精品解析：陕西安康市旬阳县公馆初级中学2025-2026学年度第一学期期中调研九年级数学试题

2025～2026学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程化为一般形式后，当二次项系数为9时，常数项是（ ） A. 2 B. C. 6 D. 2. 下列化学元素的元素符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程是（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 4. 下列结论中，正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是圆中最长的弦 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. ) C. D. 6. 如图，在长为，宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，且装饰后油画的总面积为，设镶嵌的装饰部分的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是___________．（写出一个即可） 10. 抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则________（填“＞”“＜”或“＝”）． 11. 如图，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C、D的对应点分别为点E、F、G），连接，点E恰好在线段上，则的度数为___________． 12. 如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 13. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 14. 如图，以为圆心，2为半径的圆交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，点E为上的动点（不与点A、C重合），连接，于点F，连接，点E在上运动的过程中，线段长度的最小值为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 已知抛物线（m为常数）的对称轴是直线求此抛物线的解析式． 17. 某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 18. 如图，已知是的弦，请用尺规作图法作的直径，保证直径过弦的中点，且点D在劣弧上．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到（点、的对应点分别是点、），点恰好落在的延长线上，在右侧取一点，连接、，使得，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）作绕原点逆时针旋转得到的（点、、的对应点分别为点、、）； （2）作关于原点成中心对称的（点、、的对应点分别为点、、）． 21. 如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作，交于点D，且点C、D位于的同侧，过点D作于点E．若，的半径长为，过点O作于点H，求的长． 22. 已知抛物线（a为常数，且）过点． （1）求抛物线与y轴的交点坐标； （2）当时，求函数的最大值与最小值的差． 23. 定义：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得，， ， 是差积方程． （1）方程___________“差积方程”；（选填“是”或“不是”） （2）若关于x的方程：是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 24. 如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． （1）若，，求的长； （2）连接，，求的度数． 25. 某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正下方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员前进至点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为． （1）求消防员灭处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式； （2）若消防员灭、两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求、两点之间的距离． 26. 【问题背景】 如图1，在和中，点E在边上，，，且，，把点E在边上时，的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的左、右两侧），将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为α，连接，点P是线段的中点，连接，． （1）如图2，当时，点D恰好落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示： 解：与的数量关系和位置关系分别是：，，理由如下： 如图2，过点B作，交的延长线于点F，连接、， ， ∵点P是的中点，， 在和中，，，， ， ，， … 请你将上述过程补充完整； 【问题拓展】 （2）如图3，当时，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程化为一般形式后，当二次项系数为9时，常数项是（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式 后，比较系数即可得出常数项. 【详解】解：∵ 原方程：， 移项得：， ∴ 一般形式为 ， 其中二次项系数 ，常数项 . 故选B. 2. 下列化学元素的元素符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 3. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程是（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，已知点平移前后的坐标判断平移方式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 通过比较两抛物线的顶点坐标变化，确定平移方向和平移量． 【详解】解：∵ 抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为 ， ∴ 点 向左平移 3 个单位可得到点 ， 故将抛物线 向左平移 3 个单位可得到抛物线 ． 故选：A． 4. 下列结论中，正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、B．∵等弧的定义、圆心角与所对弧的相等关系均需在同圆或等圆的前提下成立，∴长度相等的弧不一定是等弧，相等的圆心角所对的弧也不一定相等，故A、B均错误． C．∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， ∴当被平分的弦是直径时结论不成立，故C错误． D．∵直径是经过圆心的弦， ∴直径是圆中最长的弦，故D正确． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. ) C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用旋转性质得出及，通过同角的余角相等证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，进而确定点坐标． 【详解】解：∵， ， ∴，，  ∵轴，， ∴， ，  ∵线段绕点顺时针旋转得到 ， ∴， ， ∵ ， ∴， 在和中，  ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴点的坐标． 6. 如图，在长为，宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，且装饰后油画的总面积为，设镶嵌的装饰部分的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程． 设镶嵌的装饰部分的宽度为，则装饰后的画面的长为，宽为，然后根据面积为得出方程． 【详解】解：设镶嵌的装饰部分的宽度为， 由题意得：， 故选：C． 7. 如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、、，根据圆周角定理推出，，进而解题． 【详解】解：连接、、、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 故A结论正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故B结论正确； ∵， ∴， 故C结论错误，符合题意； 当时，，当时，， ∴ ∴ ∴， ∴ 故D结论正确； 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列不等式，求出的取值范围，选取范围内的一个值即可． 【详解】解：该方程二次项系数为，符合一元二次方程的定义， 方程有两个不相等的实数根， 根的判别式， 关于x的方程中，，，， ， 整理，得， 解得， 按照题意，m的值可以是． 10. 抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和抛物线解析式，可以判断和的大小关系． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点，在抛物线上，在对称轴的右侧y随着x的增大而增大． ∵， ， 故答案为： 11. 如图，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C、D的对应点分别为点E、F、G），连接，点E恰好在线段上，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：由旋转的性质知，，， ∴， ∴． 12. 如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的半径为2． 13. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】令求出点坐标，令求出点坐标，确定、的长度，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：令，得， 点的坐标为， ． 令，得， 整理得， 解得， ． 点在轴的负半轴， 点的坐标为， ． ． 14. 如图，以为圆心，2为半径的圆交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，点E为上的动点（不与点A、C重合），连接，于点F，连接，点E在上运动的过程中，线段长度的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，连接，作于点，连接， ． 以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点， ，， ． ， ，． 在中，，， ， 在中，取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 当点在的延长线上时，的长最小，此时最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得，． 16. 已知抛物线（m为常数）的对称轴是直线求此抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】先代入二次函数一般式的对称轴公式，求出参数，再代回原表达式即得到原抛物线解析式． 【详解】解：抛物线的对称轴公式为， 在抛物线中，，，， 将，代入中， 得， 解得， 将代入原抛物线表达式， 得抛物线解析式为． 17. 某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式5，进行计算，即可作答． 【详解】设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 18. 如图，已知是的弦，请用尺规作图法作的直径，保证直径过弦的中点，且点D在劣弧上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：由题意，作图如下： 线段即为所求． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线即可. 【详解】略 19. 如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到（点、的对应点分别是点、），点恰好落在的延长线上，在右侧取一点，连接、，使得，．求证：． 【答案】证明：由旋转可得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】由旋转可得，，推出，结合可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）作绕原点逆时针旋转得到的（点、、的对应点分别为点、、）； （2）作关于原点成中心对称的（点、、的对应点分别为点、、）． 【答案】（1）绕原点逆时针旋转得到的如图所示： （2）关于原点成中心对称的如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据旋转规律：点绕原点逆时针旋转后的坐标为，写出点、、的对应点分别为点、、的坐标，再描点后顺次连接、和即可得到； （2）根据中心对称规律：点关于原点对称的点坐标为，写出点、、的应点分别为点、、的坐标，再描点后顺次连接、和，得到． 【小问1详解】 绕原点逆时针旋转后，点、、的对应点、、的坐标分别为： 、、， 作图略． 【小问2详解】 关于原点成中心对称，点、、的对应点、、的坐标分别为： 、、， 作图略． 21. 如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作，交于点D，且点C、D位于的同侧，过点D作于点E．若，的半径长为，过点O作于点H，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】先证明，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得，再根据垂径定理可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∵， ． 22. 已知抛物线（a为常数，且）过点． （1）求抛物线与y轴的交点坐标； （2）当时，求函数的最大值与最小值的差． 【答案】（1） 抛物线与轴的交点坐标为 （2） 函数的最大值与最小值的差为 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线，求出a的值，进而即可得到答案； （2）把函数解析式配方后，根据二次函数的性质求出函数的最大和最小值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线得， 解得：， ∴， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：∵，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，， 当时，， ∴函数的最大值与最小值的差为． 23. 定义：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得，， ， 是差积方程． （1）方程___________“差积方程”；（选填“是”或“不是”） （2）若关于x的方程：是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 【答案】（1） 不是 （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）求解方程得到两根，根据“差积方程”的定义计算比较后判断． （2）将已知根代入方程得到与的关系，结合“差积方程”的等量关系与根与系数的关系求解． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， 解得，， ，，， 该方程不是“差积方程”． 【小问2详解】 解：是方程的实数根， ，整理得， 设方程的两根为，，得，， 方程是“差积方程”， ，两边平方得， ， ，将代入上式，得， 整理得，解得， ， ． 24. 如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． （1）若，，求的长； （2）连接，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得，；在和中，由得，即；在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解． （2）在中由三角形内角和定理得，由点是的中点，得圆心角，再利用平角的知识可得的度数． 【小问1详解】 解：∵为的半径，且点是的中点， ∴，，， ∵直径垂直弦于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设的半径为，则, 即， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵直径垂直弦于点， ∴， 在中， 即， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴． 25. 某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正下方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员前进至点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为． （1）求消防员灭处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式； （2）若消防员灭、两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求、两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案； （2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，把代入求出解析式，再求出点的坐标，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可知消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的最高点的坐标为，， 则设消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 故消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 消防员灭、两处的火源时水流路径所在抛物线的形状相同，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等， 可设灭处的火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， 抛物线过点， ， 解得， 故灭处火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， 令，则， ， ． 26. 【问题背景】 如图1，在和中，点E在边上，，，且，，把点E在边上时，的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的左、右两侧），将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为α，连接，点P是线段的中点，连接，． （1）如图2，当时，点D恰好落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示： 解：与的数量关系和位置关系分别是：，，理由如下： 如图2，过点B作，交的延长线于点F，连接、， ， ∵点P是的中点，， 在和中，，，， ， ，， … 请你将上述过程补充完整； 【问题拓展】 （2）如图3，当时，若，，求的值． 【答案】（1）解：补充完整如下： ， ， ∵当时，，又， ∴， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∵， ； （2） 【解析】 【分析】（1）作，交延长线于点，连接，根据证，再根据证，然后得出是等腰直角三角形即可得出结论； （2）作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于，同（1）得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，根据得出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图，作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于， ， ∵点P是的中点， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ∵当时，由旋转可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴与所成夹角的钝角为， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， 又， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $