1.5 等腰三角形 题型专练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版（2024）八年级上册 1.5 等腰三角形 题型专练 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离(　　) A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 【举一反三1】如图，在中，是的中点，，与交于点，且.下列说法错误的是（ ） A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；②AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则S△ABF=S△BDE.其中正确的结论是 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【举一反三3】在中，，斜边上的中线长为__________ . 【举一反三4】如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠BAC＝90°. 试求： (1)AD的长； (2)△ABE的面积； (3)△ACE和△ABE的周长的差. 【题型2】等腰三角形性质与判定 【典例】在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB，AC于点E、F，若BE＝2，CF＝3，则线段EF的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【举一反三1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E.若∠B=∠ADB，AB=2，则DC的长是__________.  【举一反三2】如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)若AF＝4，求CE的长. 【举一反三3】如图，在中，，.点D，E分别为，的中点，点P为线段上一动点（不与点D重合），将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，，交于点N. (1) 求证：； (2) 求证：； (3) 在点P运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由. 【题型3】等边三角形的性质 【典例】如图，在四边形中，连接，是等边三角形，，，若，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【举一反三1】如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正和正与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三2】如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值__________ ． 【举一反三3】如图，已知. (1)尺规作图：在边上求作一点D，使得点D到，两边的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若为等边三角形，延长至点E，使，连接.请将图形补画完整，并求证：. 【举一反三4】如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接并延长交于点. (1)求证：； (2)若，求的长. 【题型4】等边三角形的判定 【典例】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　） A．可以是顶角不为60°等腰三角形 B．仅有等边三角形 C．一角为60°的非等腰三角形 D．不能确定 【举一反三1】下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有　            　． 【举一反三2】如图，一面镜子斜固定在地面上，且，点P是距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为时，的长是__________ ． 【举一反三3】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F．若，，，求的长 【题型5】等边三角形的性质和判定 【典例】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状 【举一反三1】如图，已知是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝5，BE平分∠ABD，AE∥BD交BE于点E.则△ABE的周长是__________ . 【举一反三3】如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝9，AB＝12，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是 __________ . 【举一反三4】如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，AE⊥AB. (1)求∠C的度数； (2)求证：△ADE是等边三角形. 【题型6】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【举一反三1】如图，一棵竖直的树在一次大风中离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为__________ 米． 【举一反三2】(课本P170习题T3)已知： 如图，在 中， 是边 上的高， .求证： . 【举一反三3】如图，等边的边长为，点P在边上以每秒的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线上以每秒的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示线段长度：__________ ，__________ ； (2)当t为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点M，请问是否存在点M为线段中点的情况？若存在，请求出此时的t值和的长度；若不存在，请说明理由． 【题型7】等边对等角 【典例】如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（　 ） A．20° B．30° C．35° D．40° 【举一反三1】已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是__________ ． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，，点，…在x轴上，点，…在射线OM上，，…均为等腰三角形，且，…，…均为直角三角形，若，则线段的长为__________ ． 【举一反三3】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F．若，，，求的长 【举一反三4】已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出△ABC各内角的度数.(写出所有的情况) 【题型8】三线合一 【典例】如图所示，在三角形纸片 中, ，把△ 沿 折叠，若点 落在点 的位置，则线段 (　　)。 A．是边 上的中线 B．是边 上的高 C．是 的平分线 D．以上三种都成立 【举一反三1】如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于E，F两点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A．16 B．15 C．12 D．10 【举一反三2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为__________ . 【举一反三3】如图，在等边三角形中，平分，在、边上分别取点M、N，使，，在上有一动点P，则的最小值为__________ . 【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF. (1)试说明：△ADE≌△BFE； (2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由. 【题型9】等腰三角形性质的实际应用 【典例】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中，正确的个数是（　　） （1）AD上任意一点到C、B的距离相等； （2）AD上任意一点到AB、AC的距离相等； （3）BD=CD，AD⊥BC； （4）∠BDE=∠CDF． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】如图，小刚荡秋千，秋千旋转了70°，小刚的位置从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为 A．50° B．55° C．65° D．70° 【举一反三2】下列说法： （1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； （2）等腰三角形的两腰上的中线长相等； （3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高； （4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40． 其中不正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E，F是AD上的任意两点．若△ABC的面积为10 cm2，则图中阴影部分的面积为__________ cm2. 【举一反三4】如图，∠B=∠C，要使△ABD△ACE，需增加的一个条件是__________(只填写一个你认为适合的条件).  【举一反三5】如图，四边形ADBC中，BC＝2BD，BA平分∠DBC，AB＝AC，求证：AD⊥BD. 【举一反三6】如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动． (1)当t=__________ s时，四边形的面积为； (2)若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (3)当时，若，当t为何值时，是等腰三角形？ 【题型10】等角对等边 【典例】如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ） A．是的角平分线 B． C． D． 【举一反三2】一个三角形的两个内角分别是70°和40°，第三个内角的度数是__________，这个三角形是__________三角形． 【举一反三3】如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，__________ 时，的形状是等腰三角形． 【举一反三4】如图，是等边三角形，是的高，延长至，使，连接，过点作于点． (1)求证：； (2)若的周长为12，求的长． 【举一反三5】小明：课本第页有一个“等角对等边”的定理，而第页有一个“大角对大边”，这两个结论都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系. 小红：是的，课本第页的勾股定理“在中，若，则”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系. 小明：我猜想，如果，三边平方之间也有某种关系.比如：当时，或当时，. 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例. 【题型11】角平分线与平行线构造等腰三角形 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线段MN的长为(　　) A．9 B．18 C．4.5 D．以上都不对 【举一反三1】将两个全等的一个角是30°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三2】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE=BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF=CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【举一反三3】若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行，则这个三角形是　           三角形． 【举一反三4】如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F，连接BD.给出以下结论：①ED＝DF；②AE＋CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB＋∠CDF＝90°，其中正确的是__________. 【举一反三5】如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？ 【举一反三6】如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，那么△BED是等腰三角形吗？请说明理由． 苏科版（2024）八年级上册 1.5 等腰三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离(　　) A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 【答案】B 【解析】在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，理由是：连接OP，∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，∴OP＝AB＝a，即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；故选B. 【举一反三1】如图，在中，是的中点，，与交于点，且.下列说法错误的是（ ） A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 【答案】B 【解析】∵， 点在线段的垂直平分线上， 即的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 设， ， ， ， ， ， ， 即，故选项B错误，符合题意； 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； 连接，并延长交于，如图2所示： 当为中点时， 点为的中点， 根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点， 当为中点时，是等边三角形， ，，平分，平分， ， ， 在中，， ， ， ，， ∴ ∴，故D正确，不符合题意， 故选：B. 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；②AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则S△ABF=S△BDE.其中正确的结论是 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【解析】∵AD⊥BC， ∴∠CAD+∠C=90°， ∵∠CAD=∠CBE， ∴∠CBE+∠C=90°， ∴∠BEC=90°，即BE⊥AC， ∵点E是边AC的中点， ∴AE=EC， ∴BE垂直平分AC， ∴BA=BC， ∴BE平分∠ABC，故①正确； 在Rt△ADC中，点E是边AC的中点， ∴AD2+CD2=AC2，AC=2DE， ∴AD2+CD2=4DE2，故②正确； ∵BE⊥AC， ∴∠AFE+∠DAC=90°， ∵AD⊥BC， ∴∠DCE+∠DAC=90°， ∴∠DCE=∠AFE， 又∵DE=AC=EC， ∴∠CDE=∠DCE， ∴∠CDE=∠AFE， 又∵∠AFE=∠ABE+∠BAD， ∴∠CDE=∠ABE+∠BAD，故③正确； ∵点E是边AC的中点， ∴S△ABE=S△BCE，S△ADE=S△DEC， ∴S△ABE-S△ADE=S△BCE-S△DEC=S△BDE， 而S△ABF=S△ABE-S△AFE≠S△ABE-S△ADE，故S△ABF≠S△BDE，即④不正确. 【举一反三3】在中，，斜边上的中线长为__________ . 【答案】5 【解析】∵在中，， ∴， ∴斜边上的中线长为， 故答案为：5. 【举一反三4】如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠BAC＝90°. 试求： (1)AD的长； (2)△ABE的面积； (3)△ACE和△ABE的周长的差. 【答案】解　(1)∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高， ∴AB·AC＝BC·AD， ∴AD＝＝4.8(cm)， 即AD的长度为4.8 cm. (2)∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm， ∴S△ABC＝AB·AC＝×6×8＝24(cm2). 又∵AE是边BC的中线， ∴S△ABE＝S△ABC＝12(cm2). ∴△ABE的面积是12 cm2. (3)∵AE为BC边上的中线， ∴BE＝CE， ∴△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)， 即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm. 【题型2】等腰三角形性质与判定 【典例】在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB，AC于点E、F，若BE＝2，CF＝3，则线段EF的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD． ∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD， ∴ED＝EB，FD＝FC， ∴EF＝DE+DF＝BE+CF＝2+3＝5． 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E.若∠B=∠ADB，AB=2，则DC的长是__________.  【答案】2 【解析】∵∠B=∠ADB，AB=2， ∴AD=AB=2， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DC=AD=2. 【举一反三2】如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)若AF＝4，求CE的长. 【答案】(1)证明　∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB， ∵E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点， ∴∠DAE＝∠EAC， ∴∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形. (2)解　由(1)已得∠DAE＝∠B，∠DAE＝∠EAC， ∴∠B＝∠EAC， 在△ABF和△CAE中， ∴△ABF△CAE(SAS)， ∴AF＝CE， ∵AF＝4， ∴CE＝4. 【举一反三3】如图，在中，，.点D，E分别为，的中点，点P为线段上一动点（不与点D重合），将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，，交于点N. (1) 求证：； (2) 求证：； (3) 在点P运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由. 【答案】(1) 证明：∵线段绕点C逆时针旋转得到，∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 解：∵.， ∴，， ∵点D，E分别为，的中点， ∴为中位线， ∴，， ①当，此时，点P、点N和点E重合，则； ②当， ∵线段绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， 由（1）得， 则， ∴； ③当，则， 由（1）得， ∴； 故的长为或3或； 【题型3】等边三角形的性质 【典例】如图，在四边形中，连接，是等边三角形，，，若，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【解析】是等边三角形，， ， ， ， ， ； 故选． 【举一反三1】如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正和正与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，，故④正确； ∴是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； ∵是的外角， ∴，且， ∴， ∴，即，故③错误； ∵是的外角， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 【举一反三2】如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值__________ ． 【答案】1 【举一反三3】如图，已知. (1)尺规作图：在边上求作一点D，使得点D到，两边的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若为等边三角形，延长至点E，使，连接.请将图形补画完整，并求证：. 【答案】(1)点D即为所求， ； (2)如图， ∵是等边三角形， ∴，， 由（1）知平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴. 【举一反三4】如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接并延长交于点. (1)求证：； (2)若，求的长. 【答案】(1)如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【题型4】等边三角形的判定 【典例】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　） A．可以是顶角不为60°等腰三角形 B．仅有等边三角形 C．一角为60°的非等腰三角形 D．不能确定 【答案】B 【解析】∵有一个外角是120°∴该角对应的角为60°又∵另外两个外角相等∴另外两个外角对应的内角也相等∵有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形∴该三角形一定为等边三角形．故选B． 【举一反三1】下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有　            　． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）根据已知求出∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形； （2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； （3）由三个外角都相等，得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边三角形；所以是等边三角形； （4）∵AD=DC，BD⊥AC，∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为（1）（2）（3）（4）． 【举一反三2】如图，一面镜子斜固定在地面上，且，点P是距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为时，的长是__________ ． 【答案】6 【解析】如图，作点P关于的对称点，则， 当点、D、E三点共线，且时，光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短， ∵光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为， ∴， 过点P作， ∵点P是距离地面为的一个光源， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：6． 【举一反三3】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F．若，，，求的长 【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 【题型5】等边三角形的性质和判定 【典例】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状 【答案】B 【解析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形． 【举一反三1】如图，已知是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】如图，过点D作交于点Ｈ． ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ 设 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝5，BE平分∠ABD，AE∥BD交BE于点E.则△ABE的周长是__________ . 【答案】15 【解析】在△ABC中，∠ABC＝60°，所以∠ABD＝120°. 因为BE平分∠ABD，所以∠ABE＝60°＝∠DBE. 因为AE∥BD，所以∠EAB＝∠ABC＝60°。 所以△ABE是等边三角形.所以AB＋BE＋AE＝15， 所以△ABE的周长是15. 【举一反三3】如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝9，AB＝12，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是 __________ . 【答案】19 【解析】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE. 由题意AD＝MD＝4，AC＝CB＝CM＝CN＝6，NE=BE=9， ∵∠DCE＝120°， ∴∠ACD+∠BCE＝60°， ∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN， ∴∠ACM+∠BCN＝120°， ∴∠MCN＝60°， ∵CM＝CN＝6， ∴△CMN是等边三角形， ∴MN＝6， ∵DE≤DM+MN+EN， ∴DE≤4+6+9=19， ∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为19， 故答案为：19. 【举一反三4】如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，AE⊥AB. (1)求∠C的度数； (2)求证：△ADE是等边三角形. 【答案】(1)解　∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°. (2)证明　∵∠B=∠C=30°，AD⊥AC，AE⊥AB， ∴∠DAC=∠EAB=90°，∠ADC=∠AEB=60°， ∴∠CAE=∠AEB-∠C=30°， ∴∠EAD=∠DAC-∠CAE=60°， ∴∠ADC=∠AEB=∠EAD=60°， ∴△ADE是等边三角形. 【题型6】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为．若，则的边长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【举一反三1】如图，一棵竖直的树在一次大风中离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为__________ 米． 【答案】 【解析】∵一棵竖直的树在一次大风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角， ∴斜边长为米， 即这棵树在折断前的高度为米， 故答案为：． 【举一反三2】(课本P170习题T3)已知： 如图，在 中， 是边 上的高， .求证： . 【答案】证明　如图所示， ， . ， (直角三角形的两个锐角互余). . . 在 Rt 中， (在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半). 同理： . 【举一反三3】如图，等边的边长为，点P在边上以每秒的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线上以每秒的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示线段长度：__________ ，__________ ； (2)当t为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点M，请问是否存在点M为线段中点的情况？若存在，请求出此时的t值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ； (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解析】(1)根据题意得，，； 故答案为：，； (2)∵，要使为直角三角形，分两种情况讨论： 情况1：当时，， ∴， ∴， 解得； 情况2：当时，， ∴， ∴， 解得． 因为点P到点B停止运动，所以t的取值范围是， 所以，当或时，为直角三角形； (3)假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交AC于点D． 因为是等边三角形，，所以是等边三角形， ，则． 因为， 所以，． 又因为M是PQ中点， 所以， ∴， 则，． ∵，， 所以， ． 当时，，因为， 所以． 经检验，当时，Q在BC延长线上，PQ与AC交于点M，符合题意． 【题型7】等边对等角 【典例】如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（　 ） A．20° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解析】∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=70°. ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC. ∴∠DBC=180°-2∠C=40°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°， 故选：B. 【举一反三1】已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是__________ ． 【答案】 【解析】∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角的度数是， 故答案为：． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，，点，…在x轴上，点，…在射线OM上，，…均为等腰三角形，且，…，…均为直角三角形，若，则线段的长为__________ ． 【答案】 【解析】由题可得：是等腰三角形， 是直角三角形且，， ， ， ， ， ， ， 同理：中，，在中，，得到， 同理可得：， 可得：， 根据计算可得： ， ， ， ， ， ． 故答案是：． 【举一反三3】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F．若，，，求的长 【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 【举一反三4】已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出△ABC各内角的度数.(写出所有的情况) 【答案】解　一共有4种情况.分别求解如下： 如图①，△ABC是等腰三角形，AB=AC，线段AD过顶点A.根据题意，知△ABD，△ACD是等腰三角形，且AD=BD，AD=CD，那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C， 利用三角形内角和定理，可知， ∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°， 解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°， ∠BAC=90°； 如图②，AB=AC=CD，AD=BD. 设∠B=x，则∠BAD=∠ACB=x，∴∠ADC=2x. ∵AC=CD，∴∠CAD=2x，∴∠BAC=3x， ∴x+3x+x=180°，解得x=36°， ∴∠B=∠C=36°，∠BAC=108°； 如图③，AB=AC，AD=BD=BC. 设∠A=x，则∠ABD=x，∴∠BDC=2x. ∵BD=BC，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=2x， ∴x+2x+2x=180°，∴x=36°， ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 如图④，AB=AC，BC=CD，AD=BD. 设∠A=x，则∠ABD=x，∠BDC=∠DBC=2x， ∴∠ABC=∠ACB=3x， ∴x+3x+3x=180°，∴x=， ∴∠A=，∠ABC=∠C=. 【题型8】三线合一 【典例】如图所示，在三角形纸片 中, ，把△ 沿 折叠，若点 落在点 的位置，则线段 (　　)。 A．是边 上的中线 B．是边 上的高 C．是 的平分线 D．以上三种都成立 【答案】D 【举一反三1】如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于E，F两点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【解析】如图，连接， 是的垂直平分线， ，点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∴的长为的最小值， 是等腰三角形，点D为边的中点， ， 的底边长为6，面积是36， ， ， 的周长最短 故选：B. 【举一反三2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为__________ . 【答案】或 【解析】当顶角为钝角时，如图，是钝角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 当顶角为锐角时，如图，是锐角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 综上可知该等腰三角形的顶角为或. 故答案为：或. 【举一反三3】如图，在等边三角形中，平分，在、边上分别取点M、N，使，，在上有一动点P，则的最小值为__________ . 【答案】8 【解析】在上截取，连接， ∵是等边三角形，， ∴所在的直线是的对称轴，， ∴点M，点关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为8. 故答案为：8. 【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF. (1)试说明：△ADE≌△BFE； (2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由. 【答案】解　(1)因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE. 因为E是AB的中点，所以AE＝BE.所以△ADE≌△BFE. (2)EG⊥DF. 理由： 因为∠GDF＝∠ADF，又因为∠ADE＝∠BFE，所以∠GDF＝∠BFE. 所以GD＝GF.由(1)得，DE＝EF.所以EG⊥DF. 【题型9】等腰三角形性质的实际应用 【典例】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中，正确的个数是（　　） （1）AD上任意一点到C、B的距离相等； （2）AD上任意一点到AB、AC的距离相等； （3）BD=CD，AD⊥BC； （4）∠BDE=∠CDF． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵AD平分∠BAC，AB=AC，AD三线合一，∴AD上任意一点到C、B的距离相等；（垂直平分线的上任意一点到线段两端的距离相等）因此（1）正确．∵AB=AC，且AD平分顶角∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线；（等腰三角形三线合一）因此（2）（3）正确．∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵∠BED=∠DFC=90°，∴∠BDE=∠CDF；因此（4）正确．故选D． 【举一反三1】如图，小刚荡秋千，秋千旋转了70°，小刚的位置从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为 A．50° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【解析】∵秋千旋转了70°， 小刚的位置从A点运动到了A'点， ∴∠AOA'＝70°，OA＝OA'， ∴∠OAA'＝×(180°－70°)＝55°. 【举一反三2】下列说法： （1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； （2）等腰三角形的两腰上的中线长相等； （3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高； （4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40． 其中不正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，∴（1）错误； 如图：∵AB=AC，AD=DC，AE=EB，∴DC=BE，∠DCB=∠EBC．又∵BC=BC∴△BDC≌△CEB（SAS）．∴BD=CE，∴（2）正确； 如图：∵在△ABD中，∠BDA=90°，则AC=AB＞BD，∴等腰三角形的腰一定大于其腰上的高，当该三角形是等腰直角三角形时，等腰三角形的腰等腰该腰上的高，∴（3）错误； ∵等腰三角形的一边长为8，一边长为16，∴只能三边是16，16，8，∴它的周长是40，∴（4）错误；故选：C． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E，F是AD上的任意两点．若△ABC的面积为10 cm2，则图中阴影部分的面积为__________ cm2. 【答案】5 【举一反三4】如图，∠B=∠C，要使△ABD△ACE，需增加的一个条件是__________(只填写一个你认为适合的条件).  【答案】∠BAD=∠CAE(或∠BDA=∠CEA，或BD=CE) 【解析】∵∠B=∠C， ∴AB=AC， 添加∠BAD=∠CAE，∠BDA=∠CEA，BD=CE后可分别根据ASA，AAS，SAS判定△ABD△ACE. 【举一反三5】如图，四边形ADBC中，BC＝2BD，BA平分∠DBC，AB＝AC，求证：AD⊥BD. 【答案】证明　如图，作AE⊥BC交BC于点E， ∵AB＝AC， ∴点E是BC的中点，BE＝BC， ∵BC＝2BD， ∴BE＝BD＝BC， ∵BA平分∠DBC， ∴∠ABD＝∠ABE， 又∵AB＝AB， ∴△ABD△ABE(SAS)， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°， ∴AD⊥BD. 【举一反三6】如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动． (1)当t=__________ s时，四边形的面积为； (2)若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (3)当时，若，当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)2 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解析】(1)∵，点Q的速度是，点P的速度是， ∴， ∴四边形的面积， 解得； 所以时，四边形的面积为； 故答案为：2；   (2)∵四边形是平行四边形， ∴， 解得； 以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值是2；   (3)①如图①，若，过P作于E， 则，，， ∵， ∴， 解得； ②如图②，若，过Q作于F， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【题型10】等角对等边 【典例】如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】∵∠A=36°，∠ADB=108°，∴∠ABD=36°，∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形．而△ABC及△BDC无法证明是等腰三角形．故选A． 【举一反三1】如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ） A．是的角平分线 B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，设两把直尺的交点为P，过点P作于点E，于点F， 则， 平分， 即是的角平分线， 故选项A正确，不符合题意； 对于B， ，， ， 平分， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 对于C， ，， ， ， ， ， 故选项C错误，符合题意； 对于D， 设，则， ， ， ， ， ， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】一个三角形的两个内角分别是70°和40°，第三个内角的度数是__________，这个三角形是__________三角形． 【答案】70°，等腰． 【解析】三角形的两个内角分别是70°和40°， ∴第三个内角的度数是180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵该三角形的两个内角相等， ∴该三角形是等腰三角形， 故答案为：70°，等腰． 【举一反三3】如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，__________ 时，的形状是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】，， ， ①当时，此时， ， ， ； ②当时，此时， ， ， ，此时点与点重合； ③当时，此时， ， ； 综上可知，点在滑动时，或或时，的形状是等腰三角形， 故答案为：或或 【举一反三4】如图，是等边三角形，是的高，延长至，使，连接，过点作于点． (1)求证：； (2)若的周长为12，求的长． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2)解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【举一反三5】小明：课本第页有一个“等角对等边”的定理，而第页有一个“大角对大边”，这两个结论都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系. 小红：是的，课本第页的勾股定理“在中，若，则”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系. 小明：我猜想，如果，三边平方之间也有某种关系.比如：当时，或当时，. 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例. 【答案】解：正确，证明如下： 选，如图，过点作，交延长线于点， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∴ 选，如图，过点作于点， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∴. 【题型11】角平分线与平行线构造等腰三角形 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线段MN的长为(　　) A．9 B．18 C．4.5 D．以上都不对 【答案】A 【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN， ∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN， 即MN=BM+CN， ∵BM+CN=9， ∴MN=9. 【举一反三1】将两个全等的一个角是30°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴△MEN，△MDG是等腰三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个．故选：B． 【举一反三2】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE=BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF=CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【答案】A 【解析】∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故选A． 【举一反三3】若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行，则这个三角形是　           三角形． 【答案】等腰 【解析】可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B=∠A，进而可得其为等腰三角形．解：如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE∴∠B=∠A，∴△ABC为等腰三角形．故填等腰． 【举一反三4】如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F，连接BD.给出以下结论：①ED＝DF；②AE＋CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB＋∠CDF＝90°，其中正确的是__________. 【答案】②③④ 【解析】∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD，∠ACD＝∠FCD， ∵EF∥AC， ∴∠EDA＝∠CAD，∠FDC＝∠ACD， ∴∠EAD＝∠EDA，∠FDC＝∠FCD， ∴AE＝DE，DF＝CF， ∴AE＋CF＝ED＋DF＝EF，故②正确； ∵AB≠BC，EF∥AC， ∴AE≠CF， ∴ED≠DF，故①错误； ∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，分别过点D作BE，BF，AC的垂线，垂足分别为G，H，I(图略)， ∴DG＝DH＝DI， ∴BD平分∠ABC，故③正确； ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠EAD－∠ABD， ∵∠ACD＋∠FCD＝∠ABC＋∠BAC， ∴2∠FCD＝2∠ABD＋180°－2∠EAD， ∴∠CDF＝∠ABD＋90°－∠EAD， ∴∠ADB＋∠CDF＝∠EAD－∠ABD＋∠ABD＋90°－∠EAD＝90°，故④正确， 综上所述，其中正确的是②③④. 【举一反三5】如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？ 【答案】解 △ABD是等腰三角形，理由是：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC（两直线平等，内错角相等）， ∴∠ADB=∠ABD， ∴△ABD是等腰三角形． 【举一反三6】如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，那么△BED是等腰三角形吗？请说明理由． 【答案】解：∵BD是∠ABC的平分线 ∴∠ABD＝∠DBC 又∵DE∥BC ∴∠EBD＝∠DBC（两直线平等，内错角相等） ∴∠ABD＝∠EBD ∴△BED是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $