5.2.2 同角三角函数的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《5.2.2 同角三角函数的基本关系》教学设计

——人教A版（2019）高中数学必修第一册

课时：1课时（45分钟）　课型：新授课

一、教材分析

本节内容是人教A版（2019）高中数学必修第一册第五章《三角函数》第二节“三角函数的概念”中的第2课时，是在学生学习了任意角和弧度制、掌握了任意角三角函数定义的基础上，进一步研究同一个角的正弦、余弦、正切之间的内在联系。教材以单位圆为研究工具，借助三角函数的定义和勾股定理，引导学生自主推导出同角三角函数的两个基本关系式——平方关系与商数关系，再通过求值、化简和证明三类问题，展示基本关系式的应用。

同角三角函数的基本关系式把“同一个角”的三种三角函数直接或间接地联系起来，是三角函数定义的自然延伸，也是后续学习诱导公式、三角恒等变换以及解决三角函数求值、化简、证明问题的重要依据，在整个三角函数知识体系中具有承上启下的作用。

使用这两个关系式时，一要注意“同角”，即关系式与角的表达形式无关，只要是同一个角即可，如 sin²4α+cos²4α=1 也成立；二要注意这些关系式只对使它们有意义的角成立，运用商数关系时角的终边不能落在纵轴上，即 α≠kπ+π/2（k∈Z）；三要注意利用平方关系开方时，必须根据角所在象限正确选取正负号，避免漏解。

二、学情分析

学生在前面的学习中已经掌握了任意角三角函数的定义，知道角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时，sinα=y、cosα=x、tanα=y/x，能够在单位圆中确定三角函数值，这为本节从定义出发推导基本关系式奠定了认知基础。同时，学生在初中已经熟练掌握勾股定理，具备由x²+y²=1推导平方关系的知识准备。

从认知特点看，高一学生已经具备一定的观察、归纳和推理能力，但在灵活运用基本关系式解决问题时仍可能遇到以下困难：一是对“同角”的含义理解不深，遇到角的形式较为复杂（如2α、α+β）时不能准确识别关系式；二是利用平方关系开方时，容易忽略角的终边位置，漏掉负的平方根或漏掉其中一组解；三是已知正切值求正弦、余弦值时，需要联立方程求解，学生对消元、分类讨论的运用还不够熟练；四是在化简和证明中，对公式的变形方向把握不准。因此，教学中应坚持从定义出发，引导学生经历关系式的探究过程，通过典型例题和变式训练帮助学生掌握方法。

三、教学目标（核心素养目标）

（1）数学抽象：经历由三角函数定义和单位圆推导同角三角函数基本关系式的过程，理解并掌握平方关系 sin²α+cos²α=1 和商数关系 sinα/cosα=tanα，明确关系式成立的条件，能从“同角”的角度识别不同形式的关系式。

（2）逻辑推理：能根据单位圆上点的坐标和勾股定理推导两个基本关系式，能运用基本关系式进行三角函数式的化简和简单三角恒等式的证明，体会转化与化归的思想方法。

（3）数学运算：能根据一个角的某一个三角函数值，利用基本关系式求出其余两个三角函数值（即“知一求二”），并能根据角所在象限正确进行分类讨论，提高三角恒等变形能力。

（4）数学建模与态度：通过探究三角函数之间的内在联系，体会数学知识的整体性和联系性，养成探究、分析的良好习惯，增强学习数学的兴趣。

四、教学重难点

教学重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用，包括“知一求二”的求值问题、三角函数式的化简和简单三角恒等式的证明。

教学难点：“知一求二”求值问题中的分类讨论，特别是利用平方关系开方时正负号的选取；化简和证明中公式的灵活变形。

五、教学方法与教学准备

教学方法：以问题驱动的探究式教学为主，综合运用启发讲授法、讨论法和讲练结合法，引导学生从定义出发自主推导基本关系式，通过例题与变式归纳方法。

教学准备：多媒体课件（含单位圆、三角函数定义示意图、课堂练习题）、板书设计、直尺圆规等作图工具。

六、教学过程（45分钟）

（一）新课导入（约4分钟）

教师讲述：气象学家洛伦兹在1963年提出一种观点——南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风，这就是著名的“蝴蝶效应”。它说明事物初始条件的微弱变化可能引起结果的巨大变化，也说明看似毫不相干的事物之间往往存在着联系。

教师提问：既然看似毫不相干的事物之间都是相互联系的，那么“同一个角”的三种三角函数 sinα、cosα、tanα 之间是否也存在某种关系呢？如果存在，又是什么样的关系？

学生活动：回顾三角函数的定义，思考并自由发言。

教师引导：这节课我们就以单位圆为工具，从三角函数的定义出发，探究同角三角函数之间的基本关系。

设计意图：以“蝴蝶效应”创设情境，渗透事物普遍联系的观点，激发学生的探究兴趣，自然引出本节课的课题。

（二）同角三角函数基本关系的探究（约16分钟）

1. 提出问题（约3分钟）。

教师引导：如图5.2.2-1，设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)。根据三角函数的定义，点P的坐标与角α的三角函数之间有什么关系？

图5.2.2-1  单位圆中的三角函数

学生回答：x=cosα，y=sinα，且 tanα=y/x。

教师追问：点P在单位圆上，它的坐标x、y满足什么等式？

学生回答：单位圆的方程是x²+y²=1。

2. 推导平方关系（约5分钟）。

教师引导：把x=cosα、y=sinα代入x²+y²=1，可以得到什么结论？

学生推导，教师板书：

教师强调：这个等式揭示了同一个角的正弦与余弦之间的平方关系，即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1。

教师引导：请同学们用30°、45°、60°的三角函数值验证这一关系式。

学生验证：sin²30°+cos²30°=(1/2)²+(√3/2)²=1/4+3/4=1，其余两角同样成立。

3. 推导商数关系（约5分钟）。

教师引导：由tanα=y/x，而x=cosα、y=sinα，由此可以得到什么结论？

学生推导，教师板书：

教师强调：这个等式揭示了同一个角的正弦、余弦与正切之间的商数关系，即同一个角的正弦与余弦的商等于这个角的正切。

教师追问：这个关系式对任意角α都成立吗？

学生讨论后回答：不是。因为分母不能为零，即cosα≠0，所以角α的终边不能落在纵轴上，即α≠kπ+π/2，k∈Z。

4. 归纳结论（约3分钟）。