5.1任意角与弧度制（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.1任意角与弧度制 🔷知识点一 任意角的概念 1． 角的概念及其表示 角可以看成平面内一条射线绕着端点从始边旋转到终边形成的图形；端点为顶点，旋转起始位置为始边，终止位置为终边。如图， 射线的起始位置为始边；射线的终止位置为终边；射线的端点为顶点.图中的角可记为“角”或“”或“”. 2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 ⚠️特别提醒 ① 零角的始边与终边完全重合；但始边终边重合的角不一定是零角，所有终边相同的周角倍数角，始边终边均重合。 ② 任意角的正负只由射线的旋转方向决定，与终边位置无关，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。 📌归纳总结 初中阶段角的范围是之间；但高中任意角的大小可无限大、无限小，包含正角、负角、零角。 💡拓展延伸 生活中钟表的分针、时针均为顺时针旋转，因此钟表转动形成的角度全部为负角。 🔷 知识点二 象限角与轴线角 1． 象限角与轴线角的概念 我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. （1）象限角：角的终边落在某一象限内（不含坐标轴），称这个角为第几象限角。 （2）轴线角：角的终边落在轴或者轴（坐标轴）上，轴线角不属于任何一个象限。 2.象限角与轴线角的集合表示 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 轴线角 在轴上的角 在轴上的角 在坐标轴上的角 注意: 象限角与轴线角的集合表示形式不唯一，如第四象限角也可以表示为. ⚠️特别提醒 ① 判断一个角是否为某象限角，只观察终边所处的位置，和角本身的绝对大小没有关系，不存在“象限越高，角度越大”的规律；因此第二象限角不一定大于第一象限角，第三、四象限的角也可以取得很大的数值。 ② 锐角有着严格的取值范围，锐角一定是第一象限角；但第一象限角不一定是锐角，第一象限角包含无数个周期角，范围更广，除锐角外，还有、等角。 ③终边落在坐标轴上的轴线角不属于任意象限。 📌归纳总结 象限角的终边只能落在象限内部，不包含坐标轴；只要终边落到坐标轴上，该角就归类为轴线角。书写集合时，不能省略，代表可以旋转整数圈。 💡拓展延伸 轴线角是终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限。 轴线角的集合表示： 角的终边所在位置 集合表示 轴上（含正负半轴） 轴正半轴 轴负半轴 轴上（含正负半轴） 轴正半轴 轴负半轴 🔷 知识点三 终边相同的角 1.集合表示（角度制） 所有与角终边相同的角（含）： 2.集合表示（弧度制） ⚠️特别提醒 ① 表达式中是必不可少的条件，绝对不能省略，可取正整数、负整数和零； ② 终边相同的角相差（）的整数倍；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等。 ③判断两个角是否终边相同时，先把它们统一化为同一种单位制（同为角度或同为弧度），再看其差是否为（）的整数倍，这是最快捷的检验方法。 📌归纳总结 所有与角终边相同的角组成一个无限角集，集合内任意两个角都相差（）的整数倍。任意超大或超小的角，都可以通过加减（）化简为内的唯一基准角，再据此快速判断其所在象限与终边位置；化简时正角不断减去、负角不断加上，直到角落在内为止，这是解决任意角问题的通用化简方法。 💡拓展延伸 两角终边对称规律： 角终边的位置关系 的关系 与的终边关于轴对称 与的终边关于轴对称 与的终边关于原点对称 与的终边在一条直线上 与的终边垂直 或 与的终边关于对称 与的终边关于对称 🔷 知识点四 弧度制的概念 1.弧度制的概念 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 弧度制是在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制. 2.圆心角与弧长的关系 (1) 设，，点所形成的圆弧的长为.由初中所学知识得，于是. 根据弧度的规定，在半径为的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么. (2) 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. ⚠️特别提醒 1弧度角的大小是固定定值，仅由弧长与半径的比值唯一确定，与圆的半径大小、圆的大小均无关，无论大圆小圆，只要弧长等于半径，对应的圆心角就是1弧度。 📌归纳总结 弧度是实数单位，没有角度制的进制限制，全体任意角与全体实数可以建立一一对应关系，这也是高中三角函数可以转化为实数函数研究的核心依据。 💡拓展延伸 单位圆定义（半径）是三角函数核心基础，单位圆中，圆心角的弧度数数值上等于对应圆弧的弧长，可直接简化弧长、三角函数值的计算。 🔷 知识点五 角度制与弧度制互化 1.角度与弧度的互化 ；；； 弧度数=度数；度数=弧度数. 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 弧度 0 ⚠️特别提醒 ① 数学运算规范：同一个代数式中，角度与弧度绝对不能混用，必须统一单位，禁止出现这类不规范写法。 ② 书写规范：弧度单位rad一般省略不写，只写数值；含π的弧度结果必须保留分数和π，严禁直接化成小数，保证结果精准、规范。 📌归纳总结 角度制转弧度制：度数，化简为最简分数形式； 弧度制转角度制：弧度数，消去π后得到角度数值。 🔷 知识点六 弧度制下扇形公式 扇形的弧长与面积公式(是扇形所在圆的半径，为扇形的圆心角的度数，表示扇形的圆心角的弧度数)公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 弧度制 ⚠️特别提醒 ① 扇形弧长、面积公式仅适用于弧度制圆心角，若题目给出的圆心角为角度制，必须先统一转化为弧度制，再代入公式计算，这是最易失分的细节。 ② 公式中圆心角需取绝对值，因为弧长、面积均为几何长度、面积，数值恒为正数，避免出现负值结果。 📌归纳总结 扇形公式的三要素为半径、圆心角（弧度）、弧长，已知任意两个量即可求出第三个量；面积公式可灵活选用，已知弧长优先用，已知圆心角优先用。 💡拓展延伸 扇形周长并非仅弧长，而是弧长加两条半径的长度， 公式：，周长计算是高频易错题型。 易错点 1 混淆“锐角、第一象限角、小于90°的角”概念 错例：认为小于的角是锐角 错因：忽略负角与零角；小于的角包含负角、零角，只有大于且小于的角才是锐角。 规避方法：严格区分三个概念：①锐角：；②第一象限角：；③小于：，包含负角。 易错点 2 终边相同角的表达式漏掉，或者只取正整数 错例：与终边相同的角写成（）。 错因：必须取全体整数，包含负整数、零；只取正整数会漏掉负角。 规避方法：书写集合必须写明，可取任意整数，正负都要考虑。 易错点 3 角度与弧度混用，扇形公式直接代入角度值 错例：扇形圆心角，半径，直接代入弧长。 错因：弧长公式只适用于弧度制，没有把角度化为弧度直接计算，造成数值错误。 规避方法：使用、前，务必把圆心角统一化为弧度；题目同时出现°与π时，统一成一种单位。 易错点 4 判断象限角时，忽略负角的化简方法 错例：判断是第几象限角，直接认为是第三象限角。 错因：负角需要不断加上化为范围内的角再判断， ，属于第二象限。 规避方法：任意角判断所在象限：正角：减去；负角：加上，把角化为内的角再判定。 易错点 5 把终边在坐标轴上的角当成象限角 错例：认为是第二象限角。 错因：终边落在坐标轴上的轴线角不属于任何一个象限。 规避方法：先看角的终边落在何处：若落在坐标轴上，则判定为轴线角；若落在四个象限内部，则判定为象限角。 题型一：任意角概念辨析题 📝方法技巧 1.逐条拆解命题，区分锐角、钝角、象限角、终边相同角、零角等概念； 2.举反例是判断命题真假的首选方法； 3.牢记：角只有旋转方向之分，角的大小不能用象限高低比较。 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 2.（25-26高一下·上海·期中）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 3.（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 4.（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题中正确的是（    ） A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 5.（2026高一上·湖北武汉·专题练习）下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 6.（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列叙述不正确的是（   ） A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第二象限角比第一象限角大 D．不相等的角终边一定不同 7．（多选）（（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 8.（多选）（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）下列命题错误的是（   ）. A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 题型二：终边相同角的表示与求解 📝方法技巧 1.写法：角度制；弧度制； 2.求指定范围内的角：先写出通式，再对整数依次赋值，筛选出落在区间内的角； 3.终边对称问题：先写出基础角，再根据对称关系写出角的集合。 1．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列与2025°终边相同的角是（   ） A．205° B．215° C．225° D．235° 4.（25-26高一下·河北承德·阶段检测）与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 6.（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知． (1)把改写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求，使与终边相同，且． 7.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知. (1)写出与角终边相同的角的集合S，并指出角是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式的角. 题型三：象限角、轴线角的判定 📝方法技巧 1.步骤： ① 对任意角，通过加减，化为的角； ② 根据所在区间判断象限； 2.已知所在象限，判断、所在象限：采用“等分象限法”； 3.轴线角直接套用坐标轴上角的集合。 1.（26-27高三·全国·一轮复习）角－863°的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 3.（25-26高一下·北京朝阳·期中）集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 4.（5.1.1 任意角）终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·四川·阶段检测）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6.（多选）（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.（多选）（专题24任意角、弧度制及三角函数的定义（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四：角度制与弧度制的互化 📝方法技巧 1.换算公式：弧度数=度数；度数=弧度数. 2.特殊角直接背诵，无需临时计算； 3.统一单位：计算题中全部统一为弧度（优先）或者全部统一为角度，杜绝混用； 4.结果保留：弧度值保留含的分数形式，不要化成小数。 1.（26-27高二·山东·学业考试模拟）把化成弧度，其结果是（   ） A． B． C． D． 2.（26-27高一上·江西·阶段检测）将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一下·吉林延边·阶段检测）将分针拨慢分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高一上·全国·课后作业）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）（1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）把化成弧度； （2）把化成角度； （3）已知，，，，，试比较、、、、的大小． 7.（26-27高一上·全国·课堂例题）将下列角度与弧度进行互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五： 扇形弧长、面积有关计算 📝方法技巧 1.公式：，三个公式灵活互推； 2.解题步骤： ① 把圆心角统一化为弧度； ② 找准已知量（半径、圆心角、弧长、面积）； ③ 代入公式，知二求一； 3.涉及扇形周长时： 1，（25-26高一上·江苏南通·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为（   ） A．6 B． C． D． 2.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·福建·阶段检测）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5,（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________    8.（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 题型六： 扇形面积最值问题 📝方法技巧 1.解题思路：把面积表示为单变量函数，利用二次函数求最值； 2.常用条件：扇形周长固定，设半径为，先用周长条件把圆心角用表示； 3.把面积写成关于的二次函数，结合定义域求最大值； 4.注意定义域：圆心角，据此确定的取值范围。 1.（25-26高一下·河北张家口·期末）已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·河南·阶段检测）已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·江西赣州·期中）周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 4．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ） A． B． C．2 D．1 5.（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.根据此规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为弧度，则.类比三角形的面积公式可得扇形的面积公式.已知一个扇形的周长等于，当这个扇形的面积最大时，该扇形的圆心角等于________弧度． 6.（26-27高三·全国·一轮复习）已知扇形的圆心角为，半径为.若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值. 题型七： 终边落在阴影区域内的角的集合书写 📝方法技巧 1.先写出内边界对应的两个角； 2.写出区间角，再加上（弧度制加）； 3.区分开闭区间：包含边界用闭区间，不含边界用开区间； 4.若阴影跨越轴正半轴，把区间拆成两段再合并。 1.（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（   ）    A． B． C． D． 3.（25-26高一上·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【答案】 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是， 所以角的集合是． 6.（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 7.（26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数 5.1任意角与弧度制 🔷知识点一 任意角的概念 1． 角的概念及其表示 角可以看成平面内一条射线绕着端点从始边旋转到终边形成的图形；端点为顶点，旋转起始位置为始边，终止位置为终边。如图， 射线的起始位置为始边；射线的终止位置为终边；射线的端点为顶点.图中的角可记为“角”或“”或“”. 2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 ⚠️特别提醒 ① 零角的始边与终边完全重合；但始边终边重合的角不一定是零角，所有终边相同的周角倍数角，始边终边均重合。 ② 任意角的正负只由射线的旋转方向决定，与终边位置无关，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。 📌归纳总结 初中阶段角的范围是之间；但高中任意角的大小可无限大、无限小，包含正角、负角、零角。 💡拓展延伸 生活中钟表的分针、时针均为顺时针旋转，因此钟表转动形成的角度全部为负角。 🔷 知识点二 象限角与轴线角 1． 象限角与轴线角的概念 我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. （1）象限角：角的终边落在某一象限内（不含坐标轴），称这个角为第几象限角。 （2）轴线角：角的终边落在轴或者轴（坐标轴）上，轴线角不属于任何一个象限。 2.象限角与轴线角的集合表示 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 轴线角 在轴上的角 在轴上的角 在坐标轴上的角 注意: 象限角与轴线角的集合表示形式不唯一，如第四象限角也可以表示为. ⚠️特别提醒 ① 判断一个角是否为某象限角，只观察终边所处的位置，和角本身的绝对大小没有关系，不存在“象限越高，角度越大”的规律；因此第二象限角不一定大于第一象限角，第三、四象限的角也可以取得很大的数值。 ② 锐角有着严格的取值范围，锐角一定是第一象限角；但第一象限角不一定是锐角，第一象限角包含无数个周期角，范围更广，除锐角外，还有、等角。 ③终边落在坐标轴上的轴线角不属于任意象限。 📌归纳总结 象限角的终边只能落在象限内部，不包含坐标轴；只要终边落到坐标轴上，该角就归类为轴线角。书写集合时，不能省略，代表可以旋转整数圈。 💡拓展延伸 轴线角是终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限。 轴线角的集合表示： 角的终边所在位置 集合表示 轴上（含正负半轴） 轴正半轴 轴负半轴 轴上（含正负半轴） 轴正半轴 轴负半轴 🔷 知识点三 终边相同的角 1.集合表示（角度制） 所有与角终边相同的角（含）： 2.集合表示（弧度制） ⚠️特别提醒 ① 表达式中是必不可少的条件，绝对不能省略，可取正整数、负整数和零； ② 终边相同的角相差（）的整数倍；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等。 ③判断两个角是否终边相同时，先把它们统一化为同一种单位制（同为角度或同为弧度），再看其差是否为（）的整数倍，这是最快捷的检验方法。 📌归纳总结 所有与角终边相同的角组成一个无限角集，集合内任意两个角都相差（）的整数倍。任意超大或超小的角，都可以通过加减（）化简为内的唯一基准角，再据此快速判断其所在象限与终边位置；化简时正角不断减去、负角不断加上，直到角落在内为止，这是解决任意角问题的通用化简方法。 💡拓展延伸 两角终边对称规律： 角终边的位置关系 的关系 与的终边关于轴对称 与的终边关于轴对称 与的终边关于原点对称 与的终边在一条直线上 与的终边垂直 或 与的终边关于对称 与的终边关于对称 🔷 知识点四 弧度制的概念 1.弧度制的概念 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 弧度制是在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制. 2.圆心角与弧长的关系 (1) 设，，点所形成的圆弧的长为.由初中所学知识得，于是. 根据弧度的规定，在半径为的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么. (2) 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. ⚠️特别提醒 1弧度角的大小是固定定值，仅由弧长与半径的比值唯一确定，与圆的半径大小、圆的大小均无关，无论大圆小圆，只要弧长等于半径，对应的圆心角就是1弧度。 📌归纳总结 弧度是实数单位，没有角度制的进制限制，全体任意角与全体实数可以建立一一对应关系，这也是高中三角函数可以转化为实数函数研究的核心依据。 💡拓展延伸 单位圆定义（半径）是三角函数核心基础，单位圆中，圆心角的弧度数数值上等于对应圆弧的弧长，可直接简化弧长、三角函数值的计算。 🔷 知识点五 角度制与弧度制互化 1.角度与弧度的互化 ；；； 弧度数=度数；度数=弧度数. 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 弧度 0 ⚠️特别提醒 ① 数学运算规范：同一个代数式中，角度与弧度绝对不能混用，必须统一单位，禁止出现这类不规范写法。 ② 书写规范：弧度单位rad一般省略不写，只写数值；含π的弧度结果必须保留分数和π，严禁直接化成小数，保证结果精准、规范。 📌归纳总结 角度制转弧度制：度数，化简为最简分数形式； 弧度制转角度制：弧度数，消去π后得到角度数值。 🔷 知识点六 弧度制下扇形公式 扇形的弧长与面积公式(是扇形所在圆的半径，为扇形的圆心角的度数，表示扇形的圆心角的弧度数)公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 弧度制 ⚠️特别提醒 ① 扇形弧长、面积公式仅适用于弧度制圆心角，若题目给出的圆心角为角度制，必须先统一转化为弧度制，再代入公式计算，这是最易失分的细节。 ② 公式中圆心角需取绝对值，因为弧长、面积均为几何长度、面积，数值恒为正数，避免出现负值结果。 📌归纳总结 扇形公式的三要素为半径、圆心角（弧度）、弧长，已知任意两个量即可求出第三个量；面积公式可灵活选用，已知弧长优先用，已知圆心角优先用。 💡拓展延伸 扇形周长并非仅弧长，而是弧长加两条半径的长度， 公式：，周长计算是高频易错题型。 易错点 1 混淆“锐角、第一象限角、小于90°的角”概念 错例：认为小于的角是锐角 错因：忽略负角与零角；小于的角包含负角、零角，只有大于且小于的角才是锐角。 规避方法：严格区分三个概念：①锐角：；②第一象限角：；③小于：，包含负角。 易错点 2 终边相同角的表达式漏掉，或者只取正整数 错例：与终边相同的角写成（）。 错因：必须取全体整数，包含负整数、零；只取正整数会漏掉负角。 规避方法：书写集合必须写明，可取任意整数，正负都要考虑。 易错点 3 角度与弧度混用，扇形公式直接代入角度值 错例：扇形圆心角，半径，直接代入弧长。 错因：弧长公式只适用于弧度制，没有把角度化为弧度直接计算，造成数值错误。 规避方法：使用、前，务必把圆心角统一化为弧度；题目同时出现°与π时，统一成一种单位。 易错点 4 判断象限角时，忽略负角的化简方法 错例：判断是第几象限角，直接认为是第三象限角。 错因：负角需要不断加上化为范围内的角再判断， ，属于第二象限。 规避方法：任意角判断所在象限：正角：减去；负角：加上，把角化为内的角再判定。 易错点 5 把终边在坐标轴上的角当成象限角 错例：认为是第二象限角。 错因：终边落在坐标轴上的轴线角不属于任何一个象限。 规避方法：先看角的终边落在何处：若落在坐标轴上，则判定为轴线角；若落在四个象限内部，则判定为象限角。 题型一：任意角概念辨析题 📝方法技巧 1.逐条拆解命题，区分锐角、钝角、象限角、终边相同角、零角等概念； 2.举反例是判断命题真假的首选方法； 3.牢记：角只有旋转方向之分，角的大小不能用象限高低比较。 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，②正确； 第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 2.（25-26高一下·上海·期中）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 3.（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 4.（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题中正确的是（    ） A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 【答案】D 【分析】根据轴线角和直角的定义可以判断A；根据象限角的定义举反例可以判断BC；根据任意角的定义可以判断D. 【详解】对于选项A，终边在y轴非负半轴上的角为，不一定是（直角）， 例如的终边也在y轴非负半轴上，但它不是直角，故A错误； 对于选项BC，如是第二象限角，但不是钝角；如第四象限角，但不是负角，故BC错误； 对于选项D，因为任意角由一条射线绕顶点按逆时针或者顺时针旋转形成， 所以始边相同而终边不同的角一定不相等，故D正确. 故选：D. 5.（2026高一上·湖北武汉·专题练习）下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【分析】选项A：设，该角是第三象限角，即可判断； 选项B：取，则，该角是第三象限角，即可判断； 选项C：先求出，则,分类讨论为偶数和奇数，即可判断； 选项D：是锐角，即，则，即可判断； 【详解】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误; 选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误; 6.（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列叙述不正确的是（   ） A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第二象限角比第一象限角大 D．不相等的角终边一定不同 【答案】ACD 【分析】利用象限角、终边相同的角的意义逐项判断即可. 【详解】对于A：直角不属于任何一个象限，A不正确； 对于B：钝角是大于小于的角，是第二象限角，B正确； 对于C：是第二象限角，是第一象限角，C不正确； 对于D：角与角不相等，但它们的终边相同，D不正确. 故选：ACD 7．（多选）（（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 【答案】ACD 【分析】利用象限角的意义，结合任意角的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，角是第二象限角，而它不是钝角，A错误； 对于B，钝角的补角是锐角，而锐角是第一象限角，因此钝角的补角是第一象限的角，B正确； 对于C，角小于角，而角不是锐角，C错误； 对于D，是第一象限角，角是第二象限角，D错误. 故选：ACD 8.（多选）（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）下列命题错误的是（   ）. A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【答案】ABD 【分析】对ABD，举反例说明；对C，利用终边相同的角判断. 【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，锐角是之间的角，如，，但不是锐角，故B错误； 对于C，，所以与角终边相同，在第三象限，故C正确； 对于D，若终边在第一象限，而终边在第一象限，故D错误. 故选：ABD. 题型二：终边相同角的表示与求解 📝方法技巧 1.写法：角度制；弧度制； 2.求指定范围内的角：先写出通式，再对整数依次赋值，筛选出落在区间内的角； 3.终边对称问题：先写出基础角，再根据对称关系写出角的集合。 1．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与终边相同的角的集合为：. 当时，； 若，则不是整数； 若，则不是整数； 若，则不是整数. 2.（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求出合适的的值，即可得答案. 【详解】设与的终边相同， 则， 当时，. 3.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列与2025°终边相同的角是（   ） A．205° B．215° C．225° D．235° 【答案】C 【详解】因为，所以角的终边与角的终边相同. 4.（25-26高一下·河北承德·阶段检测）与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，则与角的终边相同的最小正角是. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】与角终边相同的角为，，再根据题目要求对k进行限制即可得到答案. 【详解】（1）由且，可得，故所求的最大负角为. （2）由且，可得，故所求的最小正角为. （3）由且，可得，故所求的角为. 6.（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知． (1)把改写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求，使与终边相同，且． 【答案】(1)，第一象限角； (2)和. 【分析】（1）由题意，，根据角的相关概念，即可判断； （2）先根据终边相同的角的关系写出的表达式，再结合的取值范围确定的值，即可求出角. 【详解】（1）因为，又， 所以把写成的形式为， 它是第一象限角． （2）与终边相同的角为， 所以当，或时，，或，满足． 即得所求角为和． 7.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知. (1)写出与角终边相同的角的集合S，并指出角是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式的角. 【答案】(1)，第二象限的角 (2)， 【分析】（1）根据终边相同的角的定义求解集合S，进而判断所属象限； （2）根据（1）得到，建立关于的不等式求解即可. 【详解】（1）， ， 与的终边相同. 是第二象限的角， 是第二象限的角. （2）由， 解得. 由，得或5， 即S中适合的元素有 ， . 题型三：象限角、轴线角的判定 📝方法技巧 1.步骤： ① 对任意角，通过加减，化为的角； ② 根据所在区间判断象限； 2.已知所在象限，判断、所在象限：采用“等分象限法”； 3.轴线角直接套用坐标轴上角的集合。 1.（26-27高三·全国·一轮复习）角－863°的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】，则和的终边相同，故角的终边在第三象限. 2．（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【答案】D 【分析】由任意角的周期性的概念结合正负角即可求解. 【详解】对于A，由任意角的概念，第二象限角不一定比第一象限角大， 例如是第二象限角，是第一象限角，但，故A错误； 对于B，数学中规定逆时针为正角， 故表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，故B错误； 对于C，角和角相差，不是的整数倍，终边不同，故C错误； 对于D，若是第二象限角，则有，， 则，， 当时，，的终边在第一象限， 当时，，的终边在第三象限， 当时，，即，的终边在第一象限， 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角， 所以是第一象限或第三象限的角，故D正确. 3.（25-26高一下·北京朝阳·期中）集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 【答案】B 【详解】若为偶数，设，则，角终边与终边相同，落在轴正半轴； 若为奇数，设，则，角终边与终边相同，落在轴负半轴. 综上，终边整体落在轴上. 4.（5.1.1 任意角）终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 5.（25-26高一上·四川·阶段检测）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先得到与 终边相同，都位于第三象限；则，整理得到，因此与终边相同都在第二象限. 【详解】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 故选：B 6.（多选）（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABD 【详解】因为角是第二象限角，所以， 所以， 当时，，是第一象限角，A正确； 当时，，是第二象限角，B正确； 当时，，是第四象限角，D正确； 7.（多选）（专题24任意角、弧度制及三角函数的定义（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【分析】根据角α是第二象限角的特点，求出角2α的范围进行判断即可. 【详解】因为角α是第二象限角， 所以， 所以 所以2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角， 即其终边不可能在第一、二象限. 故选：AB 题型四：角度制与弧度制的互化 📝方法技巧 1.换算公式：弧度数=度数；度数=弧度数. 2.特殊角直接背诵，无需临时计算； 3.统一单位：计算题中全部统一为弧度（优先）或者全部统一为角度，杜绝混用； 4.结果保留：弧度值保留含的分数形式，不要化成小数。 1.（26-27高二·山东·学业考试模拟）把化成弧度，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角度制与弧度制的互化求解即可. 【详解】. 2.（26-27高一上·江西·阶段检测）将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分针拨慢分钟，逆时针转过的角度为周角的，角为正角，因此弧度数为. 3．（26-27高一下·吉林延边·阶段检测）将分针拨慢分钟，则分针转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分针拨慢五分钟，则转过的弧度数为： 4.（26-27高一上·全国·课后作业）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负角的定义和钟表指针转动规律求解. 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 5．（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）（1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. 【答案】（1），（2）， 【分析】（1）根据可得； （2）根据可得. 【详解】（1），； （2），. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）把化成弧度； （2）把化成角度； （3）已知，，，，，试比较、、、、的大小． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】1、角度与弧度的转换.2、角度与弧度的转换.3、将所有角转换成弧度制进行比较即可. 【详解】（1）． （2）． （3），． 显然．故． 7.（26-27高一上·全国·课堂例题）将下列角度与弧度进行互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的关系进行转化即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型五： 扇形弧长、面积有关计算 📝方法技巧 1.公式：，三个公式灵活互推； 2.解题步骤： ① 把圆心角统一化为弧度； ② 找准已知量（半径、圆心角、弧长、面积）； ③ 代入公式，知二求一； 3.涉及扇形周长时： 1，（25-26高一上·江苏南通·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆心角为， 所以. 2.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式分别求出两个扇形的面积，作差即可得出扇面（曲边四边形）的面积. 【详解】因为， 所以扇形的面积为； 扇形的面积为. 所以扇面（曲边四边形）的面积为. 故选：A. 3．（26-27高三上·福建·阶段检测）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 4．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为， 设扇形的半径为，则扇形的弧长为， 由题意得：，解得. 5,（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为定滑轮旋转的弧长等于重物上升的长度， 又，由弧长公式， 所以重物上升了. 6．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】扇形的圆心角，其弧长，由弧度制定义，该扇形的半径， 所以该扇形的面积. 7.（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________    【答案】 【分析】设扇形的圆心角为，小扇形半径为，根据弧长公式建立方程组求出半径和圆心角，再利用扇形面积公式作差求解． 【详解】设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为． 依题意得 ， 两式相减得，解得． 将代入，解得，则． 所以阴影部分的面积 ． 8.（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用扇形的面积、弧长公式求扇形周长； （2）扇形面积减去三角形面积为所求面积． 【详解】（1）设扇形AOB的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以扇形的周长为． （2）过O作，垂足为D， 由（1）知，，， 则，，． 所以的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 题型六： 扇形面积最值问题 📝方法技巧 1.解题思路：把面积表示为单变量函数，利用二次函数求最值； 2.常用条件：扇形周长固定，设半径为，先用周长条件把圆心角用表示； 3.把面积写成关于的二次函数，结合定义域求最大值； 4.注意定义域：圆心角，据此确定的取值范围。 1.（25-26高一下·河北张家口·期末）已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为，根据题意，得到，利用扇形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. 2.（25-26高一下·河南·阶段检测）已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 3.（25-26高一下·江西赣州·期中）周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，其面积， 由，当且仅当，即时取等号， 所以，即扇形面积的最大值为. 4．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】设扇形的半径为，弧长为，依题意有，利用扇形面积公式，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则． ， 当且仅当时取等号， 故最大值为25，此时，． 故扇形圆心角的弧度数． 所以扇形面积最大值为，此时圆心角弧度数为2. 故选：C 5.（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.根据此规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为弧度，则.类比三角形的面积公式可得扇形的面积公式.已知一个扇形的周长等于，当这个扇形的面积最大时，该扇形的圆心角等于________弧度． 【答案】 【分析】首先根据扇形周长的构成得到弧长与半径的关系式，把扇形面积公式中的用上述关系式替换，得到面积关于半径的函数，求该函数的最大值，得到面积最大时对应的的值，再反推对应的弧长，最后根据圆心角公式计算圆心角. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，可得，其中， 将代入得： ， 当时，面积取得最大值， 此时对应的弧长，弧度. 6.（26-27高三·全国·一轮复习）已知扇形的圆心角为，半径为.若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值. 【答案】4，α＝2. 【详解】由题意，可得，则， 得扇形周长 当且仅当，即时取等号， 即时，取得最小值，此时. 题型七： 终边落在阴影区域内的角的集合书写 📝方法技巧 1.先写出内边界对应的两个角； 2.写出区间角，再加上（弧度制加）； 3.区分开闭区间：包含边界用闭区间，不含边界用开区间； 4.若阴影跨越轴正半轴，把区间拆成两段再合并。 1.（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为： . 阴影部分终边在第四象限角的集合为： . 所以终边在阴影部分的角的集合为. 2.（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先确定阴影区域两条边界对应的角度： 右下边界：在 x 轴下方，和 x 轴正方向夹角 ，对应角度为 （或 ）； 左上边界：在 y 轴左侧，与 y 轴夹角 ，和 x 轴正方向夹角 . 终边相同的角需要加上周期 ，所以阴影部分（含边界）角 满足： 对照选项，答案选 C。 3.（25-26高一上·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分是奇数、偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内； 当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内． 故选：C． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出临界位置的终边，结合选项即可得结果. 【详解】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上， 当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上， 按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示． 故选：B． 5.（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【答案】 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是， 所以角的集合是． 6.（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得出在范围内，终边落在阴影内的角为或；结合周期性进行化简，即可得出答案. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . 7.（26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），（2）根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接求出角的集合． 【详解】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：或 ； （2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 角的集合为． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $