线AC的距离分别为m,n.当m+n=4时，对应的t值有个：当m-n=3时， 对应的，值有—一个：当m=2时，对应的，值有一个：当=1时，对应的，值有—一个. 2024江苏镇江中考真题如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y。 的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C. B (1)求A、B、C三点的坐标： (②)一个二次函数的图像经过B、C、M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图像与x轴交于另一点D,点D在线 段OB上（与点O、B不重合）. ①若D点的坐标为(3,0)，则t= ②求t的取值范围： ③求ODDB的最大值， 国品考点2二次函数与面积问题 3/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2025江苏苏州中考真题)如图，二次函数 =-x2+2x+ 3的图像与x轴交于本B两点《点4在点B 的左侧)，与y轴交于点C,作直线 C,M(m,)N(m+2,4)为=次函数y=-r+2x+3 图像上两点. (备用图) (1)求直线BC对应函数的表达式： ②)试判断是否存在实数m使得片+2%=10 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. ⑨尼知P是=次蓝数=-+2+3阴很上一点（不与点MN 重合)，且点P的横坐标为-m,作 △MNP 若直线BC与线段M,MP分别交于点DE,且△MDE与△MNP 1:4 面积的比为，请直接写 出所有满足条件的m的值. 2(2021江苏做灯中考我圈)图。4、及为一次正数水+5的闲限与-次的数=+缸+ 的图像 y=x2+bx+c 的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4.P为二次函数 的图像上的动点，且位于直线4B的 下方，连接PA、PB (1)求b、c的值： 4/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求△PAB的面积的最大值， 3.(2024江苏扬州中考直盟)如图，已知二次两数-+c+C的图像与轴交于4-2,0，B1,0两 点。 (I)求b、c的值： (2)若点P在该二次函数的图像上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标. 国晶考点3二次函数与三角形问题 1. (2026江苏连云港中考真题)在平面直角坐标系0y中，抛物线'=(：-m-m(m为常数)与x轴 交于点A,B,点A位于点B的左侧，与y轴交于点C.若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单 3,0) 位，都经过点 (I)直接写出抛物线和直线BC对应的函数表达式： ②若平行于x轴的直线1与抛物线交于点M(,）,N(,）,与直线8C交于点2(，），且 <6<,求+写+ 的取值范围： 3)设抛物线的顶点为D,连接AC,在x轴上找一点P,使以点P,B,D为顶点的△PBD与△ABC相似， 求点P的坐标. 2(2025江苏无锡中考真题)已知二次函数'=-2 mx+m (m≠0) 3 图象的顶点为A,与y轴交于 点B,对称轴与x轴交于点C )若该函数图象经过点(0，v), 求点A的横坐标： ②诺m<3,点P2州》和O(）在该酒数图象上，正明：为>， 5/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)若△ABC是等腰三角形，求m的值， 品考点4二次函数与四边形问题 1,(2024江苏无锡中考真题)已知二次函数y=ar'+x+C的图象经过点气 (1)求这个二次函数的表达式： (2)若 C(m+1,）,D(m+2,)都在该二次函数的图象上，试比较”和”的大小，并说明理由： )点B卫在直线AB上，点M在该二次函数图象上.问：在y轴上是否存在点N,使得以P,Q,M, N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 国品考点5二次函数综合（其他问题） 1.(2024江苏无锡中考真题)已知》是的函数，若存在实数” mn(m<m),当m≤x≤n时，'的取值 范围是 m≤y≤tn(t>0) 我们将m≤x≤”称为这个函数的“1级关联范围”.例如：函数'=2x,存在 m=1n=21≤x≤2,2≤y≤4t=2,1≤x≤2。wy=2x ，当 时，，即，所以 是函数的“2级关联范围”.下列结 论： ①1≤x≤3是函数y=-x+4的“1级关联范围”； ②0≤x≤2不是函数"=的“2级关联范国”： ③函数少-女k>0)总存在“3级关联范围”； ④函数少=-r+2x+1 存在“4级关联范围”. 其中正确的为() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 0,t) 2.(2026江苏镇江中考真题)如图，我们将经过点 且垂直于y轴的直线记作“直线y=1”.如果 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 它与二次函数=(x-+友(a,么，k为常数，且≠0)的图像（顶点记为C)有两个公共点，记为 A,B(点A在点B的左侧)，∠ACB=20,我们称直线y=t为该二次函数图像的20截线。 己知二次函数y=a(r-)-3(a≠0) B 直线y=t 20 (1)顶点C的坐标为. (2)直线y=0(即x轴)是该二次函数图像的29截线.若an0 3,求点B的坐标以及a的值. 6)直线y=‘是二次函数'=a(x-1旷-3(a≠0)图像的20截线。 ①已知a=- 3tan8=1,求1的值： ②已知tan8=2,用含a的代数式表示t;(直接写出结果) 恰好又是二次函数少=-r+5 ③若直线少=t 28 8≤0 图像的截线，当 时，请直接写出t的取值范围. 3. （2026江苏扬州中考直题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a+hc+1经过点2，和4，-） 备用图1 备用图2 备用图3 (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标. (2)抛物线上有两动点M,N,横坐标分别为，n(m<n),记抛物线在M,N之间的部分（包括MN 两点)为图象G.过图象G的左右两端M,N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴 的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R. ①若m=-2,矩形R的垂直高度h=9,则矩形R的水平宽度p的取值范围是 7/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若矩形R的水平宽度P=5,则矩形R的垂直高度h的取值范围是 ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标. 4.(2024江苏常州中考真题)在平面直角坐标系 0中，三次函数》=-+r+3 的图像与x轴相交于 点A、B,与y轴相交于点C. B 备用图 (1)0C= (2)如图，已知点A的坐标是(-1,0) ①当1≤x≤m,且m>1时，y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2,求m的值： ②连接AC,P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD1x轴，垂足为 D.作∠DPO=∠ACO,射线PD交y轴于点Q,连接DOPC.若DO=PC,求点P的横坐标. 5.(2026江苏苏州中考真思)将一个二次函数”=+r+C与一个一次函数'=m+” 求和，可以得到 个新的二次函数'=+6+m)r+(+）,我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数 的“吸收”，“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”， 1若二次函数少=对一次函数y=m+n“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为 -2,0) (4,0 ,求m,n的值； 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)已知二次函数 =x2+2x-3 对一次函 y=mx+n“吸收”， ①若所得“吸收函数”的最小值与'=r+2x-3 的最小值相等，求n的取值范围： ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M,且与一次函数y=mr+n的图像交于A,B两点.当△ABM的面积 为4时，求m的值. 6.(2024江苏宿迁中考真要)如图O,已知抛物线1=r+6r+C与轴交于两点O0,0小12,0)，将抛 物线”向右平移两个单位长度，得到抛物线”，点P是抛物线”在第四象限内一点，连接P4并延长，交 抛物线于点Q. 图① 图② (1)求抛物线“的表达式； ②)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为。，求。-的值： 6)如图2，若抛物线5=r-8r+ 与抛物线片=r+bx+ 交于点C,过点C作直线MW,分别交抛物线 ”和为于点MN(MN均不与点C重合)，设点M的横坐标为m,点N的横坐标为，试判断m-川 是否为定值.若是，直接写出这个定值：若不是，请说明理由， 7.(2024江苏苏州中考真)如图0。二次函做'=+c+“的图象C与并口向下的=次函藏图象 2 均过点1(-10)B3,0) 9/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图① 图② C (1)求图象对应的函数表达式： ②若图象C过点9 (0,6 ,点P位于第一象限，且在图象C上，直线1过点P且与x轴平行，与图象C的 另一个交点为O(Q在P左侧)，直线I与图象的交点为M,N(N在M左侧).当 PO=MP+ON 时， 求点P的坐标： B)咖图②，D,B分别为二次函数图象G,C的顶点，连接4D,过点A作4F上D.交图象C于点元 C, 连接ER,当EF∥D时，求图象C对应的函数表达式。 8(2024江苏连云港巾考真题)在平面直角坐标系0中，已知抛物线'=+r-1a力为搭数。 a>0). D ()若抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式： 10/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②如图，当0=1时，过点C-1@、DLa+22)分别作'轴的平行线，交抛物线于点4X连接 MN、MD.求证：MD平分∠CMN: 3)当a=1,b≤-2时，过直线y=x-1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若GH的最 大值为4，求b的值. 11/11 专题11 二次函数压轴综合 3年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2024-2026） 命题规律 考点01 二次函数与线段周长问题 （2026·江苏常州·中考真题） （2025·江苏扬州·中考真题） （2024·江苏镇江·中考真题） · 情境设置：以抛物线与坐标轴交点为背景，构建动点与线段和、周长最值问题。 · 考查重点：待定系数法求解析式、对称求最值、线段长度转化。 · 命题趋势：趋向动点与将军饮马模型结合，强调几何变换与函数联动。 考点02 二次函数与面积问题 （2025·江苏苏州·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏扬州·中考真题） · 情境设置：抛物线与直线交点围成三角形或四边形，求面积或面积最值。 · 考查重点：割补法、铅垂高求面积、动点面积函数建模。 · 命题趋势：由定值计算转向含参面积最值，突出函数思想与分类讨论。 考点03 二次函数与三角形问题 （2026·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏无锡·中考真题） · 情境设置：含参抛物线顶点与坐标轴构成三角形，探究形状或存在性。 · 考查重点：顶点坐标、等腰或直角三角形判定、参数取值范围。 · 命题趋势：强化含参讨论与存在性探究，注重数形结合与方程思想。 考点04 二次函数与四边形问题 （2024·江苏无锡·中考真题） · 情境设置：抛物线与直线交点构成平行四边形或特殊四边形。 · 考查重点：待定系数法、平行四边形顶点坐标关系、分类讨论。 · 命题趋势：真题较少但综合性强，趋向平移与存在性结合考查。 考点05 二次函数综合（其他问题） （2024·江苏无锡·中考真题） （2026·江苏镇江·中考真题） （2026·江苏扬州·中考真题） （2024·江苏常州·中考真题） （2026·江苏苏州·中考真题） （2024·江苏宿迁·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） （2024·江苏连云港·中考真题） · 情境设置：新定义、函数求和、取值范围等创新情境。 · 考查重点：阅读理解、函数性质迁移、分类讨论与数形结合。 · 命题趋势：新定义题增多，强调自主探究与综合运用能力。 考点01 二次函数与线段周长问题 1．（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【答案】(1) (2)的取值范围为或． (3)的值为． 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求得的值． （2）先令求得，再令和分别求得的值，最后结合函数图像即可求得的取值范围． （3）先用待定系数法求得直线的函数表达式，从而得到点，，，的坐标，再结合得到，的长，进而得到关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质即可求得当最大时的值． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ， 解得． （2）解：由（1）知，二次函数表达式为． 令，得． 令，得， 解得或． 令，得， 解得或． 如图，结合函数图像可知，当时，函数值介于与5之间，对应的自变量分为两段，当点，在抛物线上，且时，的取值范围为或． （3）解：如图 令，得， 解得或． ． 令，得， ． 设直线的函数表达式为． 将点，的坐标分别代入． 得 解得 直线的函数表达式为． ， ． 由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方， ，， ， ，抛物线开口向下，二次函数在处取得最大值． 又，满足题设条件， 当时，取得最大值，即当最大时，的值为． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 【答案】(1)， (2) (3)2，0，4，无数 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再将代入，解方程组即可求解； （2）表示出，，则，再利用二次函数的性质求解最值即可； （3）过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，可求直线表达式为，则，表示出，，可得均为等腰直角三角形，则，，然后分别计算每一种情况即可． 【详解】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点， ∴， 解得： ∴，； （2）解：∵，， ∴二次函数解析式为， ∵直线与轴垂直， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴当时，取得最大值为； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点， ∵， 设直线表达式为：， 代入点， 则， 解得：， ∴直线表达式为， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 即， 同理可得， ∴当时，， 整理得：， ∴或， 对于，； 对于，， ∴当时，对应的t值有2个； 当时，，方程无解， ∴对应的t值有0个； 当时， 整理得：， ∴或， 对于方程，， 对于方程，， ∴当时，对应的t值有4个； 当时， ∵，， ∴始终成立， ∴当且时，始终成立， ∴当时，对应的t值有无数个， 故答案为：2，0，4，无数． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①6；②且；③4 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． （1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且； ③，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； （2）解：①由题知，该函数过点，，， 函数的解析式为：， 函数的对称轴为直线， ，， 点，关于对称轴对称， ， ， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ③，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 考点02 二次函数与面积问题 1．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2) 不存在实数m使得， 理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）略； （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 考点03 二次函数与三角形问题 1．（2026·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． (1)直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； (2)若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围； (3)设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点分别代入两次平移后的解析式，解出m的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出解析式即可． （2）设直线l：，根据已知条件得出a的取值范围，再联立直线l与抛物线和直线，得出，根据抛物线可知代入，最后得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可． （3）连接，过点D作轴，垂足为E．根据正切的定义得出，进而可得出点P在点B的左侧．则存在或．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解即可得出答案． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， ∴公共解为， 把代入， 得出抛物线对应的函数表达式为； 令， 则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设的解析式为， 则， 解得 ∴直线对应的函数表达式为． （2）解：如图1，设直线l：， ，， ． ∵直线l与抛物线和直线都相交， ∴可列方程 得． ， ∵抛物线的对称轴是， ， ． 又， ． ∵， ∴抛物线开口向上， 又， ∴当时，y取得最小值为60，当时，y取得最大值为， ． 即． （3）解：如图2，连接，过点D作轴，垂足为E． ∵抛物线， ∴顶点． ∴， 由（1）可知，，，，，，， ∵， ， ． 与相似， ∴点P在点B的左侧． ∴存在或． 当时， 则， 得 ． ∴点． 当时， 有， 得 ， ∴点． 综上，使与相似的点P的坐标为或． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2) 证明：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）略 （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 考点04 二次函数与四边形问题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 考点05 二次函数综合（其他问题） 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质． 推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【详解】解：①当时，，当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴在时，，即， ∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， ∵对称轴为y轴，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴在时，，即， ∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵，， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数的“4级关联范围”， ∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，我们将经过点且垂直于y轴的直线记作“直线”．如果它与二次函数（a，h，k为常数，且）的图像（顶点记为C）有两个公共点，记为A，B（点A在点B的左侧），，我们称直线为该二次函数图像的截线． 已知二次函数． (1)顶点C的坐标为__________． (2)直线（即x轴）是该二次函数图像的截线．若，求点B的坐标以及a的值． (3)直线是二次函数图像的截线． ①已知，求t的值； ②已知，用含a的代数式表示t；（直接写出结果） ③若直线恰好又是二次函数图像的截线，当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)点B的坐标为； (3)①；②；③ 【分析】（1）根据顶点式的性质即可得解； （2）由抛物线对称性可知，对称轴垂直平分弦，即且．先由得，结合算出，得；再将代入解析式即可求出． （3）①将代入抛物线解析式，解得点横坐标，进而得；顶点到直线的竖直距离．由得，列方程求解后舍去顶点值，最终得；②同理求解得出，，代入正切定义化简得，将代入，两边平方后整理等式，即可解出；③先对同理推导得，由得，分、两类解不等式，同时结合“直线与两抛物线均有两个交点”的定义域限制，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，顶点的坐标为； （2）解：∵直线是截线， ∴， 对称轴与交于点，如图： 由二次函数的性质可得，， ∵点的坐标为， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 将代入中， 得 解得； （3）解：①作出二次函数的对称轴交直线于点D，如图： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点为最高点，且直线与抛物线有两个交点， ∴， 将代入中， 得 或 解得或， ∴点B的横坐标为， ∴， 由图可得，， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去），； ②作出二次函数的对称轴交直线于点D，如图： 或 将代入中， 得 或 解得或， ∴点B的横坐标为， ∴， 由图可得，， ∴， ∵直线与抛物线有两个公共点， ∴且， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得； ③作出图象，其对称轴交直线于点， 或 ∴， 将代入中， 得 解得或， ∴点的横坐标为， ∴， 由图可得，， ∴， 由②可得，， ∵和都是锐角，且， ∴， ∴ ， 当时， 解得， ∵两个抛物线都有两个交点， ∴对于，， ∴ 解得， 对于，， ∴ 解得， ∴； 当时， 解得， ∵两个抛物线都有两个交点， ∴对于，， ∴ 解得， 对于，， ∴ 解得， 此时，与且无交集，此情况无解． 综上所述，t的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数新定义题型，通用解题模型为：利用抛物线轴对称性构造直角三角形，将角度条件转化为，实现几何条件代数化．常见错误有忽略直线与抛物线相交的定义域限制、含参不等式未分类讨论的正负．避坑关键：先确定的取值边界，参数问题优先按开口方向分类讨论． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R． ①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______； ②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______； ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点坐标为 (2)①   ②    ③点M的坐标为或 【分析】（1）将点和分别代入，即可求得抛物线的表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标； （2）①根据题意知点，可得，再分当点N在点M上方的抛物线上时，当点N在点M下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范围； ②根据题意得到矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称，再由矩形R的水平宽度，得，进而得，可得矩形R的垂直高度h的取值范围； ③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时， 第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可． 【详解】（1）解：将点和分别代入，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴它的顶点坐标为； （2）①解：根据题意知点， 当时，， ∴， 当点N在点M上方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， ∴点N的纵坐标为2，即，此时，矩形宽度的最小值为； 当点N在点M下方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， 当时，，解得(舍去)或， ∴，此时，矩形宽度的最大值为． 综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是 ； ②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称， ∵矩形R的水平宽度， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴矩形R的垂直高度h的取值范围是； ③解：根据题意设，则， 第一种情况：当，即时，， ∴(舍去)； 第二种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第三种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第四种情况：当时，， ∴(舍去)； 综上，点M的坐标为或． 4．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)________； (2)如图，已知点A的坐标是． ①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； ②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②1或或 【分析】（1）当时，，即； （2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或． 【详解】（1）解：当时，，即； （2）解：①将点A代入 得，， 解得：， ∴解析式为：， 而， ∴对称轴为直线：， 当，且时， ∴y随着x的增大而减小， ∴当，，当时，， 由得，， 解得：或（舍） ∴； ②在中，， 由题意得，，， ∴四边形为平行四边形或等腰梯形， 当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 将点代入， 得：， 解得：或（舍）， ∴； 当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， 即； 当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则， ∵ ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点P代入， 得：， 解得：或， 而当时，，故舍， ∴， 综上：点P的横坐标为1或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把，代入求解即可； （2）①先求出的最小值为，根据吸收函数定义写出表达式为，根据二次函数的性质得出，化简得，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可； ②过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出，解方程求出A、B两点的横坐标分别是则，根据为“吸收函数”的顶点，得出，根据可求出，结合的面积为4得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得， 解得； （2）解：①， 的最小值为． 由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得． ， ， ，即， 为一次函数的系数即， 考虑到当时，， 但当时，， 故可取， 综上所述，； ②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为． 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：， 即． 解得． ∴点的横坐标分别是 ， 为“吸收函数”的顶点， ， ． ． 的面积． 的面积为， ， 解得． 6．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 7．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． (1)求图象对应的函数表达式； (2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标； (3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．作直线，交直线l于点H．（如答图①）由二次函数的对称性得，， ，由，得到，设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为，，，故有，解得，（舍去），故点P的坐标为； （3）连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J，（如答图②），则四边形为矩形，设对应的函数表达式为，可求，，则，，，而，则．设，则，，，即，可得，故，则，则①，由点F在上，得到，化简得②，由①，②可得，解得，因此，故的函数表达式为． 【详解】（1）解：（1）将，代入，得， ， 解得： 对应的函数表达式为：； （2）解：设对应的函数表达式为，将点代入 得：， 解得：． 对应的函数表达式为：，其对称轴为直线． 又图象的对称轴也为直线， 作直线，交直线l于点H（如答图①） 由二次函数的对称性得，， ∴． 又，而 ． 设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为． 将代入，得， 将代入，得． ，， 即，解得，（舍去）． 点P的坐标为； （3）解：连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②） ，轴，轴， 四边形为矩形， ，． 设对应的函数表达式为， 点D，E分别为二次函数图象，的顶点， 将分别代入， 得， ∴，， ，，． 在中，． ， ． 又， ． ． 设，则，． ， ． ， ． ， ． 又， ， ① 点F在上， ， 即． ， ② 由①，②可得． 解得（舍去），， ． 的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 8．（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2) 解：连接，   ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； （2）略 （3）解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）．      设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知：    当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知：    当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $