精品解析：江苏省苏州市园区南京航空航天大学苏州附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

南航苏州附中2026-2027学年第一学期高二年级10月限时练习 数学 命题人：李鑫华 审核人：徐玥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记为等差数列的前项和，，则（ ）． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. 过，两点的直线与斜率为的直线平行，则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 3 3. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 4. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ） A. B. C. D. 5. 各项均为正数的数列满足，（，），则（ ） A. 5 B. 25 C. D. 24 6. 已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 7. 已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ） A. 35 B. 42 C. 49 D. 56 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.错选不得分，漏选得部分分. 9. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的前项积为 B. 的前8项和为 C. 是公比为4的等比数列 D. 的前n项和为 11. 记数列的前n项和为，若，，则下列选项正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. C. 的最大值是2 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在等比数列中，，，则等比数列的公比的值为________． 13. 已知数列满足，，则的前13项和为______. 14. “垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了关于“方垛”的描述及计算方法：如图1所示“方垛”，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放4个物体，…，第层放个物体，则这层方垛所放的物体总数为．现有某“三角垛”如图2所示，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放3个，第3层放6个，第4层放10个，第5层放15个物体，…，则第8层放________个物体，若该三角垛共有层，利用“方垛”的结论，计算该“三角垛”所放物体的总数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 16. 已知数列满足，，数列前项和． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列、的通项公式； （3）设，求的前项和，判断的单调性，并写出的取值范围． 17. 设数列的前n项和为，已知．若． （1）计算，，的值，并猜想数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为，求． 18. 习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加． （1）设年内（2021年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式； （2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． （参考数据：，，） 19. 已知数列是等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航苏州附中2026-2027学年第一学期高二年级10月限时练习 数学 命题人：李鑫华 审核人：徐玥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记为等差数列的前项和，，则（ ）． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，通项公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. 2. 过，两点的直线与斜率为的直线平行，则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得. 3. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由于，可得，， 所以， 故选:A 4. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值. 【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为， 则，解得，故. 故选：C 5. 各项均为正数的数列满足，（，），则（ ） A. 5 B. 25 C. D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】题意知是首项为，公差为3的等差数列， 因为，所以，即， 当时，， 又因为各项均为正数，则. 6. 已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 7. 已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题知，设， 则，， 故． 8. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ） A. 35 B. 42 C. 49 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染, 则每轮新增感染人数为， 经过n轮传染，总共感染人数为：， ∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得， 由，故得，又∵平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天， 故选：B 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.错选不得分，漏选得部分分. 9. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出通项公式，判定是等差数列，判断选项A、B；化简，求出的通项公式，判断选项C；找到数列正负分界点，分段去掉绝对值求和，计算结果判断选项D． 【详解】，则， 时，， 成立， 故，则是首项为，公差为2的等差数列，故A错误，B正确； ，，故数列是公差为1的等差数列，故C正确； ，故，故D错误． 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的前项积为 B. 的前8项和为 C. 是公比为4的等比数列 D. 的前n项和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出公比与通项，利用等比数列对称项乘积相等的性质分组，算出前项的乘积，判断选项A；推导出仍是等比数列，确定首项和公比，代入等比求和公式算出前8项和，判断选项B；写出的表达式，通过后项比前项得到定值4，证明该数列为公比4的等比数列，判断选项C；求出的首项、公比，写出它的前n项和公式，判断选项D． 【详解】，，故， ，故的前项积为：，故A正确； ，是首项为2，公比为的等比数列，故，故B正确； ，相邻两项之比，故是公比为4的等比数列，故C正确； ，故首项是，公比是2， 故前n项和为：，故D错误． 11. 记数列的前n项和为，若，，则下列选项正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. C. 的最大值是2 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】通过对递推式变形取倒数，得出为定值，判定该数列为等差数列，判断选项A；求出通项并列举前几项，发现从第3项开始为负数，判断选项B；，大于 2，且时为负，得出最大值为5，判断选项C；从第3项起所有都是负数，因此，判断选项D． 【详解】设，则， 又， 故是首项为，公差为的等差数列，故A正确； ，故， ，故不恒成立，故B错误； ，时，，故的最大值为5，故C错误； ，且时，， 故，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在等比数列中，，，则等比数列的公比的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由等比数列下标性质，，代入条件可直接求出等比数列公比. 【详解】，即，，解得 13. 已知数列满足，，则的前13项和为______. 【答案】129 【解析】 【分析】由可知，数列的前项和可以使用分组求和解决. 【详解】设数列的前项和为，那么 . 14. “垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了关于“方垛”的描述及计算方法：如图1所示“方垛”，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放4个物体，…，第层放个物体，则这层方垛所放的物体总数为．现有某“三角垛”如图2所示，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放3个，第3层放6个，第4层放10个，第5层放15个物体，…，则第8层放________个物体，若该三角垛共有层，利用“方垛”的结论，计算该“三角垛”所放物体的总数为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过观察归纳前四层的物体个数规律，可得第8层物体个数及第层物体个数，并利用方垛所放的物体总数公式及等差数列前项和公式可得“三角垛”所放物体的总数. 【详解】设“三角垛”每层所放物体的个数组成数列， 观察三角垛每层的物体数： 第1层物体数：；第2层物体数：；第3层物体数：； 第4层物体数：； 以此类推，可得第层的物体个数通项公式为：. 所以第8层的物体个数：. 设 “三角垛”所放物体的总数为，则： ， 由题意可知， 又由等差数列的前项和公式可得， 所以 所以该“三角垛”所放物体的总数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列与等比数列前项和公式，分别求得公差与，带入等差数列与等比数列的通项公式即可； （2）由等差数列与等比数列前项和公式可得. 【小问1详解】 设的公差为，因为，所以， 又，则，故， 所以； 因为，，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 结合（1）可得： . 16. 已知数列满足，，数列前项和． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列、的通项公式； （3）设，求的前项和，判断的单调性，并写出的取值范围． 【答案】（1）证明：因为，，易知，. 两边取倒数得，，所以. 又，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2）， （3），单调递增，的取值范围为 【解析】 【分析】（1）对等式取倒数，根据等差数列的定义证明即可. （2）根据等差数列的通项公式求出，即可求出；根据即可求出. （3）求出，根据裂项相消法即可求出；根据单调性的定义即可判断的单调性，进而求出值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以. 当时，. 当时， . 满足上式， 所以. 综上，， 【小问3详解】 . 所以 . ， 所以单调递增. 单调递增，，， 所以的取值范围为. 综上，，单调递增，的取值范围为. 17. 设数列的前n项和为，已知．若． （1）计算，，的值，并猜想数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为，求． 【答案】（1）； （2）证明：当时，，则. 当时，，即， 即，而， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. 因为，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系式求出的值，根据前3项即可猜出通项公式. （2）根据与之间的关系求出，从而可得，利用等比数列的定义即可证明，再由等比数列的通项公式即可求解. （3）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 ， ， 即，，，猜想 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ，用错位相减法求和法得： ，① ，② ①-②得： = 18. 习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加． （1）设年内（2021年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式； （2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． （参考数据：，，） 【答案】（1）， （2）至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入 【解析】 【分析】（1）根据题意可知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列前项和公式即可求解； （2）根据（1）中解析式列出不等式，令，化简不等式即可求解. 【小问1详解】 2021年投入为1000万元，第年投入为万元， 所以年内的总投入为 ， 2021年收入为500万元，第2年收入为万元，第年收入为万元 所以年内的总收入为． 【小问2详解】 设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此， 即，化简得， 设，代入上式并整理得， 解此不等式，得或（舍去）．即， 不等式两边取常用对数可得，即 所以，故至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入. 19. 已知数列是等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】（1） （2）由（1）知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，，所以， 综上，得证． （3） 【解析】 【分析】（1）先联立方程求出首项与公比，从而得到通项公式； （2）利用裂项相消法求和，再利用数列单调性完成不等式放缩证明； （3）插入数构造新等差数列，先求出公差，得到新数列通项，再用错位相减法完成求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，根据题意可得， 解得，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式得， 将代入， 得， 两边同乘2得，故数列前项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $