微专题10 轴对称模型与最短路径 训练 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

专题十轴对称模型与最短路径培优专题讲与练 一必备知识 把折线变直，必须同时做到两件事：长度没有改变，变直后的点仍在题目允许的位置。先看定 点与轴的位置，再看动点在线、射线还是线段上；有两个动点时，还要检查它们在展开直线上 的先后顺序。 1反射保距与取等 若A1是A关于直线的对称点，P在I上，则PA=PA1。所以AP+PB=A1P+PB≥A1B。 等号成立，当且仅当P在线段A1B上。若A,B在1同侧且均不在I上，线段A1B与l恰有一个交点； 若还限制P在线段或射线上，必须再检查这个交点是否被允许。 A 证明 对称轴l垂直平分AA1,轴上任一点到A,A等距。折线不少于两端间的线段，且只有中间点位于 两端之间时才能取等。 若A、B在轴的异侧，直接连接AB即可；再反射反而不能把原折线正确展开。 2平行线之间的垂距 在两条平行直线上分别取A,B与D,C,使AD⊥AB,BC⊥AB。则AD=BC,AB=DC。这两个 等式可以由三角形全等得到。 B 证明 连接AC。在△ABC和△CDA中， ∠BAC=∠DCA AC=CA ∠BCA=∠DAC △ABC兰△CDA(ASA)O 所以AD=BC,AB=DC。把倾斜线段作为直角三角形的斜边时，两个直角边便可分别由水平间 距与两端垂距的和或差求得。 这里只证明并使用三角形全等，不调用四边形性质。 第1页共14页 3交点在范围外时的比较 设A,B在直线l同侧，T=A1B∩l。若1上点序为T,Q,P,则AQ+BQ<AP+BP;在T另一侧也有 同样的结论。 A B R A 证明 射线BQ交A1P于R,点序为B,Q,R。因为B,P,R不共线，RP+PB>RB。于是 A1P+PB=A1R+RP+PB>A1R+RB=A1R+RQ+QB≥A1Q+QB。再用反射保距即得结论。 因此，在不跨过T的一段轴上，离T较近的点使距离和较小。受限线段若不含T,其靠近T的端 点唯一最优；不能把不可达的AB直接写成最小值。 此处A、B均不在轴上。定点落在轴上时，要重新检查等号，最优点可能不止一个。 4从一条折线到两次取等 若反射后得到MP+PQ=M1P+PQ≥M1Q≥M1H,其中H是M1到目标直线的垂足，则两次等号 必须同时成立：Q=H,且P在线段M1H上。 若反射后得到M1P+PQ+QM2≥M1M2,还须有点序M1,P,Q,M2,并且P,Q分别落在允许的射 线或线段上。 M X 求下界只是第一步；构造能同时取等的位置，才证明了最小值。 第2页共14页 二典例精讲 例题点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=BK=3,HK=8。点P在直线HK 上。求AP+PB的最小值，并作出取得最小值的点P。 H A1 分析 不能把AP或BP直接删去。反射把AP等长换成另一侧的A1P,使两段有机会拼成一条线段；再 用全等核实交点的位置。 解 作A关于直线HK的对称点A1,连接A1B,交HK于T。对任意轴上点P, AP+PB=A1P+PB≥A1B,且仅P=T取等。 在△A1HT和△BKT中， ∠A1HT=∠BKT=90 ∠A,TH=∠BTK A H=BK=3 △A1HT≌△BKT(AAS)。 所以HT=KT=4。 由勾股定理，A,T=BT=V3+42=5,所以A1B=10。T确在线段HK内部，故最小值为10，唯一 取等点是HK的中点。 第3页共14页 三分类讲练 1一条轴上的折线与点域 同侧先反射，异侧可直连；交点不在允许范围时，另证端点最优。 例1点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=BK=3,HK=8。点U在线段HK 上，HU=2。点P在线段HU上，求AP+PB的最小值及取等位置。 A B H K 变式1一1点A,B在直线HK同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=2,BK=4,HK=6。点 H,K,U依次在同一直线上，KU=1。点P在以U为端点、背离K的射线上（含U)。求AP+PB 的最小值及取等位置。 B A H KU 第4页共14页 2三角形中的等距转化 对称轴上的等距能改变路径的一端；求距离和时继续寻找最近点，求周长时先分离不变的边。 例2在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC,交BC于D。点E,F分别在线段 AD,AC上，求CE+EF的最小值，并确定取得最小值时点E,F的位置。 A 变式2-1在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC,交BC于D。M为AC的中 点，点E在线段AD上，点F在线段MC上。求CE+EF的最小值，并确定取等时E,F的位置。 A M B 第5页共14页 3一个终点也能移动 折线展开后仍要在目标线段或射线上寻找最近点。 例3∠XOY=45°，点M在角内部，MH⊥OX于H,OH=3,MH=1。点P,Q分别在射线 OY,OX上。求MP+PQ的最小值，并作出取等时的点P,Q。 P M H 变式3-1∠XOY=45°，点M在角内部，MH⊥OX于H,OH=3,MH=1。在射线OX上取 U,V,使OU=2,OV=4。点P在射线OY上，点Q在线段UV上。求MP+PQ的最小值，并作出 取等时的点P,Q。 M 第6页共14页 4两边上的闭合路径 分别反射起点和终点，检查展开线段是否依次穿过两条正射线。 例4∠XOY=60°，点M在该角的平分线上，OM=6。点P,Q分别在射线OX,OY上，允许与O重 合。求MP+PQ+QM的最小值，并作出取得最小值时的P,Q。 Q M P 变式4-1∠X0Y=60°，点M在该角内部，OM=6,但不要求OM平分该角。点P,Q分别在射 线OX,OY上，允许与O重合。求MP+PQ+QM的最小值，并作出取得最小值时的P,Q。 第7页共14页 5两定两动的路径 按行走顺序选择两个反射轴，不能只比较反射像间的距离。 例5∠XOY=45°。点A在射线OY上，点B在射线OX上，OA=2V2,OB=6。点P,Q分别在射线 OX,OY上。求AP+PQ+QB的最小值，并作出取得最小值时的P,Q。 O y BX 变式5-1∠XOY=90°。点M,N都在该角内部；M到直线OX,OY的距离依次为1,4，N到直线 OX,OY的距离依次为4,1。点P,Q分别在射线OX,OY上。求MP+PQ+QN的最小值，并确定取 得最小值时的OP,OQ。 Y X 第8页共14页 四分层练习 基础巩固 1.点A,B在直线HK的两侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=3,BK=5,HK=6。点P在直线HK 上。求AP+PB的最小值，并作出取等点。 Ha K B 2.点B,A,C依次在同一直线上，BA=2,AC=3。点P在线段BC上，求AP+PB的最小值，并确 定所有取得最小值的点P。 第9页共14页 方法运用 3.在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为BC中点。直线1为AB的垂直平分线，点P在l上 且不在直线BC上。求△PBD周长的最小值，并作出取等时的点P。 y 4.在△ABC中，AB=6,AC=10,BC=8,AD平分∠BAC,交BC于D。点E在AC上，且 AE=AB,点P在线段AD上且P≠A。求△PEC周长的最小值，并确定取等时点P的位置。 B D P A C E 第10页共14页 5.OB⊥OC,OB=4,OC=1。过C作CD⊥OC,使D,B在直线OC同侧且CD=2。过D作 DH⊥OB于H。点P在线段OB上。求CP+DP的最小值及取等时的OP。 B 迁移运用 6.∠XOY=90°，点M在该角内部，OM=5。点P,Q分别在射线OX,OY上，允许P=Q=O。求 MP+PQ+QM的最小值，并确定全部取等位置。 M X 第11页共14页 五综合提高 1.点A,B在直线HK同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=2,BK=4,HK=6。点P在线段HK 上。求AP+PB的最大值和最小值，并分别确定取等位置。 A H 飞 第12页共14页 2.∠XOY=120°，点M在该角的平分线上，OM=4。点P,Q分别在射线OX,OY上，允许 P=Q=O。求MP+PQ+QM的最小值，并确定全部取等位置。 第13页共14页 3.点A,B在直线HK同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=3,HK=8,BK>0。已知点P在直线 HK上运动时，AP+PB的最小值为10。(1)求BK,(2）点U在线段HK上，若把P的活动范 围改为线段HU,最小值仍为10，求HU的取值范围。 A B H K 第14页共14页专题十轴对称模型与最短路径培优专题讲与练 一必备知识 把折线变直，必须同时做到两件事：长度没有改变，变直后的点仍在题目允许的位置。先看定 点与轴的位置，再看动点在线、射线还是线段上；有两个动点时，还要检查它们在展开直线上 的先后顺序。 1反射保距与取等 若A1是A关于直线I的对称点，P在I上，则PA=PA1。所以AP+PB=A1P+PB≥A1B。 等号成立，当且仅当P在线段A1B上。若A,B在I同侧且均不在I上，线段A1B与l恰有一个交点； 若还限制P在线段或射线上，必须再检查这个交点是否被允许。 A1 证明 对称轴l垂直平分AA1,轴上任一点到A,A1等距。折线不少于两端间的线段，且只有中间点位于 两端之间时才能取等。 若A、B在轴的异侧，直接连接AB即可；再反射反而不能把原折线正确展开。 2平行线之间的垂距 在两条平行直线上分别取A,B与D,C,使AD⊥AB,BC⊥AB。则AD=BC,AB=DC。这两 个等式可以由三角形全等得到。 B 证明 连接AC。在△ABC和△CDA中， ∠BAC=∠DCA AC=CA ∠BCA=∠DAC △ABC2△CDA(ASA)· 所以AD=BC,AB=DC。把倾斜线段作为直角三角形的斜边时，两个直角边便可分别由水平间 距与两端垂距的和或差求得。 第1页共14页 这里只证明并使用三角形全等，不调用四边形性质。 3交点在范围外时的比较 设A,B在直线l同侧，T=A1Bnl。若l上点序为T,Q,P,则AQ+BQ<AP+BP;在T另一侧也有 同样的结论。 证明 射线BQ交A1P于R,点序为B,Q,R。因为B,P,R不共线，RP+PB>RB。于是 A1P+PB=A1R+RP+PB>A,R+RB=A1R+RQ+QB≥AQ+QB。再用反射保距即得结论。 因此，在不跨过T的一段轴上，离T较近的点使距离和较小。受限线段若不含T,其靠近T的端 点唯一最优；不能把不可达的A1B直接写成最小值。 此处A、B均不在轴上。定点落在轴上时，要重新检查等号，最优点可能不止一个。 4从一条折线到两次取等 若反射后得到MP+PQ=M1P+PQ≥M1Q≥M1H,其中H是M1到目标直线的垂足，则两次等号 必须同时成立：Q=H,且P在线段M1H上。 若反射后得到M1P+PQ+QM2≥M1M2,还须有点序M1,P,Q,M2,并且P,Q分别落在允许的射 线或线段上。 X 求下界只是第一步；构造能同时取等的位置，才证明了最小值。 第2页共14页 二典例精讲 例题点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=BK=3,HK=8。点P在直线HK 上。求AP+PB的最小值，并作出取得最小值的点P。 H A1 分析 不能把AP或BP直接删去。反射把AP等长换成另一侧的A1P,使两段有机会拼成一条线段；再 用全等核实交点的位置。 解 作A关于直线HK的对称点A1,连接AB,交HK于T。对任意轴上点P, AP+PB=A,P+PB≥A1B,且仅P=T取等。 在△A1HT和△BKT中， ∠A,HT=∠BKT=90 ∠A1TH=∠BTK A H=BK=3 △A1HT≌△BKT(AAS)。 所以HT=KT=4。 由勾股定理，A1T=BT=V3+4=5,所以A1B=10。T确在线段HK内部，故最小值为10，唯一 取等点是HK的中点。 第3页共14页 三分类讲练 1一条轴上的折线与点域 同侧先反射，异侧可直连；交点不在允许范围时，另证端点最优。 例1点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=BK=3,HK=8。点U在线段HK 上，HU=2。点P在线段HU上，求AP+PB的最小值及取等位置。 A B H K 变式1一1点A,B在直线HK同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=2,BK=4,HK=6。点 H,K,U依次在同一直线上，KU=1。点P在以U为端点、背离K的射线上（含U)。求AP+PB 的最小值及取等位置。 B A K 第4页共14页 2三角形中的等距转化 对称轴上的等距能改变路径的一端；求距离和时继续寻找最近点，求周长时先分离不变的边。 例2在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC,交BC于D。点E,F分别在线段 AD,AC上，求CE+EF的最小值，并确定取得最小值时点E,F的位置。 A B 变式2-1在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC,交BC于D。M为AC的中 点，点E在线段AD上，点F在线段MC上。求CE+EF的最小值，并确定取等时E,F的位置。 A M 第5页共14页 3一个终点也能移动 折线展开后仍要在目标线段或射线上寻找最近点。 例3∠XOY=45°，点M在角内部，MH⊥OX于H,OH=3,MH=1。点P,Q分别在射线 OY,OX上。求MP+PQ的最小值，并作出取等时的点P,Q。 M 变式3-1∠XOY=45°，点M在角内部，MH⊥OX于H,OH=3,MH=1。在射线OX上取 U,V,使OU=2,OV=4。点P在射线OY上，点Q在线段UV上。求MP+PQ的最小值，并作出 取等时的点P,Q。 P M 第6页共14页 4两边上的闭合路径 分别反射起点和终点，检查展开线段是否依次穿过两条正射线。 例4∠XOY=60°，点M在该角的平分线上，OM=6。点P,Q分别在射线OX,OY上，允许与O 重合。求MP+PQ+QM的最小值，并作出取得最小值时的P,Q。 变式4一1∠XOY=60°，点M在该角内部，OM=6,但不要求OM平分该角。点P,Q分别在射 线OX,OY上，允许与O重合。求MP+PQ+QM的最小值，并作出取得最小值时的P,Q。 第7页共14页 5两定两动的路径 按行走顺序选择两个反射轴，不能只比较反射像间的距离。 例5∠XOY=45°。点A在射线OY上，点B在射线0X上，OA=2V2,OB=6。点P,Q分别在射 线OX,OY上。求AP+PQ+QB的最小值，并作出取得最小值时的P,Q。 Q A 0 ◇ BX 变式5-1∠XOY=90°。点M,N都在该角内部；M到直线OX,OY的距离依次为1,4，N到直线 OX,OY的距离依次为4,1。点P,Q分别在射线OX,OY上。求MP+PQ+QN的最小值，并确定取 得最小值时的OP,OQ。 M 第8页共14页 四分层练习 基础巩固 1.点A,B在直线HK的两侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=3,BK=5,HK=6。点P在直线HK 上。求AP+PB的最小值，并作出取等点。 A K B 2.点B,A,C依次在同一直线上，BA=2,AC=3。点P在线段BC上，求AP+PB的最小值，并确 定所有取得最小值的点P。 第9页共14页 方法运用 3.在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为BC中点。直线I为AB的垂直平分线，点P在l上 且不在直线BC上。求△PBD周长的最小值，并作出取等时的点P。 B 4.在△ABC中，AB=6,AC=10,BC=8,AD平分∠BAC,交BC于D。点E在AC上，且 AE=AB;点P在线段AD上且P≠A。求△PEC周长的最小值，并确定取等时点P的位置。 B D P C E 第10页共14页 5.OB⊥OC,OB=4,OC=1。过C作CD⊥OC,使D,B在直线OC同侧且CD=2。过D作 DH⊥OB于H。点P在线段OB上。求CP+DP的最小值及取等时的OP。 B HT 迁移运用 6.∠XOY=90°，点M在该角内部，OM=5。点P,Q分别在射线OX,OY上，允许P=Q=O。求 MP+PQ+QM的最小值，并确定全部取等位置。 M X 第11页共14页 五综合提高 1.点A,B在直线HK同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=2,BK=4,HK=6。点P在线段HK 上。求AP+PB的最大值和最小值，并分别确定取等位置。 A H d K 第12页共14页 2.∠XOY=120°，点M在该角的平分线上，OM=4。点P,Q分别在射线OX,OY上，允许 P=Q=O。求MP+PQ+QM的最小值，并确定全部取等位置。 X 第13页共14页 3.点A,B在直线HK同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=3,HK=8,BK>0。已知点P在直线 HK上运动时，AP+PB的最小值为10。（1)求BK;(2)点U在线段HK上，若把P的活动范 围改为线段HU,最小值仍为10，求HU的取值范围。 A B U K 第14页共14页 专题十 轴对称模型与最短路径 培优专题讲与练 一 必备知识 把折线变直，必须同时做到两件事：长度没有改变，变直后的点仍在题目允许的位置。先看定点与轴的位置，再看动点在线、射线还是线段上；有两个动点时，还要检查它们在展开直线上的先后顺序。 1 反射保距与取等 若是关于直线的对称点，在上，则所以 等号成立，当且仅当在线段上。若在同侧且均不在上，线段与恰有一个交点；若还限制在线段或射线上，必须再检查这个交点是否被允许。 证明 对称轴垂直平分轴上任一点到等距。折线不少于两端间的线段，且只有中间点位于两端之间时才能取等。 若A、B在轴的异侧，直接连接AB即可；再反射反而不能把原折线正确展开。 2 平行线之间的垂距 在两条平行直线上分别取与使则这两个等式可以由三角形全等得到。 证明 连接在和中， （ASA）。 所以把倾斜线段作为直角三角形的斜边时，两个直角边便可分别由水平间距与两端垂距的和或差求得。 这里只证明并使用三角形全等，不调用四边形性质。 3 交点在范围外时的比较 设在直线同侧，若上点序为则在另一侧也有同样的结论。 证明 射线交于点序为因为不共线，于是再用反射保距即得结论。 因此，在不跨过的一段轴上，离较近的点使距离和较小。受限线段若不含其靠近的端点唯一最优；不能把不可达的直接写成最小值。 此处A、B均不在轴上。定点落在轴上时，要重新检查等号，最优点可能不止一个。 4 从一条折线到两次取等 若反射后得到其中是到目标直线的垂足，则两次等号必须同时成立：且在线段上。 若反射后得到还须有点序并且分别落在允许的射线或线段上。 求下界只是第一步；构造能同时取等的位置，才证明了最小值。 二 典例精讲 例题 点在直线的同侧，点在直线上。求的最小值，并作出取得最小值的点 分析 不能把或直接删去。反射把等长换成另一侧的使两段有机会拼成一条线段；再用全等核实交点的位置。 解 作关于直线的对称点连接交于对任意轴上点且仅取等。 在和中， （AAS）。 所以 由勾股定理，所以确在线段内部，故最小值为唯一取等点是的中点。 三 分类讲练 1 一条轴上的折线与点域 同侧先反射，异侧可直连；交点不在允许范围时，另证端点最优。 例1 点在直线的同侧，点在线段上，点在线段上，求的最小值及取等位置。 分析 先找到整条直线上的最优点，再检查题目给的线段。交点被排除后，需要严格比较来判端点，不能只凭示意图。 解答 作关于直线的对称点连接交于对任意轴上点且仅取等。 在和中， （AAS）。 所以 所以不在线段上。由知识准备中的严格比较，在线段上越靠近距离和越小，故仅取最小值。 由勾股定理，故最小值为 变式1－1 点在直线同侧，点依次在同一直线上，点在以为端点、背离的射线上（含求的最小值及取等位置。 分析 射线不仅有所在直线，还有指定的朝向。即使无限延长，也可能完全不包含展开交点。 解答 反射得连接交于分居两侧，且两端分别在过的垂线上，所以在内部。 所有允许的均在处或远离的一侧。由严格比较，仅取最小值。 故最小值为 2 三角形中的等距转化 对称轴上的等距能改变路径的一端；求距离和时继续寻找最近点，求周长时先分离不变的边。 例2 在等腰中，平分交于点分别在线段上，求的最小值，并确定取得最小值时点的位置。 分析 先利用对称把换成消去第一个动点；再让取最短。垂足和折线展开后的交点都必须落在原线段内。 解答 由等腰三角形的三线合一，是的垂直平分线，所以对上的任一点有于是等号当且仅当在线段上。 过作垂足为若在处或在外侧，则由勾股定理有与矛盾；若在处或在外侧，则也矛盾。因此在线段内部。 设由勾股定理，解得所以 对任意有且仅取等。连接交于因为在内部、在内部，两条三角形内部线段必相交于内部点所以时两次等号同时成立。 故最小值为此时是到的垂足，且 变式2－1 在等腰中，平分交于为的中点，点在线段上，点在线段上。求的最小值，并确定取等时的位置。 分析 反射仍能消去但垂足不在允许到达的那一半上。此时要用勾股比较最短终点由垂足改为端点 解答 由等腰三角形的三线合一，是的垂直平分线，所以对上的任一点有于是等号当且仅当在线段上。 过作垂足为若在处或在外侧，则由勾股定理有与矛盾；若在处或在外侧，则也矛盾。因此在线段内部。 设由勾股定理，解得所以 故点序为对有由勾股定理，且仅取等。 连接与交于和都连接三角形顶点与对边内部点，所以在两条线段内部。当时，两次等号同时成立，且这两个点唯一。 3 一个终点也能移动 折线展开后仍要在目标线段或射线上寻找最近点。 例3 点在角内部，于点分别在射线上。求的最小值，并作出取等时的点 分析 终点也在移动时，展开后的目标不是一个固定线段，而是点到射线的距离。求出垂足以后，还要确认垂线段确实穿过第一条射线。 解答 作关于直线的对称点将射线及线段一同对称，的像记为由有且在由围成的直角内部。 过作于则在正射线上。连接在和中， （AAS）。 所以 因为在对称轴上，所以 由垂线段最短，且仅取等。设与射线交于在等腰直角中，故在线段内部。 取有两次等号同时成立。故最小值为上述两点就是唯一的取等位置。 变式3－1 点在角内部，于在射线上取使点在射线上，点在线段上。求的最小值，并作出取等时的点 分析 垂足虽然在射线上，却不在线段内。先选出离垂足最近的允许端点，再检查连接该端点的线段能否穿过 解答 作关于直线的对称点将射线及线段一同对称，的像记为由有且在由围成的直角内部。 过作于则在正射线上。连接在和中， （AAS）。 所以 因为在对称轴上，所以 点序为对有故由勾股定理，且仅取等。 在直角内部，且位于的侧；射线在内部。因此它与的对边交于内部点取则由两次等号条件可知取等点唯一。 4 两边上的闭合路径 分别反射起点和终点，检查展开线段是否依次穿过两条正射线。 例4 点在该角的平分线上，点分别在射线上，允许与重合。求的最小值，并作出取得最小值时的 分析 两次反射分别处理路径的首段和末段，中间的保留。除了求反射像间的距离，还要核实展开线段按先后的次序穿过两条正射线。 解答 分别作点关于直线的对称点连接对任意允许的有所以 且过作于由等腰三角形三线合一，故由勾股定理，于是 射线依次位于内部，因此它们分别与三角形的对边交于且点序为取时，三段恰好组成等号成立。反之，等号要求四点依此次序共线，故取等位置唯一。 变式4－1 点在该角内部，但不要求平分该角。点分别在射线上，允许与重合。求的最小值，并作出取得最小值时的 分析 角平分线位置并不是最短长度不变的必要条件。需要重新求反射像所夹的角；作底边高时，不能仍把当作这条高。 解答 分别作点关于直线的对称点连接对任意允许的有所以 设则由轴对称，按射线的顺序相加，得 且过作于由等腰三角形三线合一，故由勾股定理，于是 射线依次位于内部，因此它们分别与三角形的对边交于且点序为取时，三段恰好组成等号成立。反之，等号要求四点依此次序共线，故取等位置唯一。 5 两定两动的路径 按行走顺序选择两个反射轴，不能只比较反射像间的距离。 例5 点在射线上，点在射线上，点分别在射线上。求的最小值，并作出取得最小值时的 分析 首尾是不同定点时，分别关于首段、末段所接触的轴反射。展开之后必须保持路径原有的穿线次序。 解答 作关于直线的对称点作关于直线的对称点则 由轴对称，故作于由等腰直角三角形及轴对称， 过作交直线于连接由平行线所成的角，在和中， （ASA）。 所以于是由勾股定理得 在中，射线依次为故两射线依次交对边于点序为取这两个交点时等号成立，且只有这两个交点能使三段组成 变式5－1 点都在该角内部；到直线的距离依次为到直线的距离依次为点分别在射线上。求的最小值，并确定取得最小值时的 分析 角内的两个定点不能直接连成经过两边的路径。反射后利用等腰直角三角形求交点，明确它们确实落在两条正射线上。 解答 作关于直线的对称点作关于直线的对称点则 作于于由已知垂距及轴对称，且与在两侧，与在两侧。过作交直线于连接由平行线所成的角，在和中， （ASA）。 故于是为等腰直角三角形， 从沿射线取使则因射线与重合。类似地，从沿射线取使则且在上。因此依次共线，两点都在允许射线上。 取时等号成立；等号又要求三段依次组成故所求位置唯一。 四 分层练习 基础巩固 1. 点在直线的两侧，点在直线上。求的最小值，并作出取等点。 分析 先观察两定点分居直线两侧。原来的两段已能拼成AB，不需要反射。 解答 连接交于由三角形两边之和大于第三边，且仅取等。 过作交的延长线于连接在和中， （AAS）。 所以 依次共线，在直角三角形中，所以最小值为且只有取得。 2. 点依次在同一直线上，点在线段上，求的最小值，并确定所有取得最小值的点 分析 三角不等式取等要求中间点在线段上，不意味着只能有一个位置。这里两定点都在允许直线上。 解答 当在线段上（含端点）时，当在线段上且时，所以因此最小值为所有取等点组成整条线段 方法运用 3. 在等腰中，为中点。直线为的垂直平分线，点在上且不在直线上。求周长的最小值，并作出取等时的点 分析 先把动点到的距离换成到的距离，再把周长中的固定边分离出来。取等点必须同时满足等距约束与在线段上。 解答 连接由等腰三角形的三线合一，由勾股定理， 因为在的垂直平分线上，所以因此等号须在线段上。 在线段上取使则由勾股定理，所以从而在上。于是与交于内部点它不在上，取确能达到周长 直线与只有这一个交点，所以取等位置唯一。作出即可。 4. 在中，平分交于点在上，且点在线段上且求周长的最小值，并确定取等时点的位置。 分析 题目没有直接给出对称点，要先用角平分与两边相等证明再把固定边留下，变化的两边便能拼成 解答 因为平分在和中， （SAS）。 所以且于是 等号当且仅当在线段上。与交于内部点所以只有取等。由于不在上，不退化，故所求最小值为 5. 过作使在直线同侧且过作于点在线段上。求的最小值及取等时的 分析 所给的短垂线并不是动点所在的轴。确定轴后，再用全等求展开交点的高度，仍须核实它没有越过B。 解答 作关于的对称点连接交于连接由两组垂直，在和中， （AAS）。 所以 在和中， （AAS）。 所以在线段内部。由勾股定理，对任意且仅取等。 迁移运用 6. 点在该角内部，点分别在射线上，允许求的最小值，并确定全部取等位置。 分析 最优位置可能使两个动点重合。题目求的是路径长度之和，不是要求非退化三角形的周长。 解答 分别作关于直线的对称点设则由轴对称，按的顺序，所以共线，且 等号要求依次在同一直线上；直线与两条射线的唯一交点均为所以只能此时原式为确实可取。 五 综合提高 1. 点在直线同侧，点在线段上。求的最大值和最小值，并分别确定取等位置。 分析 反射直接解决最小值，却不能直接给出最大值。先用两侧严格比较把最大值缩到两个端点，再比较两个含根式的数。 解答 作关于的对称点连接交于过作交直线于连接在和中， （AAS）。 故所以 在内部，故仅时取得最小值又为等腰直角三角形，因此 在上，距离和向严格减小；在上，距离和离开严格增大。因此最大值只能在中取得。在处为在处为 因为所以最大值为仅取等。 2. 点在该角的平分线上，点分别在射线上，允许求的最小值，并确定全部取等位置。 分析 两条边是射线而不是整条直线。此时应直接利用垂距建立在允许范围内可取的下界，再逐一检查等号。 解答 设其中作直线直线垂足为当或与重合时，相应垂足也取由利用含30°角的直角三角形及勾股定理，得 由垂线段最短，同理若线段与直线交于则若其中一个为0，该不等式仍由斜线不短于垂线段得到；两者均为0时也成立。 相加得因为若路径和严格大于8；时，即时，路径和恰为8。 3. 点在直线同侧，已知点在直线上运动时，的最小值为（1）求（2）点在线段上，若把的活动范围改为线段最小值仍为求的取值范围。 分析 把已知最小值还原为反射像之间的长度，再反求垂距；第二问利用唯一取等点确定允许范围，不必把每个范围的最小值逐一求出。 解答 作关于的对称点由反射保距及取等条件，过作交直线于（可能与重合）。由已证的平行线间垂距性质，依次共线，所以 由勾股定理，因为所以 设在和中， （AAS）。 故在整条直线上仅取得 若则仍能取到若则允许的每个点都不同于距离和均大于因此所求范围为 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题十轴对称模型与最短路径培优专题讲与练 一必备知识 把折线变直，必须同时做到两件事：长度没有改变，变直后的点仍在题目允许的位置。先看定 点与轴的位置，再看动点在线、射线还是线段上；有两个动点时，还要检查它们在展开直线上 的先后顺序。 1反射保距与取等 若A1是A关于直线I的对称点，P在I上，则PA=PA1。所以AP+PB=A1P+PB≥A1B。 等号成立，当且仅当P在线段A1B上。若A,B在l同侧且均不在I上，线段A1B与l恰有一个交点； 若还限制P在线段或射线上，必须再检查这个交点是否被允许。 H A1 证明 对称轴l垂直平分AA1,轴上任一点到A,A,等距。折线不少于两端间的线段，且只有中间点位于 两端之间时才能取等。 若A、B在轴的异侧，直接连接AB即可；再反射反而不能把原折线正确展开。 2平行线之间的垂距 在两条平行直线上分别取A,B与D,C,使AD⊥AB,BC⊥AB。则AD=BC,AB=DC。这两个 等式可以由三角形全等得到。 A 证明 连接AC。在△ABC和△CDA中， ∠BAC=∠DCA AC=CA ∠BCA=∠DAC △ABC兰△CDA(ASA)。 所以AD=BC,AB=DC。把倾斜线段作为直角三角形的斜边时，两个直角边便可分别由水平间 距与两端垂距的和或差求得。 这里只证明并使用三角形全等，不调用四边形性质。 第1页共21页 3交点在范围外时的比较 设A,B在直线l同侧，T=A1Bnl。若1上点序为T,Q,P,则AQ+BQ<AP+BP;在T另一侧也有 同样的结论。 A B R Al 证明 射线BQ交A1P于R,点序为B,Q,R。因为B,P,R不共线，RP+PB>RB。于是 A1P+PB=A1R+RP+PB>A1R+RB=A1R+RQ+QB≥A1Q+QB。再用反射保距即得结论。 因此，在不跨过T的一段轴上，离T较近的点使距离和较小。受限线段若不含T,其靠近T的端 点唯一最优；不能把不可达的AB直接写成最小值。 此处A、B均不在轴上。定点落在轴上时，要重新检查等号，最优点可能不止一个。 4从一条折线到两次取等 若反射后得到MP+PQ=M1P+PQ≥M,Q≥M1H,其中H是M1到目标直线的垂足，则两次等号 必须同时成立：Q=H,且P在线段M1H上。 若反射后得到M1P+PQ+QM2≥M1M2,还须有点序M1,P,Q,M2,并且P,Q分别落在允许的射 线或线段上。 M O H X 求下界只是第一步；构造能同时取等的位置，才证明了最小值。 第2页共21页 二典例精讲 例题点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=BK=3,HK=8。点P在直线HK 上。求AP+PB的最小值，并作出取得最小值的点P。 B H K A1 分析 不能把AP或BP直接删去。反射把AP等长换成另一侧的A1P,使两段有机会拼成一条线段；再 用全等核实交点的位置。 解 作A关于直线HK的对称点A1,连接A1B,交HK于T。对任意轴上点P, AP+PB=A1P+PB≥A1B,且仅P=T取等。 在△A,HT和△BKT中， ∠A1HT=∠BKT=90 ∠A,TH=∠BTK A H=BK=3 △A1HT兰△BKT(AAS)。 所以HT=KT=4。 由勾股定理，A,T=BT=V3+42=5,所以A1B=10。T确在线段HK内部，故最小值为10，唯一 取等点是HK的中点。 第3页共21页 三分类讲练 1一条轴上的折线与点域 同侧先反射，异侧可直连；交点不在允许范围时，另证端点最优。 例1点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=BK=3,HK=8。点U在线段HK 上，HU=2。点P在线段HU上，求AP+PB的最小值及取等位置。 A B H K A1 分析 先找到整条直线上的最优点，再检查题目给的线段。交点被排除后，需要严格比较来判端点， 不能只凭示意图。 解答 作A关于直线HK的对称点A1,连接A1B,交HK于T。对任意轴上点P, AP+PB=A1P+PB≥A1B,且仅P=T取等。 在△A1HT和△BKT中， ∠A,HT=∠BKT=90 ∠A1TH=∠BTK A H=BK=3 △A1HT兰△BKT(AAS)。 所以HT=KT=4。 HT=4>HU=2,所以T不在线段HU上。由知识准备中的严格比较，在线段HU上越靠近T,距 离和越小，故仅P=U取最小值。 由勾股定理，AU=V13,BU=V3+6=3V5,故最小值为V13+3V5。 第4页共21页 变式1一1点A,B在直线HK同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=2,BK=4,HK=6。点 H,K,U依次在同一直线上，KU=1。点P在以U为端点、背离K的射线上（含U)。求AP+PB 的最小值及取等位置。 夕 A 》 H K U A1 分析 射线不仅有所在直线，还有指定的朝向。即使无限延长，也可能完全不包含展开交点。 解答 反射A得A1,连接AB交HK于T。A1,B分居HK两侧，且两端分别在过H,K的垂线上，所以T在 HK内部。 所有允许的P均在U处或U远离T的一侧。由严格比较，仅P=U取最小值。 HU=7,KU=1,故AU=V7+2=V53,BU=V12+4=V17。最小值为V53+V17。 第5页共21页 2三角形中的等距转化 对称轴上的等距能改变路径的一端；求距离和时继续寻找最近点，求周长时先分离不变的边。 例2在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC,交BC于D。点E,F分别在线段 AD,AC上，求CE+EF的最小值，并确定取得最小值时点E,F的位置。 A 二- B 分析 先利用对称把CE换成BE,消去第一个动点；再让BF取最短。垂足和折线展开后的交点都必须 落在原线段内。 解答 由等腰三角形的三线合一，AD是BC的垂直平分线，所以对AD上的任一点E,有CE=BE。于是 CE+EF=BE+EF≥BF,等号当且仅当E在线段BF上。 过B作BH⊥AC,垂足为H。若H在A处或在A外侧，则由勾股定理有 BC2-BA2=HC2-HA2≥AC2=25,与36-25=11矛盾；若H在C处或在C外侧，则 BA2≥BC+AC2,也矛盾。因此H在线段AC内部。 设AH=X。由勾股定理，B=25-X=36-(5-x,解得x=号，所以BH=24 对任意F∈AC,有BF≥BH,且仅F=H取等。连接BH,交AD于T。因为H在AC内部、D在BC 内部，两条三角形内部线段BH,AD必相交于内部点T。所以E=T,F=H时两次等号同时成立。 值为24此时F是B到AC的垂足，E=BE0AD且 。 第6页共21页 变式2-1在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC,交BC于D。M为AC的中 点，点E在线段AD上，点F在线段MC上。求CE+EF的最小值，并确定取等时E,F的位置。 A == B 分析 反射仍能消去E,但垂足不在F允许到达的那一半上。此时要用勾股比较BF,最短终点由垂足 改为端点M。 解答 由等腰三角形的三线合一，AD是BC的垂直平分线，所以对AD上的任一点E,有CE=BE。于是 CE+EF=BE+EF≥BF,等号当且仅当E在线段BF上。 过B作BH⊥AC,垂足为H。若H在A处或在A外侧，则由勾股定理有 BC2-BA2=HC2-HA2≥AC2=25,与36-25=11矛盾；若H在C处或在C外侧，则 BA2≥BC2+AC2,也矛盾。因此H在线段AC内部。 设AH=X,由勾股定理，m=25-=36-(5-x,解得x=日，所以BH-24 AM=号AH=号，故点序为A,H,M,C。对F∈MC,有HF≥HM=贵 由勾股定理， Br产-m+Hr+品署，且仅F=M取等。 连接BM,与AD交于T。BM和AD都连接三角形顶点与对边内部点，所以T在两条线段内部。当 F=M,E=T时，CE+EF=BE+EM=BM=罗，两次等号同时成立，且这两个点唯-。 第7页共21页 3一个终点也能移动 折线展开后仍要在目标线段或射线上寻找最近点。 例3∠XOY=45°，点M在角内部，MH⊥OX于H,OH=3,MH=1。点P,Q分别在射线 OY,OX上。求MP+PQ的最小值，并作出取等时的点P,Q。 H 分析 终点也在移动时，展开后的目标不是一个固定线段，而是点到射线的距离。求出垂足以后，还 要确认垂线段确实穿过第一条射线。 解答 作M关于直线OY的对称点M。将射线OX及线段MH一同对称，H的像记为J。由∠XOY=45°， 有OJ⊥OX,OJ=3,JM=1,且JM‖OX。M在由OX,OJ围成的直角内部。 过M作MK⊥OX于K,则K在正射线OX上。连接OM。在△OM和△MKO中， ∠OJM=ㄥMKO=90 ∠JOM=∠KMO OM=MO △OJM≡△MKO(AAS)。 所以OK=JM=1,MK=OJ=3。 因为P在对称轴OY上，MP=MP,所以MP+PQ=MP+PQ≥MQ。 由垂线段最短，MQ≥MK=3,且仅Q=K取等。设MK与射线OY交于T。在等腰直角△OKT 中，KT=OK=1<3=MK,故T在线段MK内部。 取P=T,Q=K,有MP+PQ=MK,两次等号同时成立。故最小值为3，上述两点就是唯一的 取等位置。 第8页共21页 变式3-1∠XOY=45°，点M在角内部，MH⊥OX于H,OH=3,MH=1。在射线OX上取 U,V,使OU=2,OV=4。点P在射线OY上，点Q在线段UV上。求MP+PQ的最小值，并作出 取等时的点P,Q。 11 UO H 分析 垂足K虽然在射线上，却不在线段UV内。先选出离垂足最近的允许端点，再检查连接该端点的 线段能否穿过OY。 解答 作M关于直线OY的对称点M。将射线OX及线段MH一同对称，H的像记为J。由∠XOY=45°， 有OJ⊥OX,OJ=3,JM=1,且JM‖OX。M在由OX,OJ围成的直角内部。 过M作MK⊥OX于K,则K在正射线OX上。连接OM。在△OJM和△MKO中， ∠OJM=∠MKO=90 ∠JOM=∠KMO OM=MO △OJM兰△MKO(AAS)。 所以OK=JM=1,MK=OJ=3。 因为P在对称轴OY上，MP=MP,所以MP+PQ=MP+PQ≥MQ。 点序为O,K,U,V。对Q∈UV,有KQ≥KU=1,故由勾股定理，MQ=9+KQ2≥10，且仅Q=U 取等。 OM在直角XOJ内部，且M位于OY的J侧；射线OY在∠MOU内部。因此它与△OMU的对边 MU交于内部点T。取P=T,Q=U,则MP+PQ=MU=√10。由两次等号条件可知取等点唯 第9页共21页 4两边上的闭合路径 分别反射起点和终点，检查展开线段是否依次穿过两条正射线。 例4∠XOY=60°，点M在该角的平分线上，OM=6。点P,Q分别在射线OX,OY上，允许与O重 合。求MP+PQ+QM的最小值，并作出取得最小值时的P,Q。 分析 两次反射分别处理路径的首段和末段，中间的PQ保留。除了求反射像间的距离，还要核实展开 线段按先P后Q的次序穿过两条正射线。 解答 分别作点M关于直线OX,OY的对称点U,V,连接UV。对任意允许的P,Q,有MP=UP, MQ=VQ,所以MP+PQ+QM=UP+PQ+QV≥UV。 OU=OV=OM=6,且∠UOV=120°。过O作OH⊥UV于H。由等腰三角形三线合一， UH=HW,∠U0H=60°，故∠0UH=30,OH=0U=3。由勾股定理，UH=3V3,于是 UV=6V3。 射线OX,OY依次位于∠UOV内部，因此它们分别与三角形OUV的对边UV交于Po,Q。,且点序 为U,Po,Qo,V。取P=P,Q=Q时，三段恰好组成UV,等号成立。反之，等号要求四点依此次 序共线，故取等位置唯一。 第10页共21页 变式4一1∠XOY=60°，点M在该角内部，OM=6,但不要求OM平分该角。点P,Q分别在射 线OX,OY上，允许与O重合。求MP+PQ+QM的最小值，并作出取得最小值时的P,Q。 V 分析 角平分线位置并不是最短长度不变的必要条件。需要重新求反射像所夹的角；作底边高时，不 能仍把OM当作这条高。 解答 分别作点M关于直线OX,OY的对称点U,V,连接UV。对任意允许的P,Q,有MP=UP, MQ=VQ,所以MP+PQ+QM=UP+PQ+QV≥UV。 设∠XOM=a,则0<a<60°。由轴对称，∠UOX=a,∠YOV=60°-a。按射线OU,OX,OY,OV 的顺序相加，得∠UOV=a+60+(60-)=120。 OU=OV=OM=6,且∠UOV=120°。过O作OH⊥UV于H。由等腰三角形三线合一， UH=HW,∠U0H=60,故20UH=30,0H=号0U=3。由勾股定理，UH=33,于是 UV=6V3。 射线OX,OY依次位于∠UOV内部，因此它们分别与三角形OUV的对边UV交于P。,Qo,且点序 为U,P,Qo,V。取P=P,Q=Q时，三段恰好组成UV,等号成立。反之，等号要求四点依此次 序共线，故取等位置唯一。 第11页共21页 5两定两动的路径 按行走顺序选择两个反射轴，不能只比较反射像间的距离。 例5∠XOY=45°。点A在射线OY上，点B在射线OX上，OA=2V2,OB=6。点P,Q分别在射线 OX,OY上。求AP+PQ+QB的最小值，并作出取得最小值时的P,Q。 V K A X 分析 首尾是不同定点时，分别关于首段、末段所接触的轴反射。展开之后必须保持路径原有的穿线 次序。 解答 作A关于直线OX的对称点U,作B关于直线OY的对称点V。则 AP+PQ+QB=UP+PQ+QV≥UV。 由轴对称，∠UOX=45°，∠Y0V=45°，故OV⊥OX,OV=6。作AH⊥OX于H,由等腰直角 三角形AOH及轴对称，OH=AH=UH=2。 过V作VK‖OX交直线UH于K,连接HV。由平行线所成的角，在△HOV和△KH中， ∠OHV=∠KH HV=VH ∠OH=∠HV △HOV≡△VKH(ASA)。 所以HK=OV=6,VK=OH=2。于是UK=UH+HK=8,由勾股定理得UV=V8+2=2V17。 在△OUV中，∠UOV=135°，射线依次为OU,OX,OY,OV。故两射线依次交对边UV于Po,Qo, 点序为U,P。,Qo,V。取这两个交点时等号成立，且只有这两个交点能使三段组成UV。 第12页共21页 变式5-1∠XOY=90°。点M,N都在该角内部；M到直线OX,OY的距离依次为1,4，N到直线 OX,OY的距离依次为4,1。点P,Q分别在射线OX,OY上。求MP+PQ+QN的最小值，并确定取 得最小值时的OP,OQ。 分析 角内的两个定点不能直接连成经过两边的路径。反射后利用等腰直角三角形求交点，明确它们 确实落在两条正射线上。 解答 作M关于直线OX的对称点U,作N关于直线OY的对称点V。则 MP+PQ+QN=UP+PQ+QV≥UV。 作UH⊥OX于H,VJ⊥OY于J。由已知垂距及轴对称，OH=OJ=4,UH=VJ=1,且U与M在 OX两侧，V与N在OY两侧。过V作VKOX交直线UH于K。连接HJ。由平行线所成的角，在 △HOJ和△JKH中， ∠OHJ=ㄥKJH HJ=JH ∠OJH=∠KHJ △HOJ兰△JKH(ASA)。 故HK=OJ=4,JK=OH=4。于是UK=VK=5,△UKV为等腰直角三角形，UV=5V2。 从H沿射线HO取P。,使HP。=UH=1,则OP=3,∠HUPo=45。因∠KUV=45°，射线UP与 UV重合。类似地，从J沿射线JO取Q使JQ。=JV=1,则OQo=3且Qo在UV上。因此U,Po,Qo,V 依次共线，两点都在允许射线上。 取P=P。,Q=Q,时等号成立；等号又要求三段依次组成UV,故所求位置唯一。 第13页共21页 四分层练习 基础巩固 1.点A,B在直线HK的两侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=3,BK=5,HK=6。点P在直线HK 上。求AP+PB的最小值，并作出取等点。 A 分析 先观察两定点分居直线两侧。原来的两段已能拼成AB,不需要反射。 解答 连接AB交HK于T。由三角形两边之和大于第三边，AP+PB≥AB,且仅P=T取等。 过B作BJ‖HK交AH的延长线于J。连接HB。在△HKB和△BJH中， ∠HKB=∠BJH=90 ∠KHB=∠JBH HB=BH △HKB≌△BJH(AAS)。 所以BJ=HK=6,HJ=BK=5。 A,H,J依次共线，AJ=3+5=8。在直角三角形AJB中，AB=V82+62=10。所以最小值为10，且 只有P=T取得。 2.点B,A,C依次在同一直线上，BA=2,AC=3。点P在线段BC上，求AP+PB的最小值，并确 定所有取得最小值的点P。 分析 三角不等式取等要求中间点在线段上，不意味着只能有一个位置。这里两定点都在允许直线 上。 解答 当P在线段BA上（含端点)时，AP+PB=AB=2。当P在线段AC上且P≠A时，PB=BA+AP, 所以AP+PB=2+2AP>2。因此最小值为2，所有取等点组成整条线段BA。 第14页共21页 方法运用 3.在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为BC中点。直线l为AB的垂直平分线，点P在I上 且不在直线BC上。求△PBD周长的最小值，并作出取等时的点P。 A 分析 先把动点到B的距离换成到A的距离，再把周长中的固定边分离出来。取等点必须同时满足等距 约束与在线段AD上。 解答 连接AD。由等腰三角形的三线合一，AD⊥BC,BD=3。由勾股定理，AD=V25-9=4。 因为P在AB的垂直平分线上，所以PB=PA。因此PB+PD+BD=PA+PD+3≥AD+3=7,等号须 P在线段AD上。 在线段AD上取T,使DT名，则AT-日，由勾股定理，BT'=9+名”=百=AT,所以 BT=AT,从而T在1上。于是I与AD交于内部点T,它不在BC上，取P=T确能达到周长7。 直线与AD只有这一个交点，所以取等位置唯一。作出l∩AD即可。 第15页共21页 4.在△ABC中，AB=6,AC=10,BC=8,AD平分∠BAC,交BC于D。点E在AC上，且 AE=AB,点P在线段AD上且P≠A。求△PEC周长的最小值，并确定取等时点P的位置。 B D A E 分析 题目没有直接给出对称点，要先用角平分与两边相等证明PB=PE。再把固定边EC留下，变化 的两边便能拼成BC。 解答 因为AP平分∠BAE,在△ABP和△AEP中， AB=AE ∠BAP=∠EAP AP=AP △ABP=△AEP(SAS)。 所以PB=PE,且EC=AC-AE=4。于是PE+PC+EC=PB+PC+4≥BC+4=12。 等号当且仅当P在线段BC上。AD与BC交于内部点D,所以只有P=D取等。由于D不在AC上， △DEC不退化，故所求最小值为12。 第16页共21页 5.OB⊥OC,OB=4,OC=1。过C作CD⊥OC,使D,B在直线OC同侧且CD=2。过D作 DH⊥OB于H。点P在线段OB上。求CP+DP的最小值及取等时的OP。 B 分析 所给的短垂线并不是动点所在的轴。确定轴后，再用全等求展开交点的高度，仍须核实它没有 越过B。 解答 作C关于OB的对称点C1,连接C1D交OB于T,连接OD。由两组垂直，OC‖HD。在△OCD和 △DHO中， ∠OCD=∠DHO=90 ∠COD=∠HDO OD=DO △OCD兰△DHO(AAS)。 所以DH=OC=1,OH=CD=2。 在△C,OT和△DHT中， ∠C1OT=∠DHT=90 ∠C1TO=∠DTH OC=HD=1 △C1OT兰△DHT(AAS). 所以OT=HT=1,T在线段OB内部。由勾股定理，C1T=DT=V2。对任意P∈OB, CP+DP=C1P+PD≥C1D=2V2,且仅P=T取等。 第17页共21页 迁移运用 6.∠XOY=90°，点M在该角内部，OM=5。点P,Q分别在射线OX,OY上，允许P=Q=O。求 MP+PQ+QM的最小值，并确定全部取等位置。 分析 最优位置可能使两个动点重合。题目求的是路径长度之和，不是要求非退化三角形的周长。 解答 分别作M关于直线OX,OY的对称点U,V。设∠XOM=a,则0<a<90°。由轴对称，按 OU,OX,OY,OV的顺序，∠UOV=a+90+(90-a)=180。所以U,O,V共线，且OU=OV=5。 MP+PQ+QM=UP+PQ+QV≥UV=10。等号要求U,P,Q,V依次在同一直线上；直线UV与两 条射线的唯一交点均为O,所以只能P=Q=O。此时原式为MO+OM=10,确实可取。 第18页共21页 五综合提高 1.点A,B在直线HK同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=2,BK=4,HK=6。点P在线段HK 上。求AP+PB的最大值和最小值，并分别确定取等位置。 H K 分析 反射直接解决最小值，却不能直接给出最大值。先用两侧严格比较把最大值缩到两个端点，再 比较两个含根式的数。 解答 作A关于HK的对称点A1,连接A1B交HK于T。过B作BJ‖HK交直线AH于J。连接HB。在 △HKB和△BJH中， ∠HKB=∠BJH=90 ∠KHB=∠JBH HB=BH △HKB≡△BJH(AAS)。 故BJ=6,HJ=4,A1J=6,所以A,B=6V2。 T在HK内部，故仅P=T时取得最小值6V2。又△A1JB为等腰直角三角形，因此∠A,TH=45, HT=A1H=2。 在HT上，距离和向T严格减小；在TK上，距离和离开T严格增大。因此最大值只能在H,K中取 得。在H处为2+2V13,在K处为4+2V10。 因为V3-10=3而<1，所以2+2V3<4+2V10。最大值为4+210，仅P=K取等。 V13+V10 第19页共21页 2.∠XOY=120°，点M在该角的平分线上，OM=4。点P,Q分别在射线OX,OY上，允许 P=Q=O。求MP+PQ+QM的最小值，并确定全部取等位置。 X 分析 两条边是射线而不是整条直线。此时应直接利用垂距建立在允许范围内可取的下界，再逐一检 查等号。 解答 设OP=u,OQ=v,其中u,v≥0。作PH1直线OM,QK⊥直线OM,垂足为H,K。当P或Q与O 重合时，相应垂足也取O。由∠POM=∠QOM=60°，利用含30°角的直角三角形及勾股定理， 得0-号，Pm-,oK-当，QK-。 2 由垂线段最短，MP≥MH=4-兰≥4-兰，同理MQ≥4-兰若u,v>0,线段PQ与直线OM交于 R,则PQ=PR+RQ≥PH+QK-u+v.若其中一个为0，该不等式仍由斜线不短于毫线段 得到；两者均为0时也成立。 MP+PQ+QM8+3,u+v28。因为3-1>0，若u+v>0,路径和严格大 u=v=0时，即P=Q=O时，路径和恰为8。 第20页共21页 3.点A,B在直线HK同侧，AH⊥HK,BK⊥HK,AH=3,HK=8,BK>0。已知点P在直线 HK上运动时，AP+PB的最小值为10。(1)求BK,(2）点U在线段HK上，若把P的活动范 围改为线段HU,最小值仍为10，求HU的取值范围。 A( B H A1 分析 把已知最小值还原为反射像之间的长度，再反求垂距；第二问利用唯一取等点确定允许范围， 不必把每个范围的最小值逐一求出。 解答 作A关于HK的对称点A1。由反射保距及取等条件，A1B=10。过B作BJ‖HK交直线AH于J(J 可能与A重合)。由已证的平行线间垂距性质，BJ=HK=8,HJ=BK。A1,H,J依次共线，所 以A1J=3+BK。 由勾股定理，(3+BK2+82=10。因为BK>0,所以3+BK=6,BK=3。 设T=A,BnHK。在△A1HT和△BKT中， ∠A1HT=∠BKT=90 ∠A1TH=∠BTK A H=BK=3 △A1HT兰△BKT(AAS)。 故HT=KT=4,在整条直线上仅P=T取得10。 若4≤HU≤8，则T∈HU,仍能取到10，若0≤HU<4,则允许的每个点都不同于T,距离和均 大于10。因此所求范围为4≤HU≤8。 第21页共21页