专题11 三角形、全等与尺规作图（5年汇编）（浙江专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 浙江中考5年真题1年模拟汇编，聚焦三角形基本性质与特殊三角形、全等判定与性质、尺规作图三大考点，整合2022-2026年浙江考情与典型真题，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约10题/3分|三角形三边关系、内角和、全等判定辨析|如2023金华卷考查三角形三边关系，2022宁波卷结合直角三角形斜边中线| |填空题|约8题/4分|中位线定理、等腰三角形性质、尺规作图痕迹|如2024浙江中考中位线计算，2023嘉兴卷垂直平分线性质应用| |解答题|约12题/6-10分|全等证明、尺规作图推理、综合探究|2025省统考正方形剪裁情境考全等证明与角度计算，2026尺规作图结合30°角直角三角形探究|

专题11 三角形、全等与尺规作图 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01 三角形的基本性质与特殊三角形 2024·浙江·中考 2023·浙江杭州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江湖州·中考 2023·浙江金华·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江台州·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江温州·中考 近5年浙江中考本考点是本专题题量最大的考点。2025-2026年省统考未在本考点单独设题。题型以选择题、填空题为主，辅以少量基础解答题，分值3-8分。核心考查内容包括：三角形三边关系、内角和与外角性质、高线的概念、等腰与等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线定理、垂直平分线的性质等；总体来看，本考点命题稳定、覆盖面广，预计未来省统考仍将以中位线、等腰三角形、斜边中线等核心定理的单一或两级应用为基本形态，需注意分类讨论思想的应用。 考点02 三角形全等的判定与性质 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江丽水·中考 近5年浙江中考在本考点保持稳定覆盖，是本专题的核心考点之一。题型覆盖选择题、填空题和解答题，解答题多为证明题，分值3-10分。核心考查两条主线：一是全等三角形的判定，包括判定依据的直接识别、开放性添加条件以及"SSA不能判定全等"的辨析；二是全等三角形在证明与计算中的应用，常与正方形、矩形、折叠等背景结合，如2025年省统考在正方形剪裁情境中考查全等证明与角度计算，2022年丽水卷将全等与矩形折叠、勾股定理综合。整体来看，本考点难度以基础和中档为主，强调推理规范和判定依据的准确表述，预计未来仍将以“情境化背景＋全等证明＋性质应用”为基本命题形态。 考点03 尺规作图及其依据 2026·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江金华·中考 2022·浙江舟山·中考 2022·浙江宁波·中考 近5年浙江中考在本考点共选取6道真题，其中2024年、2026年省统考均以解答题形式重点设题，2023年省统考将作图与菱形判定证明结合，显示省统考阶段对尺规作图的考查明显加强。题型以解答题为主，辅以选择题和网格作图题，分值4-10分，难度以中档为主。核心考查内容涉及：垂直平分线与角平分线的作法及性质应用、作图原理的证明、作图结果的性质探究，以及综合性作图探究。整体来看，省统考阶段的尺规作图已从“操作技能”上升为“作图＋推理＋探究”的综合考查，预计未来仍将保持这一趋势，复习中需重视作图依据的说理和作图痕迹的规范保留。 考点01 三角形的基本性质与特殊三角形 1．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________． 3．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________． 6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 7．（2023·浙江金华·中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________． 8．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．    （1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为________． （2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为________． 9．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（    ） A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线 C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线 10．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件． 11．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______． 12．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 13．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．（2022·浙江金华·中考真题）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A． B． C． D． 15．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________． 16．（2022·浙江衢州·中考真题）线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°． (1)求证：CE=CM． (2)若AB=4，求线段FC的长． 18．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 19．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α． (1)如图，当P与E重合时，求α的度数． (2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系． 考点02 三角形全等的判定与性质 1．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件___________，使得． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为________． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 8．（2022·浙江金华·中考真题）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A． B． C． D． 9．（2022·浙江衢州·中考真题）已知：如图，．求证：． 10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论． (1)在图1中画一条线段垂直． (2)在图2中画一条线段平分． 11．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点03 尺规作图及其依据 1．（2026·浙江·中考真题）【问题背景】 锦凌和同学们想利用图1中圆心角为的扇形，尺规作图分别画出含有角和角的直角三角形，且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径． 【尺规作图】 如图2是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形的作图痕迹，作图步骤如下： ①作的角平分线，交弧于点． ②过点作的垂线，分别交射线，于点，，连接． 则为直角三角形． (1)任务一：证明：． 【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形，用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形，得出多种作图方法，如图3、图4是其中两种作图方法的部分作图痕迹和步骤． 作图方法1：   以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点… 作图方法2：   作的垂直平分线，交弧于点… (2)任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤．（保留作图痕迹，不要求写出作图方法） 2．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） (2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形分割成的小正方形网格．在该矩形边上取点，来表示的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：   （答题卷用） 作法（如图） 结论    ①在上取点，使． ，点表示． ②以为圆心，8为半径作弧，与交于点． ，点表示． ③分别以为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点，连结与相交于点． … ④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点． … (1)分别求点表示的度数． (2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）． 5．（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·浙江宁波·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图1中画出等腰三角形，且点C在格点上．（画出一个即可） (2)在图2中画出以为边的菱形，且点D，E均在格点上． 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点；②以点为圆心，大于长为半径画弧，分别交边于点；③连接，交点为，作射线.则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江台州·三模）如图，点P是线段上一点，分别以P和A为圆心，以为半径，作圆弧相交于点C，连结，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·二模）如图，中，，．利用直尺和圆规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；③分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，两点，连接，交于点，交于点，连接，．下列判断错误的是（     ） A． B． C．若，则四边形是菱形 D． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 5．（2026·浙江宁波·二模）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点，设，则的长是________． 6．（2026·浙江温州·三模）如图，是的直径，点在的延长线上，分别以，为圆心，适当长为半径画弧交于点，，作直线交于点，再以为圆心，为半径画弧交于点，连接，．若，则的度数为______． 7．（2026·浙江湖州·二模）如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点．已知，则_____． 8．（2026·浙江杭州·二模）小成同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连结；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；④作射线交于点，在射线上截取；⑤连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 9．（2026·浙江丽水·模拟预测）中，．尺规作图痕迹如图所示，其中点在上，点在上，交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 10．（2026·浙江衢州·一模）【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 11．（2026·浙江丽水·二模）如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②再分别以点，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点；③分别以点，为圆心，适当长度为半径画弧，两弧分别交于，两点，作直线，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（2026·浙江宁波·二模）如图，是正方形的边上一点（不与，重合），分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连结，，． (1)根据题中的尺规作图法可知：直线是线段的 ． (2)求证：． (3)当时，求的度数． 13．（2026·浙江宁波·二模）如图，在锐角中，，现要找一点，使得与相等，小聪与小明的作法分别如下： 小聪：分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点（的下侧），则点即为所求． 小明：分别作，的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，长为半径画弧，在弧上任意取一点（异于点，，），则点即为所求． (1)填空（填“小聪”、“小明”）： ①______________的作法正确； ②______________的作法不正确． (2)证明①正确，写出证明过程； (3)说明②中与的大小关系． 14．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，平分． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11三角形、全等与尺规作图 5年真题1年模拟 五年真题分类园 考点01三角形的基本性质与特殊三角形 1.4 2.90°/90度 3.C 4.B 5.4 6.BD=5,DE= 2 7.8 8. 【详解】解：等边三角形ADE与等边三角形CBF中，∠A=∠B=∠EDA=∠HCD=60°， ∴.△CDH和△ABG为等边三角形，CF‖AG,ED‖BG :.AB=AG=BG=C,四边形EHFG为平行四边形， 又，等边三角形ADE与等边三角形CBF ..GF=c-b,EG=c-a,AC=c-b, ..CD=AD-AC=a+b-c, (1)平行四边形EHFG的周长为：2FG+EG=2c-b+c-a=4c-2a-2b, △CDH的周长为：3CD=3a+3b-3c 由题意可得：3a+3b-3c=4c-2a-2b 即：5a+5b=7c: (2)过点F作FM⊥EG,过点H作HN⊥CD,如下图： 1/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M E N D B 在Rt△FMG中，GF=c-b,∠GMF=90°，∠G=60°， MF=GF×sin60=3c-b 2 则平行四边形EHFG的面积为EG×MF=3c-ac-b 在Rt△CNH中，CH=a+b-c,∠CNH=90°，∠HCN=60°， HW=CH×sin60=3a+b-c 2 则△CDH的面积为：×CD×N=3a+b-d 4 由题意可得：3a+b-c_3c-alc-b マ 2 化简可得：a2+b2=c2 故答案为：5a+5b=7c:a2+b2=c2 9.B 10.∠A=60°（答案不唯一） 11.10°或100° 12D 13.D 14.C 15.10 16.A 17 【答案】1) 证明：，∠ACB=90°，点M为边AB的中点， 2/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∴MC=MA=MB ∴.∠MCA=LA,∠MCB=∠B, ,∠A=50°， .∴.∠MCA=50°，∠MCB=LB=40°， .∴.∠EMC=∠MCB+∠B=80° .∠ACE=30°， .∴∠MEC-∠A+∠ACE-80°， .∴.∠MEC=∠EMC, .∴CE=CM （2)解：，AB=4, ..CE-CM-LAB-2, ·.EF⊥AC,∠ACE=30°， :FC=CE-cos30°-3 18. 【答案】(1) 证明：，BD是△ABC的角平分线， .∠CBD=∠EBD .DE BC, ∴.∠CBD=∠EDB, .∠EBD=∠EDB (2) CD=ED.理由如下： .AB=AC, ∴.∠C=∠ABC」 DE‖BC, .∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, .∠ADE=∠AED, ..AD=AE, AC-AD=AB-AE,即CD=BE 3/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1)得∠EBD=∠EDB, “BE=ED, ∴CD=ED 19. 【详解】(1)解：，∠B=40°，∠ACB=90°， .∴∠BAC=50, .P与E重合，AE平分∠BAC, ,D在AB边上，AE⊥CD ..∠ACD=65°， '.a=∠ACB-∠ACD=25°； (2)①如图1，当点P在线段BE上时， B PE 图1 .'∠ADC=∠ACD=90°-a,∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD, ∴.90°-a+B=40°+a, ∴.2a-B=50°： ②如图2，当点P在线段CE上时， A D 图2 延长AD交BC于点F, :∠ADC=∠ACD=90°-a,∠ADC=∠AFC+a=∠ABC+∠BAD+a=40°+a+f, ∴.90°-a=40°+a+f, 4/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.2a+B=50°. 考点02三角形全等的判定与性质 1. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=CB,∠ABD=∠CBD, 又BE=BE, .∴△ABE≌△CBE SAS: (2)解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，∠ADB=45°， DE=DA. ∴.∠DAE=∠DEA, .∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°， ∴.∠DAE=∠DEA=67.5°， .∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. 2.C 3.OA=OC或OB=OD或AB=CD 4.D 5.A 6.2V5 个· 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2) 证明：当选择的条件为①②③时， .BE=CF, .∴.BE+EC=CF+EC, 即BC=EF, 在△ABC和△就中， 5/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=DE BC=EF Ac=DF ∴.△ABC≌△|SSS: 当选择的条件为①③④时， 'BE=CF, ∴.BE+EC=CF+EC, 即BC=EF, 在△ABC和△就中， AB=DE ∠ABC=∠乙BC=EF' ∴.△ABC≌△SAS. 8.B 9. 【答案】 证明：，∠3=∠4，∠ACB+∠3=180°，∠ACD+∠4=180°， .∠ACB=∠ACD ∠1=∠2 AC=AC ∠ACB=∠ACD ∴.△ACB≌△ACD, .AB=AD 10 【答案】I)如图1，线段BC即为所求，满足BC⊥AB 图1 (2)如图2，线段EF即为所求，满足EF平分AB. 6/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图2 11. 【答案】I) ,四边形ABCD是矩形， .∴.AB=CD,∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°， 由折叠知，AB=PD,∠A=∠P,∠B=∠PDF=90°， ∴.PD=CD,∠P=∠C,∠PDF=LADC, '∠PDF-∠EDF-∠ADC-∠EDF, ∴∠PDE=LCDF, 在△PDE和△CDF中， ∠P=∠C PD=CD ∠PDE=∠CDF .△PDE≌△CDF(ASA): (2)如图，过点E作EG⊥BC交于点G, ò D B G C ,四边形ABCD是矩形， .∴.AB=CD=EG=4cIm, 又：B=5cm,六GF=-VEF2-EG=3m 设AE=xcm, ∴.EP=xcm, 7/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由△PDE≌△CDF知，EP=CF-xcm, ∴.DE=GC=GF+FC=3+x, 在Rt△PED中，PE2+PD=DE2, 即X2+42=3+x2 解得，X 6 :BCc=BG4Gc-7+3+7-16cm）. 3+63 6 考点03尺规作图及其依据 1.【答案】(1)证明：，∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分线， ·∠DOC=∠EOC= 2 ∠AOB=45°， 又.DE⊥OC, .∠OCD=90, 在Rt△DOC中，根据三角形内角和为180°， ∴.∠ODE=180°-∠OCD-∠D0C=180°-90°-45°=45°. (2)解：选作图方法1： 连接OF,BF,由作图可知OB=BF=OF, F A △OBF 图3 是等边三角形， .∠FOB=60°， 过点F作OF的垂线，分别交射线OA、射线OB于点M、N,连接MN, 则△MON就是所求的含60°角的直角三角形：此时OF(扇形半径)是斜边MN上的高，且 ∠ONM=90°-60°=30°、∠OMN=90°-30°=60°，符合要求： 8/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 选作图方法2： 连接OG,BG, 根据垂直平分线的性质可得BG=OG, OG=OB B 图4 又 ∴.OB=BG=OG ∴△OBG是等边三角形， .∠GOB=60°： 过点G作OG的垂线，分别交射线OA、射线OB于点P、Q,连接PQ, 则△OPQ就是所求的含60°角的直角三角形：此时扇形半径OG是斜边PQ上的高，且∠OQP=30°、 ∠OPQ=60°，符合要求. 2. 【答案】1) 证明：，口ABCD ..AD BC, 又根据作图可知：AE=CF, ∴.四边形AECF是平行四边形， .AF‖EC: (2)原因：以点A为圆心，CE长为半径作弧，与BC可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题。 B 3 【答案】1) 9/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①如图：直线MN即为所求： ②如图，即为所求： A M D B (2)四边形BECD是菱形， 理由如下： ,MN垂直平分BC, ..OB=OC,BD=CD .OD=OE, ∴四边形BECD是平行四边形， 又，BD=CD 四边形BECD是菱形 4. 【详解】(1)解：①，四边形OABC是矩形， .∴.BC‖OA ∴.∠OP,C=∠P,OA=30 由作图可知，EF是OP2的中垂线， VE PP P, D ∴.OP3=P3P2 8 图1 ∴.∠P3OP2=∠P3P,O=30 ∴.∠P3OA=∠P3OP,+∠P,OA=60 ∴.点P3表示60° 10/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②由作图可知，P2D=P,O. ∴∠P,OD=∠P,DO 又.CB‖OA, ∴.∠P2DO=∠DOA ∠P,OD=∠D0A=3∠P,0A=l5 .点P4表示15° 故答案为：点P3表示60°，点P4表示15°. (2)解：如图所示， 作∠P3OP4的角平分线等，如图2，点P即为所求作的点. B 图2 ,点P3表示60°，点P4表示15° ∠P,OA= P0A-∠P,0A+∠P,0A=<B0A+∠P,0A=60+15=375 ∴.P5表示37.5° 5.D 6. 【答案】)如图，答案不唯一， B B (2)如图： 11/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B V一年模孤练测园 1.C 2.B 3.D 4.25°/25度 5.3/3 6.126°126度 7.3 8. 【答案】1)证明：由作图步骤可知：AB=AD=5Cm,AE平分∠BAD,OC=AO,B、O、D在同 一条直线上， ,AE平分∠BAO, ∴.∠BAO=∠DAO. 在△ABO和△ADO中， AB=AD ∠BAO=∠DAO OA=OA .∴△ABO≌△ADO SAS, ∴.OB=OD,∠AOB=∠AOD, .B、O、D在同一条直线上， ∴.∠AOB+∠AOD=180°， 12/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AOB=∠AOD=90°，即BD⊥AC, OB=OD,OC=AO, “.四边形ABCD是平行四边形， ,BD⊥AC, “.平行四边形ABCD是菱形， 即四边形ABCD是菱形 (2).四边形ABCD是菱形，BD=4cm, :OD=0B=号BD=×4=2cm,AC⊥BD,OA=OC, 在Rt△AOD中，AD=5cm,OD=2cm, A0=VAD2-0D2=52-2=V21cm/ .AC=2A0=2V21cm, Sm方AC-60方x27x4=4题1cm 即四边形ABCD的面积为4V21cm2. 9. 【详解】(1)解：，∠A=22°，∠C=90° ∴.∠ABC=90°-∠A=68° 由作图得，BD平分∠ABC :∠DBE=1∠ABC=34°； 2 (2)证明：由作图得，DF⊥AB .∴∠BGD=90°=∠C .BD平分∠ABC ∴.∠DBG=∠DBC 又，BD=BD ∴.△BCD≌△EGD AAS. 10. 【答案】1) 证明：在△ABC和△ADC中， 13117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AD BC=DC AC=AC .·△ABC≌△ADC SSS, ∴∠BAC=∠DAC, 即AE平分∠PRQ; (2) 如图，RH是∠PRQ的平分线. 11. 【答案】(I)证明：由尺规作图可知，AE平分∠BAC,QH垂直平分AE. ∴.∠FAE=∠BAE .QH垂直平分AE. .∴.AF=EF ∴.∠FAE=∠FEA, .∴.∠FEA=∠BAE」 ∴.EF‖AB (2)解：，QH垂直平分AE, ∴.AD=DE,AF=EF」 ∴.∠FEA=∠FAE, AE平分∠BAC ∴.∠DAE=∠FAE=∠FEA, .EF‖AB. 同理：DE‖AC, ∴四边形ADEF是平行四边形. .AF=EF. 14117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.四边形ADEF是菱形. ∴.AF=EF=AD=DE 设AD=x,则EF=x,CF=AC-AF=2-X. EF‖AB .∴.△CEF一△CBA」 .EF-CF AB AC 解号 M0-号 ∴.DB=AB-AD=3 6_9 55 12. 【详解】(I)解：由题意得：直线MN是线段BE的垂直平分线： (2)证明：如图2，在正方形ABCD中， A D F E..AC ∠BCD B N冰 C (图2) 平分 ∴.∠BCF=∠DCF, BC=CD,CF=CF ∴.△BCF≌△DCF SAS, ..BF=DF, 又，直线MN是线段BE的垂直平分线， ∴.BF=FE ∴.DF=EF 15/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：.△BCF≌△DCF, ∴.∠CBF=∠CDF DF=EF, .∴.∠CDF=∠FED=∠CBF. .∠FED+∠FEC=180°， ∴.∠FEC+∠FBC=180°， ∴.∠BCE+∠BFE=180°， .∠BFE=180°-90°=90°， .∴.∠FBE+∠FEB=90°， ∴.∠FBE=45°， .·∠CBE=20, ∴.∠ABF=90°-∠FBE-∠CBE=25°， 13. 【答案】(1)①小聪的作法正确：②小明的作法不正确 (2)证明：由作图过程可知，BD=AC,CD=AB, 在△ABC和△DCB中， .∴.△ABC≌△DCB. ∴.∠BDC=∠A (3)解：∠BDC=∠A或∠BDC+∠A=180°，理由： 如图1，当点D和点A位于BC同侧的弧上，根据同弧所对的圆周角相等，则有∠BDC=∠A; 图1 如图2，当点D和点A位于BC异侧的弧上，此时四边形ABDC为圆的内接四边形，根据圆内接四边 形对角互补，则有∠BDC+∠A=180°， 16117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 图2 14. 【答案】I) D A B E 证明：由作图可知AC=AE, ,AD平分∠CAB, ∴.∠CAD=∠DAE, 在△ACD和△AED中， AC=AE ∠CAD=∠DAE, AD=AD ∴.△ACD≌△AED SAS: (2)解：.'△ACD≌△AED ∴.CD=ED=3,∠ACD=∠AED=90°， .DE⊥AB, Sm方ABx DE--克x10×3=15, 17/17 专题11 三角形、全等与尺规作图 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01 三角形的基本性质与特殊三角形 2024·浙江·中考 2023·浙江杭州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江湖州·中考 2023·浙江金华·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江台州·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江温州·中考 近5年浙江中考本考点是本专题题量最大的考点。2025-2026年省统考未在本考点单独设题。题型以选择题、填空题为主，辅以少量基础解答题，分值3-8分。核心考查内容包括：三角形三边关系、内角和与外角性质、高线的概念、等腰与等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线定理、垂直平分线的性质等；总体来看，本考点命题稳定、覆盖面广，预计未来省统考仍将以中位线、等腰三角形、斜边中线等核心定理的单一或两级应用为基本形态，需注意分类讨论思想的应用。 考点02 三角形全等的判定与性质 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江丽水·中考 近5年浙江中考在本考点保持稳定覆盖，是本专题的核心考点之一。题型覆盖选择题、填空题和解答题，解答题多为证明题，分值3-10分。核心考查两条主线：一是全等三角形的判定，包括判定依据的直接识别、开放性添加条件以及"SSA不能判定全等"的辨析；二是全等三角形在证明与计算中的应用，常与正方形、矩形、折叠等背景结合，如2025年省统考在正方形剪裁情境中考查全等证明与角度计算，2022年丽水卷将全等与矩形折叠、勾股定理综合。整体来看，本考点难度以基础和中档为主，强调推理规范和判定依据的准确表述，预计未来仍将以“情境化背景＋全等证明＋性质应用”为基本命题形态。 考点03 尺规作图及其依据 2026·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江金华·中考 2022·浙江舟山·中考 2022·浙江宁波·中考 近5年浙江中考在本考点共选取6道真题，其中2024年、2026年省统考均以解答题形式重点设题，2023年省统考将作图与菱形判定证明结合，显示省统考阶段对尺规作图的考查明显加强。题型以解答题为主，辅以选择题和网格作图题，分值4-10分，难度以中档为主。核心考查内容涉及：垂直平分线与角平分线的作法及性质应用、作图原理的证明、作图结果的性质探究，以及综合性作图探究。整体来看，省统考阶段的尺规作图已从“操作技能”上升为“作图＋推理＋探究”的综合考查，预计未来仍将保持这一趋势，复习中需重视作图依据的说理和作图痕迹的规范保留。 考点01 三角形的基本性质与特殊三角形 1．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________． 【答案】/90度 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是， 只有选项C符合， 故选：C． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】由示意图可知：和都是直角三角形， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________． 【答案】4 【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故答案为：4． 6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，最后根据条件可知是的中位线，求得的长． 【详解】解，∵，于点D， ∴．                     ∵， ∴．                             ∵于点D， ∴， ∴在中，．     ∵， ∴，         ∵E为AB的中点， ∴． 7．（2023·浙江金华·中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________． 【答案】8 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 8．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．    （1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为________． （2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为________． 【答案】 【分析】由题意可得：为等边三角形，四边形为平行四边形，，（1）分别求得四边形的周长与的周长，根据题意，求解即可；（2）分别求得四边形的面积与的面积，根据题意，求解即可． 【详解】解：等边三角形与等边三角形中，， ∴和为等边三角形，， ∴，四边形为平行四边形， 又∵等边三角形与等边三角形 ∴，，， ∴， （1）平行四边形的周长为：， 的周长为： 由题意可得： 即：； （2）过点作，过点作，如下图：    在中，，，， ∴ 则平行四边形的面积为 在中，，，， ∴ 则的面积为： 由题意可得： 化简可得： 故答案为：； 9．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（    ） A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线 C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线 【答案】B 【分析】根据高线的定义注意判断即可． 【详解】∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线， ∴A错误，不符合题意； ∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线， ∴B正确，符合题意； ∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线， ∴C错误，不符合题意； ∵线段AD是ACD的CD边上的高线， ∴D错误，不符合题意； 故选B． 10．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： 为等腰三角形， ， 为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理． 11．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______． 【答案】10°或100° 【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 在中，，， ， 由作图可知：， ， ； 由作图可知：， ， ， ， ． 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 12．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长． 【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2， ∴AE＝2DF＝4， ∵AE＝AD， ∴AD＝4， 在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点， ∴BD＝AC＝AD＝4， 故选：D． 13．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可． 【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题； 因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题； 因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题； 因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D． 14．（2022·浙江金华·中考真题）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择． 【详解】设第三边的长为x， ∵ 角形的两边长分别为和， ∴3cm＜x＜13cm,故选C． 15．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________． 【答案】10 【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答． 【详解】解：∵E、F分别为BC、AC的中点， ∴AB＝2EF＝20， ∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴，故答案为：10． 16．（2022·浙江衢州·中考真题）线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴c的长度可能为3．故选：A 17．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°． (1)求证：CE=CM． (2)若AB=4，求线段FC的长． 【答案】(1) 证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点， ∴MC=MA=MB， ∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B， ∵∠A=50°， ∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°， ∵∠ACE=30°， ∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°， ∴∠MEC=∠EMC， ∴CE=CM； (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证； （2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB=4， ∴CE=CM=AB=2， ∵EF⊥AC，∠ACE=30°， ∴FC=CE•cos30°=． 18．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． (2) ．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可． 【详解】（1）略 （2） 略 19．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α． (1)如图，当P与E重合时，求α的度数． (2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系． 【答案】(1)25° (2)①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50° 【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，可得∠ACD，从而α＝∠ACB−∠ACD； （2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°−α，根据∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α−β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°−α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°−α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°． 【详解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝50°， ∵P与E重合，AE平分∠BAC， ∴D在AB边上，AE⊥CD， ∴∠ACD＝65°， ∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°； （2）①如图1，当点P在线段BE上时， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD， ∴90°－α＋β＝40°＋α， ∴2α－β＝50°； ②如图2，当点P在线段CE上时， 延长AD交BC于点F， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β， ∴90°－α＝40°＋α＋β， ∴2α＋β＝50°． 考点02 三角形全等的判定与性质 1．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件___________，使得． 【答案】或或 【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定． 【详解】解：∵在与中，，， ∴添加，则； 或添加，则； 或添加，则； 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可． 【详解】根据题中所给的作图步骤可知， 是的角平分线，即． 当时，又，且， 所以， 所以， 故A选项不符合题意． 当时， ， 又，且， 所以， 所以， 故B选项不符合题意． 当时， 因为，，， 所以， 所以， 又， 所以， 即． 又， 所以， 则方法同（2）可得出， 故C选项不符合题意． 故选：D． 5．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵若， 又， ∴与满足“”的关系，无法证明全等， 因此无法得出，故A是假命题， ∵若， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故B是真命题； 若，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故C是真命题； 若，则在和中， ， ∴， ∴，故D是真命题； 故选：A． 6．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2) 证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）略 8．（2022·浙江金华·中考真题）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案． 【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，， ∴，故B正确． 9．（2022·浙江衢州·中考真题）已知：如图，．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∵ ， ∴△ACB≌△ACD， ∴． 【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质即得结论． 【详解】略 10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论． (1)在图1中画一条线段垂直． (2)在图2中画一条线段平分． 【答案】(1)如图1，线段即为所求，满足． (2)如图2，线段即为所求，满足平分． 【分析】（1）根据网格特点，利用三角形全等的判定与性质画图即可得； （2）根据网格特点，利用矩形的判定与性质画图即可得． 【详解】（1）略 （2）略 11．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°， 由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°， ∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC， ∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF, ∴∠PDE=∠CDF， 在△PDE和△CDF中， , ∴（ASA）； (2)cm 【分析】（1）利用ASA证明即可； （2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案． 【详解】（1）略 （2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G， ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD=EG=4cm， 又∵EF=5cm，∴cm, 设AE=xcm， ∴EP=xcm， 由知，EP=CF=xcm， ∴DE=GC=GF+FC=3+x， 在Rt△PED中，, 即， 解得，， ∴BC=BG+GC= (cm）． 考点03 尺规作图及其依据 1．（2026·浙江·中考真题）【问题背景】 锦凌和同学们想利用图1中圆心角为的扇形，尺规作图分别画出含有角和角的直角三角形，且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径． 【尺规作图】 如图2是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形的作图痕迹，作图步骤如下： ①作的角平分线，交弧于点． ②过点作的垂线，分别交射线，于点，，连接． 则为直角三角形． (1)任务一：证明：． 【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形，用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形，得出多种作图方法，如图3、图4是其中两种作图方法的部分作图痕迹和步骤． 作图方法1：   以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点… 作图方法2：   作的垂直平分线，交弧于点… (2)任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤．（保留作图痕迹，不要求写出作图方法） 【答案】(1)证明：∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 在中，根据三角形内角和为， ∴． (2)选作图方法1：（选作图方法2：） 【分析】（1）根据，是的角平分线，得出，结合，即， 在中，根据三角形内角和为， 即可解答． （2）根据方法1和方法2中的方法分别画图即可； 【详解】（1）略 （2）解：选作图方法1： 连接，由作图可知， ∴是等边三角形， ∴， 过点作的垂线，分别交射线、射线于点、，连接， 则就是所求的含角的直角三角形：此时（扇形半径）是斜边上的高，且、，符合要求； 选作图方法2： 连接， 根据垂直平分线的性质可得， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 过点作的垂线，分别交射线、射线于点、，连接， 则就是所求的含角的直角三角形：此时扇形半径是斜边上的高，且、，符合要求． 2．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； (2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【详解】（1）略 （2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） (2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 【答案】(1) ①如图：直线即为所求； ②如图，即为所求； ； (2)四边形是菱形， 理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；②以点O为圆心，为半径作圆，交于点E，连线即可； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形分割成的小正方形网格．在该矩形边上取点，来表示的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：   （答题卷用） 作法（如图） 结论    ①在上取点，使． ，点表示． ②以为圆心，8为半径作弧，与交于点． ，点表示． ③分别以为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点，连结与相交于点． … ④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点． … (1)分别求点表示的度数． (2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)点表示；点表示 (2) 如图2，点即为所求作的点．    【分析】（1）根据矩形的性质可求出度数，根据线段垂直平分线的性质度数，即可求出的度数，从而知道点表示度数；利用半径相等即可求出，再根据平行线的性质即可求出以及对应的度数，从而知道点表示度数． （2）利用角平分线的性质作图即可求出答案． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， ． 由作图可知，是的中垂线，   ． ． ． 点表示． ②由作图可知，． ． 又， ． ． ∴点表示． 故答案为：点表示，点表示． （2）解：如图所示， 作的角平分线等．如图2，点即为所求作的点．    ∵点表示，点表示． ． ∴表示． 5．（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案． 【详解】A、如图， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． 故A选项是在作角平分线，不符合题意； B、如图， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 故B选项是在作角平分线，不符合题意； C、如图， 由作图可知：， ∴,， ∴， ∴， ∴平分． 故C选项是在作角平分线，不符合题意； D、如图， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴ 故D选项不是在作角平分线，符合题意；故选：D 6．（2022·浙江宁波·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图1中画出等腰三角形，且点C在格点上．（画出一个即可） (2)在图2中画出以为边的菱形，且点D，E均在格点上． 【答案】(1)如图，答案不唯一． (2)如图： 【分析】利用轴对称图形、中心对称图形的特点画出符合条件的图形即可； 【详解】（1）略 （2）略 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点；②以点为圆心，大于长为半径画弧，分别交边于点；③连接，交点为，作射线.则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图步骤可得，利用证明，进而利用证明，得到，最后利用证明，即可得出. 【详解】解：由作图步骤可知：， 在和中， ， ； ； ， ， ， ， 即； 在和中， ， ； ； 在和中， ， ； ， 即. 其它选项均无法得到. 2．（2026·浙江台州·三模）如图，点P是线段上一点，分别以P和A为圆心，以为半径，作圆弧相交于点C，连结，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，由作图知，勾股定理求出，得到，即可解答． 【详解】解：连结， 由作图知， ∵即， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·浙江杭州·二模）如图，中，，．利用直尺和圆规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；③分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，两点，连接，交于点，交于点，连接，．下列判断错误的是（     ） A． B． C．若，则四边形是菱形 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图可知，是的平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质逐项判断即可． 【详解】解：由①、②可知，是的平分线， ， ， ， 故A选项正确； 由③可知，是的垂直平分线， ， 故B选项正确； 如下图所示，连接， ， ， 是的垂直平分线， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ∴，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故C选项正确； ， ， 不能说明， 不成立， 故D选项错误． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 【答案】/25度 【详解】解：由尺规作图可知是的角平分线， ． 5．（2026·浙江宁波·二模）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点，设，则的长是________． 【答案】 【分析】连接，由作图可知，是等边三角形，根据含角的直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 由作图可知， 是等边三角形， ， ， ， ， ， . 6．（2026·浙江温州·三模）如图，是的直径，点在的延长线上，分别以，为圆心，适当长为半径画弧交于点，，作直线交于点，再以为圆心，为半径画弧交于点，连接，．若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接，，根据作图可得，进而得出，设，根据已知条件结合三角形内角和定理求得，则，进而根据，即可求解． 【详解】解：连接， 根据作图可得 ∴在以为圆心，为直径的圆上， ∴ 设， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中， ∴ 解得： ∴ ∴ 7．（2026·浙江湖州·二模）如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点．已知，则_____． 【答案】3 【分析】首先证明，由全等三角形的性质可得，进而可得；根据等腰三角形的性质可得，即；再证明，易得；结合解得，即为等腰直角三角形，进一步可得． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·浙江杭州·二模）小成同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连结；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；④作射线交于点，在射线上截取；⑤连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：由作图步骤可知：，平分，，、、在同一条直线上， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵、、在同一条直线上， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 即四边形是菱形 (2) 【分析】（1）先由作图条件得、平分，证，推出对角线互相平分且垂直，从而判定为菱形； （2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求对角线的长度，再用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）略； （2）∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积为． 9．（2026·浙江丽水·模拟预测）中，．尺规作图痕迹如图所示，其中点在上，点在上，交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用直角三角形两锐角互余求出，然后由角平分线的定义求解； （2）首先得到，然后由角平分线得到平分，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由作图得，平分 ∴； （2）证明：由作图得， ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴． 10．（2026·浙江衢州·一模）【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴, ∴, 即平分； (2) 如图，是的平分线． 【分析】（1）根据证明可得，从而可得平分;; （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，作射线，则平分． 【详解】（1）略 （2）略 11．（2026·浙江丽水·二模）如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②再分别以点，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点；③分别以点，为圆心，适当长度为半径画弧，两弧分别交于，两点，作直线，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：由尺规作图可知，平分，垂直平分． ． 垂直平分． ． ． ． ． (2)． 【分析】（1）由尺规作图得出平分，垂直平分，利用等腰三角形等边对等角的性质进行角的等量代换，通过内错角相等证明． （2）先证明四边形是菱形．得．由推出，设未知数利用相似三角形对应边成比例列方程求解，再通过线段和差求出的长． 【详解】（1）解：略； （2）解：垂直平分． ，． ， 平分． ， ． 同理：， 四边形是平行四边形． ． 四边形是菱形． ． 设，则，． ． ． ． ． 解得． ． ． 12．（2026·浙江宁波·二模）如图，是正方形的边上一点（不与，重合），分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连结，，． (1)根据题中的尺规作图法可知：直线是线段的 ． (2)求证：． (3)当时，求的度数． 【答案】(1)垂直平分线或中垂线 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据尺规作图可直接进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：直线是线段的垂直平分线； （2）证明：如图2，在正方形中， 平分， ， ，． ， ∴， 又∵直线是线段的垂直平分线， ． ． （3）解：， ． ， ． ， ， ， ∴， ， ， ， ． 13．（2026·浙江宁波·二模）如图，在锐角中，，现要找一点，使得与相等，小聪与小明的作法分别如下： 小聪：分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点（的下侧），则点即为所求． 小明：分别作，的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，长为半径画弧，在弧上任意取一点（异于点，，），则点即为所求． (1)填空（填“小聪”、“小明”）： ①______________的作法正确； ②______________的作法不正确． (2)证明①正确，写出证明过程； (3)说明②中与的大小关系． 【答案】(1)①小聪的作法正确；②小明的作法不正确 (2)证明：由作图过程可知，，， 在和中， ． (3)或 【分析】（1）由作图过程可知，故小聪的作法正确；由作图过程可知，当点D和点A位于异侧的弧上时，与不一定相等，故小明的作法不正确； （2）根据全等的判定方法证明即可； （3）根据点D的位置分情况讨论即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：或，理由： 如图1，当点D和点A位于同侧的弧上，根据同弧所对的圆周角相等，则有； 如图2，当点D和点A位于异侧的弧上，此时四边形为圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，则有． 【点睛】熟悉尺规作图的过程及几何原理是解决本题的关键． 14．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，平分． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：由作图可知， ∵平分， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，点即为所求，再利用证明即可； 由全等三角形的性质可得，，即得，再利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ∴， ． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $