第35讲 立体几何 动态问题·截面与轨迹讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 动态题里，真正决定答案的往往不是“动”的那个点，而是从头到尾没动的量。本讲只练：先找不变量，再让题目给的面和棱去裁。

立体几何里的“动”，通常只动一个点：点在棱上滑、在面上走，或者一张截面平行移动。题面把变量给得很足——长度、角度、体积都在变——但命题人一定留了一个“焊死”的东西：球心到平面的距离、截面的方向、底面的面积、动点的投影。

常规做法是给动点设坐标，把条件写成方程；但常常算到最后才发现：答案只由那个不变量决定，动点的坐标只是中间产物。

本讲只练一个动作： 先找不变量 。不变量一找到，动点就被锁在球面、定直线或平行平面族上；再用题目给的棱和面去裁，剩下的多半是一两个长度。

02  识别

没有定距、定向、定面，或图形完全不对称时，设坐标更稳；出现下面三个信号，再停下来找。

信号一 · 出现“到定点的距离等于定值”。 动点在一个球面上；若它还被限制在一张平面内，交线就是圆。圆心是这个定点在平面内的射影，半径由勾股定理算出。

信号二 · 出现“截面”，方向由“等角”或“平行”规定。 所有棱与截面所成的角都相等，等价于截面的法线与三条棱的方向成等角。正方体的三条棱方向两两垂直，法线只能沿体对角线；方向一定，截面就是一族平行平面截出的图形。

信号三 · 出现“体积最大/最小”，而底面固定。 底面积不变，体积只随高变；动点在球面上时，到定平面的最大距离等于“球心到平面的距离 + 半径”。关键词：定底、动高、球心到面的距离。

图 1: 先找不变量的四个动作

动笔前的 30 秒 第 1 步 圈：把题里不动的点、线、面、距离、角圈出来。 第 2 步 定：定距得球面或圆柱面，定向得平行平面族。 第 3 步 截：题目还给了哪个面、哪条棱？用它去截轨迹，先画草图。 第 4 步 裁：交线只在图形内部；先找端点，再算圆心角。

03  双解对照

两条路的分岔口不在“会不会算”，而在“要不要先把球面与平面都写成方程”。先看题。

例题 · 球面在侧面上留下的弧 直四棱柱 - 的棱长均为 2，。以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为。

先把题干里的“免费信息”读出来。 底面是菱形，，所以 、 都是边长为 2 的正三角形， 到 的距离为 ；侧棱 且垂直底面，所以侧面 是 的正方形。球心 在 的正上方，高为 2。

常规解 · 算：写球面与平面，解出整圆再裁 第一步，建系。 以 为原点， 为 轴，底面内垂直于 的方向为 轴， 为 轴，则 侧面 为 ，球面为 第二步，求球心到平面的距离。 法向量 ， 垂足 。 第三步，求截面圆。 半径 。在侧面内以 为原点，沿 为 轴、向下为 轴，圆为 。 第四步，裁出弧。 面是 、，圆与 交于 ，面内只剩圆心角 的那段弧， 最费时的是最后一步：方程给出的是整个圆，还要回到面内判断哪一段算数。

图 2: 球面在侧面裁出的四分之一圆