微专题14 等腰三角形的存在性与分类讨论 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

专题十四等腰三角形的存在性与分类讨论培优专题讲与练 一必备知识 等腰三角形的存在问题，先确定哪两边相等，再检查三角形是否成立、点是否在规定范围内， 最后合并重复位置。 1等腰、等边与非退化 有两边相等的三角形叫等腰三角形；这两边是腰，第三边是底。三边相等的等边三角形也是等 腰三角形。 在△ABC中，等腰的三种边身份是AB=AC、AB=BC、AC=BC。它们不是三个互不相交的类 别：等边三角形同时满足三种关系。 正数1,1，b能组成三角形，当且仅当21>b。21=b时三点共线，不是三角形。例如两种边长为3,6 时，腰只能为6，周长为15。 证明 三角形两边之和必须大于第三边。对l,1,b,另外两式1+b>1由b>0自动成立，因此只须再检验 21>b。 右侧D、E、F共线，DE=EF仍不能把它们称为等腰三角形。 2点域、边身份与检查顺序 求△ABP为等腰三角形的位置时，依次考虑AP=AB、BP=AB、AP=BP。若P=A或P=B,或者 A,B,P共线，即使某个长度等式成立，也必须舍去。 线段包括两个端点；射线只保留起点的一侧；直线包含两个方向。若题目规定内部点，则两个 端点均不取。 由等腰性质可以把边身份换为两底角相等；反过来，两角相等也能确认对应的两边相等。 证明 每一分支都需完成“求候选一检查点域一代回确认”。不同分支得到同一点时只计一次；同一长 度在直线两侧对应两个点时不能漏计。 图中P只是线上一般位置，不预先假定三角形ABP等腰。 第1页共13页 3平移的含义 把图形的每一点沿同一方向移动相同距离，叫作平移。若线段AB平移后成为EF,则A对应E、 B对应F,AE=BF且移动方向相同，EF=AB。 本专题的平移均沿指定直线方向。距离取正数，不把“没有移动”算作一次有效位置。 证明 平移保持线段长度和角的大小。求△AEF是否等腰时，固定边是EF,另外两边是AE,AF,不 能把AB直接当作三角形AEF的一条边。 腰上的高足内外分类已学过；本专题只沿用“先限定位置，再列关系”的原则。 二典例精讲 三种等长关系与点的位置 等长关系给出候选，点域与重复检查给出最终位置。 例题在直角三角形AOB中，AO⊥B0,AO=5,BO=12。把线段AB沿射线BO的方向平移，得 到线段EF,其中A对应E、B对应F,平移距离s>0。当△AEF为等腰三角形时，求s的所有值。 写出解答过程。 A E B 分析 先以已知平移边为固定边；三类等长关系只给候选，必须补上正距离、非共线与去重检查。 解 由勾股定理，AB=13。平移给出AE=s,EF=13。F在直线BO上，OF=|s-12|无论F在O哪一 侧，都有AF2=25+(s-12)2。F=0时这个等式也成立。 第一类，AE=EF,得s=13。 第二类，AE=AF。长度为正，可比较平方：s2=25+(s-122。展开消去s2,得24s=169,所以 5s169 24 第三类，EF=AF。得169=25+(s-122,所以s-12=12,即s=0或s=24。s=0不符合正向移 动，且E=A,舍去。 三个保留值均为正且互不相同。AE所在直线与BO平行且相距5，所以F不在直线AE上；每一候 选都给出非退化三角形。逐项代回各等长关系均成立，每个距离唯一确定一次平移。 第2页共13页 三分类讲练 1边长身份与成立条件 腰和底互换以后，三角形不一定仍然存在。 例1已知0<a<b。一个等腰三角形的三边中同时出现长度a,b。求其所有可能的周长，并写出 各自成立的条件。 变式1一1等腰三角形的底边长为b>0,且其中一边长是另一边长的k倍，k>1。求腰长的所有 可能值及其成立条件。 第3页共13页 变式1一2一个等腰三角形的周长为18，其中一边长为x。求x的取值范围，并按x的取值确定有 几种不同的三边长度组合。 2三种等长关系与点的位置 等长关系给出候选，点域与重复检查给出最终位置。 例2AO⊥OB,AO=3,OB=4。点P在直线OB上且P≠B。当△ABP为等腰三角形时，求P的所 有位置。写出解答过程。 B 第4页共13页 变式2-1A01OB,A0-3,OB=4,点P在直线OB上，且△ABP的面积为.求使△ABP为 等腰三角形的所有点P的位置。若再要求P在射线OB上，结果怎样？ A O P 例3AO⊥BO,AO=2V3,BO=2。线段AB沿射线BO方向平移距离s>0后成为EF,A对应E,B 对应F。求使△AEF为等腰三角形的所有s,并求不同位置的个数。 A E B 第5页共13页 变式3一1AO⊥BO,AO=a>0,BO=b>0。线段AB沿射线BO方向平移距离s>0后成为EF,对 应关系为A一E,B一F。求恰好只有一个等腰三角形AEF位置时a,b应满足的关系；其余情况下 共有几个位置？ 3两个等腰条件同时成立 分别分类，再找出两边能够同时成立的组合。 例4在△ABC中，AB=AC。点D在线段BC内部，BD=AB,且△ACD为等腰三角形。求 ∠BAC。写出解答过程。 A 0 第6页共13页 变式4-1在△ABC中，AB=AC。点D在线段AC内部，AD=BD,且△BCD为等腰三角形。求 ∠BAC的所有可能值。写出解答过程。 A 四分层练习 迁移运用 1.用两种不同的正长度作等腰三角形的边，交换腰和底后，两种三角形都能成立，周长分别为 16和17。求这两种长度，并分别写出对应的三边长。 第7页共13页 2.一个等腰三角形的周长为26，其中一边长为10。求其面积的所有可能值。写出解答过程。 3.一个等腰三角形有一个内角为40°。求这个三角形三个内角的所有可能组合。若另有一个内 角为钝角，应取哪一种？ 第8页共13页 4.AO⊥OB,AO=OB=2。点P≠B。（1)若P在线段OB上，求使△ABP为等腰三角形的所有 位置；(2)若把活动范围改为射线OB,求全部位置。 P B 5.AB=2。从B引射线r,使r与射线BA的夹角为30°。点P在r上且P≠B。当△ABP为等腰三角形 时，求BP的所有值。写出解答过程。 A B P 第9页共13页 6.AB=2,从B引射线r,使r与射线BA的夹角为120°。点P≠B在r上。求使△ABP为等腰三角形 的所有BP。 B P 7.AOL BO,AO=5,BO=12。线段AB沿射线OB的方向平移距离t>0,成为EF,其中A对应 E、B对应F。求使△AEF为等腰三角形的所有t。写出解答过程。 E y 第10页共13页 8.固定线段AB,从B引一条射线r,与射线BA的夹角为0，其中0°<0<180°。点P≠B在r上。按0 的取值，求使△ABP为等腰三角形的不同位置个数。写出解答过程。 第11页共13页 五综合提高 1.线段AB=6。直线l‖AB,l上的点到直线AB的距离都为h>0。点P在l上。求使△ABP为等腰 三角形的位置个数，并写出对应的h的条件。写出解答过程。 第12页共13页 2.在△ABC中，AB=AC。过一个顶点作一条直线，与该顶点的对边内部相交，把△ABC分成 两个等腰三角形。求∠BAC的所有可能值，并分别求每一种情况下满足条件的分割直线条数。 写出解答过程。 第13页共13页专题十四等腰三角形的存在性与分类讨论培优专题讲与练 一必备知识 等腰三角形的存在问题，先确定哪两边相等，再检查三角形是否成立、点是否在规定范围内， 最后合并重复位置。 1等腰、等边与非退化 有两边相等的三角形叫等腰三角形；这两边是腰，第三边是底。三边相等的等边三角形也是等 腰三角形。 在△ABC中，等腰的三种边身份是AB=AC、AB=BC、AC=BC。它们不是三个互不相交的类 别：等边三角形同时满足三种关系。 正数1,1，b能组成三角形，当且仅当21>b。21=b时三点共线，不是三角形。例如两种边长为3,6 时，腰只能为6，周长为15。 证明 三角形两边之和必须大于第三边。对l,1,b,另外两式1+b>1由b>0自动成立，因此只须再检验 21>b。 右侧D、E、F共线，DE=EF仍不能把它们称为等腰三角形。 2点域、边身份与检查顺序 求△ABP为等腰三角形的位置时，依次考虑AP=AB、BP=AB、AP=BP。若P=A或P=B,或 者A,B,P共线，即使某个长度等式成立，也必须舍去。 线段包括两个端点；射线只保留起点的一侧；直线包含两个方向。若题目规定内部点，则两个 端点均不取。 由等腰性质可以把边身份换为两底角相等；反过来，两角相等也能确认对应的两边相等。 证明 每一分支都需完成“求候选一检查点域一代回确认”。不同分支得到同一点时只计一次；同一长 度在直线两侧对应两个点时不能漏计。 图中P只是线上一般位置，不预先假定三角形ABP等腰。 第1页共14页 3平移的含义 把图形的每一点沿同一方向移动相同距离，叫作平移。若线段AB平移后成为EF,则A对应E、 B对应F,AE=BF且移动方向相同，EF=AB。 本专题的平移均沿指定直线方向。距离取正数，不把“没有移动”算作一次有效位置。 证明 平移保持线段长度和角的大小。求△AEF是否等腰时，固定边是EF,另外两边是AE,AF,不 能把AB直接当作三角形AEF的一条边。 腰上的高足内外分类已学过；本专题只沿用“先限定位置，再列关系”的原则。 二典例精讲 三种等长关系与点的位置 等长关系给出候选，点域与重复检查给出最终位置。 例题在直角三角形AOB中，AO⊥BO,AO=5,BO=12。把线段AB沿射线BO的方向平移，得 到线段EF,其中A对应E、B对应F,平移距离s>0。当△AEF为等腰三角形时，求s的所有 值。写出解答过程。 A E 分析 先以已知平移边为固定边；三类等长关系只给候选，必须补上正距离、非共线与去重检查。 解 由勾股定理，AB=13。平移给出AE=s,EF=13。F在直线B0上，OF=s-12:无论F在O哪一 侧，都有AF2=25+(s-122。F=0时这个等式也成立。 第一类，AE=EF,得s=13。 第二类，AE=AF。长度为正，可比较平方：s2=25+(s-12)2。展开消去s2,得24s=169,所以 9=16g 24° 第三类，EF=AF。得169=25+(s-122,所以s-12=12,即s=0或s=24。s=0不符合正向移 动，且E=A,舍去。 第2页共14页 三个保留值均为正且互不相同。AE所在直线与BO平行且相距5，所以F不在直线AE上；每一候 选都给出非退化三角形。逐项代回各等长关系均成立，每个距离唯一确定一次平移。 第3页共14页 三分类讲练 1边长身份与成立条件 腰和底互换以后，三角形不一定仍然存在。 例1已知0<a<b。一个等腰三角形的三边中同时出现长度a,b。求其所有可能的周长，并写出 各自成立的条件。 变式1一1等腰三角形的底边长为b>0,且其中一边长是另一边长的k倍，k>1。求腰长的所有 可能值及其成立条件。 第4页共14页 变式1一2一个等腰三角形的周长为18，其中一边长为x。求x的取值范围，并按x的取值确定 有几种不同的三边长度组合。 2三种等长关系与点的位置 等长关系给出候选，点域与重复检查给出最终位置。 例2AO⊥OB,AO=3,OB=4。点P在直线OB上且P≠B。当△ABP为等腰三角形时，求P的所 有位置。写出解答过程。 B 第5页共14页 变式2-1A01OB,A0=3,0B=4,点P在直线OR上，且△ABP的面积为5。求使△AB即为 等腰三角形的所有点P的位置。若再要求P在射线OB上，结果怎样？ A 0 B 例3AO⊥B0,AO=2V3,BO=2。线段AB沿射线BO方向平移距离s>0后成为EF,A对应E, B对应F。求使△AEF为等腰三角形的所有s,并求不同位置的个数。 A B 第6页共14页 变式3-1AO⊥BO,AO=a>0,BO=b>0。线段AB沿射线BO方向平移距离s>0后成为EF, 对应关系为A一E,B一F。求恰好只有一个等腰三角形AEF位置时a,b应满足的关系；其余情况 下共有几个位置？ 3两个等腰条件同时成立 分别分类，再找出两边能够同时成立的组合。 例4在△ABC中，AB=AC。点D在线段BC内部，BD=AB,且△ACD为等腰三角形。求 ∠BAC。写出解答过程。 A D 第7页共14页 变式4一1在△ABC中，AB=AC。点D在线段AC内部，AD=BD,且△BCD为等腰三角形。求 ∠BAC的所有可能值。写出解答过程。 四分层练习 迁移运用 1.用两种不同的正长度作等腰三角形的边，交换腰和底后，两种三角形都能成立，周长分别为 16和17。求这两种长度，并分别写出对应的三边长。 第8页共14页 2.一个等腰三角形的周长为26，其中一边长为10。求其面积的所有可能值。写出解答过程。 3.一个等腰三角形有一个内角为40°。求这个三角形三个内角的所有可能组合。若另有一个内 角为钝角，应取哪一种？ 第9页共14页 4.AO⊥OB,AO=OB=2。点P≠B。（1)若P在线段OB上，求使△ABP为等腰三角形的所有 位置；(2)若把活动范围改为射线OB,求全部位置。 0 B 5.AB=2。从B引射线r,使r与射线BA的夹角为30°。点P在r上且P≠B。当△ABP为等腰三角 形时，求BP的所有值。写出解答过程。 A B P 第10页共14页 6.AB=2,从B引射线r,使r与射线BA的夹角为120°。点P≠B在r上。求使△ABP为等腰三角形 的所有BP。 y P 7.AO⊥BO,AO=5,BO=12。线段AB沿射线OB的方向平移距离t>0,成为EF,其中A对应 E、B对应F。求使△AEF为等腰三角形的所有t。写出解答过程。 E A 第11页共14页 8.固定线段AB,从B引一条射线r,与射线BA的夹角为0，其中0°<0<180°。点P≠B在r上。按 的取值，求使△ABP为等腰三角形的不同位置个数。写出解答过程。 第12页共14页 五综合提高 1.线段AB=6。直线I‖AB,I上的点到直线AB的距离都为h>0。点P在I上。求使△ABP为等腰 三角形的位置个数，并写出对应的h的条件。写出解答过程。 第13页共14页 2.在△ABC中，AB=AC。过一个顶点作一条直线，与该顶点的对边内部相交，把△ABC分成 两个等腰三角形。求∠BAC的所有可能值，并分别求每一种情况下满足条件的分割直线条数。 写出解答过程。 第14页共14页 专题十四 等腰三角形的存在性与分类讨论 培优专题讲与练 一 必备知识 等腰三角形的存在问题，先确定哪两边相等，再检查三角形是否成立、点是否在规定范围内，最后合并重复位置。 1 等腰、等边与非退化 有两边相等的三角形叫等腰三角形；这两边是腰，第三边是底。三边相等的等边三角形也是等腰三角形。 在中，等腰的三种边身份是它们不是三个互不相交的类别：等边三角形同时满足三种关系。 正数能组成三角形，当且仅当时三点共线，不是三角形。例如两种边长为时，腰只能为周长为 证明 三角形两边之和必须大于第三边。对另外两式由自动成立，因此只须再检验 右侧D、E、F共线，DE=EF仍不能把它们称为等腰三角形。 2 点域、边身份与检查顺序 求为等腰三角形的位置时，依次考虑若或或者共线，即使某个长度等式成立，也必须舍去。 线段包括两个端点；射线只保留起点的一侧；直线包含两个方向。若题目规定内部点，则两个端点均不取。 由等腰性质可以把边身份换为两底角相等；反过来，两角相等也能确认对应的两边相等。 证明 每一分支都需完成“求候选—检查点域—代回确认”。不同分支得到同一点时只计一次；同一长度在直线两侧对应两个点时不能漏计。 图中P只是线上一般位置，不预先假定三角形ABP等腰。 3 平移的含义 把图形的每一点沿同一方向移动相同距离，叫作平移。若线段平移后成为则对应对应且移动方向相同， 本专题的平移均沿指定直线方向。距离取正数，不把“没有移动”算作一次有效位置。 证明 平移保持线段长度和角的大小。求是否等腰时，固定边是另外两边是不能把直接当作三角形的一条边。 腰上的高足内外分类已学过；本专题只沿用“先限定位置，再列关系”的原则。 二 典例精讲 三种等长关系与点的位置 等长关系给出候选，点域与重复检查给出最终位置。 例题 在直角三角形中，把线段沿射线的方向平移，得到线段其中对应对应平移距离当为等腰三角形时，求的所有值。写出解答过程。 分析 先以已知平移边为固定边；三类等长关系只给候选，必须补上正距离、非共线与去重检查。 解 由勾股定理，平移给出在直线上，无论在哪一侧，都有时这个等式也成立。 第一类，得 第二类，长度为正，可比较平方：展开消去得所以 第三类，得所以即或不符合正向移动，且舍去。 三个保留值均为正且互不相同。所在直线与平行且相距所以不在直线上；每一候选都给出非退化三角形。逐项代回各等长关系均成立，每个距离唯一确定一次平移。 三 分类讲练 1 边长身份与成立条件 腰和底互换以后，三角形不一定仍然存在。 例1 已知一个等腰三角形的三边中同时出现长度求其所有可能的周长，并写出各自成立的条件。 分析 把数值分类推广到两种边长的大小阈值；先保证存在，再计算周长。 解答 两种不同长度必须分别担任腰和底。腰为底为时，恒成立，周长为 腰为底为时，当且仅当成立，周长为 所以时，两周长都存在且不同；时，只存在等号属于退化情形。 变式1－1 等腰三角形的底边长为且其中一边长是另一边长的倍，求腰长的所有可能值及其成立条件。 分析 倍长关系没有预先指定谁大；用三角不等式筛去错误的腰身份。 解答 两腰相等，倍长关系只能出现在腰和底之间。设腰长为则或 时，总能成立。时，等价于 故时，两种腰长均成立且不同；时，只能 变式1－2 一个等腰三角形的周长为其中一边长为求的取值范围，并按的取值确定有几种不同的三边长度组合。 分析 周长使第三边随身份改变；除存在区间，还须合并等边时的同一组边长。 解答 若是底，则两腰均为正长度及两腰和大于底给出 若是腰，则底为底为正且得 因此总范围为时只有底身份一种；时两类都可行。 两类组合重复必须三边全相等，即此时只计一组其余均有两组。 2 三种等长关系与点的位置 等长关系给出候选，点域与重复检查给出最终位置。 例2 点在直线上且当为等腰三角形时，求的所有位置。写出解答过程。 分析 从平移迁移到固定直线；一个距离可能对应两点，必须同时处理方向和重合点。 解答 由勾股定理，按三种等长关系分类。 若勾股定理给朝方向的点是舍去；留下射线的反向射线上的点。 若在两侧各有一点：一处越过且另一处越过且 若先设在射线上，有得在线段内部。若在反向射线上且则得与矛盾。 保留四点不同，均不等于不在直线上，所以均非退化。由各式代回，可验证各自确有两边相等，每个指定方向和距离确定唯一一点。 变式2－1 点在直线上，且的面积为求使为等腰三角形的所有点的位置。若再要求在射线上，结果怎样？ 分析 面积先固定活动底边，等腰关系随后确认；不必把三类重复计算一遍。 解答 以为底，高恒为所以得又故面积条件给出的两个点都自动满足等腰条件。 点在两侧各有一处：越过且或越过且两点都不等于且不在线上，故合法。 若限制在射线上，只保留的点。 例3 线段沿射线方向平移距离后成为对应对应求使为等腰三角形的所有并求不同位置的个数。 分析 三种边身份可以同时落在同一个等边三角形上，分类数量不等于位置数量。 解答 由勾股定理，所以且 给给解得给得或舍去 三类保留的都是此时为同一个等边三角形，只计一个位置。且不在所在直线上，故位置真实存在。 变式3－1 线段沿射线方向平移距离后成为对应关系为求恰好只有一个等腰三角形位置时应满足的关系；其余情况下共有几个位置？ 分析 从特例反求一般条件；证明不可能恰有两个位置，不能只验证某个等边实例。 解答 设则 三种等长关系依次给出（第三类另有舍去）。三个保留值均正，且每一值给出非退化的三角形。 若因可得若则也得因此任意两候选相等，都使三者同时相等。 等价于此时三边相等，只有一个位置；不满足该关系时三个候选两两不同，恰有三个位置。 3 两个等腰条件同时成立 分别分类，再找出两边能够同时成立的组合。 例4 在中，点在线段内部，且为等腰三角形。求写出解答过程。 分析 先用给定的腰身份固定一侧，再分类另一侧；零角意味着切线退化，必须剔除。 解答 设则且 由得所以即 对分类：若则代入得解得故顶角为 若则代入得退化，舍去。 若则所以迫使不符合为内部点。 取顶角的等腰三角形，从向内部作的射线，唯一交内部于此时的角为故中故因此该答案可以实现。 变式4－1 在中，点在线段内部，且为等腰三角形。求的所有可能值。写出解答过程。 分析 切线从底角出发后，分角必须小于原底角；用角域保证构造交于对边内部。 解答 设所以由知在内部，故 的三个角分别为 若则得舍去。若则得所以 若则所以两种保留值均满足 对每一种保留值，取相应的等腰三角形，从向角内部作的射线，唯一交内部于由确认再由上述对应的两角相等确认等腰。 四 分层练习 迁移运用 1. 用两种不同的正长度作等腰三角形的边，交换腰和底后，两种三角形都能成立，周长分别为和求这两种长度，并分别写出对应的三边长。 分析 逆向先比较哪个周长对应较长腰，再还原并验证两种配置。 解答 设较小长度为较大长度为两周长为与后者比前者大所以 两式相减得代入得两种三角形均存在。 周长对应周长对应 2. 一个等腰三角形的周长为其中一边长为求其面积的所有可能值。写出解答过程。 左图 情况一：为底边上的高。 右图 情况二：为底边上的高。 分析 先从周长恢复两种三角形，再按各自真正的底作高；面积不能沿用同一条底边。 解答 在以下两种情况中，均将三角形记为其中作于 若长为的边是腰，则底长为三角形成立。作底边上的高，高平分底边，由勾股定理得高为面积为 若长为的边是底，则腰长为三角形也成立。底边上的高为面积为 两组边长不同，且两面积的平方分别为所以不重复。 3. 一个等腰三角形有一个内角为求这个三角形三个内角的所有可能组合。若另有一个内角为钝角，应取哪一种？ 分析 等腰中的已知角也有顶角与底角两种身份；附加角型条件再筛一次。 解答 若为顶角，则两底角均为 若为底角，则另一底角也是顶角为 两种角组合都为正且和为都存在。若要求含钝角，只能取 4. 点（1）若在线段上，求使为等腰三角形的所有位置；（2）若把活动范围改为射线求全部位置。 分析 不能把所有端点一律舍去：B使三角形重合退化，O却是合法等腰直角位置。 解答 令则 给即舍去。给在内只有 给得即这时且不共线，因此端点应保留。 在线段上仅有在射线上还有越过的点。两点均已代回验证，且彼此不同。 5. 从引射线使与射线的夹角为点在上且当为等腰三角形时，求的所有值。写出解答过程。 分析 未给垂足长度时先由特殊角补出直角三角形；所得点可能在垂足两侧，平方关系统一处理。 解答 作于由所对直角边等于斜边一半，得勾股定理给设则 给给得或舍去 给得 三个正值两两不同，且射线不与共线，因此每个值都唯一对应一个非退化等腰三角形。 6. 从引射线使与射线的夹角为点在上。求使为等腰三角形的所有 分析 先用角和排除不可能的腰身份，比对每一类都作高列式更直接。 解答 若则底角两角和已超过不可能。 若则同样不可能。 只可能射线上距为的点唯一，且不在射线上，故该点确实给出等腰三角形。 7. 线段沿射线的方向平移距离成为其中对应对应求使为等腰三角形的所有写出解答过程。 分析 方向变化使底线上距离由差变为和，原来的两个分支不再有正距离解。 解答 所以现在在越过的延长线上，故 给若则化为不符合 若则但时不可能。 时且不在所在直线上，故确有且只有一个位置。 8. 固定线段从引一条射线与射线的夹角为其中点在上。按的取值，求使为等腰三角形的不同位置个数。写出解答过程。 时，于为射线上的一般位置。 分析 把长度合并条件译为角条件，同时说明每一分支唯一及等边特殊角的去重。 解答 始终给出唯一的合法位置。若则两角都为若则两角都为所以时，后两类都不可能，只有一个位置。 当时，作于设有令则 三类分别给（另有舍去）、这些值均为正，且各自唯一确定射线上的合法位置。 任意两值相等都等价于此时三值全相等。直角三角形中，等价于也就是 因此且时有三个位置；或时有一个位置。 五 综合提高 1. 线段直线上的点到直线的距离都为点在上。求使为等腰三角形的位置个数，并写出对应的的条件。写出解答过程。 分析 动点线不再经过B：单个等长关系分支可能有零、一、两点；高度阈值与等边重叠需要分别处理。 解答 取中点过作交于若由等腰三角形三线合一得必在直线上，所以只能反过来，与由SAS全等，故这个位置总存在且唯一。 考察作于则勾股定理给若无解；若恰有一个点；若则在两侧各有一处，每一处向作垂线唯一确定一个共两个点。 同理：时无点，时一个点，时两个点。 当时，两点分别在过且朝一侧的垂线上，与均不同，合计三个；当时只有合计一个。 当时，如果前两类有公共点，必有所以公共点只能是由当且仅当这时两组各两个点共享而第三类也是合计三个。 若且前两类共四点互不相同，且不含合计五个。全部点都在上而不会与共线，故均为真实位置。 2. 在中，过一个顶点作一条直线，与该顶点的对边内部相交，把分成两个等腰三角形。求的所有可能值，并分别求每一种情况下满足条件的分割直线条数。写出解答过程。 分析 先按出发顶点分类，再同时满足两个等腰条件；用严格角域剔除退化，并区分角度取值与实际切线条数。 解答 设则分割线只能从之一连到对边内部；过与过的情形对称。 两幅示意图分别表示过过的一般内部切线，只用于标记分类中的点；是否得到两个等腰三角形须由下面的角关系判定。 一、分割线过设交于则的三角为两角相等给出或或最后一种使舍去。同理，只能或 若则得若或二者交换，则对应或若则舍去。 二、分割线过设交于则的三角为等腰给或或第三种使舍去。 的三角为等腰给（舍去），或或把后两式与上一段的前两式分别联立。 组合①：得满足组合②：得也合法。 组合③：得不合舍去。组合④：得舍去。 以上保留的每组角，都能先构造相应的等腰三角形。过时按作内部射线，唯一交内部；过时按作内部射线，唯一交内部。各小三角形的角恰如分类所列，均有两角相等，因此都确能分成两个等腰三角形。 时只有过的角平分线，一条；时过有两个不同分角，两条。或时，过各有一条，过对称地各有一条，共两条。过的两条线不可能重合，否则只能为不能成为有效分割线。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题十四等腰三角形的存在性与分类讨论培优专题讲与练 一必备知识 等腰三角形的存在问题，先确定哪两边相等，再检查三角形是否成立、点是否在规定范围内， 最后合并重复位置。 1等腰、等边与非退化 有两边相等的三角形叫等腰三角形；这两边是腰，第三边是底。三边相等的等边三角形也是等 腰三角形。 在△ABC中，等腰的三种边身份是AB=AC、AB=BC、AC=BC。它们不是三个互不相交的类 别：等边三角形同时满足三种关系。 正数l,L,b能组成三角形，当且仅当21>b。21=b时三点共线，不是三角形。例如两种边长为3,6 时，腰只能为6，周长为15。 证明 三角形两边之和必须大于第三边。对l,1,b,另外两式1+b>1由b>0自动成立，因此只须再检验 21>b。 右侧D、E、F共线，DE=EF仍不能把它们称为等腰三角形。 2点域、边身份与检查顺序 求△ABP为等腰三角形的位置时，依次考虑AP=AB、BP=AB、AP=BP。若P=A或P=B,或者 A,B,P共线，即使某个长度等式成立，也必须舍去。 线段包括两个端点；射线只保留起点的一侧；直线包含两个方向。若题目规定内部点，则两个 端点均不取。 由等腰性质可以把边身份换为两底角相等；反过来，两角相等也能确认对应的两边相等。 证明 每一分支都需完成“求候选一检查点域一代回确认”。不同分支得到同一点时只计一次；同一长 度在直线两侧对应两个点时不能漏计。 图中P只是线上一般位置，不预先假定三角形ABP等腰。 第1页共14页 3平移的含义 把图形的每一点沿同一方向移动相同距离，叫作平移。若线段AB平移后成为EF,则A对应E、 B对应F,AE=BF且移动方向相同，EF=AB。 本专题的平移均沿指定直线方向。距离取正数，不把“没有移动”算作一次有效位置。 证明 平移保持线段长度和角的大小。求△AEF是否等腰时，固定边是EF,另外两边是AE,AF,不 能把AB直接当作三角形AEF的一条边。 腰上的高足内外分类已学过；本专题只沿用“先限定位置，再列关系”的原则。 二典例精讲 三种等长关系与点的位置 等长关系给出候选，点域与重复检查给出最终位置。 例题在直角三角形AOB中，AO⊥B0,AO=5,BO=12。把线段AB沿射线BO的方向平移，得 到线段EF,其中A对应E、B对应F,平移距离s>0。当△AEF为等腰三角形时，求s的所有值。 写出解答过程。 A E B 分析 先以已知平移边为固定边；三类等长关系只给候选，必须补上正距离、非共线与去重检查。 解 由勾股定理，AB=13。平移给出AE=s,EF=13。F在直线BO上，OF=|s-12|,无论F在O哪一 侧，都有AF2=25+(s-122。F=0时这个等式也成立。 第一类，AE=EF,得s=13。 第二类，AE=AF。长度为正，可比较平方：s2=25+(s-122。展开消去s2,得24s=169,所以 s=169 24。 第三类，EF=AF。得169=25+(s-12)2,所以s-12=12,即s=0或s=24。s=0不符合正向移 动，且E=A,舍去。 三个保留值均为正且互不相同。AE所在直线与BO平行且相距5，所以F不在直线AE上；每一候 选都给出非退化三角形。逐项代回各等长关系均成立，每个距离唯一确定一次平移。 第2页共14页 三分类讲练 1边长身份与成立条件 腰和底互换以后，三角形不一定仍然存在。 例1已知0<a<b。一个等腰三角形的三边中同时出现长度a,b。求其所有可能的周长，并写出 各自成立的条件。 分析 把数值分类推广到两种边长的大小阈值；先保证存在，再计算周长。 解答 两种不同长度必须分别担任腰和底。腰为b、底为a时，2b>a恒成立，周长为a+2b。 腰为a、底为b时，当且仅当2a>b成立，周长为2a+b。 所以a<b<2a时，两周长都存在且不同；b≥2a时，只存在a+2b。等号b=2a属于退化情形。 变式1一1等腰三角形的底边长为b>0,且其中一边长是另一边长的k倍，k>1。求腰长的所有 可能值及其成立条件。 分析 倍长关系没有预先指定谁大；用三角不等式筛去错误的腰身份。 解答 两腰相等，倍长关系只能出现在腰和底之间。设腰长为1，则l=kb或b=k1。 1=kb时，21=2kb>b,总能成立。1=时，21>b等价于k<2。 故1<k<2时，两种腰长均成立且不同；k≥2时，只能l=kb。 变式1一2一个等腰三角形的周长为18，其中一边长为x。求x的取值范围，并按x的取值确定有 几种不同的三边长度组合。 分析 周长使第三边随身份改变；除存在区间，还须合并等边时的同一组边长。 解答 若x是底，则两腰均为182，正长度及两腰和大于底给出0<X<9。 若x是腰，则底为18-2x。底为正且2x>18-2x,得号<X<9。 2 因此总范围为0<x<9.0<x≤号时只有底身份一种：2x<9时两类都可行。 9 两类组合重复必须三边全相等，即X=6;此时只计一组(66,6。其余9<x<9均有两组。 第3页共14页 2三种等长关系与点的位置 等长关系给出候选，点域与重复检查给出最终位置。 例2AO⊥OB,AO=3,OB=4。点P在直线OB上且P≠B。当△ABP为等腰三角形时，求P的所 有位置。写出解答过程。 分析 从平移迁移到固定直线；一个距离可能对应两点，必须同时处理方向和重合点。 解答 由勾股定理，AB=5。按三种等长关系分类。 若AP=AB=5,勾股定理给OP=4。朝B方向的点是B,舍去；留下射线OB的反向射线上OP=4 的点。 若BP=AB=5,在B两侧各有一点：一处越过O且OP=1,另一处越过B且OP=9。 若AP=BP,先设P在射线OB上，OP=x≥0。有9+x=x-4,得x=日，在线段OB内部。若P 在反向射线上且0P=u>0,则9+u=u+4,得u=-名，与u>0矛盾。 保留四点不同，均不等于B,A不在直线OB上，所以均非退化。由各式代回，可验证各自确有 两边相等，每个指定方向和距离确定唯一一点。 第4页共14页 变式2-1A01OB,A0-3,OB=4,点P在直线OB上，且△ABP的面积为5.求使△ABP为 等腰三角形的所有点P的位置。若再要求P在射线OB上，结果怎样？ A A B B 分析 面积先固定活动底边，等腰关系随后确认；不必把三类重复计算一遍。 解答 以BP为底，高恒为A0-=3,所以×BP×3= 2,得BP=5。又AB=5,故面积条件给出的两个 点都自动满足等腰条件。 点P在B两侧各有一处：越过O且OP=1,或越过B且OP=9。两点都不等于B,且A不在线上， 故合法。 若限制在射线OB上，只保留OP=9的点。 例3AO⊥BO,AO=2V3,BO=2。线段AB沿射线BO方向平移距离s>0后成为EF,A对应E,B 对应F。求使△AEF为等腰三角形的所有s,并求不同位置的个数。 分析 三种边身份可以同时落在同一个等边三角形上，分类数量不等于位置数量。 解答 由勾股定理，AB=4,所以AE=S,EF=4,且AF2=12+(s-2。 AE=EF给s=4)AE=AF给s2=12+(s-22,解得s=4,EF=AF给(s-22=4,得s=0或4，舍去 s=0。 三类保留的都是s=4。此时AE=EF=AF=4,为同一个等边三角形，只计一个位置。AE>0且F 不在AE所在直线上，故位置真实存在。 第5页共14页 变式3-1AO⊥B0,AO=a>0,BO=b>0。线段AB沿射线BO方向平移距离s>0后成为EF,对 应关系为A一E,B一F。求恰好只有一个等腰三角形AEF位置时a,b应满足的关系；其余情况下 共有几个位置？ 分析 从特例反求一般条件；证明不可能恰有两个位置，不能只验证某个等边实例。 解答 设AB=c>0,则c2=a2+b2。AE=s,EF=c,AF2=a2+s-b。 三种等长关系依次给出=c5秀5-2b(第三类男有s=0,舍去)。三个保留值均正，且每 一值给出非退化的三角形。 因c20可得c=2b若b2b,则c=4b也得c=2b。因此任意在 三者同时相等。 c=2b等价于a=3b2。此时s=2b,三边相等，只有一个位置；不满足该关系时三个候选两两不 同，恰有三个位置。 3两个等腰条件同时成立 分别分类，再找出两边能够同时成立的组合。 例4在△ABC中，AB=AC。点D在线段BC内部，BD=AB,且△ACD为等腰三角形。求 ∠BAC。写出解答过程。 B D 分析 先用给定的腰身份固定一侧，再分类另一侧；零角意味着切线退化，必须剔除。 解答 设∠ABC=∠ACB=B,∠BAD=X,∠DAC=y。则x+y=180°-2B,且X,y>0。 由AB=D得∠MD=∠ADR=X,所以2x+B=180,即x=90-号· 对△ACD分类：若AD=CD,则y=B,代入得90+号=180-2B,解得B=36°，故顶角为108。 若AC=CD,则y=∠ADC=90-号，代入x+y=180-2B得B=0,退化，舍去。 若AC=AD,则∠ADC=B,所以y=180°-2B=∠BAC,迫使x=0°，不符合D为内部点。 取顶角108的等腰三角形，从A向内部作∠BAD=72°的射线，唯一交BC内部于D。此时△ABD 的角为72°，36°，72°，故AB=BD;△ACD中∠DAC=∠ACD=36°，故AD=CD。因此该答案可以 实现。 第6页共14页 变式4一1在△ABC中，AB=AC。点D在线段AC内部，AD=BD,且△BCD为等腰三角形。求 ∠BAC的所有可能值。写出解答过程。 A 分析 切线从底角出发后，分角必须小于原底角；用角域保证构造交于对边内部。 解答 设∠BAC=a,∠ABC=∠ACB=B,所以a+2B=180°。由AD=BD知∠ABD=a。D在AC内 部，故0<a<B。 △BCD的三个角分别为∠CBD=B-a、∠BCD=B、∠BDC=2a。 若BD=CD,则p-a=P,得a=0,舍去。若BC=CD,则B-a=2a,得B=3&,所以a=180。 7 若BC=BD,则B=2a,所以a=36°。两种保留值均满足0<a<B。 对每一种保留值，取相应的等腰三角形，从B向角内部作∠ABD=a的射线，唯一交AC内部于 D。由∠BAD=∠ABD确认AD=BD,再由上述对应的两角相等确认△BCD等腰。 四分层练习 迁移运用 1.用两种不同的正长度作等腰三角形的边，交换腰和底后，两种三角形都能成立，周长分别为 16和17。求这两种长度，并分别写出对应的三边长。 分析 逆向先比较哪个周长对应较长腰，再还原并验证两种配置。 解答 设较小长度为a,较大长度为b。两周长为2a+b与a+2b,后者比前者大b-a>0,所以 2a+b=16,a+2b=17。 两式相减得b-a=1,代入得a=5,b=6.2a=10>6,两种三角形均存在。 周长16对应(5,5,6)，周长17对应(6,6,5)。 第7页共14页 2.一个等腰三角形的周长为26，其中一边长为10。求其面积的所有可能值。写出解答过程。 A y B B H 左图情况一：AB=AC=10,BC=6,AH为底边上的高。 右图情况二：AB=AC=8,BC=10,AH为底边上的高。 分析 先从周长恢复两种三角形，再按各自真正的底作高；面积不能沿用同一条底边。 解答 在以下两种情况中，均将三角形记为△ABC,其中AB=AC,作AH⊥BC于H。 若长为10的边是腰，则底长为26-20=6，三角形成立。作底边上的高，高平分底边，由勾股定 理得高为V102-3=√91，面积为3V91。 若长为10的边是底，则腰长为26,10=8，三角形也成立。底边上的高为V8-5=√39，面积为 539。 两组边长不同，且两面积的平方分别为819,975，所以不重复。 3.一个等腰三角形有一个内角为40°。求这个三角形三个内角的所有可能组合。若另有一个内 角为钝角，应取哪一种？ 分析 等腰中的已知角也有顶角与底角两种身份；附加角型条件再筛一次。 解答 若40为顶角，则两底角均为18040=70。 2 若40°为底角，则另一底角也是40°，顶角为100°。 两种角组合都为正且和为180°，都存在。若要求含钝角，只能取40°，40°，100°。 第8页共14页 4.AO⊥OB,AO=OB=2。点P≠B。（1)若P在线段OB上，求使△ABP为等腰三角形的所有 位置；(2)若把活动范围改为射线OB,求全部位置。 A B 分析 不能把所有端点一律舍去：B使三角形重合退化，O却是合法等腰直角位置。 解答 AB=2V2。令OP=X≥0，则AP2=4+x2,BP=|x-2|。 AP=AB给x=2,即P=B,舍去。BP=AB给x-2|=2V2,在X≥0内只有x=2+22 AP=BP给4+x2=(x-22,得x=0,即P=O。这时AP=AO=2=OB=BP,且A,O,B不共线，因 此端点O应保留。 在线段OB上仅有P=O,在射线OB上还有越过B、OP=2+2V2的点。两点均已代回验证，且彼 此不同。 第9页共14页 5.AB=2。从B引射线r,使r与射线BA的夹角为30°。点P在r上且P≠B。当△ABP为等腰三角形 时，求BP的所有值。写出解答过程。 A B H 分析 未给垂足长度时先由特殊角补出直角三角形；所得点可能在垂足两侧，平方关系统一处理。 解答 作AH⊥r于H。由30所对直角边等于斜边一半，得AH=1;勾股定理给BH=V3。设BP=t>0, 则AP2=1+(t-V3P。 BP=AB给t=2。AP=AB给t-V32=3,得t=0或2V3,舍去t=0。 AP=BP给1+(t-V3=t2,得=2V3 39 三个正值两两不同，且射线不与AB共线，因此每个值都唯一对应一个非退化等腰三角形。 6.AB=2,从B引射线r,使r与射线BA的夹角为120°。点P≠B在r上。求使△ABP为等腰三角形 的所有BP。 A B 分析 先用角和排除不可能的腰身份，比对每一类都作高列式更直接。 解答 若AP=AB,则底角∠ABP=∠APB=120°，两角和已超过180°，不可能。 若AP=BP,则∠PAB=∠ABP=120°，同样不可能。 只可能AB=BP=2。射线上距B为2的点唯一，且A不在射线上，故该点确实给出等腰三角形。 第10页共14页 7.AO⊥BO,AO=5,BO=12。线段AB沿射线OB的方向平移距离t>0,成为EF,其中A对应 E、B对应F。求使△AEF为等腰三角形的所有t。写出解答过程。 E F B 分析 方向变化使底线上距离由差变为和，原来的两个分支不再有正距离解。 解答 AB=13,所以AE=t,EF=13。现在F在OB越过B的延长线上，OF=12+t,故 AF2=25+(12+t}。 AE=EF给t=13。若AE=AF,则t=25+(12+t2,化为24t=-169,不符合t>0。 若EF=AF,则(12+t)2=144,但t>0时12+t>12,不可能。 t=13时AE=EF=13,且F不在AE所在直线上，故确有且只有一个位置。 第11页共14页 8.固定线段AB,从B引一条射线r,与射线BA的夹角为0，其中0°<0<180°。点P≠B在r上。按0 的取值，求使△ABP为等腰三角形的不同位置个数。写出解答过程。 口 H 0<0<90时，AH⊥r于H,P为射线r上的一般位置。 分析 把长度合并条件译为角条件，同时说明每一分支唯一及等边特殊角的去重。 解答 BP=AB始终给出唯一的合法位置。若AP=AB,则B,P两角都为日；若AP=BP,则A,B两角都 为0。所以0≥90时，后两类都不可能，只有一个位置。 当0°<0<90时，作AH⊥r于H。设BH=u>0,AH=v>0,AB=c,有c2=u+v2。令BP=t>0,则 AP2=v2+(t-u2。 三类分别给t=c、t=2u(另有t=0舍去)、t=二。这些值均为正，且各自唯一确定射线上的合 2u 法位置。 任意两值相等都等价于c=2u,此时三值全相等。直角三角形ABH中，AB=2BH等价于 ∠BAH=30°，也就是0=60°。 因此0°<0<90且0≠60时有三个位置；0=60°或90°≤0<180°时有一个位置。 第12页共14页 五综合提高 1.线段AB=6。直线l‖AB,1上的点到直线AB的距离都为h>0。点P在l上。求使△ABP为等腰 三角形的位置个数，并写出对应的h的条件。写出解答过程。 M P O H 分析 动点线不再经过B:单个等长关系分支可能有零、一、两点；高度阈值与等边重叠需要分别处 理。 解答 取AB中点O,过O作OM⊥AB交I于M。若AP=BP,由等腰三角形三线合一得P必在直线OM 上，所以只能P=M。反过来，△AOM与△BOM由SAS全等，故AM=BM,这个位置总存在且 唯一。 考察AP=AB=6。作PH⊥AB于H,则PH=h,勾股定理给AH=36-h2。若h>6,无解；若 h=6,H=A,恰有一个点；若0<h<6,则AH=V36-h?>0,H在A两侧各有一处，每一处向作 垂线唯一确定一个P,共两个点。 BP=AB=6同理：h>6时无点，h=6时一个点，0<h<6时两个点。 当h=6时，两点分别在过A,B且朝l一侧的垂线上，与M均不同，合计三个；当h>6时只有M, 合计一个。 当0<h<6时，如果前两类有公共点，必有AP=BP=AB,所以公共点只能是M。由 AM=A02+OM2=9+h2,AM=6当且仅当h=3V3。这时两组各两个点共享M,而第三类也是 M,合计三个。 若0<h<6且h≠3V3,前两类共四点互不相同，且不含M,合计五个。全部点都在1上而h>0,不 会与A,B共线，故均为真实位置。 第13页共14页 2.在△ABC中，AB=AC。过一个顶点作一条直线，与该顶点的对边内部相交，把△ABC分成 两个等腰三角形。求∠BAC的所有可能值，并分别求每一种情况下满足条件的分割直线条数。 写出解答过程。 分析 先按出发顶点分类，再同时满足两个等腰条件；用严格角域剔除退化，并区分角度取值与实际 切线条数。 解答 设∠BAC=Q,∠ABC=∠ACB=B,则a=180°-2B,0°<B<90°。分割线只能从A,B,C之-连 到对边内部；过C与过B的情形对称。 两幅示意图分别表示过A、过B的一般内部切线，只用于标记分类中的点；是否得到两个等腰三 角形须由下面的角关系判定。 一、分割线过A。设交BC于D,∠BAD=X,∠DAC=y,则X,y>0,x+y=a。△ABD的三角为 XR,180-B-,两角相等给出x=B,或x=90-号，或x=180-2B=a。最后一种使y-0,含 去。△ACD同理，只能y=B或y=90°-。 若x=yB,2B=1860-2B,得8-45，a-90,若x=Ry=90-号或=者交换，则 B=36,a=108,对应(x,y(36,72)或(72,36。若x=y=90-号，则B=0,舍去。 二、分割线过B。设交AC于D,∠ABD=x,则0<x<B。△ABD的三角为a,X,2B-X。等腰给 x=a=180°-2B,或x=4B-180°，或x=B。第三种使D=C,舍去。 △BCD的三角为B-x,B,a+x。等腰给x=0(舍去)，或x=3B-180 ,或x=3B-180°。把后两 式与上一段的前两式分别联立。 组合0：160-2B-30-18D,得B=9a=x-10,满足0<x<R<90,组合@： 180°-2B=3B-180°，得B=72,a=x=36°，也合法。 组合③：4B-180=3B,180,得B=36,x=-36°，不合x>0,舍去。组合④： 2 4B-180=3B-180°，得B=0°，舍去。 以上保留的每组角，都能先构造相应的等腰三角形。过A时按0<x<a作内部射线，唯一交BC内 部；过B时按0<x<B作内部射线，唯一交AC内部。各小三角形的角恰如分类所列，均有两角相 等，因此都确能分成两个等腰三角形。 x-90时只有过A的角平分线，一条：a=108时过A有两个不同分角，两条。a-36或180时， 过B各有一条，过C对称地各有一条，共两条。过B,C的两条线不可能重合，否则只能为BC, 不能成为有效分割线。 第14页共14页