微专题05 垂直条件下的全等构造 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

专题五垂直条件下的全等构造培优专题讲与练 一必备知识 垂直能提供直角，也能把一个角转成另一个角的余角。真正的构造不是画出更多垂线，而是从 所求的长度、面积或垂直关系出发，把已知等长边放进一对对应正确的三角形。本讲从补一条 垂线入手，再处理无图分类、相交垂线、一般等角与大三角形中的隐藏对应。 1垂直、余角与对应边 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。两个角的和为90°，这两个角互余；同角或等 角的余角相等。 全等判定中的ASA、AAS都要有一组对应边相等；HL只用于直角三角形，并要求斜边和一条 直角边对应相等。仅有两组或三组角相等，不能据此判定全等。 读全等式时按顺序配对顶点。 2三组垂直怎样产生全等 如图，H,O,K依次共线，A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK、OA⊥OB,且 OA=OB。则AH=OK,OH=BK。 B 证明 由点序和OA⊥OB,有∠AOH+∠BOK=90°。在直角三角形AHO中，∠AOH+∠HAO=90°， 故∠HAO=∠BOK。 在△AHO和△OKB中， ∠AHO=∠OKB=90 ∠HAO=∠BOK OA=OB △AHO≡△OKB(AAS)。 所以AH=OK,OH=BK。 对应为A+O、H+K、O~B。两条垂线AH,BK并不互相对应。此图只说明一种位置，其他 点序须重新说明角关系。 第1页共21页 二典例精讲 例题如图，AB⊥BC,AC⊥CE,AC=CE,点A,E在直线BC的同侧。若BC=6,求△BCE的 面积。 E -D 分析 目标先确定高ED,等长的AC、CE再提示比较以它们为斜边的两个直角三角形。不是见到两个 直角就任意补垂线。 解 以BC为底求面积，缺的是点E到直线BC的距离。因此过E作ED⊥直线BC,垂足为D。∠ACB 为锐角，CE⊥CA且E,A在BC同侧，所以CE朝向BC的前方，D在射线BC上且在C外侧。 在△ABC中，∠BAC+∠ACB=90°，由AC⊥CE及B,C,D共线，∠ECD+∠ACB=90°。所以 ∠BAC=∠ECD。 在△ABC和△CDE中， ∠ABC=∠CDE=90 ∠BAC=∠ECD AC=CE △ABC=△CDE(AAS)。 故DE=BC=6,于是S号BC-DE=6-6=18, 第2页共21页 三分类讲练 1补出所求图形的高 所求面积已经给出一条底时，先找这条底的高。把另一条已知垂线补到同一条直线上，可能使 等长斜边进入一对全等直角三角形，补线的落点和方向决定后面的拼接。 例1如图，AB⊥AC。作等腰直角三角形ACD,其中∠ACD=90°，点D,B在直线AC的两侧； 作等腰直角三角形BCE,其中∠BCE=90°，点E,A在直线BC的两侧。DE与射线AC交于M。 (I)求证：CM=AB; (2)若AB=6、AC=4,求△CME的面积。 E A 第3页共21页 变式1一1如图，AB⊥AC,点B,D在直线AC的同侧，CD⊥AC且CD=AC。在BC的另一侧作 等腰直角三角形BCE,∠BCE=90°，点E与A在直线BC两侧。求证：DE‖AC。 B D E A C 第4页共21页 变式1-2在△ABC中，AC=BC、∠ACB=90°。点D在三角形内部，且∠ADC=90。若 CD=4,SAACD=20,求SABCD与SAABD C 0 B 第5页共21页 2无图条件与垂足位置 只有到直线的距离，尚未确定点在直线的哪一侧。先画出所有允许的位置，再由全等确定垂足 在同一射线上还是相反射线上；和与差是位置结论，不是记忆口诀。 例2本题不提供图形。在△ABC中，AC=BC、∠ACB=90°。直线经过C,点A,B均不在l上； 分别作AF⊥I于F、BE⊥I于E。已知AF=a、BE=b,其中a>b>0。求EF所有可能的值，并说 明每个值能否实现。 第6页共21页 变式2-1本题不提供图形。在△ABC中，CA=CB、∠ACB=90°。直线1经过C,A,B到l的距 离均为3，垂足分别为F,E。求EF的所有可能值。 第7页共21页 3相交垂线与反向恢复 两条相交的垂线常把不相邻的锐角联系起来。正向用余角建立全等，反向则应先找足够的边角 条件恢复全等，不能把尚待证明的垂直当作已知。 例3如图，AB⊥BC,AB=BC=5。点D在直线AB上且D≠B。过A作直线AF⊥CD,与直线BC 交于F。设BD=t。 (1)当D在射线AB上且位于B外侧时，用t表示CF,并写出F的位置； (2)当D在射线BA上时，用t表示CF。 C A D B 第8页共21页 变式3一1点A,B,D依次共线，BC⊥AD,且AB=BC。点F在线段BC内部，SAABF=SABCD·求 证：AF⊥CD。 C 分 A B D 第9页共21页 4从直角到一般等角 把直角改成相等的非直角后，互余关系不再可用。应借共线和三角形内角和重新求出另一组等 角，再核实给出的等边确实对应；三个角相等本身不能判定全等。 例4射线AP在∠BAC内部，点A,E,F,P依次在同一直线上。已知∠BEP=∠CFP=∠BAC, 且BE=AF。求证：AB=AC,AE=CF。 0 E 第10页共21页 变式4-1在△ABC中，AB=AC。点D在线段BC内部，点E,F分别在线段AB,AC内部。已知 DE=DF,且∠EDF=∠ABC。求证：BD=CF。 A E B C D 第11页共21页 5大三角形中的隐藏对应 已知等腰边却找不到现成的第二个小三角形时，可以从已知小三角形的角反推辅助射线。先用 全等转移长度或面积，再按点的先后次序拼合；辅助点是否落在允许线段上也要证明。 例5在△ABC中，AB=AC。点D在线段BC内部，点E在线段AD内部，∠BED=∠BAC。已知 D:DC=1:2,且SAmE三5SAA,求AE:BE:DE A E B D 第12页共21页 变式5-1在△ABC中，AB=AC,点D在线段BC内部。点A,E,F,D依次在同一直线上。已知 ∠BED=∠BAC,且SA ABE+SACDF=SAACD·求证：∠CFD=∠BAC。 A E B D 第13页共21页 四分层练习 基础巩固 1.点H,O,K依次共线，点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK、OA⊥OB,且 OA=OB。若AH=7、BK=3,求HK。 A B Q H K 2.点A,B,D依次共线，AB⊥BC,且AB=BC。过A作直线AF⊥CD,与射线BC交于F。若 AF=13、BD=12,求BC。 F C B D 第14页共21页 3.在△ABC中，AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,且AD=BE。求证：AC=BC。 ○ D B 4.射线AP在∠BAC内部，点A,E,F,P依次共线。已知∠BAC=∠BEP=∠CFP=70°， ∠BAP=25°。求∠ABE和∠CFA。 B E 第15页共21页 5,点H,O,K依次共线，点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK。若AH=OK、 OH=BK,求证：OA=OB且OA⊥OB。 A B H 个 第16页共21页 迁移运用 6.在△ABC中，AC=BC、∠ACB=90°。点D在三角形内部，∠ADC=90°，且S△ABD=2S△BCD 求∠ADB。 C A AD B 第17页共21页 7.本题不提供图形。在△ABC中，CA=CB、∠ACB=90°。直线I经过C,与线段AB相交于内部 一点；A,B到l的垂足分别为F,E。若AF=3、EF=1,求BE的所有可能值。 条件辨析 8.点H,O,K依次共线，点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK、OA⊥OB,且 AH=BK。是否一定有OA=OB?若不一定，请给出一组可实现的线段长度作为反例。 第18页共21页 五综合提高 1.如图，AB⊥BC,点A,E在直线BC的同侧，AC=CE,∠BCE>90,且SaE=号BC. (1)求证：AC⊥CE, (2)若删去条件∠BCE>90°，第(1)问的结论是否一定成立？若不一定，请给出一个满足其 余条件的反例。 E 第19页共21页 2.本题不提供图形。在△ABC中，CA=CB=5、∠ACB=90°。直线l经过C,且A,B都不在l上， 垂足分别为F,E。 (1)判断EF能否等于5，并写出解答过程。 (2)求EF的最大值及此时直线l的位置。 第20页共21页 3.在△ABC中，AB=AC且AB≥BC,点D在线段BC内部。 (1)在线段AD内部是否存在唯一的点E,使∠BED=∠BAC?证明你的结论。 (2)若AB=BC,且D为BC的中点，求AE:DE。 A D 第21页共21页专题五垂直条件下的全等构造培优专题讲与练 一必备知识 垂直能提供直角，也能把一个角转成另一个角的余角。真正的构造不是画出更多垂线，而是从 所求的长度、面积或垂直关系出发，把已知等长边放进一对对应正确的三角形。本讲从补一条 垂线入手，再处理无图分类、相交垂线、一般等角与大三角形中的隐藏对应。 1垂直、余角与对应边 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。两个角的和为90°，这两个角互余；同角或等 角的余角相等。 全等判定中的ASA、AAS都要有一组对应边相等；HL只用于直角三角形，并要求斜边和一条 直角边对应相等。仅有两组或三组角相等，不能据此判定全等。 读全等式时按顺序配对顶点。 2三组垂直怎样产生全等 如图，H,O,K依次共线，A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK、OA⊥OB,且 OA=OB。则AH=OK,OH=BK。 B 证明 由点序和OA⊥OB,有∠AOH+∠BOK=90°。在直角三角形AHO中，∠AOH+∠HAO=90°， 故∠HAO=∠BOK。 在△AHO和△OKB中， ∠AHO=∠OKB=90 ∠HAO=∠BOK OA=OB △AHO≌△OKB(AAS). 所以AH=OK,OH=BK。 对应为A+O、H+K、OB。两条垂线AH、BK并不互相对应。此图只说明一种位置，其 他点序须重新说明角关系。 第1页共21页 二典例精讲 例题如图，AB⊥BC,AC⊥CE,AC=CE,点A,E在直线BC的同侧。若BC=6,求△BCE的 面积。 E _---D 分析 目标先确定高ED,等长的AC、CE再提示比较以它们为斜边的两个直角三角形。不是见到两个 直角就任意补垂线。 解 以BC为底求面积，缺的是点E到直线BC的距离。因此过E作ED⊥直线BC,垂足为D。∠ACB 为锐角，CE⊥CA且E,A在BC同侧，所以CE朝向BC的前方，D在射线BC上且在C外侧。 在△ABC中，∠BAC+∠ACB=90°；由AC⊥CE及B,C,D共线，∠ECD+∠ACB=90°。所以 ∠BAC=∠ECD。 在△ABC和△CDE中， ∠ABC=∠CDE=90 ∠BAC=∠ECD AC=CE △ABC≌△CDE(AAS)。 故DE=BC=6,于是5a:号BCDE=66=18. 第2页共21页 三分类讲练 1补出所求图形的高 所求面积已经给出一条底时，先找这条底的高。把另一条已知垂线补到同一条直线上，可能使 等长斜边进入一对全等直角三角形；补线的落点和方向决定后面的拼接。 例1如图，AB⊥AC。作等腰直角三角形ACD,其中∠ACD=90°，点D,B在直线AC的两侧； 作等腰直角三角形BCE,其中∠BCE=90°，点E,A在直线BC的两侧。DE与射线AC交于M。 ()求证：CMAB: (2)若AB=6、AC=4,求△CME的面积。 E A M D 第3页共21页 变式1一1如图，AB⊥AC,点B,D在直线AC的同侧，CD⊥AC且CD=AC。在BC的另一侧作 等腰直角三角形BCE,∠BCE=90°，点E与A在直线BC两侧。求证：DE‖AC。 B D E 第4页共21页 变式1-2在△ABC中，AC=BC、∠ACB=90。点D在三角形内部，且∠ADC=90°。若 CD=4,SAACD=20,求SARCD与SABD C D B 第5页共21页 2无图条件与垂足位置 只有到直线的距离，尚未确定点在直线的哪一侧。先画出所有允许的位置，再由全等确定垂足 在同一射线上还是相反射线上；和与差是位置结论，不是记忆口诀。 例2本题不提供图形。在△ABC中，AC=BC、∠ACB=90°。直线/经过C,点A,B均不在I 上；分别作AF⊥1于F、BE⊥I于E。已知AF=a、BE=b,其中a>b>0。求EF所有可能的值， 并说明每个值能否实现。 第6页共21页 变式2-1本题不提供图形。在△ABC中，CA=CB、∠ACB=90°。直线经过C,A,B到l的距 离均为3，垂足分别为F,E。求EF的所有可能值。 第7页共21页 3相交垂线与反向恢复 两条相交的垂线常把不相邻的锐角联系起来。正向用余角建立全等，反向则应先找足够的边角 条件恢复全等，不能把尚待证明的垂直当作已知。 例3如图，AB⊥BC,AB=BC=5。点D在直线AB上且D≠B。过A作直线AF⊥CD,与直线 BC交于F。设BD=t。 (1)当D在射线AB上且位于B外侧时，用t表示CF,并写出F的位置； (2)当D在射线BA上时，用t表示CF。 C F B O 第8页共21页 变式3-1点A,B,D依次共线，BC⊥AD,且AB=BC。点F在线段BC内部，SA ABF=SABCD。求 证：AF⊥CD。 ■ B 第9页共21页 4从直角到一般等角 把直角改成相等的非直角后，互余关系不再可用。应借共线和三角形内角和重新求出另一组等 角，再核实给出的等边确实对应；三个角相等本身不能判定全等。 例4射线AP在∠BAC内部，点A,E,F,P依次在同一直线上。已知∠BEP=∠CFP=∠BAC, 且BE=AF。求证：AB=AC,AE=CF。 第10页共21页 变式4-1在△ABC中，AB=AC。点D在线段BC内部，点E,F分别在线段AB,AC内部。已知 DE=DF,且∠EDF=∠ABC。求证：BD=CF。 A E B C D 第11页共21页 5大三角形中的隐藏对应 已知等腰边却找不到现成的第二个小三角形时，可以从已知小三角形的角反推辅助射线。先用 全等转移长度或面积，再按点的先后次序拼合；辅助点是否落在允许线段上也要证明。 例5在△ABC中，AB=AC。点D在线段BC内部，点E在线段AD内部，∠BED=∠BAC。已知 BD:DC-1:2,且Se5ac求AE:BE:DE A E B C 第12页共21页 变式5-1在△ABC中，AB=AC,点D在线段BC内部。点A,E,F,D依次在同一直线上。已知 ∠BED=∠BAC,且SAABE+SACDF=S△ACD·求证：∠CFD=∠BAC。 A E F B D 第13页共21页 四分层练习 基础巩固 1.点H,O,K依次共线，点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK、OA⊥OB,且 OA=OB。若AH=7、BK=3,求HK。 B 2.点A,B,D依次共线，AB⊥BC,且AB=BC。过A作直线AF⊥CD,与射线BC交于F。若 AF=13、BD=12,求BC。 F C B D 第14页共21页 3.在△ABC中，AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,且AD=BE。求证：AC=BC。 E人 AD A B 4.射线AP在∠BAC内部，点A,E,F,P依次共线。已知∠BAC=∠BEP=∠CFP=70°， ∠BAP=25°。求∠ABE和∠CFA。 B E F 第15页共21页 5.点H,O,K依次共线，点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK。若AH=OK、 OH=BK,求证：OA=OB且OA⊥OB。 A B H K 第16页共21页 迁移运用 6.在△ABC中，AC=BC、∠ACB=90°。点D在三角形内部，∠ADC=90°，且 S△ABD=2 SA BCD。求∠ADB。 C A D B 第17页共21页 7.本题不提供图形。在△ABC中，CA=CB、∠ACB=90°。直线1经过C,与线段AB相交于内 部一点；A,B到l的垂足分别为F,E。若AF=3、EF=1,求BE的所有可能值。 条件辨析 8.点H,O,K依次共线，点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK、OA⊥OB,且 AH=BK。是否一定有OA=OB?若不一定，请给出一组可实现的线段长度作为反例。 第18页共21页 五综合提高 1.如图，AR⊥BC,点A,E在直线C的同侧，AG=CE,∠CE>90,且Sau号Bc, (1)求证：AC⊥CE: (2)若删去条件∠BCE>90°，第(1)问的结论是否一定成立？若不一定，请给出一个满足其 余条件的反例。 A 第19页共21页 2.本题不提供图形。在△ABC中，CA=CB=5、∠ACB=90°。直线1经过C,且A,B都不在1 上，垂足分别为F,E。 (1)判断EF能否等于5，并写出解答过程。 (2)求EF的最大值及此时直线的位置。 第20页共21页 3.在△ABC中，AB=AC且AB≥BC,点D在线段BC内部。 (1)在线段AD内部是否存在唯一的点E,使∠BED=∠BAC?证明你的结论。 (2)若AB=BC,且D为BC的中点，求AE:DE。 A 第21页共21页专题五垂直条件下的全等构造培优专题讲与练 一必备知识 垂直能提供直角，也能把一个角转成另一个角的余角。真正的构造不是画出更多垂线，而是从 所求的长度、面积或垂直关系出发，把已知等长边放进一对对应正确的三角形。本讲从补一条 垂线入手，再处理无图分类、相交垂线、一般等角与大三角形中的隐藏对应。 1垂直、余角与对应边 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。两个角的和为90°，这两个角互余；同角或等 角的余角相等。 全等判定中的ASA、AAS都要有一组对应边相等；HL只用于直角三角形，并要求斜边和一条 直角边对应相等。仅有两组或三组角相等，不能据此判定全等。 读全等式时按顺序配对顶点。 2三组垂直怎样产生全等 如图，H,O,K依次共线，A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK、OA⊥OB,且 OA=OB。则AH=OK,OH=BK。 B 证明 由点序和OA⊥OB,有∠AOH+∠BOK=90°。在直角三角形AHO中，∠AOH+∠HAO=90°， 故∠HAO=∠BOK。 在△AHO和△OKB中， ∠AHO=∠OKB=90 ∠HAO=∠BOK OA=OB △AHO≡△OKB(AAS)。 所以AH=OK,OH=BK。 对应为A+O、H+K、O~B。两条垂线AH,BK并不互相对应。此图只说明一种位置，其他 点序须重新说明角关系。 第1页共22页 二典例精讲 例题如图，AB⊥BC,AC⊥CE,AC=CE,点A,E在直线BC的同侧。若BC=6,求△BCE的 面积。 E -D 分析 目标先确定高ED,等长的AC、CE再提示比较以它们为斜边的两个直角三角形。不是见到两个 直角就任意补垂线。 解 以BC为底求面积，缺的是点E到直线BC的距离。因此过E作ED⊥直线BC,垂足为D。∠ACB 为锐角，CE⊥CA且E,A在BC同侧，所以CE朝向BC的前方，D在射线BC上且在C外侧。 在△ABC中，∠BAC+∠ACB=90°，由AC⊥CE及B,C,D共线，∠ECD+∠ACB=90°。所以 ∠BAC=∠ECD。 在△ABC和△CDE中， ∠ABC=∠CDE=90 ∠BAC=∠ECD AC=CE △ABC=△CDE(AAS)。 故DE=BC=6,于是S号BC-DE=6-6=18, 第2页共22页 三分类讲练 1补出所求图形的高 所求面积已经给出一条底时，先找这条底的高。把另一条已知垂线补到同一条直线上，可能使 等长斜边进入一对全等直角三角形；补线的落点和方向决定后面的拼接。 例1如图，AB⊥AC。作等腰直角三角形ACD,其中∠ACD=90°，点D,B在直线AC的两侧； 作等腰直角三角形BCE,其中∠BCE=90°，点E,A在直线BC的两侧。DE与射线AC交于M。 (I)求证：CM=AB; (2)若AB=6、AC=4,求△CME的面积。 分析 目标中的CM不是现成三角形的对应边。补EH先把AB转移为CH,再以两端等高和对顶角把CH 平分；两次全等各解决一步。 解答 要把CM与AB联系起来，过E作EH⊥直线AC于H。由题设方向，点序为A,C,M,H。 由BC⊥CE、AC⊥EH可得∠ACB=∠CEH。 在△ACB和△HEC中， ∠BAC=∠CHE=90 ∠ACB=∠CEH BC=CE △ACB兰△HEC(AAS)· 所以CH=AB,EH=AC=CD。在△DCM和△EHM中， ∠DCM=∠EHM=90 ∠DMC=∠EMH CD=EH △DCM兰△EHM(AAS). 于是CM=HM,故CM=CH=AB。第(1)问得证。 第(2)问中，CM=3.BH=4,故S.cw-CM~-EH=6. 第3页共22页 变式1一1如图，AB⊥AC,点B,D在直线AC的同侧，CD⊥AC且CD=AC。在BC的另一侧作 等腰直角三角形BCE,∠BCE=90°，点E与A在直线BC两侧。求证：DE‖AC。 的 D E(K) H 分析 改变D所在半平面后，原先用于对顶角的交点消失，不能沿用面积图中的点序。 解答 过E作EH⊥直线AC于H。由BC⊥CE、AC⊥EH,得∠ACB=∠CEH。结合两个直角和 BC=CE,有△ACB三△HEC(AAS),故EH=AC=CD。 过D作DK‖AC,交射线HE于K,连接DH。因D,E在直线AC的同侧，交点K确在射线HE上。 在△DCH和△HKD中 ∠DCH=∠HKD=90 ∠DHC=∠HDK DH=HD △DCH=△HKD(AAS)。 所以HK=DC=HE。同一射线上到H距离相等的点唯一，故K=E。于是DE‖AC。 第4页共22页 变式1一2在△ABC中，AC=BC、∠ACB=90°。点D在三角形内部，且∠ADC=90°。若 CD=4,SAACD=20,求SABCD与SAABD C A K D H 分析 这里缺的高是从B向CD作的垂线。先由一块面积求AD,再用全等同时得到高与整段CH;不必 求斜边AC。 解答 由∠ADC=90和S6KD=20,得号AD4=20,所以AD=10。 要以CD为底求△BCD的面积，过B作BH⊥直线CD于H。因D在三角形内部，射线CD在∠ACB 内部；AD⊥CD,故∠CAD=90°-∠ACD,又AC⊥BC,所以∠BCH=90-∠ACD。 在△ACD和△CBH中， ∠ADC=∠CHB=90 ∠CAD=∠BCH AC=CB △ACD兰△CBH(AAS)。 故BH=CD=4、CH=AD=10。D在三角形内部，使B,C位于直线AD两侧；又BH‖AD,所以点 序为C,D,H,DH=CH-CD=6。 于是S。o号CDBH=8,作K上AD于K连接BD,由两组平行、两个直角及公共斜边D, 得△BHD=△DKB(AAS),所以BK=DH=6。故SA-AD:-BK=30: 第5页共22页 2无图条件与垂足位置 只有到直线的距离，尚未确定点在直线的哪一侧。先画出所有允许的位置，再由全等确定垂足 在同一射线上还是相反射线上；和与差是位置结论，不是记忆口诀。 例2本题不提供图形。在△ABC中，AC=BC、∠ACB=90°。直线经过C,点A,B均不在I上； 分别作AF⊥I于F、BE⊥l于E。已知AF=a、BE=b,其中a>b>0。求EF所有可能的值，并说 明每个值能否实现。 A B 分析 题目没有给两点所在半平面，不能先补一张熟悉的同侧图就结束。先穷尽位置，再证明两种数 值都可构成。 解答 先按A,B在1同侧或异侧分类。这两类已包含所有情形。 E,F均不与C重合：若F=C,则CA⊥1，再由CB⊥CA知B在I上，与BE=b>0矛盾；E=C同 理。 若A,B在I同侧，CA⊥CB使CF,CE必须为相反射线；若同向，两个锐角都位于同一个开直角 内，不可能互相垂直。因此C在F,E之间，且∠ACF+∠BCE=90°。又∠CBE+∠BCE=90°， 得∠ACF=∠CBE。结合两个直角和CA=CB,有△AFC兰△CEB(AAS),故CF=BE=b、 CE=AF=a,于是EF=a+b。 若A,B在l异侧，则CF,CE为同一射线；若反向，CA,CB的夹角大于90°。此时 ∠ACF+∠BCE=90°，再与∠CBE+∠BCE=90°比较，仍得∠ACF=∠CBE。由两个直角及 CA=CB,仍有△AFC三△CEB(AAS),所以CF=b、CE=a。因a>b,点序为C,F,E,故 EF=a-b。 两值都能实现：按上述两种点序取CF=b、CE=a,再在指定的同侧或异侧作AF=a、BE=b。由 SAS得△AFC兰△CEB,故CA=CB、∠ACF=∠CBE。而∠CBE+∠ECB=90°，所以 ∠ACF+∠ECB=90°。同侧图中∠ACB=180°-90°=90°，异侧图中∠ACB=90°。两图都满足原 条件。 第6页共22页 变式2-1本题不提供图形。在△ABC中，CA=CB、∠ACB=90°。直线经过C,A,B到l的距 离均为3，垂足分别为F,E。求EF的所有可能值。 y B E(F) E 分析 参数相等时，差值为零表示两垂足合并，不表示A,B,C共线。此处需要区分辅助点重合与原三 角形退化。 解答 若A,B在I同侧，由余角、直角及CA=CB得两个小直角三角形全等，所以CF=CE=3,且C在 E,F之间，故EF=6。 若A,B在l异侧，则CF,CE为同一射线，且CF=CE=3,所以E,F重合，EF=0。此时A,E,B共 线，AE=BE=3,C到AB的距离为3，原三角形并不退化。 分别按上述两种位置作图，两直角边均为3，可直接用SAS与锐角互余验证CA=CB ∠ACB=90°。两值均能实现。 第7页共22页 3相交垂线与反向恢复 两条相交的垂线常把不相邻的锐角联系起来。正向用余角建立全等，反向则应先找足够的边角 条件恢复全等，不能把尚待证明的垂直当作已知。 例3如图，AB⊥BC,AB=BC=5。点D在直线AB上且D≠B。过A作直线AF⊥CD,与直线BC 交于F。设BD=t。 (1)当D在射线AB上且位于B外侧时，用t表示CF,并写出F的位置； (2)当D在射线BA上时，用t表示CF。 F B 】 B 分析 交叉的两条斜线共同制造余角，但全等只给出BF=BD。所求CF还必须按F是否越过B,C分别作 和或差。 解答 先求不随点序改变的对应线段BF。当D在B外侧时，F在射线BC上。由AF⊥CD及AB⊥BC, ∠BAF=∠BCD。 在△ABF和△CBD中， ∠ABF=∠CBD=90 ∠BAF=∠BCD AB=CB △ABF=△CBD(ASA)O 因此BF=BD=t。若0<t<5,B,F,C依次排列，CF=5-t)若t=5,F=C,CF=0)若t>5, B,C,F依次排列，CF=t-5。 当D在射线BA上时，F在射线CB上且位于B外侧。由两组垂直仍得∠BAF=∠BCD,结合 AB=CB和两个直角，仍有△ABF兰△CBD(ASA)。所以BF=BD=t,点序为F,B,C,故 CF=5+t。 第8页共22页 变式3-1点A,B,D依次共线，BC⊥AD,且AB=BC。点F在线段BC内部，SAABF=S△BCD。求 证：AF⊥CD。 C H A B 分析 先把面积相等换成BF=BD,才有SAS。不可由面积相等直接断言两三角形全等，更不能预先 用待证的垂直关系找余角。 解答 由两面积相等，ABBF=号BCBD。因AB=BC>0,得BF=BD。 2 在△ABF和△CBD中， AB=CB ∠ABF=∠CBD=90 BF=BD △ABF=△CBD(SAS). 所以∠BAF=∠BCD。延长AF交CD于H)由F在线段BC内部，H在线段CD内部。 在△FCH中，∠CFH=90°-∠BAF,∠FCH=∠BCD,两角之和为90°，故∠FHC=90°，即 AF⊥CD。 第9页共22页 4从直角到一般等角 把直角改成相等的非直角后，互余关系不再可用。应借共线和三角形内角和重新求出另一组等 角，再核实给出的等边确实对应；三个角相等本身不能判定全等。 例4射线AP在∠BAC内部，点A,E,F,P依次在同一直线上。已知∠BEP=∠CFP=∠BAC, 且BE=AF。求证：AB=AC,AE=CF。 分析 这里没有直角，也没有预先给大等腰。先用共线产生的补角求出第二组等角，再核对BE对应的 是AF,不是CF。 解答 设∠BAC=a、∠BAE=B。由于AP在角内部，∠CAF=C-B。 EA与EP是相反射线，所以∠BEA=180°-。在△ABE中， ∠ABE=180°-B-(180°-a)=a-B=∠CAF。同理，∠CFA=180-Q=∠BEA。 在△ABE和△CAF中， ∠ABE=∠CAF BE=AF ∠AEB=∠CFA △ABE=△CAF(ASA)。 故AB=CA,AE=CF。 第10页共22页 变式4一1在△ABC中，AB=AC。点D在线段BC内部，点E,F分别在线段AB,AC内部。已知 DE=DF,且∠EDF=∠ABC。求证：BD=CF。 A E B D 分析 两小三角形不共顶点，第二组角要借B,D,C共线求出。给出的DE=DF是一组对应边，不能只 凭三个相等角宣布全等。 解答 设∠ABC=∠ACB=a、∠BDE=B。由各点在线段内部，DE位于DB与DA之间，DF位于DA与 DC之间。结合B,D,C共线，得∠CDF=180°-B-a。 在△CDF中，∠CFD=180°-a-(180°-B-a)=B=∠BDE。 在△BDE和△CFD中， ∠DBE=∠FCD=a ∠BDE=∠CFD DE=FD △BDE兰△CFD(AAS)。 因此BD=CF。 第11页共22页 5大三角形中的隐藏对应 已知等腰边却找不到现成的第二个小三角形时，可以从已知小三角形的角反推辅助射线。先用 全等转移长度或面积，再按点的先后次序拼合；辅助点是否落在允许线段上也要证明。 例5在△ABC中，AB=AC。点D在线段BC内部，点E在线段AD内部，∠BED=∠BAC。已知 BD:DC=1:2,且SeSr,求AE:BE:DE. 分析 一般等角先产生可用于SAS的夹角；从目标的面积底边AD反推取AG=BE。全等后还要用面积 比回验G的位置，不能把辅助点先画在线段内就当作已证。 解答 设∠BAC=a、∠BAE=B。E在AD内部，所以∠BEA=180°-a,进而∠ABE=Q-B=∠CAD。 要把BE转移到面积所用的底AD上，在射线AD上取点G,使AG=BE,连接CG。此时不预先假 定G在线段AD内部。 在△ABE和△CAG中， AB=AC ∠ABE=∠CAG BE=AG △ABE=△CAG(SAS)。 故SAABE=SACAG。设B,C到直线AD的距离分别为hB,hc,由相等面积，AE·hB=AG·hc。又 △ABD与△ACD共用底AD,所以 -S℃光为因此AG那毛AB,也就证明G在线 AE内部。 BD:DC=1:2给出S△ABD= △c,于是、=13=。两三角形从B到AD的高相 AD号，所以AE:DE=4:1. DE_1 结合BE=AE,得AE:BE:DE=4:2:1. 第12页共22页 变式5-1在△ABC中，AB=AC,点D在线段BC内部。点A,E,F,D依次在同一直线上。已知 ∠BED=∠BAC,且SAABE+SACDF=SAACD·求证：∠CFD=∠BAC。 A E F(G八 D 分析 不先把F当成全等的对应点。另取一个确定能全等的G,再由面积拼合证明G恰好就是F,最后 把角性质传回。 解答 设∠BAC=a、∠BAE=B。由∠BEA=180°-a,得∠ABE=a-B=∠CAD。 在射线AD上取点G,使AG=BE,连接CG。由AB=AC、BE=AG及∠ABE=∠CAG,有 △ABE三△CAG(SAS)。所以SA ABE=SACAG，∠CGA=∠BEA=180-C。 因为F在线段AD内部，SAACD=S△ACF+SACFD·代入题设面积等式，得到S△ABE=SAACF,从而 SACAG=S△CAF· 这两个三角形以AG,AF为底，共用C到直线AD的高，所以AG=AF。又G,F在同一射线AD 上，故G=F。于是∠CFA=180°-a,∠CFD=a=∠BAC。 第13页共22页 四分层练习 基础巩固 1.点H,O,K依次共线，点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK、OA⊥OB,且 OA=OB。若AH=7、BK=3,求HK。 A 分析 全等给出OH=BK、OK=AH。点O在HK内部，所以最后将两条对应线段相加。 解答 由余角相等，∠HAO=∠BOK,结合两个直角和OA=OB,得△AHO兰△OKB(AAS)。 故OH=BK=3、OK=AH=7,所以HK=OH+OK=10。 2.点A,B,D依次共线，AB⊥BC,且AB=BC。过A作直线AF⊥CD,与射线BC交于F。若 AF=13、BD=12,求BC。 B D 分析 先用全等将已知斜段AF转成CD,才在包含已知BD的直角三角形里使用勾股。 解答 由两组垂直，∠BAF=∠BCD,结合AB=BC及两个直角，得△ABF兰△CBD(ASA)。因此 CD=AF=13。 在直角三角形CBD中，BC2=CD2-BD2=132-12=25,所以BC=5。 第14页共22页 3.在△ABC中，AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,且AD=BE。求证：AC=BC。 B 分析 不必硬凑全等。两条给定垂线已是同一三角形的高，直接用面积最短。 解答 同一个三角形的面积既等于号BC~AD,也等于AC~BE。 因此BC·AD=AC·BE。由AD=BE>0,得BC=AC。 4.射线AP在∠BAC内部，点A,E,F,P依次共线。已知∠BAC=∠BEP=∠CFP=70°， ∠BAP=25°。求∠ABE和ㄥCFA。 B 分析 本题只求角，不需要等边条件。三组等角的计算不自动带来全等。 解答 EA与EP反向，故∠BEA=180°-70°=110°。 在△ABE中，∠ABE=180°-25°-110°=45°。同理，∠CFA=180°-∠CFP=110°。 第15页共22页 5.点H,O,K依次共线，点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK。若AH=OK, OH=BK,求证：OA=OB且OA⊥OB。 A B 分析 第三个垂直是结论，必须先用两组直角边及夹角作SAS,再恢复余角关系。 解答 在△AHO和△OKB中， AH=OK ∠AHO=∠OKB=90 OH=KB △AHO=△OKB(SAS)。 故OA=OB、∠HAO=∠KOB。而∠AOH+∠HAO=90,所以∠AOH+∠KOB=90。 由H,O,K依次共线且A,B在同侧，∠AOB=180°-∠AOH-∠KOB=90°，即OA⊥OB。 第16页共22页 迁移运用 6.在△ABC中，AC=BC、∠ACB=90°。点D在三角形内部，∠ADC=90°，且S△ABD=2S△BCD· 求∠ADB。 A H B 分析 先主动补高，用全等把两块面积写成两条直角边的关系，再恢复小等腰直角三角形。 解答 过B作BH⊥直线CD于H。由两个直角、余角相等及AC=BC,得△ACD兰△CBH(AAS)，所 以BH=CD、CH=AD。 D在三角形内部，B,C位于直线AD两侧，又BH‖AD,因此点序为C,D,H。设CD=X、 DH=y,则BH=X、AD=CH=x+y。 作BK⊥AD于K。由两组平行、两个直角及公共斜边BD,得△BHD兰△DKB(AAS),所以 BK=DH=y,故5amx+yy,而SamX。 题设给x+y)y=2x2,即(y-x)(y+2x)=0。因x,y>0,得y=x,所以DH=BH, ∠HDB=45。又D在三角形内部，A,B在直线CD两侧，故K在AD的延长线上。∠HDK=90°且 DB在该角内部，所以∠KDB=45°。DA,DK反向，故∠ADB=180°-45=135°。 第17页共22页 7.本题不提供图形。在△ABC中，CA=CB、∠ACB=90°。直线经过C,与线段AB相交于内部 一点；A,B到I的垂足分别为F,E。若AF=3、EF=1,求BE的所有可能值。 A B 分析 已知两点异侧只确定两垂足同向，不确定哪个垂足更远；不能提前选择差式的被减数。 解答 l与AB相交于内部一点，所以A,B在l异侧。由余角、直角及CA=CB,得两个小直角三角形全 等，因此CE=AF=3、CF=BE,且CE,CF为同一射线。 若F在CE内部，则CF=CE-EF=2,若E在CF内部，则CF=CE+EF=4。所以BE=2或4。 这两种情况都可分别按CF=2或4、CE=3构图，再在异侧作AF=3、BE=CF,SAS与互余角验 证原条件，故两个值均可取。 第18页共22页 条件辨析 8.点H,O,K依次共线，点A,B在直线HK的同侧，AH⊥HK、BK⊥HK、OA⊥OB,且 AH=BK。是否一定有OA=OB?若不一定，请给出一组可实现的线段长度作为反例。 A B K 分析 反例必须同时满足第三个垂直，不能随意画两个高度相同的三角形就称为反例。 解答 不一定。取H,O,K依次共线，在同侧作AH⊥HK、BK⊥HK,使AH=BK=3,∠AOH=30°、 ∠BOK=60°。两条射线与相应高度线均有唯一交点，故此图能作出。 由平角分割，∠AOB=180°-30°-60°=90°。由含30°角的直角三角形性质，OA=2AH=6。在 △B0K中，∠OBK=30,故OK=OB由勾股定理，OB=3+(0B},得OB=23。 所以全部题设条件成立，但OA≠OB。此时OH=3V3、OK=V3,可作为所求的一组具体长度。 第19页共22页 五综合提高 1.如图，AB1BC,点A,E在直线BC的同侧，AC=CE,∠BCE>90,且S2EBC, (1)求证：AC⊥CE, (2)若删去条件∠BCE>90°，第（1)问的结论是否一定成立？若不一定，请给出一个满足其 余条件的反例。 E E D 分析 面积给一条对应直角边，等斜边给HL；钝角条件决定垂足方向。三种信息各有用途，删除位置 条件后不能继续使用原来的补角关系。 解答 (I)过E作ED⊥直线BC于D。由∠BCE>90°，可知D在射线BC上且在C外侧。面积条件给出 3BCED=BC2,故ED=BC。 在△ABC和△CDE中， ∠ABG=∠CDE=90 AC=CE BC=DE Rt△ABC≡Rt△CDE(HL)。 于是∠BAC=∠DCE。又∠BAC+∠ACB=90°，且CB,CD反向，故 ∠ACE=180°-∠ACB-∠DCE=90°，所以AC⊥CE。 (2)不一定。取BC=6、AB=4。在线段BC上取D,使CD=4,再在与A同侧作DE⊥BC DE=6。由两条直角边对应相等，得AC=CE,且SAcE66=18=号BC, 但CA,CE都在射线CB与过C向上的垂线之间的开直角内，故∠ACE<90°，不满足AC⊥CE。 第20页共22页 2.本题不提供图形。在△ABC中，CA=CB=5、∠ACB=90°。直线1经过C,且A,B都不在1上， 垂足分别为F,E。 (1)判断EF能否等于5，并写出解答过程。 (2）求EF的最大值及此时直线的位置。 B(T) E 分析 最大值和不能取到的中间值都要检查位置。EF=5对应的形式边界需要a=0或b=0,恰被题设排 除；等号构造则必须仍满足所有原条件。 解答 设AF=a、BE=b,则a,b>0。由两直角三角形的余角与等斜边，可得CF=b、CE=a,故勾股定 理给出a2+b2=25。 (1)若A,B在l同侧，EF=a+b,所以EF2=25+2ab>25,若A,B在l异侧，EF=a-b,所以 EF2=25-2ab<25。因此EF不能等于5。 (2）异侧时EF<5。同侧时，(a+bP=2(a2+b2)-(a-bP≤50，所以EF≤5V2;等号当且仅当 a=b。 该等号可以实现：在直线上沿相反的两条射线分别取CF=C压=5，再在同侧作 A=BB=5Y2。两个小三角形都是等腰直角三角形，所以CA=CB=5且∠ACB=90,此时 EF=5V2。 取等时AF=BE且A,B在I同侧。过A作AT‖I交射线EB于T。由两个直角、平行线内错角及公共 斜边AE,有△AFE兰△ETA(AAS),所以ET=AF=EB,T=B。因此此时l是过C且平行于AB 的直线。 第21页共22页 3.在△ABC中，AB=AC且AB≥BC,点D在线段BC内部。 (1)在线段AD内部是否存在唯一的点E,使∠BED=∠BAC?证明你的结论。 (2)若AB=BC,且D为BC的中点，求AE:DE。 A A X E E d D 分析 先前题目直接给出E,本题须先证明所需射线确与AD内部相交。边长限制保证射线落在∠ABD 内部；特殊位置下再用等角与30性质求比。 解答 (1)存在且唯一。记∠BAC=a、∠ABC=∠ACB=y、∠BAD=B。先证y≥a'若AB=BC,三 角形为等边三角形，Y=;若AB>BC,在线段BA内部取X,使BX=BC,连接CX。由等腰性质 和三角形外角定理，∠BCX=∠BXC=a+∠ACX,因此y=∠BCX+∠XCA=a+2∠ACX>a。 又D在BC内部，所以0<B<a。结合y≥a,得0<a-B<y。在△ABD中，∠ABD=Y。 在∠ABC内部作射线BE,使∠ABE=-B。由于这个角严格介于0与y之间，该射线与线段AD 相交于唯一的内部点E。由三角形外角定理，∠BED=∠BAE+∠ABE=B+(a-B)=Q。 反过来，任何满足要求的内部点E都必须有∠ABE=a-B,在∠ABC内部满足这一条件的射线 唯一，其与AD的交点也唯一。 (2)由AB=AC=BC,得△ABC为等边三角形，∠BAC=60°。D是BC中点，所以AD⊥BC, ∠BAD=30°。由第(1)问的构造，∠ABE=60°-30°=30°，故AE=BE。在Rt△BDE中， ∠BED=60°，所以∠EBD=30°，BE=2DE。因此AE:DE=2:1。 第22页共22页 专题五 垂直条件下的全等构造 培优专题讲与练 一 必备知识 垂直能提供直角，也能把一个角转成另一个角的余角。真正的构造不是画出更多垂线，而是从所求的长度、面积或垂直关系出发，把已知等长边放进一对对应正确的三角形。本讲从补一条垂线入手，再处理无图分类、相交垂线、一般等角与大三角形中的隐藏对应。 1 垂直、余角与对应边 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。两个角的和为这两个角互余；同角或等角的余角相等。 全等判定中的ASA、AAS都要有一组对应边相等；HL只用于直角三角形，并要求斜边和一条直角边对应相等。仅有两组或三组角相等，不能据此判定全等。 读全等式时按顺序配对顶点。 2 三组垂直怎样产生全等 如图，依次共线，在直线的同侧，且则 证明 由点序和有在直角三角形中，故 在和中， （AAS）。 所以 对应为两条垂线并不互相对应。此图只说明一种位置，其他点序须重新说明角关系。 二 典例精讲 例题 如图，点在直线的同侧。若求的面积。 分析 目标先确定高等长的再提示比较以它们为斜边的两个直角三角形。不是见到两个直角就任意补垂线。 解 以为底求面积，缺的是点到直线的距离。因此过作直线垂足为为锐角，且在同侧，所以朝向的前方，在射线上且在外侧。 在中，由及共线，所以 在和中， （AAS）。 故于是 三 分类讲练 1 补出所求图形的高 所求面积已经给出一条底时，先找这条底的高。把另一条已知垂线补到同一条直线上，可能使等长斜边进入一对全等直角三角形；补线的落点和方向决定后面的拼接。 例1 如图，作等腰直角三角形其中点在直线的两侧；作等腰直角三角形其中点在直线的两侧。与射线交于 （1）求证： （2）若求的面积。 分析 目标中的不是现成三角形的对应边。补先把转移为再以两端等高和对顶角把平分；两次全等各解决一步。 解答 要把与联系起来，过作直线于由题设方向，点序为 由可得 在和中， （AAS）。 所以在和中， （AAS）。 于是故第（1）问得证。 第（2）问中，故 变式1－1 如图，点在直线的同侧，且在的另一侧作等腰直角三角形点与在直线两侧。求证： 分析 改变所在半平面后，原先用于对顶角的交点消失，不能沿用面积图中的点序。 解答 过作直线于由得结合两个直角和有（AAS），故 过作交射线于连接因在直线的同侧，交点确在射线上。 在和中， （AAS）。 所以同一射线上到距离相等的点唯一，故于是 变式1－2 在中，点在三角形内部，且若求与 分析 这里缺的高是从向作的垂线。先由一块面积求再用全等同时得到高与整段不必求斜边 解答 由和得所以 要以为底求的面积，过作直线于因在三角形内部，射线在内部；故又所以 在和中， （AAS）。 故在三角形内部，使位于直线两侧；又所以点序为 于是作于连接由两组平行、两个直角及公共斜边得（AAS），所以故 2 无图条件与垂足位置 只有到直线的距离，尚未确定点在直线的哪一侧。先画出所有允许的位置，再由全等确定垂足在同一射线上还是相反射线上；和与差是位置结论，不是记忆口诀。 例2 本题不提供图形。在中，直线经过点均不在上；分别作于于已知其中求所有可能的值，并说明每个值能否实现。 分析 题目没有给两点所在半平面，不能先补一张熟悉的同侧图就结束。先穷尽位置，再证明两种数值都可构成。 解答 先按在同侧或异侧分类。这两类已包含所有情形。 均不与重合：若则再由知在上，与矛盾；同理。 若在同侧，使必须为相反射线；若同向，两个锐角都位于同一个开直角内，不可能互相垂直。因此在之间，且又得结合两个直角和有（AAS），故于是 若在异侧，则为同一射线；若反向，的夹角大于此时再与比较，仍得由两个直角及仍有（AAS），所以因点序为故 两值都能实现：按上述两种点序取再在指定的同侧或异侧作由SAS得故而所以同侧图中异侧图中两图都满足原条件。 变式2－1 本题不提供图形。在中，直线经过到的距离均为垂足分别为求的所有可能值。 分析 参数相等时，差值为零表示两垂足合并，不表示共线。此处需要区分辅助点重合与原三角形退化。 解答 若在同侧，由余角、直角及得两个小直角三角形全等，所以且在之间，故 若在异侧，则为同一射线，且所以重合，此时共线，到的距离为原三角形并不退化。 分别按上述两种位置作图，两直角边均为可直接用SAS与锐角互余验证两值均能实现。 3 相交垂线与反向恢复 两条相交的垂线常把不相邻的锐角联系起来。正向用余角建立全等，反向则应先找足够的边角条件恢复全等，不能把尚待证明的垂直当作已知。 例3 如图，点在直线上且过作直线与直线交于设 （1）当在射线上且位于外侧时，用表示并写出的位置； （2）当在射线上时，用表示 分析 交叉的两条斜线共同制造余角，但全等只给出所求还必须按是否越过分别作和或差。 解答 先求不随点序改变的对应线段当在外侧时，在射线上。由及 在和中， （ASA）。 因此若依次排列，若若依次排列， 当在射线上时，在射线上且位于外侧。由两组垂直仍得结合和两个直角，仍有（ASA）。所以点序为故 变式3－1 点依次共线，且点在线段内部，求证： 分析 先把面积相等换成才有SAS。不可由面积相等直接断言两三角形全等，更不能预先用待证的垂直关系找余角。 解答 由两面积相等，因得 在和中， （SAS）。 所以延长交于由在线段内部，在线段内部。 在中，两角之和为故即 4 从直角到一般等角 把直角改成相等的非直角后，互余关系不再可用。应借共线和三角形内角和重新求出另一组等角，再核实给出的等边确实对应；三个角相等本身不能判定全等。 例4 射线在内部，点依次在同一直线上。已知且求证： 分析 这里没有直角，也没有预先给大等腰。先用共线产生的补角求出第二组等角，再核对对应的是不是 解答 设由于在角内部， 与是相反射线，所以在中，同理， 在和中， （ASA）。 故 变式4－1 在中，点在线段内部，点分别在线段内部。已知且求证： 分析 两小三角形不共顶点，第二组角要借共线求出。给出的是一组对应边，不能只凭三个相等角宣布全等。 解答 设由各点在线段内部，位于与之间，位于与之间。结合共线，得 在中， 在和中， （AAS）。 因此 5 大三角形中的隐藏对应 已知等腰边却找不到现成的第二个小三角形时，可以从已知小三角形的角反推辅助射线。先用全等转移长度或面积，再按点的先后次序拼合；辅助点是否落在允许线段上也要证明。 例5 在中，点在线段内部，点在线段内部，已知且求 分析 一般等角先产生可用于SAS的夹角；从目标的面积底边反推取全等后还要用面积比回验的位置，不能把辅助点先画在线段内就当作已证。 解答 设在内部，所以进而 要把转移到面积所用的底上，在射线上取点使连接此时不预先假定在线段内部。 在和中， （SAS）。 故设到直线的距离分别为由相等面积，又与共用底所以因此也就证明在线段内部。 给出于是两三角形从到的高相同，故所以 结合得 变式5－1 在中，点在线段内部。点依次在同一直线上。已知且求证： 分析 不先把当成全等的对应点。另取一个确定能全等的再由面积拼合证明恰好就是最后把角性质传回。 解答 设由得 在射线上取点使连接由及有（SAS）。所以 因为在线段内部，代入题设面积等式，得到从而 这两个三角形以为底，共用到直线的高，所以又在同一射线上，故于是 四 分层练习 基础巩固 1. 点依次共线，点在直线的同侧，且若求 分析 全等给出点在内部，所以最后将两条对应线段相加。 解答 由余角相等，结合两个直角和得（AAS）。 故所以 2. 点依次共线，且过作直线与射线交于若求 分析 先用全等将已知斜段转成才在包含已知的直角三角形里使用勾股。 解答 由两组垂直，结合及两个直角，得（ASA）。因此 在直角三角形中，所以 3. 在中，于于且求证： 分析 不必硬凑全等。两条给定垂线已是同一三角形的高，直接用面积最短。 解答 同一个三角形的面积既等于也等于 因此由得 4. 射线在内部，点依次共线。已知求和 分析 本题只求角，不需要等边条件。三组等角的计算不自动带来全等。 解答 与反向，故 在中，同理， 5. 点依次共线，点在直线的同侧，若求证：且 分析 第三个垂直是结论，必须先用两组直角边及夹角作SAS，再恢复余角关系。 解答 在和中， （SAS）。 故而所以 由依次共线且在同侧，即 迁移运用 6. 在中，点在三角形内部，且求 分析 先主动补高，用全等把两块面积写成两条直角边的关系，再恢复小等腰直角三角形。 解答 过作直线于由两个直角、余角相等及得（AAS），所以 在三角形内部，位于直线两侧，又因此点序为设则 作于由两组平行、两个直角及公共斜边得（AAS），所以故而 题设给即因得所以又在三角形内部，在直线两侧，故在的延长线上。且在该角内部，所以反向，故 7. 本题不提供图形。在中，直线经过与线段相交于内部一点；到的垂足分别为若求的所有可能值。 分析 已知两点异侧只确定两垂足同向，不确定哪个垂足更远；不能提前选择差式的被减数。 解答 与相交于内部一点，所以在异侧。由余角、直角及得两个小直角三角形全等，因此且为同一射线。 若在内部，则若在内部，则所以或 这两种情况都可分别按或构图，再在异侧作SAS与互余角验证原条件，故两个值均可取。 条件辨析 8. 点依次共线，点在直线的同侧，且是否一定有若不一定，请给出一组可实现的线段长度作为反例。 分析 反例必须同时满足第三个垂直，不能随意画两个高度相同的三角形就称为反例。 解答 不一定。取依次共线，在同侧作使两条射线与相应高度线均有唯一交点，故此图能作出。 由平角分割，由含角的直角三角形性质，在中，故由勾股定理，得 所以全部题设条件成立，但此时可作为所求的一组具体长度。 五 综合提高 1. 如图，点在直线的同侧，且 （1）求证： （2）若删去条件第（1）问的结论是否一定成立？若不一定，请给出一个满足其余条件的反例。 分析 面积给一条对应直角边，等斜边给HL；钝角条件决定垂足方向。三种信息各有用途，删除位置条件后不能继续使用原来的补角关系。 解答 （1）过作直线于由可知在射线上且在外侧。面积条件给出故 在和中， （HL）。 于是又且反向，故所以 （2）不一定。取在线段上取使再在与同侧作由两条直角边对应相等，得且 但都在射线与过向上的垂线之间的开直角内，故不满足 2. 本题不提供图形。在中，直线经过且都不在上，垂足分别为 （1）判断能否等于并写出解答过程。 （2）求的最大值及此时直线的位置。 分析 最大值和不能取到的中间值都要检查位置。对应的形式边界需要或恰被题设排除；等号构造则必须仍满足所有原条件。 解答 设则由两直角三角形的余角与等斜边，可得故勾股定理给出 （1）若在同侧，所以若在异侧，所以因此不能等于 （2）异侧时同侧时，所以等号当且仅当 该等号可以实现：在直线上沿相反的两条射线分别取再在同侧作两个小三角形都是等腰直角三角形，所以且此时 取等时且在同侧。过作交射线于由两个直角、平行线内错角及公共斜边有（AAS），所以因此此时是过且平行于的直线。 3. 在中，且点在线段内部。 （1）在线段内部是否存在唯一的点使证明你的结论。 （2）若且为的中点，求 分析 先前题目直接给出本题须先证明所需射线确与内部相交。边长限制保证射线落在内部；特殊位置下再用等角与性质求比。 解答 （1）存在且唯一。记先证若三角形为等边三角形，若在线段内部取使连接由等腰性质和三角形外角定理，因此 又在内部，所以结合得在中， 在内部作射线使由于这个角严格介于与之间，该射线与线段相交于唯一的内部点由三角形外角定理， 反过来，任何满足要求的内部点都必须有在内部满足这一条件的射线唯一，其与的交点也唯一。 （2）由得为等边三角形，是中点，所以由第（1）问的构造，故在中，所以因此 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $