5.2三角函数的概念（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.2三角函数的概念 🔷知识点一 任意角的三角函数的概念 1. 单位圆的概念 在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，单位长度为半径的圆叫作单位圆。 2. 三角函数的概念 设为任意角，，角的终边与单位圆交于点。 (1) 点的纵坐标叫作角的正弦，记作，即； (2) 点的横坐标叫作角的余弦，记作，即； (3) 点的纵坐标与横坐标的比值叫作角的正切，记作，即。 3.三角函数的定义域 ①正弦函数，定义域为； ②余弦函数，定义域为； ③正切函数，定义域为。 4.三角函数的终边任意点定义 若角终边上任意一点，，则 ⚠️特别提醒 1. 三角函数值仅由角的终边位置决定，与终边上点的选取无关，无论选取终边上哪个点，计算出来的正弦、余弦、正切值恒定不变。 2.必须区分单位圆定义和普通点定义：只有在单位圆上 时，才能直接用 当作函数值；普通点必须用比值 计算，严禁直接代坐标。 3.三角函数最终结果是实数比值、无单位，做题、填空、大题书写均不能带角度、长度单位。 4.正切函数不是对所有角都成立，当角终边落在 轴上时，横坐标为0，比值无意义，此时正切不存在。 📌归纳总结 1.锐角三角函数是任意角三角函数在第一象限内的特殊情形，任意角三角函数是锐角三角函数的推广。 2.三角函数是以角为自变量，比值为函数值的函数，本质是实数到实数的对应。 💡拓展延伸 单位圆上点的坐标可以直接写成，实现角与坐标的直接对应。这一结论贯穿后续所有三角题型。可快速判断符号、估算大小、辅助画图，是数形结合最基础的工具，也是后续诱导公式、同角关系、图像变换的底层依据。 🔷 知识点二 三角函数值在各象限内的符号 1.依据终边上点的横、纵坐标的正负，判断三角函数符号： 点所在的象限 横、纵坐标的正负 三角函数符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ⚠️特别提醒 ① 象限符号口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦,只适用于象限角，轴线角不归属于任何象限，不能套用口诀。 ② 符号绝对不要死记硬背：正弦看纵坐标正负、余弦看横坐标正负、正切看横纵坐标是否同号，理解定义永远不会出错。 ③单一三角函数符号无法唯一确定象限：正弦正含一二象限、余弦正含一四象限、切正含一三象限，做题必须防漏解。 📌归纳总结 各象限符号规律是三角函数求值、化简、证明的必备步骤。几乎所有三角题第一步都是定象限、定符号，数值算对、符号错则整题归零，本知识点是考试最高频易错点、必须掌握熟练。 💡拓展延伸 只知道三角函数值的符号，无法唯一确定角所在象限，往往存在两个象限解。在已知某三角函数值求另外两个函数值的题型中，必须根据符号分类讨论象限，不能默认第一象限。通过多条件符号取交集，可唯一锁定角的范围，是高考小题、大题第一步常考逻辑。 🔷 知识点三 诱导公式一 1.终边相同角的三角函数关系 终边相同的角的同一三角函数值相等。 公式一： ，其中。 诱导公式一本质：终边相同，函数值完全相同，只化简角度，不改变正负、不改变大小。 ⚠️特别提醒 ① 公式中必须为整数，对应弧度制，不能混用角度制,书写必须统一单位； ② 终边相同的角相差的整数倍，三角函数值完全相等,但三角函数值相等不等于终边一定相同。 ③正切依然受定义域限制，使正切无意义的角，化简后依旧无意义。 📌归纳总结 利用公式一，可以把任意角的三角函数转化为范围内角的三角函数。 诱导公式一是三角函数周期性的直接体现，是任意角化简的第一工具。它的作用是化大为小、化繁为简、化陌生为特殊角，是所有三角求值、化简、计算的第一步。 💡拓展延伸 轴线角的三角函数值可以借助公式一，统一转化为的函数值进行记忆。 🔷 知识点四 三角函数线 设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为，其中OM，MP ，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则AT ．我们把有向线段OM、MP、AT叫做的 余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线          ⚠️特别提醒 1.三角函数线是有向线段，线段的方向决定函数值的正负，字母顺序不能颠倒（如正弦线是MP，不能写成PM）； 2.正切线固定是过处的切线，当角终边在第二、三象限时，要向终边的反向延长线找交点，才能画出正切线； 3.终边落在轴上（）时，正切线不存在；终边落在轴上时，正弦线、正切线收缩为一个点，对应函数值为0； 4.三角函数线的长度等于对应三角函数值的绝对值，方向决定正负。 📌归纳总结 三角函数线借助单位圆，把抽象的三角函数值转化成直观的有向线段，实现数（三角函数值）与形（线段）的互化，是数形结合思想在三角函数里的典型应用。 💡拓展延伸 1.可以利用三角函数线比较同名三角函数值的大小，也用来求解简单的三角不等式（如，）； 2.借助三角函数线，还能直观理解三角函数在一个周期内的增减变化、最值情况； 3.三角函数线也是后面画正弦、余弦函数图像（几何描点法）的重要依据。 🔷 知识点五 同角三角函数的基本关系 1. 平方关系 公式： 2. 商数关系 公式：，定义域： 3.三角函数值的符号判定 开方产生正负号时，必须依据角所在象限判定符号，没有给出象限必须分多类讨论，不能直接舍去负根。 ⚠️特别提醒 1. 平方关系的公式对任意角恒成立，无定义域限制；公式中角必须保证是同一个角，如 不成立；角可以整体替换，如依然成立。 2.商数关系不能随便使用，余弦为0时式子无意义；只适用于同角，不能跨角混用；变形，用于弦切互化。 📌归纳总结 平方关系的常见变形： ① ； ② ； ③ （“1的代换”，可用于恒等变形） 💡拓展延伸 1.平方关系可以衍生出完全平方组合： 三者知其一，可求出另外两个，是高频考点。 2.同角三角函数值，只要知道任意一个的值，结合象限符号，就能求出另外两个值。 易错点 1 混淆终边上任意点定义与单位圆定义，错误代入坐标 错例：已知角终边过点，直接写出，。 错因：直接套用单位圆定义，忽略点不在单位圆上，没有先计算。 规避方法：先计算距离，再使用公式；只有点在单位圆上时，才能直接写。 易错点 2 忽略正切函数的定义域，不考虑终边落在轴的情况 错例：对任意角，恒有。 错因：没有考虑，也就是时，正切无意义。 规避方法：使用正切公式时，必须标注前提条件：。 易错点 3 判断象限时，只依靠单一三角函数符号，漏掉双解情况 错例：已知，直接判定为第一象限角。 错因:正弦值为正，角既可以在第一象限，也可以在第二象限，存在两种可能性。 规避方法：只给出一个三角函数符号时，先写出全部可能象限；只有同时给出两个三角函数符号，才能唯一确定象限。 易错点 4 使用诱导公式一时，角度制与弧度制混用 错例：。 错因：是角度制，是弧度制，同一个代数式中不能混用两种单位。 规避方法：统一单位：要么全部化为角度，要么全部化为弧度，。 易错点 5 将有向线段当成普通线段，忽略三角函数线的正负 错例：第二象限角的正弦线长度为正，就直接判定正弦值一定为正。 错因：只看线段长度，没有区分有向线段的方向；若线段与坐标轴正方向同向则为正，反向则为负。 规避方法：三角函数线的正负由线段方向决定，长度只代表绝对值。 易错点 6忽略角的范围，开方随意取舍符号 错例：已知，直接算出，只取正值。 错因：，可以是第二象限角，也可以是第三象限角，有正负两种结果，没有分类讨论。 规避方法：已知三角函数值为负值时，先判断角存在几个象限；分象限分别判定的正负；没有象限条件，必须写出两组解，不能只保留一解。 易错点 7商数关系随意套用，忽略定义域 错例：化简，直接默认对任意角成立。 错因：当时，，正切无意义，等式不成立。 规避方法：化简、求值前先观察角是否使余弦为0，保证式子有意义再变形。 易错点 8混淆“同角”，把不同角代入平方公式 错例：写成，直接套用平方关系。 错因：平方关系只针对同一个角，两角不同时等式不成立。 规避方法：使用公式前核对两角必须完全一致，可整体换元保证角统一。 易错点 9 展开漏写两倍乘积项 错例：，漏掉。 错因：完全平方公式记忆不全，忽略交叉项。 规避方法：牢记，平方后一定出现乘积项。 题型一：利用三角函数的定义求三角函数值 📝方法技巧 1.已知终边上一点：第一步计算；第二步代入比值公式 2.已知终边所在直线：设终边上任意一点的坐标，分象限讨论正负； 3.已知单位圆交点坐标：直接使用，简化计算。 1.（26-27高三上·北京·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角函数定义可得. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为点为角终边上一点，所以 由任意角的三角函数定义得：=2 3.（25-26高一下·贵州·期中）若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 4.（26-27高二·山东·学业考试模拟）如图，角的终边与单位圆交于点，的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点的横坐标为，点的纵坐标为，由三角函数的定义可知． 5.（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义可求出，利用弦化切可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为角的终边过点，则， 所以 ，解得. 6.（多选）（26-27高一上·江苏镇江·期末）已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的定义分别对每个选项进行判断即可. 【详解】由三角函数的定义可得， 对于A，当时，，此时，，故A正确， 对于B，当时，，在第四象限； 当时，，在第二象限，故B错误， 对于C，根据三角函数的定义可知，故C正确， 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知角的终边上有一点，则___. 【答案】－ 【详解】，，所以. 8.（26-27第五章 三角函数 第2节 三角函数的概念）由三角函数的定义知，_______，_______． 【答案】 / / 【分析】在角的终边上选择一个点，根据正余弦三角函数的定义可求三角函数值. 【详解】   为第三象限角，在的终边上选择点， 故． 故答案为：. 题型二：根据三角函数值的符号判定角所在象限 📝方法技巧 1.单个三角函数符号：依据口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，写出所有符合条件的象限； 2.两个三角函数符号联立：取两个条件对应的象限交集，唯一确定象限； 3.轴线角判定：三角函数值等于0或者不存在时，角终边落在坐标轴上。 1.（2026-2027•建湖县期末）已知，且，则的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】分别由，求得的终边的位置，取交集得答案． 【详解】解：，的终边在第三、第四象限或在轴负半轴上， ，的终边在第一或第三象限， 取交集可得，的终边所在的象限是第三象限角． 故选：． 2.（2026春•富平县校级期末）已知，，那么的终边所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据所给的一个角的正弦值和余弦值，直接说明角的范围，得到选项． 【详解】解：，， ，， 是第二象限的角， 故选：． 3.（2025-2026•丹东期末）若且，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】 【分析】利用象限角的各三角函数的符号，将且，得出所在的象限，进而得出结果． 【详解】解；且， 位于第二象限． ，， 则 当为奇数时它是第三象限，当为偶数时它是第一象限的角 角的终边在第一象限或第三象限， 故选：． 4.（2026-2027•南山区校级单元）是第二象限角，且，则角所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】由是第二象限角，知在第二象限或在第四象限，再由，知，由此能判断出角所在象限． 【详解】解：是第二象限角， ，， ， 在第一象限或在第三象限， ， ， 角在第三象限． 故选：． 5.（26-27高三上·重庆·阶段检测）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】由题意可知，角的终边不在坐标轴上． 若角为第二象限角，则； 若，角为第二或第四象限角． 因此，“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件． 6.（2026春•成都校级期中）如果，，那么角所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】由，可得，，即可判断角所在象限． 【详解】解：由已知可得：，， 故角的终边所在的象限是第二象限． 故选：． 7.(多选）(26-27高三上·广东江门·阶段检测）（多选）对于①，②，③，④，⑤，⑥，角为第三象限角的充要条件是关系式序号（     ） A．②④ B．②⑤ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】AB 【详解】选项A：，是第三象限角或第四象限角，，是第二象限角或第三象限角，取交集，是第三象限角；反过来为第三象限角可推出，，充要条件成立，A符合题意. 选项B：，是第三象限角或第四象限角，，是第一象限角或第三象限角，取交集，是第三象限角；反过来，为第三象限角可推出，，充要性成立，B符合题意. 选项C：，可推出是第一象限角，而非第三象限角，C不符合题意. 选项D：，可推出是第二象限角，而非第三象限角，D不符合题意. 综上，AB符合题意. 8.（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）若，，则是第________象限角． 【答案】二或四 【分析】根据同角三角函数的基本关系及由三角函数值确定角所在象限求解. 【详解】因为，， 所以， 所以是第三象限角，且， 所以， 所以当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故答案为：二或四 题型三：利用三角函数线解决问题 📝方法技巧 1.比较三角函数值大小：画出对应角的三角函数线，对比有向线段的长短与方向； 2.求解简单三角不等式：在单位圆中画出满足条件的终边范围，写出角的集合； 3.思想方法：把代数问题转化为单位圆内的几何图形问题，数形结合求解。 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 故选：D. 2.（2026·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可证，，得结论. 【详解】先证明：当时，.    如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M， A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T， 则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线， 设弧长， 由图形可知：，即， 所以，即. 则，所以． 而，所以， 所以. 故选：D． 3．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）已知角的正弦线的方向与轴正方向相同，余弦线的方向与轴正方向相反，且它们的长度相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数线的定义和同角基本关系式可解. 【详解】由题意，可知， 所以，即A正确，B错误； 而，C错误； 由同角基本关系式，， 而由题意，，所以D错误. 故选：A 4.（26-27高一·全国·课后作业）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（    ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 【答案】D 【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角的正弦线､余弦线､正切线. 【详解】由题图知：圆O为单位圆，则， 且， 故角的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT. 故选：D 5.（26-27高一上·全国·课后作业）若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是__. 【答案】 【分析】根据单位圆及三角函数线直接求解即可. 【详解】如图所示单位圆，由于，，若终边为（不可取）， 所以满足，且，， 所以的取值范围是.    故答案为： 6.（25-26高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线比较：和，和，和的大小． 【答案】，，． 【分析】作出和的三角函数线，根据图形可得. 【详解】如图，和的正弦线分别为， 余弦线分别为，正切线分别为， 所以，，．    题型四： 已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值 📝方法技巧 1.第一步：根据已知函数值的正负，确定角所在的象限； 2.第二步：分象限求出三者之间的关系； 3.第三步：分情况代入定义式，求出剩余两个三角函数值； 4.关键提醒：若角所在象限不唯一，必须分两种情况写出两组结果，不能遗漏解。 1.（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 为第四象限角确定 的符号。 【详解】因为且所以 又因为 为第四象限角，所以 ，从而 2.（25-26高一下·北京西城·期中）已知角的终边在第三象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 角的终边在第三象限，        ∴ . ∵ ，， ∴ . ∴ . 3.（26-27高一上·河南·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数值的符号判断角的象限，再由同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】因为，，所以角的终边在第二象限， 所以． 故选：B 4.（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且为第二象限角， 所以， 所以. 5.（多选）（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，且，其中，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用已知平方可得，进而求解出范围，求出范围可得. 【详解】因为，，两边平方整理得， 因为，所以，， 所以且， 所以，则可知，故. 所以的值不可能是，和. 6.（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【答案】 或 / 【分析】根据同角三角函数基本关系即可求解；根据第四象限角的三角函数符号确定的正负，进而求出其值. 【详解】① 由，得 ， 化简得 ， 解得. 又（，若则，不满足已知等式）， 即 ，整理得，解得. ② 因为是第四象限角，故，，因此. 由， 所以. 7．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知角为第一象限角，且，则__________. 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式求解即可. 【详解】因为角为第一象限角，且， 所以. 8.（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）（1）已知，且是第三象限角，求，的值. （2）已知，求，的值. 【答案】（1） （2）如果是第二象限角，那么，； 如果是第三象限角，同理可得，. 【分析】（1）根据同角的三角关系式和是第三象限角计算即可. （2）先根据的余弦值确定是第二或第三象限的角，然后根据同角的三角关系式计算即可. 【详解】（1）由，得①，又②， 由①②得，即，又是第三象限角， ，. （2），是第二或第三象限的角， 如果是第二象限角，那么，. 如果是第三象限角，同理可得，. 题型五： 弦切互化——齐次式求值 📝方法技巧 1.齐次式特征：分子、分母全部是的一次或二次齐次式； 2.将分子分母同时除以（一次齐次）或（二次齐次），全部化为，代入数值直接计算； 3.非分式齐次式：补分母“1”，利用构造分式，再弦化切。 1.（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】由单位圆及点的坐标求出的值，将所求式化弦为切代入计算. 【详解】点在单位圆上且，则. 由三角函数定义得. 将原式分子分母同除以， 得. 2.（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】由，得，即， 所以. 故. 3.（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知 ，则 （    ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 整理得， 所以． 4.（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系转化进行计算即可. 【详解】因为， 故原式可化为. 5.（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知式可知 ，分子、分母同除以 ，将条件化为关于 的方程求解． 【详解】由 可知 ． 分子、分母同除以 ，得 ． 所以 ，从而 ． 6.（多选）（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数的关系，结合正、余弦值的符号逐项计算判断. 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 7.（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知且，则_______． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意知：，且， 平方得， 可得，可得 所以，则， 又由， 所以. 8.（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】 （1）原式． （2）原式． （3）原式． 题型六：三者互求 📝方法技巧 1.三者关系： 2.解题步骤： ① 已知，平方求出； ② 已知乘积，求出平方值，再开方得到和差； ③ 开方时结合角的象限判断正负，避免多解出错。 1.（26-27高三上·青海西宁·阶段检测）已知，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由两边平方得，所以. 又， 而时，，，所以. 与联立解得，，故. 2.（25-26高二下·广西梧州·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数平方关系，结合完全平方公式以及角的范围分析求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 由， 因为，所以，又，所以， 所以，所以. 3.（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的平方关系对所求式平方，结合已知条件计算平方结果，再根据的范围判断所求式的符号，开方后得到最终值. 【详解】， 已知，因此，结合，可得， 故，开方得. 4.（多选）（26-27高一上·福建福州·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将等式两边取平方，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围求出，再与原式联立求出的值，进而求出即可逐一判断. 【详解】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，， 所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. 5.（26-27高三上·天津东丽·阶段检测），，则________. 【答案】 【详解】已知，将等式两边同时平方，可得：. 由同角三角函数的基本关系，代入上式得： ，解得. 因为，所以，结合，可得，因此. 对平方，得：， 将代入，得：. 结合，开方得：. 6.（25-26高一下·上海·期中）已知，且为第二象限角，则______. 【答案】 【分析】首先判断的符号，根据与之间的关系，整体法求得的值，进而得解. 【详解】因为为第二象限角，所以，所以. 对两边同时平方得 ，即， 所以，所以. 所以， 所以（负值舍去）. 7.（26-27高一上·江苏连云港·期末）已知，其中. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平方结合同角三角函数关系计算，再应用角的范围得出三角函数值正负求解； （2）应用（1）列式计算得出正切值. 【详解】（1）因为，平方得， 所以， 又因为，，所以， 又因为， 所以 （2）由 得， 所以. 题型七：三角函数式的化简 📝方法技巧 1. 方法： 1.解题优先将式子中的正切函数进行切化弦处理，把全部换成，统一为正弦、余弦函数，减少式子中的函数种类； 2.运算中运用因式分解、通分、约分、开方、1的代换（）等常用变形手段；遇到根号形式，先把根号内化为完全平方式，开根号时结合角的象限判断正负。 3.化简时式子尽量简洁，做到整体项数最少，次数最低，函数种类最少，去掉根号与分式；结果一般不含分母，不含根号，尽量不含正切等其他函数。 1.（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知是第三象限角，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助同角三角函数基本关系及所在象限计算即可得. 【详解】， 由是第三象限角，则，故. 2.（2026-2027·云南玉溪·模拟预测）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系，结合角的范围，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 又为第四象限角，则，所以. 3.（多选）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知得的值，由此即可判断AB；求出的值即可判断C；再结合已知求出和的值，求出的值，由此即可判断D 【详解】由已知可得，则， 因为，， 所以，，故AB正确； 所以 则①，故C正确； 又②，联立①②解得，则，故D错误. 故选：ABC. 4.（26-27高一上·上海·阶段检测）已知是第三象限的角，则___________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系建立方程组，进而求解即可. 【详解】因为是第三象限的角，所以， 因为，所以， 联立方程组，解得（正根舍去）， 故答案为： 5.（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，的零点为，则________． 【答案】 【详解】因为为函数的零点， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以. 6.（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）如图点在第二象限，又因为点在单位圆上，且点的横坐标为， 所以，则，； （2）原式 =. 题型八：三角恒等式证明 📝方法技巧 三种思路： 1.从左往右：把左边切化弦，利用平方关系变形，逐步推到右边； 2.从右往左：反向变形，把右边化为正弦余弦，向左边靠拢； 3.左右归一：分别化简左右两边，得到同一个代数式； 4.优先使用“1的代换”，构造平方差、完全平方进行因式分解约分。 1.（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明： 故成立. (2)证明： 因为， 所以. 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明； （2）利用切化弦结合同角三角函数的平方关系即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 2．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 【答案】 （1） （2）证明：要证， 只需证：， 只需证：， 只需证：，即证：， 显然上式成立，故成立，得证． （3）证明：由， 得：， 所以， ， ， ，即，则， 得，再由平方关系得，， 代入，得，即：，得证． 【详解】（1）因为，，， 所以． （2）略 （3）略 3．（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ； (2)因为 ， 所以； (3). 【分析】（1）提公因式，由化简即可证明； （2）弦切互化结合可得，化简即可证明； （3）分子分母同乘结合化简即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．（26-27高一上·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 左边 右边．故原式成立． (2) 因为左边 右边，左边＝右边，所以原式成立． 【分析】（1）从左向右证明，利用代换后进行弦化切证明即可； （2）将两边切化弦，计算得到左边，右边，即可求证. 【详解】（1）略 （2）略 5．（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：因为 ， 所以. (2)证明：因为左边 右边， 所以原等式成立. 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）略. （2）略. 6．（2026高一·全国·专题练习）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1) 左边 右边. 则恒等式成立. (2) 右边 左边. 则恒等式成立. 【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证； （2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证. 【详解】（1）略 （2）略 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明：右边 左边， 故原等式成立； （2）证明：设，，则，， 由，得，即． 所以，故． 【分析】（1）在右边分式的分子和分母同时乘以，结合同角三角函数的基本关系化简可证得所求不等式成立； （2）设，，则，，由已知等式化简得出，然后代入所证不等式证明即可. 【详解】（1）略； （2）略. 题型九：结合一元二次方程求值 📝方法技巧 1. 若是一元二次方程两根，先用韦达定理写出： ； 2.再利用平方关系建立方程求解参数； 3.检验根的取值范围：，舍去超出范围的解。 4.同时验证一元二次方程的判别式大于等于0，保证方程存在实数根，杜绝无效解、增根。 1.（26-27高一上·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程，结合的范围可得，应用同角三角函数的基本关系对目标式进行化简求值即可. 【详解】由可得：，解得：. 已知，该区间内，故. 所以. 2．（2026·安徽滁州·二模）若，是方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程的根为或， 因为，所以，即， . 3．（26-27高二·全国·课后作业）已知是锐角，且 是方程的根，则 = A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程4x2＋x－3＝0的根为x＝或x＝－1， 又因为tan α是方程4x2＋x－3＝0的根且α为锐角， 所以tan α＝，所以sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1， 所以sin2α＋sin2α＝1， 所以sin2α＝ (α为锐角)， 所以sin α＝. 答案：B 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数 5.2三角函数的概念 🔷知识点一 任意角的三角函数的概念 1. 单位圆的概念 在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，单位长度为半径的圆叫作单位圆。 2. 三角函数的概念 设为任意角，，角的终边与单位圆交于点。 (1) 点的纵坐标叫作角的正弦，记作，即； (2) 点的横坐标叫作角的余弦，记作，即； (3) 点的纵坐标与横坐标的比值叫作角的正切，记作，即。 3.三角函数的定义域 ①正弦函数，定义域为； ②余弦函数，定义域为； ③正切函数，定义域为。 4.三角函数的终边任意点定义 若角终边上任意一点，，则 ⚠️特别提醒 1. 三角函数值仅由角的终边位置决定，与终边上点的选取无关，无论选取终边上哪个点，计算出来的正弦、余弦、正切值恒定不变。 2.必须区分单位圆定义和普通点定义：只有在单位圆上 时，才能直接用 当作函数值；普通点必须用比值 计算，严禁直接代坐标。 3.三角函数最终结果是实数比值、无单位，做题、填空、大题书写均不能带角度、长度单位。 4.正切函数不是对所有角都成立，当角终边落在 轴上时，横坐标为0，比值无意义，此时正切不存在。 📌归纳总结 1.锐角三角函数是任意角三角函数在第一象限内的特殊情形，任意角三角函数是锐角三角函数的推广。 2.三角函数是以角为自变量，比值为函数值的函数，本质是实数到实数的对应。 💡拓展延伸 单位圆上点的坐标可以直接写成，实现角与坐标的直接对应。这一结论贯穿后续所有三角题型。可快速判断符号、估算大小、辅助画图，是数形结合最基础的工具，也是后续诱导公式、同角关系、图像变换的底层依据。 🔷 知识点二 三角函数值在各象限内的符号 1.依据终边上点的横、纵坐标的正负，判断三角函数符号： 点所在的象限 横、纵坐标的正负 三角函数符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ⚠️特别提醒 ① 象限符号口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦,只适用于象限角，轴线角不归属于任何象限，不能套用口诀。 ② 符号绝对不要死记硬背：正弦看纵坐标正负、余弦看横坐标正负、正切看横纵坐标是否同号，理解定义永远不会出错。 ③单一三角函数符号无法唯一确定象限：正弦正含一二象限、余弦正含一四象限、切正含一三象限，做题必须防漏解。 📌归纳总结 各象限符号规律是三角函数求值、化简、证明的必备步骤。几乎所有三角题第一步都是定象限、定符号，数值算对、符号错则整题归零，本知识点是考试最高频易错点、必须掌握熟练。 💡拓展延伸 只知道三角函数值的符号，无法唯一确定角所在象限，往往存在两个象限解。在已知某三角函数值求另外两个函数值的题型中，必须根据符号分类讨论象限，不能默认第一象限。通过多条件符号取交集，可唯一锁定角的范围，是高考小题、大题第一步常考逻辑。 🔷 知识点三 诱导公式一 1.终边相同角的三角函数关系 终边相同的角的同一三角函数值相等。 公式一： ，其中。 诱导公式一本质：终边相同，函数值完全相同，只化简角度，不改变正负、不改变大小。 ⚠️特别提醒 ① 公式中必须为整数，对应弧度制，不能混用角度制,书写必须统一单位； ② 终边相同的角相差的整数倍，三角函数值完全相等,但三角函数值相等不等于终边一定相同。 ③正切依然受定义域限制，使正切无意义的角，化简后依旧无意义。 📌归纳总结 利用公式一，可以把任意角的三角函数转化为范围内角的三角函数。 诱导公式一是三角函数周期性的直接体现，是任意角化简的第一工具。它的作用是化大为小、化繁为简、化陌生为特殊角，是所有三角求值、化简、计算的第一步。 💡拓展延伸 轴线角的三角函数值可以借助公式一，统一转化为的函数值进行记忆。 🔷 知识点四 三角函数线 设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为，其中OM，MP ，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则AT ．我们把有向线段OM、MP、AT叫做的 余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线          ⚠️特别提醒 1.三角函数线是有向线段，线段的方向决定函数值的正负，字母顺序不能颠倒（如正弦线是MP，不能写成PM）； 2.正切线固定是过处的切线，当角终边在第二、三象限时，要向终边的反向延长线找交点，才能画出正切线； 3.终边落在轴上（）时，正切线不存在；终边落在轴上时，正弦线、正切线收缩为一个点，对应函数值为0； 4.三角函数线的长度等于对应三角函数值的绝对值，方向决定正负。 📌归纳总结 三角函数线借助单位圆，把抽象的三角函数值转化成直观的有向线段，实现数（三角函数值）与形（线段）的互化，是数形结合思想在三角函数里的典型应用。 💡拓展延伸 1.可以利用三角函数线比较同名三角函数值的大小，也用来求解简单的三角不等式（如，）； 2.借助三角函数线，还能直观理解三角函数在一个周期内的增减变化、最值情况； 3.三角函数线也是后面画正弦、余弦函数图像（几何描点法）的重要依据。 🔷 知识点五 同角三角函数的基本关系 1. 平方关系 公式： 2. 商数关系 公式：，定义域： 3.三角函数值的符号判定 开方产生正负号时，必须依据角所在象限判定符号，没有给出象限必须分多类讨论，不能直接舍去负根。 ⚠️特别提醒 1. 平方关系的公式对任意角恒成立，无定义域限制；公式中角必须保证是同一个角，如 不成立；角可以整体替换，如依然成立。 2.商数关系不能随便使用，余弦为0时式子无意义；只适用于同角，不能跨角混用；变形，用于弦切互化。 📌归纳总结 平方关系的常见变形： ① ； ② ； ③ （“1的代换”，可用于恒等变形） 💡拓展延伸 1.平方关系可以衍生出完全平方组合： 三者知其一，可求出另外两个，是高频考点。 2.同角三角函数值，只要知道任意一个的值，结合象限符号，就能求出另外两个值。 易错点 1 混淆终边上任意点定义与单位圆定义，错误代入坐标 错例：已知角终边过点，直接写出，。 错因：直接套用单位圆定义，忽略点不在单位圆上，没有先计算。 规避方法：先计算距离，再使用公式；只有点在单位圆上时，才能直接写。 易错点 2 忽略正切函数的定义域，不考虑终边落在轴的情况 错例：对任意角，恒有。 错因：没有考虑，也就是时，正切无意义。 规避方法：使用正切公式时，必须标注前提条件：。 易错点 3 判断象限时，只依靠单一三角函数符号，漏掉双解情况 错例：已知，直接判定为第一象限角。 错因:正弦值为正，角既可以在第一象限，也可以在第二象限，存在两种可能性。 规避方法：只给出一个三角函数符号时，先写出全部可能象限；只有同时给出两个三角函数符号，才能唯一确定象限。 易错点 4 使用诱导公式一时，角度制与弧度制混用 错例：。 错因：是角度制，是弧度制，同一个代数式中不能混用两种单位。 规避方法：统一单位：要么全部化为角度，要么全部化为弧度，。 易错点 5 将有向线段当成普通线段，忽略三角函数线的正负 错例：第二象限角的正弦线长度为正，就直接判定正弦值一定为正。 错因：只看线段长度，没有区分有向线段的方向；若线段与坐标轴正方向同向则为正，反向则为负。 规避方法：三角函数线的正负由线段方向决定，长度只代表绝对值。 易错点 6忽略角的范围，开方随意取舍符号 错例：已知，直接算出，只取正值。 错因：，可以是第二象限角，也可以是第三象限角，有正负两种结果，没有分类讨论。 规避方法：已知三角函数值为负值时，先判断角存在几个象限；分象限分别判定的正负；没有象限条件，必须写出两组解，不能只保留一解。 易错点 7商数关系随意套用，忽略定义域 错例：化简，直接默认对任意角成立。 错因：当时，，正切无意义，等式不成立。 规避方法：化简、求值前先观察角是否使余弦为0，保证式子有意义再变形。 易错点 8混淆“同角”，把不同角代入平方公式 错例：写成，直接套用平方关系。 错因：平方关系只针对同一个角，两角不同时等式不成立。 规避方法：使用公式前核对两角必须完全一致，可整体换元保证角统一。 易错点 9 展开漏写两倍乘积项 错例：，漏掉。 错因：完全平方公式记忆不全，忽略交叉项。 规避方法：牢记，平方后一定出现乘积项。 题型一：利用三角函数的定义求三角函数值 📝方法技巧 1.已知终边上一点：第一步计算；第二步代入比值公式 2.已知终边所在直线：设终边上任意一点的坐标，分象限讨论正负； 3.已知单位圆交点坐标：直接使用，简化计算。 1.（26-27高三上·北京·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 3.（25-26高一下·贵州·期中）若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 4.（26-27高二·山东·学业考试模拟）如图，角的终边与单位圆交于点，的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 5.（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 6.（多选）（26-27高一上·江苏镇江·期末）已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知角的终边上有一点，则___. 8.（26-27第五章 三角函数 第2节 三角函数的概念）由三角函数的定义知，_______，_______． 题型二：根据三角函数值的符号判定角所在象限 📝方法技巧 1.单个三角函数符号：依据口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，写出所有符合条件的象限； 2.两个三角函数符号联立：取两个条件对应的象限交集，唯一确定象限； 3.轴线角判定：三角函数值等于0或者不存在时，角终边落在坐标轴上。 1.（2026-2027•建湖县期末）已知，且，则的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（2026春•富平县校级期末）已知，，那么的终边所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限． 3.（2025-2026•丹东期末）若且，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 4.（2026-2027•南山区校级单元）是第二象限角，且，则角所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.（26-27高三上·重庆·阶段检测）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 6.（2026春•成都校级期中）如果，，那么角所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.(多选）(26-27高三上·广东江门·阶段检测）（多选）对于①，②，③，④，⑤，⑥，角为第三象限角的充要条件是关系式序号（     ） A．②④ B．②⑤ C．③⑤ D．④⑥ 8.（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）若，，则是第________象限角． 题型三：利用三角函数线解决问题 📝方法技巧 1.比较三角函数值大小：画出对应角的三角函数线，对比有向线段的长短与方向； 2.求解简单三角不等式：在单位圆中画出满足条件的终边范围，写出角的集合； 3.思想方法：把代数问题转化为单位圆内的几何图形问题，数形结合求解。 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）已知角的正弦线的方向与轴正方向相同，余弦线的方向与轴正方向相反，且它们的长度相等，则（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高一·全国·课后作业）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（    ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 5.（26-27高一上·全国·课后作业）若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是__. 6.（25-26高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线比较：和，和，和的大小． 题型四： 已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值 📝方法技巧 1.第一步：根据已知函数值的正负，确定角所在的象限； 2.第二步：分象限求出三者之间的关系； 3.第三步：分情况代入定义式，求出剩余两个三角函数值； 4.关键提醒：若角所在象限不唯一，必须分两种情况写出两组结果，不能遗漏解。 1.（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·北京西城·期中）已知角的终边在第三象限，且，则（   ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·河南·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 5.（多选）（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，且，其中，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 7．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知角为第一象限角，且，则__________. 8.（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）（1）已知，且是第三象限角，求，的值. （2）已知，求，的值. 题型五： 弦切互化——齐次式求值 📝方法技巧 1.齐次式特征：分子、分母全部是的一次或二次齐次式； 2.将分子分母同时除以（一次齐次）或（二次齐次），全部化为，代入数值直接计算； 3.非分式齐次式：补分母“1”，利用构造分式，再弦化切。 1.（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 2.（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知 ，则 （    ）． A．3 B． C． D． 4.（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 5.（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 6.（多选）（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7.（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知且，则_______． 8.（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2)； (3)． 题型六：三者互求 📝方法技巧 1.三者关系： 2.解题步骤： ① 已知，平方求出； ② 已知乘积，求出平方值，再开方得到和差； ③ 开方时结合角的象限判断正负，避免多解出错。 1.（26-27高三上·青海西宁·阶段检测）已知，且 ，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·广西梧州·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（26-27高一上·福建福州·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（26-27高三上·天津东丽·阶段检测），，则________. 6.（25-26高一下·上海·期中）已知，且为第二象限角，则______. 7.（26-27高一上·江苏连云港·期末）已知，其中. (1)求的值； (2)求的值. 题型七：三角函数式的化简 📝方法技巧 1. 方法： 1.解题优先将式子中的正切函数进行切化弦处理，把全部换成，统一为正弦、余弦函数，减少式子中的函数种类； 2.运算中运用因式分解、通分、约分、开方、1的代换（）等常用变形手段；遇到根号形式，先把根号内化为完全平方式，开根号时结合角的象限判断正负。 3.化简时式子尽量简洁，做到整体项数最少，次数最低，函数种类最少，去掉根号与分式；结果一般不含分母，不含根号，尽量不含正切等其他函数。 1.（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知是第三象限角，化简（    ） A． B． C． D． 2.（2026-2027·云南玉溪·模拟预测）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 3.（多选）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 4.（26-27高一上·上海·阶段检测）已知是第三象限的角，则___________． 5.（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，的零点为，则________． 6.（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 题型八：三角恒等式证明 📝方法技巧 三种思路： 1.从左往右：把左边切化弦，利用平方关系变形，逐步推到右边； 2.从右往左：反向变形，把右边化为正弦余弦，向左边靠拢； 3.左右归一：分别化简左右两边，得到同一个代数式； 4.优先使用“1的代换”，构造平方差、完全平方进行因式分解约分。 1.（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2). 2．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 3．（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 4．（26-27高一上·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． 5．（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 6．（2026高一·全国·专题练习）证明下列恒等式： (1)； (2)． 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）已知，求证：． 题型九：结合一元二次方程求值 📝方法技巧 1. 若是一元二次方程两根，先用韦达定理写出： ； 2.再利用平方关系建立方程求解参数； 3.检验根的取值范围：，舍去超出范围的解。 4.同时验证一元二次方程的判别式大于等于0，保证方程存在实数根，杜绝无效解、增根。 1.（26-27高一上·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 2．（2026·安徽滁州·二模）若，是方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高二·全国·课后作业）已知是锐角，且 是方程的根，则 = A． B． C． D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $