第9章 第10节 正态分布（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 以题载法构建正态分布知识网络，通过基础应用与综合拓展结合，强化对称性质、3σ原则及跨分布综合应用，培养数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8题（选择1-5、填空6-8）|考查N(μ,σ²)参数意义、对称性质、3σ原则|从概念（μ,σ²）到性质（对称性、3σ区间），再到基本概率计算| |综合拓展|4题（解答9-12）|结合二项分布、实际问题建模、图表数据分析|从单一分布应用到跨分布综合，从数学计算到实际情境中的模型构建与数据解释|

课时冲关75　正态分布 学生用书　P404 [基础训练组] 1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.6　　　　　　　　　 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：C　[画出正态分布曲线如图，结合图像知： P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝[1－P(ξ<0)－P(ξ>4)]＝(1－0.2－0.2)＝0.3.] 2．已知随机变量X～B(2，p)、Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.36，P(0＜Y＜2)＝p，则P(Y＞4)＝(　　) A．0.1　　 B．0.2　　　 C．0.3　　　 D．0.4 解析：C　[∵随机变量X～B(2，p)，Y～N(2，σ2)，P(X≥1)＝0.36，∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋Cp2＝0.36，可得p＝0.2，进而P(0＜Y＜2)＝p＝0.2，由此能求出P(Y＞4)＝P(Y＜0)＝0.3.] 3．某工厂生产的零件外直径(单位：cm)服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm，则可认为(　　) A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常 解析：B　[∵零件外直径X～N(10,0.04)，∴根据3σ原则，在10＋3×0.2＝10.6(cm)与10－3×0.2＝9.4(cm)之外时为异常．∵上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm,9.35＜9.4，∴下午生产的产品异常．] 4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(　　) A．[90,110] B．[95,125] C．[100,120] D．[105,115] 解析：C　[由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间[105,115]，[100,120]，[95,125]上的概率分别应是0.682 7,0.954 5,0.997 3.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 7≈41(人)，60×0.954 5≈57(人)，60×0.997 3≈60(人)．] 5．(多选)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是(　　) A．P(|ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0) B．P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0) C．P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)(a>0) D．P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0) 解析：BD　[因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)，所以A不正确；因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以B正确，C不正确；因为P(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以D正确．] 6．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，则这个正态总体的均值为________． 解析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值为1. 答案：1 7．黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2 000,10 000)的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2 100的概率为________．(参考数据：若ξ服从N(μ，σ2)，有P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 3) 解析：∵服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间[μ－σ，μ＋σ]内取值的概率分别为0.682 7，随机变量ξ服从正态分布N(2 000,1002)，∴每天到西江苗寨的游客人数超过2 100的概率为×(1－0.682 7)≈0.158 7. 答案：0.158 7 8．某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________． 解析：由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，∴P(ξ<2)＝P(ξ≥6)＝0.2.∴正态曲线的对称轴为直线x＝4，即P(ξ≥4)＝，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为，∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为×＝. 答案：200　 9．(2024·江西校联考模拟)近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”．某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网 上买菜 不喜欢网 上买菜 合计 年龄不超过 45岁的市民 40 10 50 年龄超过45 岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)是否有99.9%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从A，B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜．如果周一选择A平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率；如果周一选择B平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率为，求张无忌周二选择B平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X事件“X＝k”的概率为P(X＝k)，求使P(X＝k)取得最大值的k的值． 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)假设H0：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关． 由题意可得，χ2 ＝＝≈16.67＞10.828， 则假设不成立， 所以有99.9%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关． (2)记事件A：张无忌周一选择A平台买菜；事件B：张无忌周二选择B平台买菜， 则P(A)＝P()＝，P(B|A)＝1－＝， P(B|)＝1－＝， 由全概率公式可得P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝， 因此，张无忌周二选择B平台买菜的概率为. (3)由题意可知，抽取的20名市民，喜欢网上买菜的市民人数X服从二项分布， 且喜欢上网买菜的频率为＝0.6，则X～B(20,0.6)， 且P(X＝k)＝C·0.6k·(1－0.6)20－k＝C·0.6k·0.420－k，k＝0,1,2，…，20， 设t＝＝＝ ＝·＝，k＝0,1,2，…，20， 若t＞1，即P(X＝k)＞P(X＝k－1)，即－1＝＞0，解得0＜k＜12， 若t＜1，即P(X＝k)＞P(X＝k－1)，即－1＝＜0，解得k＜0或k＞12，所以当k＝12时，P(X＝k)最大，故k的值为12. [能力提升组] 10．(多选)(2024·山东省寿光现代中学模拟)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N1(μ1，σ)、N2(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 解析：AB　[因为由图像可知，甲图像关于直线x＝0.4对称，乙图像关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C错误，因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确，因为乙图像的最大值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误，故选AB.] 11．某校在2023年的“某市重点中学数学挑战赛”中有1 000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩高于110分的学生约有______人． 解析：依题意，得P(70≤ξ≤110)＝0.6，P(ξ>110)＝[1－P(70≤ξ≤110)]＝0.2.于是此次数学考试成绩高于110分的学生约有1 000×0.2＝200(人)． 答案：200 12．体育强国是新时期我国体育工作改革和发展的目标和任务，我国要力争实现体育大国向体育强国的转变.2019年9月2日，国务院办公厅印发《体育强国建设纲要》，纲要提出，到2035年，《国民体质测定标准》合格率超过92%.2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在我国杭州成功举办，中国代表队以201枚金牌，383枚奖牌夺得金牌榜和奖牌榜第一．这是新时期中国体育工作改革和发展过程中取得的优异成绩．某校将学生的立定跳远作为体育健康监测项目，若该校初三年级上期开始时要掌握全年级学生立定跳远情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图，且规定计分规则如下表： 跳远距离(cm) [155,165) [165,175) [175,185) [185，＋∞) 得分 17 18 19 20 (1)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率； (2)若该校初三年级所有学生的跳远距离X(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2＝153(各组数据用中点值代替)．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年训练后，每人跳远距离都有明显进步，假设初三结束进行跳远测试时每人跳远比初三上学期开始时距离增加10 cm，现利用所得正态分布模型： (ⅰ)若全年级恰好有2 000名学生，预估初三结束进行测试时，跳远距离在182.63 cm以上的人数；(结果四舍五入到整数) (ⅱ)若在全年级所有学生中任意选取3人，记初三结束进行测试时，跳远距离在195 cm以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<x<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4. 解：(1)两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分， 由频率分布直方图，得分为17分的人数为100×10×0.006＝6人， 得分为18分的人数为100×10×0.012＝12人， 故P＝＝. (2)X＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(cm) 又σ2＝S2＝153，所以σ＝12.37， 所以初三结束进行测试时，μ＝195，σ＝12.37，所以μ－σ＝182.63. (ⅰ)因为P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6， 所以P(ξ>182.63)＝P(ξ>μ－σ)＝1－＝1－＝0.841 3， 所以跳远距离在182.63 cm以上的人数为：0.841 3×2 000＝1 682.6≈1 683(人)． (ⅱ)由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，跳远距离在195 cm以上的概率为0.5， 故ξ～B(3,0.5)， 所以P(ξ＝0)＝C(1－0.5)3＝0.125， P(ξ＝1)＝C0.5×(1－0.5)2＝0.375， P(ξ＝2)＝C0.52×(1－0.5)＝0.375， P(ξ＝3)＝C0.53＝0.125， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 0.125 0.375 0.375 0.125 E(ξ)＝3×0.5＝1.5. 6 学科网（北京）股份有限公司 $