微专题08 等腰三角形中的旋转全等模型 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

专题八等腰三角形中的旋转全等模型培优专题讲与练 一必备知识 两对共端点等长线段，常能组成一对全等三角形。关键不在于图形看起来转了多少，而在于找 准对应边，并用角的和差证明夹角相等。全等之后，还要利用共线、底角、中点等条件，把对 应关系转化为题目所求。 1概念两对等长线段与对应三角形 如图，AB=AC,AD=AE。若能证明∠BAD=∠CAE,就能由SAS得到△ABD三△ACE。对应 关系为A+A,BC,D:E。 只知道两个等腰三角形有公共顶点还不够；两对等长边的夹角必须相等。这里需要的是∠BAD 与∠CAE,不能随意换成图中其他两个角。 底边BD、CE即使尚未画出，也可以连接；但对应关系必须先由条件证明。 2方法角差、角和与点序 角差：若射线在一个平角内依次为AB,AD,AC,AE,且∠BAC=∠DAE,则减去公共角 ∠DAC,得∠BAD=∠CAE。 角和：若射线在一个平角内依次为AB,AC,AD,AE,且∠BAC=∠DAE,则加上公共角 ∠CAD,同样得到∠BAD=∠CAE。 全等之后，线段共线才能使用整段与部分的加减；对应角相等还须结合射线位置，才能判定交 角是某角还是它的补角。 等边三角形给60°顶角，等腰直角三角形给90°顶角；两种情形都从同一个SAS结构出发。 第1页共18页 二典例精讲 例题如图，射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=C。连接BD,CE。求证：BD=CE。 分析 目标是BD与CE相等，把它们分别放入△ABD与△ACE。两对边已相等，唯一缺少的是夹角。 相同的大角减去同一个小角，恰好给出这一条件。注意对应次序不是按三角形字母的习惯排 列，而是由两对等长边决定。 解 由射线顺序，∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC。因为∠BAC=∠DAE,所 以∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD=△ACE(SAS)O 由全等三角形对应边相等，得BD=CE。 第2页共18页 三分类讲练 1一般等腰：找准夹角与对应 先用相同角的和差证明夹角相等，再辨明全等后哪一个角或哪一条边能用。 例1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，D为三角形内部一点。将线段AD绕A顺时针旋转50 得到AE,点E与C在直线AB两侧。连接BE,DE,CD。 (1)求证：BE=CD;(2)若∠ADC=125°，求∠BED。 D B 变式1一1AB=AC,∠BAC=50°。射线AD在∠BAC内部，D在△ABC外部。将AD绕A顺时针 旋转50°得到AE,且B在△ADE内部。连接BE,CD。若∠ADC=55°，求∠BED。 B 第3页共18页 2点在线段上：把对应关系落到底边 点在边上或延长线上时，底角、线段和差会改变后续推理。 例2△ABC与△ADE均为等边三角形，点D在线段BC内部，点E与B在直线AD两侧。连接 CE。求∠ACE。 B 变式2-1AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。点D在线段BC内部，点E与B在直线AD 两侧。连接CE。 (1)求∠ACE;(2)求证：DE=BD2+CD2。 E B 第4页共18页 3共线与交点：把等角拼成直角 先确定射线方向，再将对应角与原有底角组合。 例3△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，直角均在A。点B,C,E依次共线，点A,D在直线BE 同侧，且D与B在直线AE两侧。连接CD。若BC=4,CE=2,求△DCE的面积。 D C 变式3一1△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，直角均在C,AC=BC,DC=EC。点D,A,B 依次共线，点E与C在直线BD同侧，且E与B在直线AC两侧。连接AE。求证：AE⊥BD。 D 第5页共18页 例4△ABC为等边三角形，点P与A在直线BC两侧，且∠BPC=120°。若BP=2,CP=3,求 AP。 A B 第6页共18页 变式4-1在等边△ABC内部有-点P,∠BPC=120°，且AP⊥BP。求证：BP=2CP。 A 第7页共18页 4中点与复合构造 中点常提示倍长，但倍长后仍须用等角等长落实新的全等。 例5在等边△ABC中，D为AB中点，E为BC内部一点。作等边△DEF,使F与B在直线DE两 侧。连接CF。求证：FE=FC。 y D F E 第8页共18页 变式5一1在等边△ABC中，F为AC中点，M为BC中点。点D在BC内部且不与M重合。作等边 △DFE,使E与A在直线DF两侧。连接CE。 (1)求证：CE=DM;(2)当D分别在线段BM,MC内部时，写出CE,DC,BC之间的数量关 系，并证明。 A B M 第9页共18页 四分层练习 基础巩固 1.射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE。求证： BC=DE。 C D 2.射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AC,AD=AE,且BD=CE。求证： ∠BAC=∠DAE。 B 第10页共18页 迁移运用 3.在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=14。点D在射线AB上，且BD=4。以CD为一腰作 等腰直角△CDE,∠DCE=90°，且E与A在直线CD两侧。连接BE,求BE的所有可能值。 第11页共18页 4.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。点D在射线CB上且位于点B外侧；点E与B在直 线AD同侧。连接CE。 (1)求∠ACE;(2)求证：DE2=BD+CD2。 E B D 第12页共18页 5.在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BC=8。点D在线段BC内部，作等腰直角 △ADE,使∠DAE=90°，且E与B在直线AD两侧。求DE的最小值，并求取到最小值时D的位 置。 第13页共18页 6.△ABC与△ADE均为等边三角形，射线AB,AC,AD,AE依次排列在一个平角内。直线 BD,CE交于P,点序分别为B,D,P和C,P,E,且射线BP在∠ABC内部，A在∠BPE内部。连接 APo (1)求∠BPE,(2)求证：AP平分∠BPE。 C D E -9 B 第14页共18页 7.点P在等边△ABC内部，∠BPC=150°，BP=3,CP=4。求AP。 A P B 第15页共18页 五综合提高 1.在锐角△ABC中，射线AC由AB逆时针转过∠BAC得到。以A为直角顶点作等腰直角△ABD 和△ACE,其中AD由AB逆时针转90得到，AE由AC顺时针转90得到。M为BC中点。求证： DE=2AM,且AM⊥DE。 D A 第16页共18页 2.点P在等边△ABC内部，∠BPC=120°。D为BC中点，连接AP,PD。求证： ∠APC+∠BPD=180°。 A D 第17页共18页 3.在△ABC中，∠ABC=90°，射线BA由BC逆时针转90°得到。将△ABC绕C顺时针旋转θ得到 △DEC,其中0<0<180°，A,B分别对应D,E。直线BE与线段AD相交于F。求证：AF=DF。 D 第18页共18页专题八等腰三角形中的旋转全等模型培优专题讲与练 一必备知识 两对共端点等长线段，常能组成一对全等三角形。关键不在于图形看起来转了多少，而在于找 准对应边，并用角的和差证明夹角相等。全等之后，还要利用共线、底角、中点等条件，把对 应关系转化为题目所求。 1概念两对等长线段与对应三角形 如图，AB=AC,AD=AE。若能证明∠BAD=∠CAE,就能由SAS得到△ABD三△ACE。对应 关系为A+A,BC,D:E。 只知道两个等腰三角形有公共顶点还不够；两对等长边的夹角必须相等。这里需要的是∠BAD 与∠CAE,不能随意换成图中其他两个角。 底边BD、CE即使尚未画出，也可以连接；但对应关系必须先由条件证明。 2方法角差、角和与点序 角差：若射线在一个平角内依次为AB,AD,AC,AE,且∠BAC=∠DAE,则减去公共角 ∠DAC,得∠BAD=∠CAE。 角和：若射线在一个平角内依次为AB,AC,AD,AE,且∠BAC=∠DAE,则加上公共角 ∠CAD,同样得到∠BAD=∠CAE。 全等之后，线段共线才能使用整段与部分的加减；对应角相等还须结合射线位置，才能判定交 角是某角还是它的补角。 等边三角形给60°顶角，等腰直角三角形给90°顶角；两种情形都从同一个SAS结构出发。 第1页共22页 二典例精讲 例题如图，射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=C。连接BD,CE。求证：BD=CE。 分析 目标是BD与CE相等，把它们分别放入△ABD与△ACE。两对边已相等，唯一缺少的是夹角。 相同的大角减去同一个小角，恰好给出这一条件。注意对应次序不是按三角形字母的习惯排 列，而是由两对等长边决定。 解 由射线顺序，∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC。因为∠BAC=∠DAE,所 以∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD=△ACE(SAS)O 由全等三角形对应边相等，得BD=CE。 第2页共22页 三分类讲练 1一般等腰：找准夹角与对应 先用相同角的和差证明夹角相等，再辨明全等后哪一个角或哪一条边能用。 例1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，D为三角形内部一点。将线段AD绕A顺时针旋转50 得到AE,点E与C在直线AB两侧。连接BE,DE,CD。 (1)求证：BE=CD;（2)若∠ADC=125°，求∠BED。 D B 分析 全等直接搬运的是∠AEB,不是题目所求的∠BED。连接DE形成的等腰三角形提供两角之差 中的另一角。 解答 (1)由旋转的定义，AD=AE,∠DAE=50°=∠BAC。减去公共角∠BAD,得 ∠EAB=∠DAC。 在△AEB和△ADC中， AE-AD ∠EAB=∠DAC AB-AC △AEB兰△ADC(SAS)。 所以BE=CD,且∠AEB=∠ADC。 (2)由∠ADC=125°，得∠AEB=125。AE=AD且∠EAD=50°，所以∠AED=65°。射线AB在 ∠EAD内部，故B,D在直线AE同侧；又125°>65°，所以射线ED在∠AEB内部， ∠BED=125°-65=60。 第3页共22页 变式1一1AB=AC,∠BAC=50°。射线AD在∠BAC内部，D在△ABC外部。将AD绕A顺时针 旋转50得到AE,且B在△ADE内部。连接BE,CD。若∠ADC=55°，求∠BED。 分析 等长与夹角仍能证明同一对全等，但点域改变后，较大的角变成∠AED。应先确认所求角位于 哪个大角内部，再作减法。 解答 由∠DAE=∠BAC=50°，减去公共角∠BAD,得∠EAB=∠DAC。 在△AEB和△ADC中， AE-AD ∠EAB=∠DAC AB=AC △AEB=△ADC(SAS)。 所以∠AEB=55°。 等腰三角形AED中，∠AED=180-50=65。 由于B在△AED内部，射线EB在∠AED内部，故∠BED=65-55=10°。 第4页共22页 2点在线段上：把对应关系落到底边 点在边上或延长线上时，底角、线段和差会改变后续推理。 例2△ABC与△ADE均为等边三角形，点D在线段BC内部，点E与B在直线AD两侧。连接 CE。求∠ACE。 E B 分析 夹角相等的证明与母题一致，新增的条件D∈BC使全等后的对应角恰好成为等边三角形的底 角。 解答 ∠BAD=60°-∠DAC,∠CAE=60°-∠DAC,所以二角相等。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD兰△ACE(SAS)。 因为D在BC上，∠ABD=∠ABC=60°。故∠ACE=∠ABD=60°。 第5页共22页 变式2-1AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。点D在线段BC内部，点E与B在直线AD 两侧。连接CE。 (1)求∠ACE,(2)求证：DE2=BD2+CD2。 C E D 分析 不能把等边情形的角度换成45°就结束。两个45°相加产生新的直角，勾股定理才能把三条原本 不在同一三角形中的线段联系起来。 解答 ∠BAD=90-∠DAC=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △ABD兰△ACE(SAS)。 因此CE=BD,∠ACE=∠ABD=45。 ∠ACD=45°，且射线CA在∠DCE内部，所以∠DCE=90°。 在直角三角形DCE中，DE2=DC2+CE=DC2+BD。 第6页共22页 3共线与交点：把等角拼成直角 先确定射线方向，再将对应角与原有底角组合。 例3△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，直角均在A。点B,C,E依次共线，点A,D在直线BE 同侧，且D与B在直线AE两侧。连接CD。若BC=4,CE=2,求△DCE的面积。 分析 面积需要底和高。已知的BC,CE不是高，但全等可把它们的和BE搬成CD,再由两个45°证明 这条线段确实是高。 解答 图中∠CAD=90°+∠CAE=∠BAE。 在△ACD和△ABE中， AC=AB ∠CAD=∠BAE AD-AE △ACD兰△ABE(SAS)。 故CD=BE=BC+CE=6,∠ACD=∠ABE=45°。又∠ACB=45°，射线CA在∠BCD内部，故 ∠BCD=90°，即CD⊥CE。 因此m号0kc0=26=6. 2 第7页共22页 变式3一1△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，直角均在C,AC=BC,DC=EC。点D,A,B 依次共线，点E与C在直线BD同侧，且E与B在直线AC两侧。连接AE。求证：AE⊥BD。 分析 共线点从底边的三个端点变成一个三角板顶点落在另一条连线上。此时需要搬运的是角，而不 是先求整段长度。 解答 由射线位置，∠ACE=90°+∠ACD,∠BCD=90°+∠ACD,所以二角相等。 在△ACE和△BCD中， AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD △ACE兰△BCD(SAS)。 因点D,A,B依次共线，∠CBD=∠CBA=45°，所以∠CAE=45。又∠CAB=45°，且AC位于 ∠EAB内部，所以∠EAB=90°，即AE⊥BD。 第8页共22页 例4△ABC为等边三角形，点P与A在直线BC两侧，且∠BPC=120°。若BP=2,CP=3,求 AP。 B 分析 目标是把两条已知长度搬到AP上。补等边提供60°的等角，120°条件则在全等之后把搬来的线 段接成一条直线。 解答 作等边△BPQ,使Q与C在直线BP同侧，连接AQ。∠PBQ=∠ABC=60°，减去公共角 ∠QBC,得∠QBA=∠PBC。 在△BQA和△BPC中， BQ=BP ∠QBA=∠PBC BA=BC △BQA=△BPC(SAS)。 因此QA=PC=3,∠BQA=120°。射线QA,QP在QB两侧，而∠BQP=60°，所以∠AQP=180, 点A,Q,P依次共线。 故AP=AQ+QP=PC+PB=3+2=5。 第9页共22页 变式4-1在等边△ABC内部有一点P,∠BPC=120°，且AP⊥BP。求证：BP=2CP。 A 分析 内点时不能沿用外点题的三点共线。额外垂直条件与60°相减产生30°，此时两段长度的倍数来 自直角三角形，而不是共线相加。 解答 在射线CP上、点P的外侧取Q,使PQ=PB,连接BQ,AQ。由于∠BPQ=60°，△BPQ为等边三 角形。 ∠QBA=60-∠ABP=∠PBC。 在△BQA和△BPC中， BQ=BP ∠QBA=∠PBC BA=BC △BQA兰△BPC(SAS)。 故AQ=PC,∠BQA=120°。射线QP在∠BQA内部，所以∠AQP=120°-60°=60°。又 ∠APB=90°，射线PQ在此角内部，故∠APQ=90°-60°=30°。 于是△APQ中∠PAQ=90,PQ=2AQ,从而BP=PQ=2AQ=2CP。 第10页共22页 4中点与复合构造 中点常提示倍长，但倍长后仍须用等角等长落实新的全等。 例5在等边△ABC中，D为AB中点，E为BC内部一点。作等边△DEF,使F与B在直线DE两 侧。连接CF。求证：FE=FC。 D D B 分析 中点给出的是半条边，还不能直接加入双等边全等。在另一边上补出同样的半条边，先组成小 等边，再把第一次全等得到的边角交给第二次全等。 解答 取BC中点H,连接DH,HF。由BD=BH,∠DBH=60°，得△BDH为等边三角形，所以 DB=DH=HC。 当E在BH上时，∠BDE=60°-∠EDH=∠HDF,当E在HC上时， ∠BDE=60+∠HDE=∠HDF。E=H时二角均为60°。 在△DBE和△DHF中， DB=DH ∠BDE=∠HDF DE=DF △DBE=△DHF(SAS)。 故HF=BE,∠DHF=∠DBE=60°。由于∠DHC=120°，且HF在此角内部，得∠FHC=60°。 在△FHC和△EBD中， HF=BE ∠FHC=∠EBD=60 HC=BD △FHC兰△EBD(SAS)。 所以FC=ED=EF。 第11页共22页 变式5一1在等边△ABC中，F为AC中点，M为BC中点。点D在BC内部且不与M重合。作等边 △DFE,使E与A在直线DF两侧。连接CE。 (1)求证：CE=DM,(2)当D分别在线段BM,MC内部时，写出CE,DC,BC之间的数量关 系，并证明。 A B B 分析 这一次无需第二次全等。第一次全等已将CE搬到直线BC上的DM,剩下的问题是区分中点两侧 的加减，而不是盲目套用同一个线段和式。 解答 连接FM。FC=CM,∠FCM=60°，故△FCM为等边三角形，FM=FC。 若D在BM内部，则∠MFD=∠DFE-∠MFE=∠CFE;若D在MC内部，则 ∠MFD=∠MFC-∠DFC=∠CFE。 在△FMD和△FCE中， FM=FC ㄥMFD=ㄥCFE FD=FE △FMD兰△FCE(SAS)。 所以CE=DM。当D在BM内部时，DC=DM+MC=CE+BC;当D在MC内部时， DC+CE=DC+DM=MC=BC。 第12页共22页 四分层练习 基础巩固 1.射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE。求证： BC=DE。 分析 已知等长配对发生了变化，要重新确定两个三角形。此时夹角来自相加公共角，不能沿用母题 的角差。 解答 ∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAE=∠DAC+∠CAE,故∠BAC=∠DAE。 在△ABC和△ADE中， AB-AD ∠BAC=∠DAE AC-AE △ABC兰△ADE(SAS)。 所以BC=DE。 第13页共22页 2.射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AC,AD=AE,且BD=CE。求证： ∠BAC=∠DAE。 分析 题中尚未给出两个大角相等，不能先按SAS推理。第三对等边已给，应改用SSS恢复夹角，再 相加公共角。 解答 在△ABD和△ACE中， AB=AC AD-AE BD=CE △ABD≌△ACE(SSS)。 所以∠BAD=∠CAE。加上公共角∠DAC,得 ∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=∠DAE。 第14页共22页 迁移运用 3.在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=14。点D在射线AB上，且BD=4。以CD为一腰作 等腰直角△CDE,∠DCE=90°，且E与A在直线CD两侧。连接BE,求BE的所有可能值。 E E C D B B D 分析 “射线”不等于“线段”。先由距离确定两个位置，再分别核实夹角关系；全等得到同一个等式，最 终加减则由点序决定。 解答 因为BD=4<AB=14,点D可能在线段AB内部，也可能在AB延长线上。 当点序为A,D,B时，∠ACD=90°-∠DCB=∠BCE;当点序为A,B,D时， ∠ACD=90+∠BCD=∠BCE。两种情况下都有： 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE △ACD兰△BCE(SAS)。 所以BE=AD。第一种情况AD=AB-BD=10,第二种情况AD=AB+BD=18。两种点均在射线 AB上，故BE=10或18。 第15页共22页 4.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。点D在射线CB上且位于点B外侧；点E与B在直 线AD同侧。连接CE。 (1)求∠ACE;(2)求证：DE2=BD2+CD。 B 分析 点越过B后，对应角成为原底角的补角，不能仍答45°。新的直角也不再由两个45°相加，而由 135减去45°得到。 解答 射线AB,AE均在∠DAC内部，且∠BAD=90°-∠BAE=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD兰△ACE(SAS)。 由B在C,D之间，∠ABD=180°-∠ABC=135。故CE=BD,∠ACE=135°。又∠ACD=45°，射 线CD位于∠ACE内部，所以∠DCE=135°-45°=90°。 在直角三角形DCE中，DE=DC2+CE2=CD2+BD2。 第16页共22页 5.在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BC=8。点D在线段BC内部，作等腰直角 △ADE,使∠DAE=90°，且E与B在直线AD两侧。求DE的最小值，并求取到最小值时D的位 置。 分析 先自主恢复勾股关系，再利用固定和把平方和改写为常数与非负平方。最后必须说明等号对应 的位置确实在线段内部。 解答 连接CE,∠BAD=90°-∠DAC=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △ABD≌△ACE(SAS)。 所以CE=BD,∠ACE=45°。结合∠ACD=45°，得∠DCE=90°，故DE2=BD2+CD。 由于BD+CD=8,有2(BD+CD)=(BD+CD)+(BD-CDP=64+(BD-CD2≥64，所以 DE≥4V2。 等号当且仅当BD=CD=4时成立。取D为BC中点符合条件，故最小值为4V2。 第17页共22页 6.△ABC与△ADE均为等边三角形，射线AB,AC,AD,AE依次排列在一个平角内。直线 BD,CE交于P,点序分别为B,D,P和C,P,E,且射线BP在∠ABC内部，A在∠BPE内部。连接 AP。 (1)求∠BPE;(2)求证：AP平分∠BPE。 P E 分析 交角不是全等三角形中的对应角，须先借三角形内角和计算。角平分则可由等面积、等底推出 到两直线的距离相等，再以HL转为等角。 解答 ∠BAD=60+∠CAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △ABD=△ACE(SAS)。 故BD=CE,∠ABD=∠ACE。记B=∠ABP=∠ACP,则∠CBP=60°-B,∠BCP=60+B。由 △BCP内角和，∠BPC=60°。由于PC与PE反向，所以∠BPE=120°。 过A作AM⊥BP于M,AN⊥PE于N。全等三角形ABD,ACE的面积相等，且BD=CE,故由面 积公式号BDAM=CE~AN得AM=AN. 在△AMP和△ANP中， ∠AMP=∠ANP=90 AP=AP AM=AN △AMP≡△ANP(HL)。 由HL得到AP与两条直线所成的角相等。若垂足落在相应射线的反向延长线上，则 ∠BPA,∠APE相等或互补；但A在∠BPE内部，二角之和为120°，不可能互补，故只能相等。 因此AP平分∠BPE。 第18页共22页 7.点P在等边△ABC内部，∠BPC=150°，BP=3,CP=4。求AP。 A 分析 补等边后，两条已知线段被搬到同一个三角形中。150°与60°的差产生直角，应改用勾股定 理，而不是把两段直接相加。 解答 作等边△BPQ,使Q与C在直线BP两侧，连接AQ。∠QBP=∠ABC=60°，减去公共角∠ABP, 得∠QBA=∠PBC。 在△BQA和△BPC中， BQ=BP ∠QBA=∠PBC BA=BC △BQA兰△BPC(SAS)。 故AQ=PC=4,∠BQA=150°。射线QP在∠BQA内部，且∠BQP=60°，所以 ∠AQP=150°-60°=90°。 又QP=BP=3,由勾股定理得AP=VAQ+QP2=V42+32=5。 第19页共22页 五综合提高 1.在锐角△ABC中，射线AC由AB逆时针转过∠BAC得到。以A为直角顶点作等腰直角△ABD 和△ACE,其中AD由AB逆时针转90°得到，AE由AC顺时针转90得到。M为BC中点。求证： DE=2AM,且AM⊥DE。 D 分析 目标中的二倍中线提示先倍长。第一次全等只能把AB搬到CT,第二次全等才利用两个直角将 AT与DE联系起来。 解答 延长AM至T,使MT=AM,连接CT。 在△BMA和△CMT中， BM=CM ∠BMA=∠CMT AM=TM △BMA兰△CMT(SAS)。 所以CT=AB,∠ABM=∠TCM,故CT‖AB。由此∠ACT=180°-∠BAC。又 ∠EAD=180°-∠BAC,故二角相等。 在△ACT和△EAD中， AC=AE ∠ACT=∠EAD CT=AB=AD △ACT兰△EAD(SAS)。 因此ED=AT=2AM,且∠CAT=∠AED。设直线AT与DE交于X。在本题的射线顺序下，AX在 ∠CAE内部，X在DE内部。记∠CAT=g,则∠EAX=90°-p,∠AEX=0,故∠AXE=90°，即 AM⊥DE。 第20页共22页 2.点P在等边△ABC内部，∠BPC=120°。D为BC中点，连接AP,PD。求证： ∠APC+∠BPD=180°。 分析 先补等边，把PC和PB搬到同一三角形；再倍长中线，把PB搬到C处。两组搬运获得同样的边 角边，才可能把角从A处转到PD上。 解答 在射线CP上、P的外侧取Q,使PQ=PB,连接BQ,AQ。∠BPQ=60°，故△BPQ为等边三角 形。由两个60°角减去∠ABP,得∠QBA=∠PBC。 在△BQA和△BPC中， BQ=BP ∠QBA=∠PBC BA=BC △BQA兰△BPC(SAS)。 所以AQ=PC,∠BQA=120°。射线QP在此角内部，故∠AQP=60°。 延长PD至T,使DT=DP,连接CT。 在△BDP和△CDT中， BD=CD ∠BDP=∠CDT DP=DT △BDP=△CDT(SAS). 故CT=BP=QP,且由对应角相等得CTPB,所以∠PCT=180°-∠BPC=60°。 在△PCT和△AQP中， PC=AQ ∠PCT=∠AQP=60 CT=QP △PCT兰△AQP(SAS)。 于是∠PTC=∠APQ。由于TP与PD反向，TC与PB反向，∠PTC=∠BPD。而Q,P,C依次共 线，所以∠APQ+∠APC=180°，故∠BPD+∠APC=180。 第21页共22页 3.在△ABC中，∠ABC=90°，射线BA由BC逆时针转90°得到。将△ABC绕C顺时针旋转0得到 △DEC,其中0°<0<180°，A,B分别对应D,E。直线BE与线段AD相交于F。求证：AF=DF。 G B 分析 已知两腰相等，但目标中点在另一条连线上。先作平行线，使旋转后的直角与等腰底角产生一 对等角，把DE转成DG,再利用对顶角完成第二组全等。 解答 由旋转定义，CA=CD,CB=CE,∠ACB=∠DCE。 在△ACB和△DCE中， CA=CD ∠ACB=∠DCE CB=CE △ACB=△DCE(SAS)。 故AB=DE,∠DEC=90°。过D作DG‖AB,交直线BE于G。 CB=CE且∠BCE=0,故∠CBE=∠BEC=-90-号，由ABLBC.DG|AB及DE⊥CE,按射线 位置取余角，得∠EGD=∠DEG-?所以DG=DD=AB. 在△ABF和△DGF中， ∠ABF=∠DGF ∠AFB=∠DFG AB=DG △ABF=△DGF(AAS)。 因此AF=DF。 第22页共22页专题八等腰三角形中的旋转全等模型培优专题讲与练 一必备知识 两对共端点等长线段，常能组成一对全等三角形。关键不在于图形看起来转了多少，而在于找 准对应边，并用角的和差证明夹角相等。全等之后，还要利用共线、底角、中点等条件，把对 应关系转化为题目所求。 1概念两对等长线段与对应三角形 如图，AB=AC,AD=AE。若能证明∠BAD=∠CAE,就能由SAS得到△ABD≌△ACE。对 应关系为A~A,B一C,D~E。 只知道两个等腰三角形有公共顶点还不够；两对等长边的夹角必须相等。这里需要的是∠BAD 与∠CAE,不能随意换成图中其他两个角。 底边BD、CE即使尚未画出，也可以连接；但对应关系必须先由条件证明。 2方法角差、角和与点序 角差：若射线在一个平角内依次为AB,AD,AC,AE,且∠BAC=∠DAE,则减去公共角 ∠DAC,得∠BAD=∠CAE。 角和：若射线在一个平角内依次为AB,AC,AD,AE,且∠BAC=∠DAE,则加上公共角 ∠CAD,同样得到∠BAD=∠CAE。 全等之后，线段共线才能使用整段与部分的加减；对应角相等还须结合射线位置，才能判定交 角是某角还是它的补角。 等边三角形给60°顶角，等腰直角三角形给90°顶角；两种情形都从同一个SAS结构出发。 第1页共22页 二典例精讲 例题如图，射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=a。连接BD,CE。求证：BD=CE。 分析 目标是BD与CE相等，把它们分别放入△ABD与△ACE。两对边已相等，唯一缺少的是夹角。 相同的大角减去同一个小角，恰好给出这一条件。注意对应次序不是按三角形字母的习惯排 列，而是由两对等长边决定。 解 由射线顺序，∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC。因为∠BAC=∠DAE,所 以∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △ABD≌△ACE(SAS)。 由全等三角形对应边相等，得BD=CE。 第2页共22页 三分类讲练 1一般等腰：找准夹角与对应 先用相同角的和差证明夹角相等，再辨明全等后哪一个角或哪一条边能用。 例1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，D为三角形内部一点。将线段AD绕A顺时针旋转50 得到AE,点E与C在直线AB两侧。连接BE,DE,CD。 (1)求证：BE=CD:(2)若∠ADC=125°，求∠BED。 A B 分析 全等直接搬运的是∠AEB,不是题目所求的∠BED。连接DE形成的等腰三角形提供两角之差 中的另一角。 解答 （1)由旋转的定义，AD=AE,∠DAE=50°=∠BAC。减去公共角∠BAD,得 ∠EAB=∠DAC. 在△AEB和△ADC中， AE-AD ∠EAB=∠DAC AB=AC △AEB≌△ADC(SAS)。 所以BE=CD,且∠AEB=∠ADC。 (2）由∠ADC=125°，得∠AEB=125°。AE=AD且∠EAD=50°，所以∠AED=65。射线AB 在∠EAD内部，故B,D在直线AE同侧；又125°>65°，所以射线ED在∠AEB内部， ∠BED=125-65=60。 第3页共22页 变式1一1AB=AC,∠BAC=50°。射线AD在∠BAC内部，D在△ABC外部。将AD绕A顺时针 旋转50得到AE,且B在△ADE内部。连接BE,CD。若∠ADC=55,求∠BED。 分析 等长与夹角仍能证明同一对全等，但点域改变后，较大的角变成∠AED。应先确认所求角位于 哪个大角内部，再作减法。 解答 由∠DAE=∠BAC=50°，减去公共角∠BAD,得∠EAB=∠DAC。 在△AEB和△ADC中， AE=AD ∠EAB=∠DAC AB=AC △AEB≌△ADC(SAS)。 所以∠AEB=55。 等腰三角形AED中，∠AED=180-50=65。 由于B在△AED内部，射线EB在∠AED内部，故∠BED=65°-55°=10°。 第4页共22页 2点在线段上：把对应关系落到底边 点在边上或延长线上时，底角、线段和差会改变后续推理。 例2△ABC与△ADE均为等边三角形，点D在线段BC内部，点E与B在直线AD两侧。连接 CE。求∠ACE。 B 分析 夹角相等的证明与母题一致，新增的条件D∈BC使全等后的对应角恰好成为等边三角形的底 角。 解答 ∠BAD=60°-∠DAC,∠CAE=60°-∠DAC,所以二角相等。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △ABD≌△ACE(SAS)。 因为D在BC上，∠ABD=∠ABC=60°。故∠ACE=∠ABD=60°。 第5页共22页 变式2-1AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。点D在线段BC内部，点E与B在直线AD 两侧。连接CE。 (1)求∠ACE;(2)求证：DE=BD2+CD2。 C E D 分析 不能把等边情形的角度换成45°就结束。两个45°相加产生新的直角，勾股定理才能把三条原本 不在同一三角形中的线段联系起来。 解答 ∠BAD=90°-∠DAC=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD≌△ACE(SAS)。 因此CE=BD,∠ACE=∠ABD=45。 ∠ACD=45°，且射线CA在∠DCE内部，所以∠DCE=90°。 在直角三角形DCE中，DE=DC2+CE2=DC2+BD2。 第6页共22页 3共线与交点：把等角拼成直角 先确定射线方向，再将对应角与原有底角组合。 例3△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，直角均在A。点B,C,E依次共线，点A,D在直线 BE同侧，且D与B在直线AE两侧。连接CD。若BC=4,CE=2,求△DCE的面积。 分析 面积需要底和高。已知的BC,CE不是高，但全等可把它们的和BE搬成CD;再由两个45°证明 这条线段确实是高。 解答 图中∠CAD=90°+∠CAE=∠BAE。 在△ACD和△ABE中， AC=AB ∠CAD=∠BAE AD=AE △ACD≌△ABE(SAS)。 故CD=BE=BC+CE=6,∠ACD=∠ABE=45°。又∠ACB=45°，射线CA在∠BCD内部，故 ∠BCD=90°，即CD⊥CE. 因此s0e-CECD=26=6 第7页共22页 变式3一1△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，直角均在C,AC=BC,DC=EC。点D,A,B 依次共线，点E与C在直线BD同侧，且E与B在直线AC两侧。连接AE。求证：AE⊥BD。 D 分析 共线点从底边的三个端点变成一个三角板顶点落在另一条连线上。此时需要搬运的是角，而不 是先求整段长度。 解答 由射线位置，∠ACE=90°+∠ACD,∠BCD=90°+∠ACD,所以二角相等。 在△ACE和△BCD中， AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD △ACE≌△BCD(SAS)。 因点D,A,B依次共线，∠CBD=∠CBA=45°，所以∠CAE=45°。又∠CAB=45,且AC位于 ∠EAB内部，所以∠EAB=90°，即AE⊥BD。 第8页共22页 例4△ABC为等边三角形，点P与A在直线BC两侧，且∠BPC=120°。若BP=2,CP=3,求 APo 分析 目标是把两条已知长度搬到AP上。补等边提供60°的等角，120°条件则在全等之后把搬来的线 段接成一条直线。 解答 作等边△BPQ,使Q与C在直线BP同侧，连接AQ。∠PBQ=∠ABC=60°，减去公共角 ∠QBC,得∠QBA=∠PBC。 在△BQA和△BPC中， BQ=BP ∠QBA=∠PBC BA=BC △BQA≌△BPC(SAS)O 因此QA=PC=3,∠BQA=120°。射线QA,QP在QB两侧，而∠BQP=60°，所以∠AQP=180°， 点A,Q,P依次共线。 故AP=AQ+QP=PC+PB=3+2=5。 第9页共22页 变式4-1在等边△ABC内部有一点P，,∠BPC=120°，且AP⊥BP。求证：BP=2CP. A ○ 分析 内点时不能沿用外点题的三点共线。额外垂直条件与60°相减产生30°，此时两段长度的倍数来 自直角三角形，而不是共线相加。 解答 在射线CP上、点P的外侧取Q,使PQ=PB,连接BQ,AQ。由于∠BPQ=60°，△BPQ为等边三 角形。 ∠QBA=60°-∠ABP=∠PBC。 在△BQA和△BPC中， BO=BP ∠QBA=∠PBC BA=BC △BQA≌△BPC(SAS)O 故AQ=PC,∠BQA=120°。射线QP在∠BQA内部，所以∠AQP=120°-60°=60°。又 ∠APB=90°，射线PQ在此角内部，故∠APQ=90°-60°=30°。 于是△APQ中∠PAQ=90°，PQ=2AQ,从而BP=PQ=2AQ=2CP。 第10页共22页 4中点与复合构造 中点常提示倍长，但倍长后仍须用等角等长落实新的全等。 例5在等边△ABC中，D为AB中点，E为BC内部一点。作等边△DEF,使F与B在直线DE两 侧。连接CF。求证：FE=FC。 D D 分析 中点给出的是半条边，还不能直接加入双等边全等。在另一边上补出同样的半条边，先组成小 等边，再把第一次全等得到的边角交给第二次全等。 解答 取BC中点H,连接DH,HF。由BD=BH,∠DBH=60°，得△BDH为等边三角形，所以 DB=DH=HC。 当E在BH上时，∠BDE=60°-∠EDH=∠HDF;当E在HC上时， ∠BDE=60+∠HDE=∠HDF。E=H时二角均为60°。 在△DBE和△DHF中， DB=DH ∠BDE=∠HDF DE=DF △DBE≌△DHF(SAS)。 故HF=BE,∠DHF=∠DBE=60°。由于∠DHC=120°，且HF在此角内部，得∠FHC=60°。 在△FHC和△EBD中， HF=BE ∠FHC=∠EBD=60 HC=BD △FHC≌△EBD(SAS)。 所以FC=ED=EF。 第11页共22页 变式5-1在等边△ABC中，F为AC中点，M为BC中点。点D在BC内部且不与M重合。作等边 △DFE,使E与A在直线DF两侧。连接CE。 (1)求证：CE=DM;(2)当D分别在线段BM,MC内部时，写出CE,DC,BC之间的数量关 系，并证明。 A B B 分析 这一次无需第二次全等。第一次全等已将CE搬到直线BC上的DM,剩下的问题是区分中点两侧 的加减，而不是盲目套用同一个线段和式。 解答 连接FM。FC=CM,∠FCM=60°，故△FCM为等边三角形，FM=FC。 若D在BM内部，则∠MFD=∠DFE-∠MFE=∠CFE:若D在MC内部，则 ∠MFD=∠MFC-∠DFC=∠CFE. 在△FMD和△FCE中， FM=FC ∠MFD=∠CFE FD=FE △FMD≌△FCE(SAS)。 所以CE=DM。当D在BM内部时，DC=DM+MC=CE+BC;当D在MC内部时， DC+CE=DC+DM=MC=BC。 第12页共22页 四分层练习 基础巩固 1.射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE。求 证：BC=DE。 分析 已知等长配对发生了变化，要重新确定两个三角形。此时夹角来自相加公共角，不能沿用母题 的角差。 解答 ∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAE=∠DAC+∠CAE,故∠BAC=∠DAE。 在△ABC和△ADE中， AB=AD ∠BAC=∠DAE AC-AE △ABC≌△ADE(SAS)。 所以BC=DE. 第13页共22页 2.射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AC,AD=AE,且BD=CE。求证： ∠BAC=∠DAE。 分析 题中尚未给出两个大角相等，不能先按SAS推理。第三对等边已给，应改用SSS恢复夹角，再 相加公共角。 解答 在△ABD和△ACE中， AB=AC AD-AE BD=CE △ABD≌△ACE(SSS)。 所以∠BAD=∠CAE。加上公共角∠DAC,得 ∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=∠DAE。 第14页共22页 迁移运用 3.在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=14。点D在射线AB上，且BD=4。以CD为一腰作 等腰直角△CDE,∠DCE=90°，且E与A在直线CD两侧。连接BE,求BE的所有可能值。 E B B 分析 “射线”不等于“线段”。先由距离确定两个位置，再分别核实夹角关系；全等得到同一个等式，最 终加减则由点序决定。 解答 因为BD=4<AB=14,点D可能在线段AB内部，也可能在AB延长线上。 当点序为A,D,B时，∠ACD=90°-∠DCB=∠BCE:当点序为A,B,D时， ∠ACD=90+∠BCD=∠BCE。两种情况下都有： 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE △ACD≌△BCE(SAS)。 所以BE=AD。第一种情况AD=AB-BD=10,第二种情况AD=AB+BD=18。两种点均在射线 AB上，故BE=10或18。 第15页共22页 4.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。点D在射线CB上且位于点B外侧；点E与B在直 线AD同侧。连接CE。 (1)求∠ACE:(2)求证：DE2=BD2+CD2。 B 分析 点越过B后，对应角成为原底角的补角，不能仍答45°。新的直角也不再由两个45°相加，而由 135°减去45°得到。 解答 射线AB,AE均在∠DAC内部，且∠BAD=90°-∠BAE=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △ABD≌△ACE(SAS)。 由B在C,D之间，∠ABD=180°-∠ABC=135°。故CE=BD,∠ACE=135°。又∠ACD=45°， 射线CD位于∠ACE内部，所以∠DCE=135°-45°=90°。 在直角三角形DCE中，DE2=DC2+CE=CD+BD2。 第16页共22页 5.在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BC=8。点D在线段BC内部，作等腰直角 △ADE,使∠DAE=90°，且E与B在直线AD两侧。求DE的最小值，并求取到最小值时D的位 置。 E D 分析 先自主恢复勾股关系，再利用固定和把平方和改写为常数与非负平方。最后必须说明等号对应 的位置确实在线段内部。 解答 连接CE,∠BAD=90°-∠DAC=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC BAD=∠CAE AD-AE △ABD≌△ACE(SAS)。 所以CE=BD,∠ACE=45°。结合∠ACD=45°，得∠DCE=90°，故DE=BD+CD2。 由于BD+CD=8,有2(BD+CD2)=（BD+CD2+(BD-CDP=64+(BD-CD2≥64，所以 DE≥4V2。 等号当且仅当BD=CD=4时成立。取D为BC中点符合条件，故最小值为42。 第17页共22页 6.△ABC与△ADE均为等边三角形，射线AB,AC,AD,AE依次排列在一个平角内。直线 BD,CE交于P,点序分别为B,D,P和C,P,E,且射线BP在∠ABC内部，A在∠BPE内部。连 接AP。 (1)求∠BPE:（2)求证：AP平分∠BPE。 D 分析 交角不是全等三角形中的对应角，须先借三角形内角和计算。角平分则可由等面积、等底推出 到两直线的距离相等，再以H转为等角。 解答 ∠BAD=60+∠CAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB-AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △ABD≌△ACE(SAS)。 故BD=CE,∠ABD=∠ACE。记B=∠ABP=∠ACP,则∠CBP=60-B,∠BCP=60+B。 由△BCP内角和，∠BPC=60°。由于PC与PE反向，所以∠BPE=120°。 过A作AM⊥BP于M,AN⊥PE于N。全等三角形ABD,ACE的面积相等，且BD=CE,故由面 积公式BD·AM=CEAN得AM=AN. 在△AMP和△ANP中， ∠AMP=∠ANP=90 AP=AP AM=AN △AMP≌△ANP(HL)。 由HL得到AP与两条直线所成的角相等。若垂足落在相应射线的反向延长线上，则 ∠BPA,∠APE相等或互补；但A在∠BPE内部，二角之和为120°，不可能互补，故只能相等。 因此AP平分∠BPE。 第18页共22页 7.点P在等边△ABC内部，∠BPC=150°，BP=3,CP=4。求AP。 A 分析 补等边后，两条已知线段被搬到同一个三角形中。150°与60°的差产生直角，应改用勾股定 理，而不是把两段直接相加。 解答 作等边△BPQ,使Q与C在直线BP两侧，连接AQ。∠QBP=∠ABC=60°，减去公共角 ∠ABP,得∠QBA=∠PBC。 在△BQA和△BPC中， BQ=BP ∠QBA=∠PBC BA=BC △BQA≌△BPC(SAS). 故AQ=PC=4,∠BQA=150°。射线QP在∠BQA内部，且∠BQP=60°，所以 ∠AQP=150°-60°=90°. 又QP=BP=3,由勾股定理得AP=VAQ+QP=42+3=5。 第19页共22页 五综合提高 1.在锐角△ABC中，射线AC由AB逆时针转过∠BAC得到。以A为直角顶点作等腰直角△ABD 和△ACE,其中AD由AB逆时针转90得到，AE由AC顺时针转90°得到。M为BC中点。求证： DE=2AM,且AM⊥DE。 M 分析 目标中的二倍中线提示先倍长。第一次全等只能把AB搬到CT,第二次全等才利用两个直角将 AT与DE联系起来。 解答 延长AM至T,使MT=AM,连接CT。 在△BMA和△CMT中， BM=CM ∠BMA=∠CMT AM=TM △BMA≌△CMT(SAS)。 所以CT=AB,∠ABM=∠TCM,故CT‖AB。由此∠ACT=180°-∠BAC。又 ∠EAD=180°-∠BAC,故二角相等。 在△ACT和△EAD中， AC=AE ∠ACT=∠EAD CT=AB=AD △ACT≌△EAD(SAS)。 因此ED=AT=2AM,且∠CAT=∠AED。设直线AT与DE交于X。在本题的射线顺序下，AX 在∠CAE内部，X在DE内部。记∠CAT=p,则∠EAX=90°-0，∠AEX=p,故∠AXE=90°， 即AM⊥DE。 第20页共22页 2.点P在等边△ABC内部，∠BPC=120°。D为BC中点，连接AP,PD。求证： ∠APC+∠BPD=180。 分析 先补等边，把PC和PB搬到同一三角形；再倍长中线，把PB搬到C处。两组搬运获得同样的边 角边，才可能把角从A处转到PD上。 解答 在射线CP上、P的外侧取Q,使PQ=PB,连接BQ,AQ。∠BPQ=60°，故△BPQ为等边三角 形。由两个60°角减去∠ABP,得∠QBA=∠PBC。 在△BQA和△BPC中， BQ=BP QBA=∠PBC BA=BC △BQA≌△BPC(SAS)。 所以AQ=PC,∠BQA=120°。射线QP在此角内部，故∠AQP=60°。 延长PD至T,使DT=DP,连接CT。 在△BDP和△CDT中， BD=CD ∠BDP=∠CDT DP=DT △BDP≌△CDT(SAS)。 故CT=BP=QP,且由对应角相等得CT‖PB,所以∠PCT=180-∠BPC=60。 在△PCT和△AQP中， PC=AQ ∠PCT=∠AQP=60 CT=QP △PCT≌△AQP(SAS). 于是∠PTC=∠APQ。由于TP与PD反向，TC与PB反向，∠PTC=∠BPD。而Q,P,C依次共 线，所以∠APQ+∠APC=180°，故∠BPD+∠APC=180。 第21页共22页 3.在△ABC中，∠ABC=90°，射线BA由BC逆时针转90得到。将△ABC绕C顺时针旋转θ得到 △DEC,其中0°<0<180°，A,B分别对应D,E。直线BE与线段AD相交于F。求证：AF=DF。 G D B 分析 已知两腰相等，但目标中点在另一条连线上。先作平行线，使旋转后的直角与等腰底角产生一 对等角，把DE转成DG,再利用对顶角完成第二组全等。 解答 由旋转定义，CA=CD,CB=CE,∠ACB=∠DCE。 在△ACB和△DCE中， CA=CD ∠ACB=∠DCE CB=CE △ACB≌△DCE(SAS)。 故AB=DE,∠DEC=90°。过D作DG‖AB,交直线BE于G。 CB=CE且∠BCE=0,故∠CBE=∠BEC=90号。由AB L BC、DCAB及DE⊥CE,按射线 位置取余角，得∠EGD=∠DEG-号。所以DG=DE=AB。 在△ABF和△DGF中， ∠ABF=∠DGF ∠AFB=∠DFG AB=DG △ABF≌△DGF(AAS)O 因此AF=DF。 第22页共22页专题八等腰三角形中的旋转全等模型培优专题讲与练 一必备知识 两对共端点等长线段，常能组成一对全等三角形。关键不在于图形看起来转了多少，而在于找 准对应边，并用角的和差证明夹角相等。全等之后，还要利用共线、底角、中点等条件，把对 应关系转化为题目所求。 1概念两对等长线段与对应三角形 如图，AB=AC,AD=AE。若能证明∠BAD=∠CAE,就能由SAS得到△ABD≌△ACE。对 应关系为A~A,B一C,D~E。 只知道两个等腰三角形有公共顶点还不够；两对等长边的夹角必须相等。这里需要的是∠BAD 与∠CAE,不能随意换成图中其他两个角。 底边BD、CE即使尚未画出，也可以连接；但对应关系必须先由条件证明。 2方法角差、角和与点序 角差：若射线在一个平角内依次为AB,AD,AC,AE,且∠BAC=∠DAE,则减去公共角 ∠DAC,得∠BAD=∠CAE。 角和：若射线在一个平角内依次为AB,AC,AD,AE,且∠BAC=∠DAE,则加上公共角 ∠CAD,同样得到∠BAD=∠CAE。 全等之后，线段共线才能使用整段与部分的加减；对应角相等还须结合射线位置，才能判定交 角是某角还是它的补角。 等边三角形给60°顶角，等腰直角三角形给90°顶角；两种情形都从同一个SAS结构出发。 第1页共18页 二典例精讲 例题如图，射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=a。连接BD,CE。求证：BD=CE。 分析 目标是BD与CE相等，把它们分别放入△ABD与△ACE。两对边已相等，唯一缺少的是夹角。 相同的大角减去同一个小角，恰好给出这一条件。注意对应次序不是按三角形字母的习惯排 列，而是由两对等长边决定。 解 由射线顺序，∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC。因为∠BAC=∠DAE,所 以∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △ABD≌△ACE(SAS)。 由全等三角形对应边相等，得BD=CE。 第2页共18页 三分类讲练 1一般等腰：找准夹角与对应 先用相同角的和差证明夹角相等，再辨明全等后哪一个角或哪一条边能用。 例1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，D为三角形内部一点。将线段AD绕A顺时针旋转50 得到AE,点E与C在直线AB两侧。连接BE,DE,CD。 (1)求证：BE=CD:(2)若∠ADC=125°，求∠BED。 y C D B 变式1一1AB=AC,∠BAC=50°。射线AD在∠BAC内部，D在△ABC外部。将AD绕A顺时针 旋转50°得到AE,且B在△ADE内部。连接BE,CD。若∠ADC=55°，求∠BED。 A B 第3页共18页 2点在线段上：把对应关系落到底边 点在边上或延长线上时，底角、线段和差会改变后续推理。 例2△ABC与△ADE均为等边三角形，点D在线段BC内部，点E与B在直线AD两侧。连接 CE。求∠ACE。 E B 变式2-1AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。点D在线段BC内部，点E与B在直线AD 两侧。连接CE。 (1)求∠ACE:(2)求证：DE2=BD2+CD2。 E y B 第4页共18页 3共线与交点：把等角拼成直角 先确定射线方向，再将对应角与原有底角组合。 例3△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，直角均在A。点B,C,E依次共线，点A,D在直线 BE同侧，且D与B在直线AE两侧。连接CD。若BC=4,CE=2,求△DCE的面积。 D A 变式3一1△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，直角均在C,AC=BC,DC=EC。点D,A,B 依次共线，点E与C在直线BD同侧，且E与B在直线AC两侧。连接AE。求证：AE⊥BD。 O 第5页共18页 例4△ABC为等边三角形，点P与A在直线BC两侧，且∠BPC=120°。若BP=2,CP=3,求 AP。 A 第6页共18页 变式4-1在等边△ABC内部有一点P,∠BPC=120°，且AP⊥BP。求证：BP=2CP。 A 第7页共18页 4中点与复合构造 中点常提示倍长，但倍长后仍须用等角等长落实新的全等。 例5在等边△ABC中，D为AB中点，E为BC内部一点。作等边△DEF,使F与B在直线DE两 侧。连接CF。求证：FE=FC。 A D F E 第8页共18页 变式5-1在等边△ABC中，F为AC中点，M为BC中点。点D在BC内部且不与M重合。作等边 △DFE,使E与A在直线DF两侧。连接CE。 (1)求证：CE=DM;(2)当D分别在线段BM,MC内部时，写出CE,DC,BC之间的数量关 系，并证明。 A B D 第9页共18页 四分层练习 基础巩固 1.射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE。求 证：BC=DE。 E D 2.射线AB,AD,AC,AE依次排列在一个平角内，AB=AC,AD=AE,且BD=CE。求证： ∠BAC=∠DAE。 C D B 第10页共18页 迁移运用 3.在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=14。点D在射线AB上，且BD=4。以CD为一腰作 等腰直角△CDE,∠DCE=90°，且E与A在直线CD两侧。连接BE,求BE的所有可能值。 第11页共18页 4.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。点D在射线CB上且位于点B外侧；点E与B在直 线AD同侧。连接CE。 (1)求∠ACE:(2)求证：DE2=BD+CD2。 B 第12页共18页 5.在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BC=8。点D在线段BC内部，作等腰直角 △ADE,使∠DAE=90°，且E与B在直线AD两侧。求DE的最小值，并求取到最小值时D的位 置。 第13页共18页 6.△ABC与△ADE均为等边三角形，射线AB,AC,AD,AE依次排列在一个平角内。直线 BD,CE交于P,点序分别为B,D,P和C,P,E,且射线BP在∠ABC内部，A在∠BPE内。连 接AP。 (1)求∠BPE;(2)求证：AP平分∠BPE。 D E A 第14页共18页 7.点P在等边△ABC内部，∠BPC=150°，BP=3,CP=4。求AP。 A 第15页共18页 五综合提高 1.在锐角△ABC中，射线AC由AB逆时针转过∠BAC得到。以A为直角顶点作等腰直角△ABD 和△ACE,其中AD由AB逆时针转90°得到，AE由AC顺时针转90°得到。M为BC中点。求证： DE=2AM,且AM⊥DE。 D M A B 第16页共18页 2.点P在等边△ABC内部，∠BPC=120°。D为BC中点，连接AP,PD。求证： ∠APC+∠BPD=180。 A D 第17页共18页 3.在△ABC中，∠ABC=90°，射线BA由BC逆时针转90得到。将△ABC绕C顺时针旋转θ得到 △DEC,其中0°<0<180°，A,B分别对应D,E。直线BE与线段AD相交于F。求证：AF=DF。 D F E 第18页共18页