专题20 命题与证明、限定工具作图（3年汇编）（江苏专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题20命题与证明、限定工具作图 3年真题1年模拟 中考命题透析园 考点分类 江苏考情(2024-2026) 命题规律 情境设置：以三角形为背景，结合角平分线性质设置作图任 (2024江苏无锡中考真题) 考点01作角平分线 务。·考查重点：尺规作角平分线的规范操作与性质应用。· 命题趋势：作图与证明融合，强调作法依据与推理衔接。 (2026·江苏无锡·中考真题) 情境设置：以直角三角形、正方形为背景设置垂直平分线作 考点02作垂直平分 (2025江苏无锡中考真题) 图。·考查重点：垂直平分线尺规作法及性质运用。·命题趋 线 势：连续年份考查，注重作图与几何计算结合。 考点03过直线外一 ·情境设置：以莲叶疏水性等生活情境为载体引入作图。·考 (2025江苏扬州中考真题) 点作这条直线的平行 查重点：过直线外一点作平行线的方法与原理。·命题趋势： 线 跨学科情境融合，考查作图的实际应用。 ·情境设置：以正六边形为背景，以顶点为圆心作圆。·考查 (2024江苏宿迁·中考真题) 考点04作圆 重点：圆与多边形的位置关系及截取计算。·命题趋势：作图 与图形性质综合，侧重计算推理。 (2025江苏徐州中考真题) (2024江苏盐城中考真题) (2026:江苏徐州中考真题) ·情境设置：网格、筝形、连弧纹镜等多样情境。·考查重 考点5无刻度直尺 (2026·江苏镇江·中考真题) 点：仅用无刻度直尺作图的原理与推理。·命题趋势：限制工 网格作图 (2024江苏连云港·中考真 具作图，突出几何推理与创新。 题) (2024江苏镇江·中考真 题) (2026·江苏苏州中考真题) (2026~江苏连云港·中考真 情境设置：L0G0标志、仅用圆规、正方形等多元情境。 考点06其他尺规作 题) 考查重点：限定工具作图的原理与操作规范。·命题趋势：工 图题 (2025江苏宿迁·中考真 题) (2025·江苏苏州中考真 具限制多样化，强调作图依据与创新。 题) (2024江苏镇江·中考真 1/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题) (2024江苏宿迁·中考真 题) (2026江苏盐城·中考真 题) (2025·江苏常州中考真 题) (2024江苏南京·中考真 题) (2026江苏徐州中考真题) (2026江苏连云港中考真 题) (2026江苏无锡·中考真 ·情境设置：以真假命题判断、逆命题书写为主。·考查重 题) (2025·江苏无锡中考真 考点07命题与证明 点：命题真假辨析、逆命题及反例证明。·命题趋势：注重逻 题) (2024江苏宿迁·中考真 辑推理，真假判断与证明并重。 题) (2025·江苏南通中考真 题) 三年真题分类园 国园0考点01作角平分线 1,(2024江苏无锡中考真题)如图，在△ABC中，AB>AC. (I)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D,使得DB=DC;(不写作法，保留痕迹) 2)在(1)的条件下，若∠B4C=90°，AB=7,AC=5,则AD的长是多少？（请直接写出AD的值） 国园0考点02作垂直平分线 1.(2026江苏无锡中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC, B 2/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)尺规作图：在AC上确定点D,使点D到A,B两点的距离相等；在AB的下方确定点E,使得四边形 AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）； (2)在(1)的条件下，若BC=4，,AD=3CD,求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）， 2.(2025江苏无锡中考真题)如图，AC为正方形ABCD的对角线. D (I)尺规作图：作AD的垂直平分线I交AD于点E,在I上确定点F,使得点F到∠BAC的两边距离相等： (不写作法，保留痕迹) (2)在(1)的条件下，求∠EFA的度数.（请直接写出∠EFA的度数） 品考点3过直线外一点作这条直线的平行线 1.(2025江苏扬州中考真题)材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡，“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内 部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质. 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心 的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N)所作的气-液界线的切线与固- 液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角， B 一→空气（气相） →气-液界线 →水滴（液相） →固-液界线 N」>材料（固相） 图1 图2 图3 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作 3/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图痕迹，写出必要的文字说明) (2)材料的疏水性随着接触角的变大而 (选填“变强”“不变”“变弱”)· 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径1C(8C11C),求出∠BAC的度数，进而 求出接触角∠CAD的度数（如图3）. (3)请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由. 【创新思考】 (4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出 一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化. 自考点04作国 1.(2024江苏宿迁中考真题)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径 DE 作圆，则该圆被正六边形截得的 的长为 品考点05无刻度直尺-网格作图 1.(2025江苏徐州中考真题)“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个 连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案.图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个 连续的弧连成一圈.图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图. 图1 图2 4/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”，（保留作图痕迹，不写作 法) 2.(2024江苏盐城中考真题)如图1，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接 AF、CE交于点M,连接AG、CH交于点N,将四边形AMCN称为平行四边形ABCD的“中顶点四边形”. 4 H H A E E M M M 图1 图2 图3 (I)求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形： (2)①如图2，连接ACBD交于点O,可得MN两点都在BD上，当平行四边形ABCD满足」 时， 中顶点四边形AMCN是菱形： ②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形 (保留作图痕迹，不写作法) 3.(2026江苏徐州中考真题)在四边形ABCD中，如果AB=AD,CB=CD,那么四边形ABCD叫作筝 形 ()从角、对角线这两个方面进行研究，写出筝形有别于一般四边形的2条特殊性质.（无需证明） (②)如图，已知AB,BC为筝形ABCD的一组邻边.用三种不同的方法将筝形ABCD补全：要求：①用无 刻度直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明， 5/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026江苏镇江中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD<BC,∠A=90°，以CD为直 径作OO,分别交BC,BD于点E,F,DE,CF相交于点M. (I)△DAB与△MEC相似吗？为什么？ (2)已知AB=BC=6,AD=2,N为BC的中点，连接MN ①求ME,MN的长； ②仅用一把无刻度的直尺在线段DM上作一点P,使得△PMN为等腰三角形.（要求：不写作法，保留作 图痕迹) 5.(2024江苏连云港·中考真题)如图，AB与CD相交于点E,EC=ED,AC∥BD E D (I)求证：△AEC≌△BED: (②)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN,使得点M在AC上，点N在BD上.（不写作法，保留 作图痕迹，标明字母) 6.(2024江苏镇江中考真题)主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC,仅用一把无刻度的直尺作DE、BC 的中点. A E D 图1 图2 6/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 操作：如图2，连接BE、CD交于点P,连接AP交DE于点M,延长AP交BC于点N,则MN分别为 DE、BC的中点. DM AM EM AM 理由：由DE∥BC可得△4DM6ABN及AEM6ACN,所以BN=AN,CN=AN·所以， DM_BN DM MP EM MP DM CN EM=CN·同理，由DMPACNP及EMP6BNP,可得CN=NP,BN=P·所以EM=BN· BN CN 所以CNBN,则BN=CN,DM=EM,即MN分别为DE、BC的中点. 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹. (1)如图3， 点R、F在直线上 4∥12 2 图3 ①作线段EF的中点： ②在①中作图的基础上，在直线？上位于点F的右侧作一点P,使得PF=EF (2)小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍(k为正整 1∥12 数)的线段.如图4， 已知点、P在上，他利用上述方法作出了BB=PA=A.点五、F在 直线上，请在图4中作出线段EF的三等分点： PP Ps P 图4 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (国)如图5，DE是。MBC的中位线。请在线段EC上作出一点Q,使得QE=CE(要求用两种方法). D E 图5 考点06其他尺规作图题 1.(2026江苏苏州中考真题)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,分别以点A,B为圆心，大 于2AB的长为半径画弧，两弧相交于点D,E:过D,E两点作直线，分别交AB:AC于点F,G:连 接CF.若CF=5,则AG=」 2. （2026江苏连云港中考真题)如图，在平面直角坐标系0中，四边形48CD的顶点分别为1(-6,0) B(10,0)C(4,10)D(0,8) 请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答.（不写作法，保留作图痕迹，标 明字母) C D A B (I)在CD边上作一点P,使PA=PB,此时点P的坐标为； 8/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)在BC边上作一点O,使△QAD和△QOB的面积相等. 3.(2025江苏宿迁·中考真题)实验活动：仅用一把圆规作图. 【任务阅读】如图1，仅用一把圆规在∠AOB内部画一点P,使点P在∠AOB的平分线上. 小明的作法如下： 如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OAOB于点E、F,再分别以点E、F为圆心， 1 大于2EF长为半径画弧，两弧交于点p,则点p为所求点.理由：如图3，连接EPFR、OP,由作图可 知OE=OF,PE=PF, 又因为OP=OP, 所以· 所以∠EOP=∠FOP, 所以OP平分∠AOB, 即点P为所求点： A A B F 图1 图2 图3 【实践操作】如图4，已知直线AB及其外一点P,只用一把圆规画一点Q,使点PQ所在直线与直线 AB平行，并给出证明.（保留作图痕迹，不写作法） B 图4 4. (2025江苏苏州中考真题)如图，∠MON=60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM,ON于 B两点，再分别以4B为圆心， A,B √ 为半径画弧，两弧在∠M0N内部相交于点C,作射线OC,连接 AC,BC,则tan∠BCO= (结果保留根号) 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 米c BI N 5.(2024江苏镇江中考真题)如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧， 交BC边于点8，连接4B,MB=D=60°，则E的长1 (结果保留不). D B E 6.(2024江苏宿迁中考真题)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB 长为半径画弧，交AC于点E,再分别以B、B为圆心，大于2BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部 交于点F,作射线AF,则∠DAF= B D 米 7.(2026江苏盐城中考真题)如图1所示的LOG0标志由正方形和圆构成.如图2，正方形ABCD的边 AB,BC分别为⊙E,⊙F的直径，⊙B经过点F,点G,H,K是OB,⊙F,⊙E两两的公共点. 10/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E G 1937-2022 中图人民大学 B 建校85周年 versary 图1 图2 ①求F 的度数： (2)探究：仅用直尺在图2中画出一条15°的弧，请用符号表示该弧，并说明理由. 8.(2025江苏常州中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，BD=CE. D E (I)求证：△ABD≌△ACE: (2)用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF(保留作图痕迹，不要求写作法). 9.(2024江苏南京中考真题)(1)如图(1)，点E,F分别在正方形ABCD边AB,CD上，连接EF. 求作GH,使点G,H分别在边BC,AD上（均不与顶点重合），且GH⊥EF. (2)已知点P,,R,S的位置如图(2)所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求 作该正方形过点P的边所在的直线，要求：①用直尺和圆规作图：②保留作图的痕迹，写出必要的文字说 明 D P 9 •S R (1) (2) 11/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 合考点07命题与证明 1.(2026江苏徐州中考真题)下列命题为真命题的是()· A.两点之间，线段最短 B.菱形的对角线相等 C.正五边形的外角和为720° D.直角三角形是轴对称图形 2.(2026:江苏连云港·中考真题)下列命题为真命题的是() ①若a2=b2,则a=b;②相等的角是对顶角：③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形：⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等. A.①②⑤ B.③④ C.④⑤ D.①③ 3.(2026江苏无锡中考真题)命题：“若x<1,则x<1,”是 (填“真”或“假”)命题. 4.(2025江苏无锡中考真题)请写出命题“若a>b,则a+1>b+1”的逆命题： 5.(2024江苏宿迁·中考真题)写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 6.(2025:江苏南通中考真题)请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题. 如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例 1)若a2=b2,则a=b: x,y x2+y2>2xy (2)对于任意实数，一定有 (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数： (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形. 年模拟练测园 1.(2026江苏南京·中考模拟)已知△ABC,按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹， 写出必要的文字说明. a 12/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 @在AC、BC上各定一点E、,使EFAB,且EF=4B, (2)在AC、BC上各确定一点G、P,使GP∥AB,且GP=a. 2.(2026江苏南通海门区·中考模拟)求证：三角形三个内角的和等于180°.（要求：根据图形，写出 “已知”、“求证”并“证明”，) 13/13可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题20命题与证明、限定工具作图 3年真题1年模拟：答案版 三年真题分类园 国0考点01作角平分线 1.【答案】(1) 如下图：AD即为所求. g6v2 【分析】(1)作∠BAC的角平分线和线段BC的垂直平分线相交于点D,即为所求. (2)过点D作DE⊥AB交AB与点E,过点D作DF⊥AC交AC与点F,先利用角平分线的性质定理证明 四边形AEDF为正方形，设AE=AF=ED=DF=x,则BE=7-x,FC=5-x,以DB=DC为等量关系 利用勾股定理解出x,在利用勾股定理即可求出AD. 【详解】(1)略 (2)过点D作DE⊥AB交AB与点E,过点D作DF⊥AC交AC与点F, 则∠AED=∠AFD=90°， 又，∠BAC=90 ∴.四边形AEDF为矩形， :AD是∠BAC的平分线， .DE=DF, .四边形AEDF为正方形， 1/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AE=AF =ED=DF, 设AE=AF=ED=DF=x, :BE=AB-AE=7-x,FC=AC-AF=5-x, 在Rt△BED中， BD2=ED2+BE2=x2+(7-x)2 在Rt△CFD中， CD2=DF2+FC2=x2+(5-x} DB=DC .DB2=DC2 .x2+(7-x2=x2+6-x 解得：x=6, 4D-V4F+DF-16+6-62 E B D 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理 的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键 官品考点2作垂直平分线 1.【答案】(1)如图即为所求作图形： B 11111, 2/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 e125 【分析】(1)根据题意可知作线段AB的垂直平分线，交AC于点D,交AB于点O,在AB下方截取 OE=OD即可： (2)设CD=x,则AD=3x,根据菱形的性质可得BD=AD=3x,在RtABCD中，根据勾股定理列方程 得x值，进而求解即可. 【详解】(1)略： (2)解：设CD=x,则AD=3CD=3x, 四边形AEBD是菱形 ∴，DB=DA=3x， 在RtABCD中，∠ACB=90°，BC=4, .BC2+CD2=BD2 2+x2=(3x)2 即 解得=5（合负） .BD=3V2 AEBD 4BD=12N2 菱形 的周长为 2.【答案】(1) 如图，直线I,点F即为所求 E F (2)22.5° 3/21 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识 是解题的关键 (I)由题意先作AD的垂直平分线I,再根据点F到∠BAC的两边距离相等可知点F在∠BAC的角平分线 上，据此作图即可 (2)根据正方形的性质和角平分线的定义求得∠BAF,然后由∠BAF+∠EAF=90°和∠EFA+∠EAF=90° 得到∠EFA=∠BAF,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：：四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴.∠BAC=∠CAD=4S°，∠BAD=∠BAF+∠EAF=90°， :AF平分∠BAC, ABr-B4c-x45=25 ,直线I⊥AD,即∠AEF=90°， .∠EFA+∠EAF=90° .∠EFA=∠BAF=22.5° 目0考点03过直线外一点作这条直线的平行线 1.(1) ∠PMN即为所求： 图2 (2)变强 (3)∠CAD=2∠BAC,理由如下： 连接OA,则：OA=OB, 4/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A 图3 ∠ABC=∠OAB ,AD为切线， .OAL AD. ∴.∠OAB+∠BAD=90°， :BC⊥AC, .∠ABC+∠BAC=90°， ,∠ABC=∠OAB .∠BAD=∠BAC, .∠CAD=∠BAD+∠BAC=2LBAC: （4):水滴弧的长度为：1=网 180, n .7180 ∴.可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）· 官考点04作圆 4π 1. 国角考点5无刻度直尺网格作图 1.(1)七 (2) 如图所示，即为所求， 5/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图2 2.(1) 证明：，ABCD, .AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC ,点E、F、G、H分别是口ABCD各边的中点， CD-CG.AE/CG AE=1 ∴.四边形AECG为平行四边形， 同理可得：四边形AFCH为平行四边形， :.AM∥CN,AN∥CM ∴.四边形AMCN是平行四边形： 2)①AC1BD: ②如图所示，即为所求， M B 3.【答案】(1)筝形的对角线互相垂直：筝形有一组对角相等 6/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 2) 【分析】(I)连接AC、BD,得到△ABC≌△ADC,推出∠ADC=∠ABC,△ABC与△ADC关于AC对称， 且点B与点D为对应点，推出AC⊥BD (2)①连接AC，作∠DAC=∠BAC,再在射线AD上截取AD=AB,连接CD,则四边形即为所求 ABCD;②连接AC,作点B关于AC的对称点E,连接AE、CE,则四边形即为所求ABCE;③分别以 A、C为圆心，AB、CB为半径作圆，两圆交于一点F,连接AF、CF,则四边形即为所求ABCF 【详解】(I)解：连接AC、BD, .AB=AD,CB=CD,AC=AC. :.△ABC≌aADC(SS),△ABC与△MDC关于AC对称， ∴.∠ADC=∠ABC.AC⊥BD 故筝形的两条性质为：筝形的对角线互相垂直；筝形有一组对角相等： (2)略 4.【答案】(1)相似 理由：：AD∥BC,∠A=90°， ∴.∠ABE=180°-∠A=90°， ,CD是⊙O的直径， ∴.∠DEC=90°， .∠DEB=90°， .四边形ABED是矩形， AB∥DE, ∴.∠ABD=∠BDE, 7/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又∠FDE=∠FCE,即LBDE=∠MCE, .∠ABD=∠MCE, 又∠A=∠MEC=90°， ∴.△ABD∽aECM: e0E-手v- 3 ②如图，△PMN即为所求， B 【分析】(1)根据平行线的性质求出∠ABE=90°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠DEC=90°，证 明四边形ABED是矩形，根据矩形的性质和平行线的性质得出∠ABD=∠BDE,结合∠A=∠MEC=90°即 可证明△ABD∽aMCE: (2)①根据矩形的性质、线段和差关系求出EC=4,根据相似三角形的性质求出M=了，根据勾股定理 求出MN=3即可： ②连接AE交BD于G,连接OG交DE于P,连接MN即可. 【详解】(1)略 (2)解：①，四边形ABED是矩形，AD=2, .BE=AD=2, BC=6, .EC=BC-BE=4, .△ABD∽△ECM,AB=6, AD AB 26 EMEC,即EM=4, 解得EM=3,经检验，符合题意， 8/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 N为BC的中点， :BN=号BC=3 .EN=BN-BE=1, :MN=VEM2+EN=5 : ②作图见答案 理由：，四边形ABED是矩形， .G是BD中点，DE=AB=6, 又O是CD中点， .GO∥BC, DP DO .EP CO =1, DP=EP= 1DE=3 ·.MP=EP-EM= 3, 又w MN=MP,即aPMN是等腰三角形. 5.【答案】(1) 证明：：AC∥BD, ∴∠A=∠B,∠C=∠D ∠A=∠B ∠C=∠D 。和 中， △AEC△BED EC=ED ∴.△AEC≌ABED(AAS) (2) 如图所示，菱形DMCN为所求. 9/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【分析】(1)根据平行线的性质得到∠A=∠B,∠C=∠D,结合EC=ED,利用AAS即可证明 △AEC≌△BED. (2)作CD的垂直平分线，分别交AC,BD于点M,N,连接DM,CW即可. 【详解】(1)略 (2)解：MN是CD的垂直平分线， ∴.MD=MC,DN=CN 由(1)的结论可知，∠A=∠B,AE=BE 又，∠AEM=∠BEN, 则△AEM兰△BEN, ME=NE, CD⊥MN, .CD是MN的垂直平分线， ∴.DM=DN,CM=CN ∴.DM=DN=CN=CM, .四边形DMCN是菱形， 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直 平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键， 6.【答案】[实践操作] (1)①如图， 10/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B NL 点即为所求作的点： M F 12 M ②如图， 1 B 点即为所求作的点： P (2)如图， 作法一、 作法二、 PP Ps P 点， 即为所求作的点； M 一2 M [探索发现](3)如图， 作法一、 11/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 作法二、 D 作法三、 B D E 作法四、 B D E 作法五、 D 点即为所求的点 B Q 【分析】实践操作（山）①根据[阅读理解部分的作法：在上方任取一点4，得到△4F,4E与交于点 12/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B,AF交于点C,连接CE,BF交于点0，作射线40交，分别于N,M,点M即为所求点： ②作射线FN交4C于点6，作射线GC交于点P,点P即为所求： (2)根据上述作法，有两种作法： [探索发现]如作法一，根据相似可知，连接CD,BE交于点O,则DO:OC=1:2,即点O是CD的三等分 点之一，由此可以得出过点O作BC的平行线：同理可得点M是CP的三等分点之一，则OMBC,即点 Q为所求作点。 【详解】略 【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解阅读理解]部 分中M,N为中点是解题关键， 自考点06其他尺规作图题 25 1 4 2.(1)如图所示，点P的坐标为 (2,9) 个N (2)如图2所示. y个 D 3.[任务阅读]aOEP≌aOFP(SSS) 13/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [实践操作] 解：如图4，P吧为所求： P B 图4 证明：连接AP,BQ,PQ, 由作图可知，PQ=AB,BQ=AP 四边形ABQP为平行四边形， .PQ∥AB 点为所求 5 4.5 53π擀 1 3 6.10°#10度 7.【答案】1G 的度数为60°。 ； GM (2)解：如图， 即为所作. 连接B歌交G丽于点M,连接4K,CK】 14/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D I I I 正方形 的边，分别为 的直径， B ABCD AB BC ⊙E⊙F .∠AKB=90°，∠CKB=90° ∴.∠AKB+∠CKB=180° 点AK、C共线， ∴，∠BCK=45° .∠CBK=90°-45°=45°， :∠FBG=60°， :∠KBG=∠FBG-∠CBK=60°-45°=15°， 在⊙B 中，∠KBG 所对的弧为 GM ∴.GM 15° 的度数为， ∴.GM 即为所作. 【分析】(I)连接FG,BG,证明△BGF是等边三角形，据此即可求解； (2)连接BK交G丽于点M,连接4K,CK,证明点小K、C共线，推出∠BCK=45°，∠CBK=45° 据此即可得到G 的度数为15° 【详解】(1)解：连接FG,BG, 15/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B 庙题意得FG=FB=BC,BG=FB ∴.BG=FB=FG ∴△BGF是等边三角形， ∴.∠FBG=60°， .GF 60° 的度数为心： (2)略 8.【答案】(1) 证明：，AB=AC, .∠B=∠C, 在△ABD与△ACE中， 「AB=AC ∠B=∠C BD=CE' △ABD≌△ACE(SAS) (2) 解：如图，AF即为所求作. E 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图-作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形 的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键. 16/21 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)先利用AB=AC得出∠B=∠C,再利用SAS证明△ABD≌△ACE即可： (2)利用根据角平分线的作图方法作图即可. 【详解】(1)略 (2)略 9.【答案】 1 解：(1)如图，分别以点E,F为圆心，大于EF为半径画弧，连接交点，交BC于点G,交AD于点H, 点G,H即为所求； H (2)方法一：如图，连接S,过点P作PF⊥S,取PF=QS,连接FR,作PJ‖FR,则PJ为正方形 点P的边所在的直线，过点Q作PJ的垂线，过点S作PJ的垂线，所得的四边形为P,Q,R,S所在的正方形： 方法二：连接PS,QR,作以PS,QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M,点N,连接MN交两圆 于点H,点K,连接PH.SH.KO.KR,其中KOPH交于点L,KR、SH交于点T; 连接PM、SM,则PM=SM,∠PMS=90°， .∠MPS=∠MSP=45°： ,∠PHS=90° .∠PHM=∠PSM=45°，∠SHM=∠MPS=45°： 17/21 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同理∠LKH=∠TKH=45° :△LKH、△TKH都是等腰直角三角形， ∴.四边形LKTH是正方形， 四边形LKTH是R,Q,P,S所在的正方形， ,H为该正方形点P的边所在的直线. 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键. (1)作EF的中垂线即可； (2)方法一：如图，连接S,过点P作PF⊥S,取PF=QS,连接FR,作PJFR,则PJ为正方形 点P的边所在的直线，过点作P小垂线，过点S作PJ垂线，所得的四边形为P2,R,S所在的正方形：方 法二：连接PS,QR,作以PS,QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M,点N,连接MN交两圆于 点H,点K,连接PHSH、KQKR,四边形LKTH是R,Q,P,S所在的正方形，LH为该正方形点P的 边所在的直线。 【详解】(1)略： (2)略。 考点07命题与证明 1.A 2.B 3.假 18/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.若a+1>b+1,则a>b 5.同位角相等，两直线平行 6.【答案】(1)假命题， 反例： 当a=2,b=-2时， 2=(-2}.2≠-2， 结论不成立 (2)假命题， 反例： 当x=y时， x2+y2=2xy 结论不成立： 3)真命题， 证明： 设两个连续的正奇数为2k-1,2k+1(k为正整数)， 则（2k+-(2k-=4k2+4k+1-(4k2-46+1)）=8x k为正整数， .8k是8的倍数， ∴.两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数： (4)假命题， 反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立： 【分析】本题考查了真命题与假命题.熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键.题设成立结论也成 立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题.判断一个命题是真命题通常由已知条件出 发，经过一步步推理，最后推出结论正确：要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条 件，不具备命题的结论的例子)即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可. 【详解】(1)略 19/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)略 (3)略 (4)略 一年模拟练测园 1.【答案】(I)如图，EF即为所求。 (2)如图，GP即为所求， 【分析】(I)分别作AC、BC的中垂线，交AC、BC于E、F,连接EF即可： (2)在AB上截取BH=a,过点H作∠AHG=∠B,交AC于G,在BC上截取BP=GH,连接GP,根 据∠AHG=LB可得GH∥BC,即可得出四边形GHBP是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出 GP∥AB,且GP=a. 【详解】(I)解：：E、F分别为AC、BC的中点， ∴.EF为△ABC的中位线， 六FI,且F-号8 (2)解：如图，在AB上截取BH=a,过点H作∠AHG=∠B,交AC于G,在BC上截取BP=GH,连 接GP,则GP即为所求. G ,∠AHG=∠B 20/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .GH∥BC, BP=GH, .四边形GHBP是平行四边形， .GP∥AB,且GP=a. 2.【答案】 己知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过点A作BC的平行线MN, M--- A ------N MN II BC .∠MAB=∠B,∠NAC=∠C. ∠MAB+∠BAC+∠NAC=180° ∴.∠B+∠BAC+∠C=180° 【分析】过点A作BC的平行线MN,根据平行线的性质得到∠MAB=∠B,∠NAC=∠C,再根据平角的 定义，即可得到三角形三个内角的和等于180°， 【详解】略 21/21 专题20 命题与证明、限定工具作图 3年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2024-2026） 命题规律 考点01 作角平分线 （2024·江苏无锡·中考真题） · 情境设置：以三角形为背景，结合角平分线性质设置作图任务。 · 考查重点：尺规作角平分线的规范操作与性质应用。 · 命题趋势：作图与证明融合，强调作法依据与推理衔接。 考点02 作垂直平分线 （2026·江苏无锡·中考真题） （2025·江苏无锡·中考真题） · 情境设置：以直角三角形、正方形为背景设置垂直平分线作图。 · 考查重点：垂直平分线尺规作法及性质运用。 · 命题趋势：连续年份考查，注重作图与几何计算结合。 考点03 过直线外一点作这条直线的平行线 （2025·江苏扬州·中考真题） · 情境设置：以莲叶疏水性等生活情境为载体引入作图。 · 考查重点：过直线外一点作平行线的方法与原理。 · 命题趋势：跨学科情境融合，考查作图的实际应用。 考点04 作圆 （2024·江苏宿迁·中考真题） · 情境设置：以正六边形为背景，以顶点为圆心作圆。 · 考查重点：圆与多边形的位置关系及截取计算。 · 命题趋势：作图与图形性质综合，侧重计算推理。 考点05 无刻度直尺-网格作图 （2025·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2026·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏连云港·中考真题） （2024·江苏镇江·中考真题） · 情境设置：网格、筝形、连弧纹镜等多样情境。 · 考查重点：仅用无刻度直尺作图的原理与推理。 · 命题趋势：限制工具作图，突出几何推理与创新。 考点06 其他尺规作图题 （2026·江苏苏州·中考真题） （2026·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2025·江苏苏州·中考真题） （2024·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏宿迁·中考真题） （2026·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏常州·中考真题） （2024·江苏南京·中考真题） · 情境设置：LOGO标志、仅用圆规、正方形等多元情境。 · 考查重点：限定工具作图的原理与操作规范。 · 命题趋势：工具限制多样化，强调作图依据与创新。 考点07 命题与证明 （2026·江苏徐州·中考真题） （2026·江苏连云港·中考真题） （2026·江苏无锡·中考真题） （2025·江苏无锡·中考真题） （2024·江苏宿迁·中考真题） （2025·江苏南通·中考真题） · 情境设置：以真假命题判断、逆命题书写为主。 · 考查重点：命题真假辨析、逆命题及反例证明。 · 命题趋势：注重逻辑推理，真假判断与证明并重。 考点01 作角平分线 1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】(1) 如下图：即为所求． (2) 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 考点02 作垂直平分线 1．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 【答案】(1)如图即为所求作图形： (2) 【分析】（1）根据题意可知作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O，在下方截取即可； （2）设，则，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理列方程得值，进而求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 四边形是菱形 ， 在中，，， ， 即，解得（舍负）． ． 菱形的周长为． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1) 如图，直线，点即为所求. (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 考点03 过直线外一点作这条直线的平行线 1．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1） 即为所求； （2）变强 （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3）略 （4）略 考点04 作圆 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 考点05 无刻度直尺-网格作图 1．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2) 如图所示，即为所求， 【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【详解】（1）七 （2）略 2．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”． (1)求证：中顶点四边形为平行四边形； (2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形； ②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵点E、F、G、H分别是各边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)①； ②如图所示，即为所求， 【分析】题目主要考查平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证； （2）①根据菱形的性质结合图形即可得出结果； ②连接，作直线，交于点O，然后作，然后连接即可得出点M和N分别为的重心，据此作图即可． 【详解】（1）略 （2）①当平行四边形满足时，中顶点四边形是菱形， 由（1）得四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴中顶点四边形是菱形， 故答案为：； ②如图所示，即为所求， 连接，作直线，交于点O，然后作（或作BM=MN=ND），然后连接即可， ∴点M和N分别为的重心，符合题意； 证明：矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； 分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示： ∵矩形， ∴，， 由作图得， ∴， ∴， ∴点F为的中点， 同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）在四边形中，如果，，那么四边形叫作筝形． (1)从角、对角线这两个方面进行研究，写出筝形有别于一般四边形的条特殊性质．（无需证明） (2)如图，已知，为筝形的一组邻边．用三种不同的方法将筝形补全；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)筝形的对角线互相垂直；筝形有一组对角相等 (2)，， 【分析】（1）连接、，得到，推出，与关于对称，且点与点为对应点，推出； （2）①连接，作，再在射线上截取，连接，则四边形即为所求；②连接，作点关于的对称点，连接、，则四边形即为所求；③分别以、为圆心，、为半径作圆，两圆交于一点，连接、，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：连接、， ，，， ，与关于对称， ，， 故筝形的两条性质为：筝形的对角线互相垂直；筝形有一组对角相等； （2）略 4．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在四边形中，，，，以为直径作，分别交，于点E，F，，相交于点M． (1)与相似吗？为什么？ (2)已知，，N为的中点，连接． ①求，的长； ②仅用一把无刻度的直尺在线段上作一点P，使得为等腰三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)相似 理由：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又，即， ∴， 又， ∴； (2)①，； ②如图，即为所求， 【分析】（1）根据平行线的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，证明四边形是矩形，根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合即可证明； （2）①根据矩形的性质、线段和差关系求出，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出即可； ②连接交于G，连接交于P，连接即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， ∵N为的中点， ∴， ∴， ∴； ②作图见答案 理由：∵四边形是矩形， ∴G是中点，， 又O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即是等腰三角形． 5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】(1) 证明：， ，． 在和中，， ； (2) 如图所示，菱形为所求． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，结合，利用即可证明； （2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可． 【详解】（1）略 （2）解：是的垂直平分线， ， 由（1）的结论可知，, 又∵, 则, ∴ ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．      操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 【答案】[实践操作] （1）①如图， 点即为所求作的点； ②如图， 点即为所求作的点； （2）如图， 作法一、 作法二、 点，即为所求作的点； [探索发现]（3）如图， 作法一、 作法二、 作法三、 作法四、 作法五、 点即为所求的点． 【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在上方任取一点，得到，与交于点，交于点，连接，交于点，作射线交，分别于，，点即为所求点； ②作射线交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）根据上述作法，有两种作法； [探索发现]如作法一，根据相似可知，连接，交于点，则，即点是的三等分点之一，由此可以得出过点作的平行线；同理可得点是的三等分点之一，则，即点为所求作点． 【详解】略 【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部分中，为中点是解题关键． 考点06 其他尺规作图题 1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 【答案】 【分析】连接，由作图可得是的垂直平分线，则点F是的中点，．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由勾股定理求出，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接， 由作图可得是的垂直平分线， ∴点F是的中点，， ∵，， ∴， ∴在中，． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得 ∴． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (1)在边上作一点P，使，此时点P的坐标为 ； (2)在边上作一点Q，使和的面积相等． 【答案】(1)如图所示，点P的坐标为 (2)如图2所示． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得在直线上，进而待定系数法求得直线的解析式，令，即可求解； （2）根据题意得出为的角平分线与的交点，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴在直线上， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得； ∴直线的解析式为 当时， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ 设到的距离为，到的距离为 ∵和的面积相等 ∴ ∴ ∴在的角平分线上，作的角平分线交于点，即为所求． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[任务阅读]； [实践操作] 解：如图，为所求： 证明：连接, 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； [实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； [实践操作]略 4．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长________（结果保留）． 【答案】## 【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 6．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 【答案】##10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 7．（2026·江苏盐城·中考真题）如图1所示的标志由正方形和圆构成．如图2，正方形的边，分别为，的直径，经过点，点，，是，，两两的公共点． (1)求的度数； (2)探究：仅用直尺在图2中画出一条的弧，请用符号表示该弧，并说明理由． 【答案】(1)的度数为； (2)解：如图，即为所作． 连接交于点，连接，， 正方形的边，分别为，的直径， ，， ， 点共线， ， ， ， ， 在中，所对的弧为， 的度数为， 即为所作． 【分析】（1）连接，，证明是等边三角形，据此即可求解； （2）连接交于点，连接，，证明点共线，推出，，据此即可得到的度数为． 【详解】（1）解：连接，， 由题意得，， ， 是等边三角形， ， 的度数为； （2）略 8．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2) 解：如图，即为所求作． 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 9．（2024·江苏南京·中考真题）（1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且． （2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】 解：（1）如图，分别以点为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点，交于点，点即为所求； （2）方法一：如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作的垂线，过点作的垂线，所得的四边形为所在的正方形； 方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，其中交于点，交于点； 连接，则，， ∴； ∵， ∴，； 同理， ∴都是等腰直角三角形， ∴四边形是正方形， ∴四边形是所在的正方形， ∴为该正方形点的边所在的直线． 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键． （1）作的中垂线即可； （2）方法一：如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作垂线，过点作垂线，所得的四边形为所在的正方形；方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，四边形是所在的正方形，为该正方形点的边所在的直线． 【详解】（1）略； （2）略. 考点07 命题与证明 1．（2026·江苏徐州·中考真题）下列命题为真命题的是（     ）． A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形 【答案】A 【详解】解：A选项，“两点之间，线段最短”是基本事实，A选项为真命题； B选项，菱形四条边相等，对角线不一定相等，B选项为假命题； C选项，任意多边形的外角和为固定值，则正五边形的外角和为，C选项为假命题； D选项，直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形才为轴对称图形，D选项为假命题． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）下列命题为真命题的是（     ） ①若，则；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③ 【答案】B 【详解】解：逐个判断命题： ①若，则，例如，满足但，①是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题； ③末尾数字是5的整数可表示为 ，其中为整数，该数是5的倍数，能被5整除，③是真命题； ④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题； ⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等，⑤是假命题； 综上真命题为③④． 3．（2026·江苏无锡·中考真题）命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】判断命题真假，只需找到满足题设条件但不满足结论的反例即可推出结果． 【详解】解：取， 满足， ， 不满足， 存在反例说明原命题不成立，原命题是假命题． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题：___________． 【答案】若，则 【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答． 【详解】解：“若，则”的逆命题为：若，则， 故答案为：若，则． 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是______． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理是：“同位角相等，两直线平行”； 故答案为：“同位角相等，两直线平行”． 6．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题， 反例： 当时， ，， ∴结论不成立； (2)假命题， 反例： 当时， ， ∴结论不成立； (3)真命题， 证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)假命题， 反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 1．（2026·江苏南京·中考模拟）已知，按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)在、上各定一点、，使，且； (2)在、上各确定一点、，使，且． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【分析】（1）分别作、的中垂线，交、于、，连接即可； （2）在上截取，过点作，交于，在上截取，连接，根据可得，即可得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出，且． 【详解】（1）解：∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，且． （2）解：如图，在上截取，过点作，交于，在上截取，连接，则即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，且． 2．（2026·江苏南通海门区·中考模拟）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】 已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【详解】略 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $