精品解析：山东菏泽市单县两校2026-2027学年高三上学期第一次调研考试数学试题

高三第一次调研测试 数学试题 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设方程的两个根分别为：，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足和，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 13. 已知，则函数的最大值为__________. 14. 已知，若函数的图象存在对称中心，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共60分. 15. 已知集合，. （1）若，求实数k的取值范围； （2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 16. 若定义在上的奇函数满足，当时，． （1）求的值； （2）当时，求函数的解析式． 17. 已知函数． （1）若，求满足的x的取值范围； （2）若对任意，恒成立，求a的取值范围． 18. 某旅游开发公司计划2026年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2026年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元． （1）求2026年该项目的利润（万元）关于游客人数（万人）的函数关系式（利润=收入-成本）； （2）当2026年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 空集或非空有限集合所含的元素个数通常被称为集合的基数或势，记作.如.非空集合满足，若实数，则必有. （1）求的最小值并给出证明； （2）若定义在上的函数对任何都有，求的解析式； （3）若，对于（2）中的函数，判断并证明的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第一次调研测试 数学试题 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式可变形为，只要该式就成立， 因此. 指数函数是底数小于1的递减函数，不等式， 根据单调性可得，因此. 根据补集的定义：. 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“”的否定是“”. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 由于，则． 故选：B 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由，排除部分选项求解. 【详解】函数的定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数，即可排除A， 当时，，排除， 故选：B． 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 因为和都是减函数，所以在上单调递减， 当时，，要使其在上单调递减，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D. 6. 设方程的两个根分别为：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出和的大致图象，根据图象确定交点位置，然后结合根的定义列出等式，最后利用单调性推导乘积范围. 【详解】作出和的大致图象，如图， 则，，， 此时，得， ，. 7. 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件构造新函数，判断新函数的单调性，由新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 8. 已知正实数满足和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，， 即， 令，因为且，则， 则，由，可得在上单调递增， 则，故； 又由可得，则， 故. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】作差法判断A、B；特殊值法判断C；由基本不等式易知，再根据对数性质判断D. 【详解】A：，则，正确； B：，则，正确； C：当时，，错误； D：由（注意等号取不到），则，正确. 故选：ABD 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由基本不等式判断AC，由特殊值判断B，由二次函数的性质判断D. 【详解】，即（当且仅当时，取等号），故A正确； 当时，，故B错误； （当且仅当时，取等号），故C错误； ，当时，取最小值，故D正确； 故选：AD 11. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：设，可得，结合对数函数性质分析判断；对于C：利用换底公式分析判断；对于D：可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：若，则， 则，故A错误； 对于选项B：因为，设， 则， 又，可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，即， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 又因为,所以不成立。所以等号不成立， 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，代入条件即可得解. 【详解】因为是奇函数，则当时，，故． 又因为，且，则， 两边取以为底的对数得，解得． 13. 已知，则函数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】换元，，化简得到二次函数，根据二次函数性质得到最值. 【详解】设，，则，， 故当，即时，函数有最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了指数型函数的最值，意在考查学生的计算能力，换元是解题的关键. 14. 已知，若函数的图象存在对称中心，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数定义域确定函数对称中心，再利用函数对称中心的性质列出等式即可求解． 【详解】由题可知，， 令，解得或，由题可知，， 所以定义域为或， 因为函数的图象存在对称中心，所以对称中心横坐标为区间中点， 因为，即， 所以函数图象的对称中心为，则， ， ， 因为， 所以， 因为， 所以对于定义域内任意都成立， 所以，即， 故答案为：4． 四、解答题：本大题共5小题，共60分. 15. 已知集合，. （1）若，求实数k的取值范围； （2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合，根据集合之间的关系，可列不等式，可得答案； （2）根据必要不充分条件，可得集合之间的关系，利用分类讨论，可列不等式，可得答案. 【小问1详解】 由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则； 由，则，即，解得. 【小问2详解】 p是q的必要不充分条件等价于是A的真子集. ①当时，，解得，满足. ②当时，原问题等价于（不同时取等号） 解得. 综上，实数k的取值范围是. 16. 若定义在上的奇函数满足，当时，． （1）求的值； （2）当时，求函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数与，通过换元得到，进而推出周期，再利用周期化简自变量求值； （2）利用奇函数先求出上的解析式，再借助周期性，将的自变量平移到代入求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以. 又，所以. 令，得.将替换成，得， 因此函数是以4为周期的周期函数. 所以，由周期为4，得． 故. 【小问2详解】 因为当时，，所以当时，， 故， 又当时，，由周期性，代入区间解析式： 所以． 17. 已知函数． （1）若，求满足的x的取值范围； （2）若对任意，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，不等式转化为，得到，即可求解； （2）把不等式，转化为对任意恒成立， 设，得到对任意恒成立， 设，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得， 由不等式，即，可得，解得， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 解：由不等式，即， 等价于对任意恒成立， 设，即对任意恒成立， 设， 当时，，解得， 当时，，a无解， 综上，a的取值范围是． 18. 某旅游开发公司计划2026年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2026年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元． （1）求2026年该项目的利润（万元）关于游客人数（万人）的函数关系式（利润=收入-成本）； （2）当2026年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当2026年的游客人数为30万时，利润最大，最大利润为205万元 【解析】 【分析】（1）分区间写利润函数：利润=总收入-固定成本-另投入成本，根据的三个分段区间，分别计算对应区间的表达式，同时明确各区间定义域； （2）分别求出每段的最大值，比较三个区间的最大值，得到全局最大利润及对应的游客人数. 【小问1详解】 该项目的门票收入为万元，财政补贴收入为万元，共万元收入， 则利润 化简得 【小问2详解】 当时，单调递增，； 当时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为， 则； 当时，因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以． 综上，当2026年的游客人数为30万时，利润最大，最大利润为205万元． 19. 空集或非空有限集合所含的元素个数通常被称为集合的基数或势，记作.如.非空集合满足，若实数，则必有. （1）求的最小值并给出证明； （2）若定义在上的函数对任何都有，求的解析式； （3）若，对于（2）中的函数，判断并证明的单调性. 【答案】（1） 由于是非空集合，设实数， 根据题意，，进而， 再根据题意，由，进而 又方程，即无实数解， 故是彼此不相等的三个实数， 故中至少有个元素，即最小值为. （2） （3） 是上的单调递增函数； ，且， 则 ， 由知， 故，即， 因此在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）设，逐步推导出集合中可能存在的元素，再根据元素的互异性判断合理性，由此可求； （2）将（1）中集合的三个元素代入可得三个方程，通过对三个方程联立计算可得的解析式； （3）先表示出，对其结果进行因式分解，代入的范围判断出的正负，由此可知的单调性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，若，则. 根据题意，，① 将①式中的所有全部代换为，得，② 将①式中的所有全部代换为，得，③ ①③②，得， 整理得， 所以的解析式为. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：用定义法证明函数单调性的步骤： （1）设：设两个自变量，并给定大小关系； （2）作差：计算； （3）变形：将的结果化简至容易判断出正负； （4）判号：根据的化简结果并结合的大小，判断出的正负； （5）下结论：说明的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $