4.4 一次函数的应用 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 4.4 第1课时 根据一次函数 的图像确定表达式 北师大版（2024）八年级上册数学课件 1 1.结合具体的实例，总结出可以由两个条件确定一次函数的表达式，培养学生的抽象概括能力； 2.通过合作学习，能根据题目描述确定一次函数和正比例函数的表达式，培养学生的运算能力； 3.通过教师讲评，掌握一次函数和正比例函数的性质，培养学生分析问题、解决问题的能力. 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 2 新课导入 1.一次函数y = kx+b的图象是 ，它与y轴的交点是 ,与x轴的交点是 . 2.在一次函数y = kx+b中，当k > 0时，y 的值随着 x 值的增大而 ；当k < 0时，y 的值随着 x 值的增大而 . 一条直线 （0，b） （，0） 3.当k > 0,b＞0时，一次函数y = kx+b的图象经过 象限; 当k > 0,b＜0时，一次函数y = kx+b的图象经过 象限; 当k ＜0,b＞0时，一次函数y = kx+b的图象经过 象限; 当k ＜0,b＜0时，一次函数y = kx+b的图象经过 象限. 一、二、三 增大 减小 一、三、四 一、二、四 二、三、四 复习回顾 新课导入 情境引入 已知一次函数的解析式，如何简单快速画出它们的图象呢？ 思考：反过来，若已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？ 两点法作图——两点确定一条直线. 新课讲授 探究一：确定正比例函数的表达式 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t(s)的关系如右图所示： (1)请写出v与t的关系式； (2)下滑3s时物体的速度是多少？ v (m/s) t(s) O 5 2 分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型为正比例函数. 解：（1）设v=kt（k≠0）， 根据题意，直线过（2,5）得5=2k， 解得 k=2.5 ，所以v=2.5t． （2）当t=3时，v=2.5×3=7.5 (m/s). 所以下滑3 s时物体的速度是7.5 m/s. 正比例函数图象 知识点 1 用待定系数法求正比例函数的解析式 正比例函数的图象过点 （2，5）因此这点的坐标符合一次函数y=kx的表达式 新课讲授 思考.交流 确定正比例函数的表达式需要知道除原点（0,0）外的一个点的坐标或者自变量与函数的一对对应值. 确定正比例函数的表达式需要几个条件？ （1）设：设表达式，如y=kx； （2）代：把已知点或已知自变量与函数的一对对应值代入表达式； （3）求：解方程，求k的值； （4）写：将k值代回写出表达式. 确定正比例函数的表达式的步骤： 新课讲授 1.如果一个正比例函数的图象经过点A(3,-1),那么这个正比例函数的表达式为(　　) A.y=3x B.y=-3x C. D. D 2.如果一个正比例函数的图象经过点A（2，－1），那么这个正比例函数的解析式为（     ） A．y=2x B．y=－2x C．y=x D．y=x D 新课讲授 探究二：确定一次函数的表达式 做一做：已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式． 解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b， ∵一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点， ∴ 5＝b， －5＝2k＋b, 解得b＝5，k＝－5. ∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5. 两个（有两个系数k，b） 问题：确定一次函数的表达式需要几个条件？ 你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？ 函数解析式 解析式中未知的系数 像这样先设出____________ ，再根据条件确定____________________ ，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法. 新课讲解 归纳总结 （1）设：设一次函数的一般形式 求一次函数解析式的步骤: y=kx+b(k≠0) 一次 （2）列：把图象上的点 ， 代入一次 函数的解析式，组成几个_________方程； （3）解：解几个一次方程得k,b； （4）还原：把k,b的值代入一次函数的解析式. 新课讲解 新课讲授 1.一次函数y=kx+b的图象经过(0,-2)和(-3,7)两点,那么该函数的表达式是(　　) A.y=-2x+7 B.y=-2x-3 C.y=-8x-7 D.y=-3x-2 D 2.直线y=kx+b的图象如图所示，则（     ） A．k=，b=－2 B．k=，b=－2 C．k=，b=－2 D．k=，b=－2 B 用待定系数法求一次函数的解析式 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度. 解：设y=kx+b(k≠0) 由题意得：14.5=b,16=3k+b, 解得：b=14.5 ; k=0.5.所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5, 当x=4时，y＝0.5×4+14.5=16.5（厘米）. 即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米. 例 新课讲解 用待定系数法求一次函数的解析式 知识点 1 知知识点2 典例分析 例1：如图，直线l是某正比例函数的图象，点A（-4，12）、B（3，-9）是否在该函数的图象上？ 解：设直线l的解析式为y=kx（k≠0）， ∵直线过点（-1，3）， ∴3=-k，解得k=-3， ∴直线l的解析式为y=-3x． ∵当x=-4时，y=-3×（-4）=12；当x=3时，y=-3×3=-9， ∴点A（-4，12），B（3，-9）在该函数的图象上． 函数解析式y=kx+b 满足条件的两定点 一次函数的图象直线 画出 选取 解出 选取 从数到形 从形到数 数学的基本思想方法： 数形结合 整理归纳：从两方面说明： 新课讲解 例2 若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 素养考点 2 已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式 方法点拨：两直线平行，则一次函数中x的系数相等，即k的值不变. 因为一次函数图象与直线y= -x+3平行，所以k= -1. 又因为直线过点（2，0）， 所以0=-1×2+b, 解得b=2, y=-x+2. 所以解析式为 新课讲解 解：设直线l为y=kx+b, 因为l与直线y= -2x平行，所以k= -2. 又因为直线过点（0，2）， 所以2=-2×0+b,解得b=2, 所以直线l的解析式为y=-2x+2. 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式. 新课讲解 例3：如图所示，已知直线l是一次函数图象，和x轴交于点B, 和y轴交于点A. （1）写出A、B两点的坐标; （2）求直线l的表达式; （3）求直线l与两个坐标轴所围成的三角形OAB的面积.　 4 3 2 1 o 2 1 -1 -2 x y A B 解:（1）A （0，3）， B（2，0） （2）设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）． ∵图象经过点（2，0） 和（0，3）两点， ∴0=2k+b，b=3 ∴k= -1.5， b=3 ∴这个函数的表达式为y= -1.5x+3. （3）S△OAB= = 典例分析 例4 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式. y x O 2 注意：此题有两种情况. 素养考点 3 几何面积和待定系数法求一次函数的解析式 分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（ ，0）.由题意可列出关于k，b的方程. 新课讲解 解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), 因为一次函数y=kx+b的图象过点（0，2）， 所以b=2， 因为一次函数的图象与x轴的交点是( ，0)，则 解得k=1或-1. 故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2. 新课讲解 正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5. (1)你能求出这两个函数的解析式吗？ (2)△AOB的面积是多少呢？ 分析：由OB=5可知点B的坐标为(0,-5).y=k1x的图象过点A(3，4)，y=k2x+b的图象过点A(3，4)，B(0,-5)，代入解方程(组)即可. 新课讲解 解：（1）由题意知道，B点的坐标是（0，-5） 因为一次函数y=k2x+b的图象过点（0，-5），（3,4） 代入得， 因此y=3x-5. 因为正比例函数y=k1x的图象过点（3,4）， 得 ， 因此 ， S△AOB=5×4÷2=10. 解得 ， 新课讲解 1. 若点关于轴的对称点在一次函数 的图 象上,则 的值是( ) B A. B. 2 C. D. 6 2. 一次函数的图象经过点，且随 的增大 而增大，则此函数的表达式可能是( ) B A. B. C. D. 课堂练习 22 3. (创新点•跨学科)某物体在力F的作用下，沿力的方向移动 的距离为s(单位：m)，力对物体所做的功W(单位：J)与s的对 应关系如图所示，则下列结论正确的是(　C　) C A层 基础练 4.如图所示，某位“快递小哥”的日收入与每日的派送量成一次函数关系，你能求出这位“快递小哥”的日收入y（元）与日派送量x(件)之间的函数关系式吗？已知“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件？ y/元 x/件 O 70 100 30 Z 5. (思想方法•分类)如图，已知点A(－6，0)，点B(0，4)。 (1)求直线AB所对应的函数表达式； 解：(1)设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx＋b。 将点A(－6，0)，B(0，4)代入y＝kx＋b， 得－6k＋b＝0，b＝4。 将b＝4代入－6k＋b＝0，得－6k＋4＝0。解得k＝ 。 所以直线AB所对应的函数表达式为y＝ x＋4。 解：(1)设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx＋b。 将点A(－6，0)，B(0，4)代入y＝kx＋b， 得－6k＋b＝0，b＝4。 将b＝4代入－6k＋b＝0，得－6k＋4＝0。解得k＝ 。 所以直线AB所对应的函数表达式为y＝ x＋4。 C层 拓展练 5. (思想方法•分类)如图，已知点A(－6，0)，点B(0，4)。 (2)点P在直线AB上，且满足点P到x轴的距离等于8，求点P 的坐标。 解：(2)因为点P到x轴的距离等于8， 所以点P的纵坐标为8或－8。 当y＝8时，则8＝ x＋4。解得x＝6。 当y＝－8时，则－8＝ x＋4。解得x＝－18。 所以点P的坐标为(6，8)或(－18，－8)。 解：(2)因为点P到x轴的距离等于8， 所以点P的纵坐标为8或－8。 当y＝8时，则8＝ x＋4。解得x＝6。 当y＝－8时，则－8＝ x＋4。解得x＝－18。 所以点P的坐标为(6，8)或(－18，－8)。 C层 拓展练 6. ［2025月考］若一次函数 与两坐标轴围成 的三角形面积为3，则 为( ) C A. B. C. D. 【点拨】当时，.当时， ，所以 .所以一次函数的图象与 轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为，所以 ， 解得 . 课堂练习 27 7.若与成正比例，与成正比例，且当时， ； 当时，，则与 的函数关系式为____________. 【点拨】设, ,即 .将,和, 代 入，得,,解得, ,所以 . 课堂练习 28 8.如图，平行四边形的边 在一次函 数的图象上，若点 的坐标为 ，则直线 的函数表达式为_______ _____. 课堂练习 9.若一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，则k=　 　，函数表达式为　　　　　 .  2 y=2x 29 课堂练习 10.如图，已知一条直线经过点A(0，2)，B(1，0)，将这条直线向左平移与x轴，y轴分别交于点C，D，若DB=DC，则直线CD的函数表达式为　 　 . y=-2x-2 30 用待定系数法求一次函数的解析式 2. 根据已知条件列出关于k，b的方程； 1. 设所求的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）； 3. 解方程，求出k，b; 4. 把求出的k，b代回解析式即可. 课堂小结 $