15.3.1　等腰三角形（第2课时等腰三角形的判定） 课时同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 15.3.1等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 1、 选择题 1．（25-26八年级下·福建宁德·期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即可． 【详解】解：该三角形第三个内角的度数为， 最大的内角为， ∴这个三角形为锐角三角形， ∵这个三角形有两个内角相等， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 5．（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，，则图中的等腰三角形是（     ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】根据等腰三角形定义，由两边相等判断即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， ，， ， 不是等腰三角形 ∵与不一定相等， 不一定是等腰三角形， 只有是等腰三角形． 6．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，，则的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．无法确定 【答案】A 【分析】由平行线得到，然后结合角平分线得到，推出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 由作图得，平分 ∴ ∴ ∴ ∴的周长为． 7．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴. 8．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 【答案】C 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，平分．尺规作图如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；延长，交于点、边于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 由作法得，， ∵， ， ∴， ∴， ∴C选项是正确的，符合题意； 根据题意无法得到与，与，与的关系， ∴A，B，D不符合题意， 故选C． 10．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点G，交于点H．下面说法正确的是（     ） ①的面积的面积； ②； ③； ④． A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③ 【答案】C 【分析】根据三角形中线性质判断①，利用同角的余角相等及角平分线定义判断②，通过计算角度证明等腰三角形判断③，根据已知条件无法推导④． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 无法推出，即无法推出，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 2、 填空题 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，若，，平分，则图中共有______个等腰三角形． 【答案】/三 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，根据题意分别求得，进而根据等角对等边判断等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴，即是等腰三角形， 又∵ ∴，即是等腰三角形． 综上所述，共有个等腰三角形， 故答案为：． 12．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，点分别在边上，且，则图中等腰三角形有_________个． 【答案】 【分析】根据题干给出的多组相等线段，结合图形结构，利用等腰三角形的定义进行计数即可． 【详解】解：， 是等腰三角形； ， 是等腰三角形； ， 是等腰三角形； ， 是等腰三角形； ， 是等腰三角形； 综上所述，图中共有 个等腰三角形． 13．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在中，平分，，交于点E．若，，则的长为______． 【答案】4 【分析】根据平行线的性质、三角形的角平分线和等腰三角形的判定，求出，即可求出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 14．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，D为内一点，，平分，且．如果，，则的长是_______． 【答案】 10 【分析】延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 15．（2026八年级上·江苏南京·专题练习）如图，在中，点在上，平分，．若，则______． 【答案】24 【分析】在线段上截取，利用已知条件通过等量代换推出，结合角平分线的定义通过边角边证明，从而推出，，然后利用线段转化证明为等腰三角形，结合外角的定义从而求出的度数，最后利用三角形内角和求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图，在线段上截取，如图所示， ，，， ． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，梯形中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，点恰好是的中点，若，则的长是_________． 【答案】 【分析】延长与的延长线交于点，构造三角形全等，得到对应边相等，再利用等角对等边求解即可． 【详解】解：根据题意可知为平分线， ∴， 延长与的延长线交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 3、 解答题 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】利用证明，得出，根据等角对等边得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】略 18．（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线得到，，结合角平分线得到，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分外角． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵平分内角，平分外角． ∴，， 由三角形的外角可得，， ∴， ∵， ∴． 19．在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，的周长为20，求的周长． 【答案】(1) 证明：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形； (2)32 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可直接得出，即证明是等腰三角形； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，再根据的周长为20，结合（1）即可求出，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵的垂直平分线交于点D， ∴． ∵的周长为20，， ∴， ∴的周长． 20．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质有关知识． （1）通过全等三角形的判定定理证得 ，由“全等三角形的对应边相等”推知，所以是等腰三角形； （2）由等腰的性质求得，结合 的对应角相等 ，易求． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ． ． 是等腰三角形； （2）解：， ， ． ， ． ． ． 21．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ； 由（1）得，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）由，则，根据，然后通过等腰三角形的“三线合一”性质即可求解； （2）根据，得，然后由（1）得，，所以，最后通过等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 22．已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论． （2）根据等腰三角形的定义，判断即可． 【详解】（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△EBC和△DCB中， ， ∴△EBC≌△DCB（SAS）， ∴BE＝CD． （2）图中共有5个等腰三角形． ∵∠BAC＝108°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝36°， ∵∠D＝∠E＝36°， ∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE， ∴∠DAB＝∠EAC＝72°， ∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找． 23．如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)证明：； (2)请写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：如图所示， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴． (2) 解：，理由如下： 由（1）得，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）如图，由，利用角的和差关系可得，再根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用可证明，利用全等三角形的性质即可得出，可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 24．（26-27八年级上·全国·课后作业）解答下列各题 (1)如图1，中，，的平分线交于点，过点作交，于点，，试猜想，，之间有怎样的关系，并说明理由； (2)如图2，若将图1中的平分线改为外角的平分线，其他条件不变，请直接写出，，之间的关系． 【答案】(1)解：，理由如下： 平分，平分， ，． ， ，， ，， ，， ； (2)解：结论：，理由如下： 平分，平分， ，． ， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）利用角平分线和平行线得到等角，证出等腰三角形，得到、，再将拆分为完成线段代换． （2）利用角平分线和平行线构造等腰三角形，得到、，再将拆分为完成线段代换． 【详解】（1）略 （2）解：结论：，理由如下： 平分，平分， ，． ， ，， ，， ，， ． 25．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在中分别以，为边作和，且，，，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图2，点、，分别是与的中点，连接、、． ①求的度数（用含的式子表示）； ②连接，求证 【答案】(1)证明：， ，即， ， 在与中， ， ； (2)①； ②如图，在上截取，连接，与交于点N，与交于点O， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即, ， ， ， ,， ， ． 【分析】（1）通过来证明从而得出结论； （2）①由（1）可知，从而得到，再由中点定义从而证明，推出，利用三角形内角和求出结果； ②在上截取，连接，与交于点N，与交于点O，先证明，从而得到，，根据角之间的关系得出，从而得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）可知， ， 点、，分别是与的中点， ，， ， 在与中， ， ， ，即， 在等腰中，． ②略 学科网（北京）股份有限公司 $第十五章 轴对称 15.3.1等腰三角形 第2课时等腰三角形的判定 一、选择题 1.(25-26八年级下.福建宁德期中)已知一个三角形中两个内角分别是70°和40°，则这 个三角形一定是() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三 角形 2.(25-26八年级下陕西汉中.期末)如图，在△ABC中，点D在边AC上，连接BD, ∠A=∠ABD,若BD=9,CD=7,则AC的长为() A.13 B.14 c.15 D.16 3.(25-26七年级下.上海浦东新期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上， ∠ADC=2∠B.若AC=5,BC=6,则△ACD的周长为() D A.10 B.11 C.15 D.16 4.(25-26八年级上浙江绍兴期中)在正方形网格中，网格线的交点称为格点.如图，已 知A,B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是() B A.3 B.5 C.6 D.8 5.(26-27八年级上·云南文山阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在边BC 上，AD=DC,则图中的等腰三角形是() D A.△ABC B.△ADC C.△ABD D.△ABD 和△ADC 6.(25-26七年级下山东泰安期末)如图，ABCD,以点A为圆心，适当长为半径画 弧，分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为网心，大于MN长为半径面弧。 两弧相交于点P,画射线AP交CD于点E.若AC=5,AE=6,则△ACE的周长为 () A.16 B.17 C.18 D.无法确 定 7.(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分 线交于点E,过点E作MN‖BC交AB于M,交AC于N,若MN=9,则BM+CN的值为 () M E A.6 B.7 C.8 D.9 8.(25-26八年级下山东菏泽·期末)如图，将一张长方形纸片沿AC折叠，使点B落在点 E处，CE交AD于点F,已知AB=3,BC=7,则△AEF的周长为() A.V58 B.5 C.10 D.13 9.(2026黑龙江哈尔滨.一模)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB.尺规作图如下： ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC边于点E、F;②以点B为圆心， AE长为半径画弧，交边BC于点G:③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所 画的弧相交于点H;④延长BH,交CD于点M、边AC于点V.则下列结论一定正确的是 () "G A. BD=DM B.AN=BN C.BM=BD D.CM=AB 10.(26-27八年级上.四川绵阳阶段检测)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是 BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G,交BE于 点H.下面说法正确的是() ①△ABE的面积=△BCE的面积： ②∠FAG=∠FCB: ③AF=AG: ④BH=CH. H A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.③ 二、填空题 11.(24-25八年级上福建厦门期中)如图，若∠B=72°，∠C=36°，AD平分 ∠BAC,则图中共有 个等腰三角形. B D 12.(26-27九年级上陕西安康阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别 在边AC,BC上，且AD=BD=BC,BE=DE=DC,则图中等腰三角形有 个. 13.(26-27八年级上浙江嘉兴阶段检测)在△ABC中，BD平分∠ABC,DE‖BC, 交AB于点E.若AB=7cm,AE=3cm,则DE的长为cm D 14.(26-27八年级上·内蒙古呼和浩特阶段检测)如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD, AD平分∠CAB,且∠DCB=∠B.如果AC=6,CD=2,则AB的长是 B 15.(2026八年级上江苏南京，专题练习)如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分 ∠ABC,AB+AD=BC.若∠A=88°，则∠ABD=°. A 16.(25-26八年级下四川成都期末)如图，梯形ABCD中，AD‖BC,以点C为圆心， 任意长为半径画弧，分别交BC、CD于点M、N,再分别以M、N为圆心，大于号MN的 长为半径画弧，两弧交于点O,作射线CO,交AB于点E,点E恰好是AB的中点，若 AD=6,BC=8则CD的长是 D E M 三、解答题 17.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期中)如图，AD=BC,∠DAB=∠CBA,求证： △EAB是等腰三角形. D E B 18.(25-26八年级下江西新余阶段检测)如图，在△ABC中，BE平分内角∠ABC, AE平分外角∠CAD E D (1)若AE‖BC,求证：△ABC为等腰三角形. (2)若∠C=68°，求∠E的度数. 19.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E. A M E Q D B (1)求证：△ABD是等腰三角形： (2)若AE=6,△CBD的周长为20，求△ABC的周长 20.(25-26八年级上浙江阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别 在BC、AB、AC边上，且BE=CF,AD+EC=AB. 4 B E (1)求证：△乙是等腰三角形： (2)当∠A=50时，求∠乙的度数. 21.(26-27八年级上江苏苏州·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于 点D. B D (1)若∠B=39°，求∠CAD的度数： (2)若点E在边AC上，EF‖AB交AD的延长线于点F,求证：△AEF为等腰三角形 22.己知，如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别在CA,BA的延长线上，且BE= CD,连BD,CE (1)求证：∠D=∠E; (2)若∠BAC=108°，∠D=36o,则图中共有个等腰三角形. D A B 23.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,E为AC边上一点，连接BE与 AD交于点F,G为△ABC外一点，满足∠ACG=∠ABE,∠FAG=∠BAC,连接EG. (1)证明：△ABF≌△ACG: (2)请写出线段BE,CG,EG的数量关系，并说明理由. 24.（26-27八年级上·全国课后作业)解答下列各题 B D 图1 图2 (1)如图1，△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB: AC于点E,F,试猜想EF,BE,CF之间有怎样的关系，并说明理由： (2)如图2，若将图1中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其他条件不变，请直 接写出EF,BE,CF之间的关系 25.(26-27八年级上湖北武汉阶段检测)如图1，在△ABC中分别以AB,AC为边作 △ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=a,连接DC,BE交于 点F D B 图1 图2 (1)求证：CD=BE; (2)如图2，点H、G,分别是DC与BE的中点，连接AH、AG、HG ①求∠AGH的度数（用含Q的式子表示）； ②连接AF,求证∠FAG=∠FHG