精品解析：广西壮族自治区柳州市柳南区青华中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

来宾青华中学2028届高二（上）10月检测（数学） （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：每小题5分，共40分． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，得. 2. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角的概念计算即可. 【详解】由题意可知直线平行于纵轴，即其倾斜角为. 3. 若直线的倾斜角为，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用倾斜角求出直线的斜率，再把直线的一般式方程变形为斜截式，从中读出用表示的斜率表达式，最后建立两个斜率相等的方程，通过解方程求出参数的值. 【详解】 直线倾斜角 ， 直线斜率 ， 将直线方程化为斜截式：， ∴，即：， 直线斜率 ， 列等式：， ∴. 4. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线与平行，，解得. ，即. 与的距离. 5. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 6. 已知点，动直线：，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定动直线恒过的定点，结合垂直关系得到点P的轨迹为圆，再利用圆上点到原点的最小距离为圆心到原点的距离减半径求解. 【详解】将直线的方程整理为， 令，解得，即直线恒过定点， 因为，垂足为，所以， 根据直径所对圆周角为直角，可知点的轨迹是以线段为直径的圆， 因为、，则圆心为的中点，半径， 原点到圆心的距离为， 而圆上点到圆外点的最小距离为点到圆心的距离减半径， 故点到原点的最小距离为. 7. 已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为. 8. 已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点.若且，则直线OP的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据切线分析可知直线，与曲线C方程联立可得韦达定理，设线段的中点为，可知三点共线，可得，，结合长度关系运算求解即可. 【详解】设，，，，， 因为直线OP的斜率为，即， 又因为点在曲线外，则， 由题意可知：曲线在点A处的切线斜率不为0，可设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，且，解得， 则切线方程为， 因为点在曲线上，则， 所以曲线在点A处的切线方程为，即， 同理可得：曲线在点B处的切线方程为， 又因为两条切线均过点，则，可得直线， 则点到直线的距离为， 因为，，， 则，， 联立方程，消去x可得， 则，， 则， 即，整理可得， 即，整理可得， 设线段的中点为，则， 且，可得，即， 因为直线的斜率为，可知三点共线， 且，即，即， 可知，则， 即，整理可得， 则，即，解得， 即，所以直线OP的斜率为. 二、多选题：每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分． 9. 已知直线：被圆：截得的弦为，则（ ） A. 圆的标准方程为 B. 圆心 C. 圆心到直线的距离为 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，对配方得：，A错误； 对于B，由A选项可知圆心坐标为：，B正确； 对于C，圆心到直线的距离为，C错误； 对于D，由A选项可知圆的半径为，所以，D正确. 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得两圆圆心距，可判断选项D；进而可得两圆相交，把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段的中垂线，即可判断选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦的长，可判断选项C. 【详解】由，可得，可得圆心为，半径为， 由，可得，可得圆心为，半径为， 所以，所以两圆相交， 两圆方程相减得，所以公共弦所在直线的方程为，故AD正确； 由，，可得， 所以直线所在直线的方程为， 所以线段中垂线所在直线方程为，故B错误； 圆心到公共弦所在直线的距离为， 故公共弦的长为，故C正确. 11. 已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线与相交于P，Q两点，与相交于M，N两点，PQ的中点为G，MN的中点为，则（ ） A. B. C. |GH|的最小值为8 D. 面积的最小值为24（为坐标原点） 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，根据题意得到直线的斜率都存在；设直线的方程为，通过联立直线和抛物线，消去，得到的一元二次方程，设，根据根与系数的关系得到，利用抛物线的定义求出和，计算，从而得到结论；选项B，求出，由得到的斜率互为负倒数，从而将中的替换为，可以得到，计算，从而得到结论；选项C，设的中点为，利用中点坐标公式求出，将代入直线的方程得到，从而得到点的坐标，同理，设的中点为，将替换为，可以得到的坐标，利用两点间的距离公式求出，通过换元，结合基本不等式和二次函数的图像和性质得到的最小值；选项D，根据，的坐标求出直线的方程，令，解出，从而得到直线恒过定点，则,利用基本不等式得到最小值. 【详解】抛物线，，焦点为， 选项A，过作两条互相垂直的直线与相交于P，Q两点， 与相交于M，N两点，故直线的斜率都存在； 设直线的方程为， 联立直线和抛物线， 消去，得到，即， 设，则， ， 则 ， 综上可知，选项A正确； 选项B，， ，的斜率互为负倒数， 中的替换为，可以得到， ， 显然，当变化时，不是常数，故选项B错误； 选项C，设的中点为， 则，， 则， 同理，设的中点为，将替换为，可以得到， 设，，， 当且仅当时，即时，等号成立，故， 则转化为， 在范围内是单调递增函数， 故时，取最小值，且最小值为， 故选项C正确； 选项D，，， 则直线的方程为， 令，则，整理得到， 故直线恒过定点， 则, 当且仅当时，即时，等号成立， 故面积的最小值为24，故选项D正确. 三、填空题：每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 则，解得. 13. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线即的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即的取值范围是． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点位于双曲线的渐近线上，且．若，且，则C的离心率为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】证明三角形全等，再由余弦定理求解即可. 【详解】依题意，点在的渐近线上，点在的右支上． 因为，所以． 设为坐标原点，又，分别为，的中点，则， 又，，故， 故，而，则． 在中，由余弦定理，得，解得（负值舍去）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若直线与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为，， 将点代入，得，解得， 故直线的一般式方程为． 【小问2详解】 由题知，直线的斜率为， 设直线的斜率为， 由题意知，即，解得． 又因为直线经过点， 由点斜式得， 整理得， 故直线的一般式方程为． 16. 已知圆内有一点，为过点P的弦． （1）当时，求直线的方程； （2）求弦中点M的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得；在斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程； （2）方法一：由垂径定理得，从而可得点的轨迹是以为直径的圆，求出圆的方程即可；方法二：利用，代入点的坐标推导即得；方法三：利用，代入点的坐标推导即得. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，的方程为，代入， 此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 设原点O到直线的距离为d，则，解得 的方程为，即 综上，直线的方程为或 【小问2详解】 方法一：是的中点，由垂径定理得 的轨迹是以为直径的圆．的中点为， 即圆心为，半径 的轨迹方程为 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为 方法三：设，由垂径定理得， 即，即M的轨迹方程为. 17. 已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限． （1）求以为直径的圆的方程； （2）若过点的直线分别交两圆于两个不同的点，，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两圆方程相减得到公共弦AB所在直线方程，结合 “连心线垂直平分公共弦” 的性质确定所求圆的圆心，再通过垂径定理计算半弦长（即半径），最终写出圆的标准方程； （2）设直线的点斜式方程，根据 “弦长|AC|=|AD|” ，利用弦长公式，列方程求解斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 根据题意，圆：，圆心为，半径为3， 圆：，圆心为，半径为4， 两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． 【小问2详解】 在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点，分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在， 设直线的方程是，即， 则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 因为， 所以，即， 解得，故直线的方程是， 整理得直线的方程为． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【小问1详解】 由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 19. 已知椭圆：的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）在轴上存在点，使得. 【解析】 【分析】（1）由离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可； （2）（i）设直线的方程为，，的中点为，与椭圆方程联立后，利用根与系数的关系求得，进而利用点在上以及可求得实数的取值范围；（ⅱ）设，写出的方程，两式相乘，利用点在椭圆上，进而计算可得动点的轨迹方程，由得，设存在定点满足条件，由求得即可. 【小问1详解】 由，得， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，关于直线对称，所以所在直线的斜率为， 设直线的方程为，，的中点为， 由得， 所以， 所以， 由，可得，， 所以，整理得，所以， 所以，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为； （ⅱ）存在这样的点，使得. 假设存在这样的点，使得， 如图，若，关于轴对称，则设， 则直线，直线， 两式相乘得， 因为在椭圆上，所以，即， 代入得，化简得，因为点不与顶点重合，所以. 即动点的轨迹方程为.  如图，因为， 所以，即，所以， 设过点的直线方程为，， 由，可得， 因为双曲线与直线有两个不同的交点， 所以有两个不同的解，所以， 所以， 设，则，即. 所以，化简得， 所以，因为，所以，解得， 故在轴上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 来宾青华中学2028届高二（上）10月检测（数学） （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：每小题5分，共40分． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的倾斜角为，则等于（ ） A. B. C. D. 2 4. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，动直线：，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点.若且，则直线OP的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分． 9. 已知直线：被圆：截得的弦为，则（ ） A. 圆的标准方程为 B. 圆心 C. 圆心到直线的距离为 D. 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 11. 已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线与相交于P，Q两点，与相交于M，N两点，PQ的中点为G，MN的中点为，则（ ） A. B. C. |GH|的最小值为8 D. 面积的最小值为24（为坐标原点） 三、填空题：每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则_____． 13. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点位于双曲线的渐近线上，且．若，且，则C的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若直线与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 16. 已知圆内有一点，为过点P的弦． （1）当时，求直线的方程； （2）求弦中点M的轨迹方程． 17. 已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限． （1）求以为直径的圆的方程； （2）若过点的直线分别交两圆于两个不同的点，，且，求直线的方程． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 19. 已知椭圆：的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $