黑龙江省绥化市第九中学2026-2027学年高二上学期10月期中数学试题

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绥化市第九中学2026—2027学年度第一学期期中试卷 高二数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若与共线，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.在等差数列中，，，则公差(    ) A. B. C. D. 3.已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4.若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则(    ) A. B. C. D. 5.已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，连接，，则三角形的周长为(    ) A. B. C. D. 7.已知点是抛物线：上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知某同学最近次体育测试成绩满分分分别为，，，，，则以下说法正确的有(    ) A. 次成绩的平均数为 B. 次成绩的第三四分位数为 C. 次成绩的方差为 D. 任取次的成绩，则取到的成绩大于次成绩的中位数的概率是 10.已知直线：，直线：，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 直线过定点 C. 若，则 D. 当时，直线不经过第二象限 11.已知点和圆：，下列说法正确的是(    ) A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条 D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，的一个焦点到的距离为，则曲线的实轴长为        ． 13.已知是抛物线的焦点，，的该抛物线上的两点，线段的中点为，若点与重合，则        ，若点横坐标为，则的最大值是        ． 14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过原点的直线交于，两点，且，且，，则椭圆的短轴长为         ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在多面体中，四边形是梯形，四边形为矩形，面，，，． 求证：平面； 点为线段的中点，求证：面． 16.本小题分 在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为． 求点的轨迹方程； 求的最大值． 17.本小题分 已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线上． 求双曲线的方程及渐近线方程； 以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程． 18.本小题分 已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称． 求的值； 过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 19.本小题分 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上． 求圆的标准方程． 在的条件下，求的取值范围；的最大值和最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为若与共线， 所以存在实数，使得， 即， ，解得，，， 所以， 故选：． 因为若与共线，所以存在实数，使得，即，，解得，，的值，进而得出答案． 本题考查空间中的共线向量，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：设等差数列的公差为， 因为，，所以． 故选：． 由等差数列的项之间的关系即可求得公差． 本题考查等差数列的基本量的运算，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：根据题意，点到轴的距离为， 所以点到直线的距离，解得或． 故选：． 根据题意，运用点到直线的距离公式进行求解，即可得到本题的答案． 本题主要考查点到直线的距离公式及其应用，属于基础题． 4.【答案】  【解析】解：根据题意，双曲线：，，， 又由点在双曲线上，则， 即． 又由，则等于或， 又，故． 故选：． 通过双曲线方程求出，结合双曲线定义，转化求解即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题． 5.【答案】  【解析】解：因为圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径， 由圆心在轴的正半轴上，可得，解得． 故选：． 根据圆的半径及已知条件列不等式计算求解． 本题主要考查圆的一般方程，考查计算能力，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：由椭圆方程，得：，则． 故的周长为． 故选：． 根据椭圆的定义求解即可． 本题主要考查椭圆定义的应用，考查计算能力，属于基础题． 7.【答案】  【解析】解：因为抛物线的方程为，则其焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，则由抛物线定义可得，所以． 联立，消去得，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为． 故选：． 根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解． 本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：连接，设，，则， ，， 在中，，， 化简得，则，， 在中，， ，即，离心率． 故选：． 根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可． 本题考查了椭圆的性质，属于基础题． 9.【答案】  【解析】解：已知某同学最近次体育测试成绩满分分分别为，，，，， 对于：次成绩的平均数为，故A正确； 对于：次成绩从小到大排列为，，，，，又， 所以次成绩的第三四分位数为，故B正确； 对于：次成绩的方差为，故C错误； 对于：次成绩的中位数为， 所以任取次的成绩，则取到的成绩大于次成绩的中位数的概率，故D正确． 故选：． 求出平均数即可判断，求出第百分位数即可判断，求出方差即可判断，求出中位数，再由古典概型的概率公式判断． 本题考查平均数，百分位数，中位数等相关知识，属于基础题． 10.【答案】  【解析】解：若，则，解得，选项正确； 直线过定点，选项错误； 若，则，，选项正确； 当时，直线：可化为， ，，直线经过第二，三，四象限，选项错误． 故选：． 根据两直线的位置关系，直线的斜截式方程，针对各个选项分别求解即可． 本题考查直线的位置关系，直线方程的应用，属基础题． 11.【答案】  【解析】解：对于选项A，圆：的圆心，半径为，选项正确； 对于选项B、，因为， 点在圆外，过点且与圆相切的直线有条，选项正确，选项错误； 对于选项D，设点是圆上任意一点， 由题意可知的最小值为，选项D正确． 故选：． 对于，结合圆的标准方程即可判断，对于和选项，求出并和半径比较即可求解，对于选项，根据的最小值为即可求解． 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题． 12.【答案】  【解析】解：已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，的一个焦点到的距离为， 又直线的斜率为， 则，， 设焦点为， 则， 即． 所以， 解得， 即实轴长为． 故答案为：． 由渐近线与直线垂直得，再由焦点到直线的距离得，结合可求得． 本题考查双曲线的几何性质，属基础题． 13.【答案】   【解析】解：抛物线的焦点坐标，准线：， 设点，，当与重合时，， 则； 当横坐标为时，， ， 当且仅当线段经过时取等号， 则的最大值为． 故答案为：；． 先根据抛物线的标准方程得到焦点坐标和准线方程，然后根据抛物线的定义得到抛物线上的点，到焦点的距离，由此求得点与重合时的值，并结合，求得的最大值． 本题考查了抛物线的性质，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：如图，连接，因为，， 所以四边形为平行四边形． 又，所以四边形为矩形． 设，，则， 解得， ，椭圆的短轴长． 故答案为：． 连接，，证明四边形为平行四边形．推出四边形为矩形．设，，转化求解，，，然后求解离心率即可． 15.【答案】证明过程请看解答  证明过程请看解答  【解析】证明：取的中点，连接，， 因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，， 又四边形为矩形，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面． 设与的交点为， 因为，所以∽，所以， 因为，所以，即， 所以， 因为面，所以， 因为，、平面， 所以平面． 取的中点，连接，，先证四边形为平行四边形，进而得，，从而有四边形为平行四边形，故BF，再由线面平行的判定定理，得证； 设与的交点为，可证∽，进一步可得，即，由面，知，再由线面垂直的判定定理，得证． 本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力，属于中档题． 16.【答案】解：由题知，，， 由的轨迹为椭圆去掉左右端点，，， ，，，点的轨迹方程为：． ，所以． 当且仅当时等号成立， 故的最大值为．  17.【答案】解：因为椭圆的焦点坐标为， 所以双曲线的焦点坐标为， 又因为在双曲线上，所以，所以， 所以双曲线的方程为：，渐近线方程为； 设，，所以，所以， 所以，又因为，， 所以，所以弦所在直线的方程为：， 即．  18.【答案】  或  【解析】解：由圆：，整理得， 圆心为，半径为， 圆上存在两点关于直线：对称， 直线经过圆心，将代入， 即，解得． 依题意，设圆心到直线距离为，， 则． 当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 19.【答案】  的取值范围为；的最大值为，最小值为  【解析】解：圆经过，两点， ，圆的圆心在直线：上， 设圆心，半径为， 即， 化简得：，解得：， 圆心为，半径， 所求的圆的标准方程为：． 设圆上任意一点，满足， 令，即， 要求的取值范围，即直线与圆要有交点， 即圆心到直线的距离， 即， 解得：， 的取值范围为：； 表示圆上任意一点到原点的距离的平方， 又圆心到原点的距离为： ， 又圆的半径为， 的最大值为：， 最小值为：， 故的最大值为，最小值为． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $