期中压轴题汇总（圆锥曲线）三十二类综合题型（压轴题专项训练）高二数学上学期人教A版

期中压轴题汇总（圆锥曲线） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求椭圆的轨迹方程 题型二、求双曲线的轨迹方程 题型三、求抛物线的轨迹方程 题型四、由几何关系求椭圆的方程 题型五、由几何关系求双曲线的方程 题型六、由几何关系求抛物线的轨迹方程 题型七、椭圆中焦点三角形的问题 题型八、双曲线中焦点三角形的问题 题型九、抛物线中焦点弦长的性质 题型十、椭圆中线段和差最值的问题 题型十一、双曲线中线段和差最值问题 题型十二、抛物线中线段和差的最值问题 题型十三、椭圆参数方程的应用 题型十四、求椭圆的离心率 题型十五、求椭圆离心率的最值与范围 题型十六、求双曲线离心率 题型十七、求双曲线离心率最值与范围 题型十八、椭圆中点弦应用 题型十九、双曲线中点弦应用 题型二十、抛物线中点弦应用 题型二十一、椭圆中弦长与面积问题 题型二十二、双曲线中弦长与面积问题 题型二十三、抛物线中弦长与面积问题 题型二十四、圆锥曲线中定点问题 题型二十五、圆锥曲线中定值问题 题型二十六、圆锥曲线中面积最值范围问题 题型二十七、圆锥曲线中定直线问题 题型二十八、圆锥曲线中齐次化的应用 题型二十九、圆锥曲线中蒙日圆 题型三十、圆锥曲线中光学性质 题型三十一、定比点差法 题型三十二、圆锥曲线中非对称韦达定理 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求椭圆的轨迹方程 典例1 （26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设动点的坐标为，根据，结合两点间公式，列出方程，准确化简，即可得到动点的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，且，，为原点， 因为，所以可得， 即， 可得， 可得， 令，可得， 可得，所以， 可得，即， 整理得，即动点的轨迹方程为. 变式1-1（25-26高二上·广东河源·期末）如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M、当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义式判断点M的轨迹为椭圆，求出标准方程；，可得，，换元令，结合函数单调性求值域即可. 【详解】如图，连接， 因点是线段的中垂线上一点，故， 则，且，即， 可知点M的轨迹为以点A，B为两焦点的椭圆， 则，，即，，则， 所以轨迹的方程为； 因点M是椭圆上的一点，则 设， 则， ， 令， 则， 设， 则时 所以在上单调递增， 则最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 变式1-2（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 题型二、求双曲线的轨迹方程 典例2 （25-26高二上·陕西西安·阶段检测）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 变式2-1已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______． 【答案】． 【分析】通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 变式2-2（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 题型三、求抛物线的轨迹方程 典例3 （2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 变式3-1（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，，则，再由，可得，进而可得答案． 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 变式3-2（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为________. 【答案】 【分析】设，求得以线段为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程． 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 题型四、由几何关系求椭圆的方程 典例4 （2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有（为实数），斜率为1的直线经过，且与圆相切，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，表达出的纵坐标为，结合椭圆定义可用两种方法表达出的面积，从而得到方程，求出，根据直线和圆的位置关系得到方程，求出，进而得到，得到椭圆方程 【详解】由题意得，设，， 因为的重心为G，所以， 因为，则，所以的纵坐标为， 又因为，， 所以， 因为为的内心，所以为的内切圆的半径， 则， 故，所以，即， 斜率为1的直线经过，故直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以，， 故椭圆的方程为. 变式4-1（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由已知条件和椭圆定义表示出，，，由勾股定理求得与的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案. 【详解】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 变式4-2（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意得，， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上， 设其方程为，，则， 将代入方程得， 因为，所以，解得，故椭圆方程为. 故选：A. 题型五、由几何关系求双曲线的方程 典例5 （2026·天津武清·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，得出焦点坐标和渐近线方程，进而得出向量坐标，结合且，构造方程组求出，联立渐近线方程得出，进而求出，从而求出双曲线的方程． 【详解】 双曲线的左焦点，渐近线为， 向量， ①， ②， 联立①②得，， 解得或（，舍去）， ，即， 代入①得， 在渐近线上， ，解得， ，解得，， 双曲线的方程为． 变式5-1（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 变式5-2（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，中有，中有，可得，结合，解得，可得双曲线的方程. 【详解】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示，    由，有，所以， ，所以，， 中，， 中，， 则有，得， 又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 题型六、由几何关系求抛物线的轨迹方程 典例6 （25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 变式6-1（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将焦半径差转化为两点纵坐标差；结合中点纵坐标解出．再通过点在抛物线上，用纵坐标表示横坐标，得到两点横坐标之差．最后代入两点间距离公式，建立关于的方程求解． 【详解】 由抛物线定义可得的准线为， 则，， 由，得， 又中点纵坐标为，即，得， 联立，解得， 又因为在第一象限且在抛物线上， 所以，，得， 由两点距离公式，得， 代入，得 ． 变式6-2（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，联立方程得，再结合距离公式得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】根据题意，联立方程得，整理得， 解得，，代入得，， 所以与的交点为，， 因为，所以，解得， 所以，，， 因为为的焦点， 所以，根据焦半径公式， 题型七、椭圆中焦点三角形的问题 典例7 （26-27高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最大值为 C．的周长小于 D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】ABC 【分析】先由椭圆方程求得基本参数，结合椭圆定义、余弦定理、轨迹交点等知识逐一判断选项. 【详解】由椭圆，可知椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 选项A：若，则为椭圆短轴端点，此时，， 在中，，故，A正确； 选项B：椭圆上点对两焦点的张角最大值在短轴端点处取得， 由余弦定理得， 故，即的最大值为，B正确； 选项C：的周长为，C正确； 选项D：分三类讨论：①直角在：过作轴垂线交椭圆得2个点； ②直角在：同理得2个点；③直角在：在以为直径的圆上， 由于该圆的半径为，且圆心和椭圆中心重合，，故该圆与椭圆将有4个交点， 由此可知满足是直角三角形的点P共有8个，D错误. 变式7-1（2026·福建莆田·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．点为上的动点，且的取值范围为，则（   ） A． B．的周长为8 C．存在点，使得 D．当时，的内心坐标为 【答案】AD 【分析】先根据椭圆上动点到焦点距离范围求出，进而得到，离心率和椭圆方程，再分别对各选项依据椭圆性质、均值不等式、勾股定理及内切圆半径公式等进行判断. 【详解】根据椭圆性质，椭圆上动点到左焦点的距离范围为， 又因为，所以，解得， 所以，离心率，椭圆方程为， 在A选项中，，A正确， 在B选项中，的周长为，B错误， 在C选项中，若，设，则， 整理可得，由均值不等式，相互矛盾， 所以不存在这样的点，C错误， 在D选项中，将代入椭圆可得， 即，因为， ，所以是直角三角形， 直角在，内切圆半径， 内心坐标为，D正确. 变式7-2（2026·重庆九龙坡·一模）（多选）已知分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， ， 点关于原点的对称点为，则（    ） A．椭圆 的离心率为 B． C．直线 的斜率为 2 D． 【答案】BD 【分析】根据椭圆的标准方程和定义，利用余弦定理，三角形面积公式等逐一计算即可判断. 【详解】对于A，由题意知，所以，所以， 所以离心率，故A错误； 对于B，由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理得：， 即，所以，故B正确； 对于C，由得， 因为点和点关于原点的对称，所以， 又为椭圆上一点，所以，所以， 所以，故C错误； 对于D，， 故D正确； 故选：BD 题型八、双曲线中焦点三角形的问题 典例8 （26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，根据双曲线求得焦点坐标及焦距，根据椭圆的标准方程判断即可；对于B，根据切线长定理及双曲线、椭圆的定义求解即可；对于C，根据椭圆的定义求出，进而求离心率即可；对于D，根据双曲线、椭圆的定义及完全平方公式求解即可. 【详解】对于A，双曲线：，，所以，则. 故焦点，.则，A错误. 对于B，设的内切圆切轴于点，切于点，切于点. 则，，， 由双曲线定义得， （*）， 又，，代入（*）解得，故切点为，B正确. 对于C，若，则. 双曲线：，所以. 椭圆：，则，所以. 故椭圆的离心率为，C错误. 对于D，若，则. 又，则， 所以，则， 即，则，， 故椭圆方程为，D正确. 变式8-1（26-27高二上·江苏·期中）（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 【答案】ABD 【分析】对于选项A：借助双曲线定义与焦距长度计算即可得；对于选项B：设出点，表示出、后，利用余弦定理计算即可得；对于选项C：结合B中所得计算即可得；对于选项D：利用内切圆中切线长性质结合双曲线定义与焦距长度计算即可得． 【详解】对于选项A：由双曲线定义可得，则， 则，又， 则，故A正确； 对于选项B：设，则，即， 双曲线的渐近线为，则， 由对称性，不妨设在上，在上，则，，有， 由，则， 则， 故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、， 由切线长定理可得、、， 又，， 即， 则， 则，又， 故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确． 变式8-2（26-27高三上·河南南阳·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 【答案】ABD 【分析】A选项，利用直线斜率求得，余弦定理求得，由得结果；B选项，由勾股定理求，结合双曲线定义求出，可得渐近线方程；C选项，求出的横坐标结合曲线对称性可得的值；D选项，由正弦定理得的外接圆半径． 【详解】显然，由得， ， 由余弦定理得， ，于是，故选项A正确； 由勾股定理得，， 由定义得，，， 故渐近线方程为，故选项B正确； 显然的横坐标满足，，由曲线对称性可知，故选项C错误； ， ∴由正弦定理得的外接圆半径，故选项D正确． 题型九、抛物线中焦点弦长的性质 典例9 （2026·四川南充·模拟预测）（多选）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】设点，点的坐标分别为，，联立方程组，结合韦达定理得到，值，然后再逐一判断. 【详解】由抛物线的方程为， ，抛物线的焦点到准线的距离为，A正确. 如图所示； 由题知点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为. 设点，点的坐标分别为，，联立方程组， ，由韦达定理得，. . ，B错误. 由过焦点的弦长公式得. ，直线的斜率为，同理推出. ，C正确. ，， ， ， ，由 ，直线的斜率为，D正确. 变式9-1（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．以弦为直径的圆与准线L相切 D．若，则直线的斜率一定为 【答案】ABC 【分析】根据已知确定焦点和准线，再设直线，联立抛物线方程并应用韦达定理判断A，用抛物线的定义表示弦长判断B，由中点公式及圆心到定直线的距离判断C，设，利用向量垂直关系的坐标表示得到，从而判断D. 【详解】由抛物线方程得， 所以焦点，准线， A：设过焦点的直线方程为，联立抛物线方程， 整理得，由，是交点， 根据韦达定理，正确； B：根据抛物线的焦点弦长公式， 由，，则， 所以， 因为，所以，当且仅当，取得最小值4，正确； C：设中点为，则， 圆的半径， 圆心到准线的距离为， 因为，所以该圆与准线相切，正确； D：设，，， 由得 ， 而，，则， 所以， 将，代入，得， 所以，可得， 对于任意直线，只要点的纵坐标满足，就能使得，直线的斜率（）， 由于可以取任意非零实数，所以直线的斜率可以是任意非零实数，并不一定为，错误. 变式9-2（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】对于A，联立得到弦长的最小值为，再列方程即可求解；对于B，由得，进而得到，再利用向量证明即可；对于C，由可得，再求得，进而得到即可判断；对于D，由，得，再计算得到的表达式，并求出最值即可判断． 【详解】对于A，，设直线的方程为，， 联立得：，消去得， ， ， ，解得，故A正确； 对于B，由，得， 直线与垂直，故的斜率为，方程为， 代入准线得，即， ， 因此，即，故B正确； 对于C，当时，，结合， 解得， 点坐标为，由两点间距离公式： ，故C错误； 由，得， 由抛物线定义，， ， ， 当时，乘积取得最小值8，因此，故D正确． 题型十、椭圆中线段和差最值的问题 典例10 （2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【详解】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 变式10-1（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 变式10-2（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 题型十一、双曲线中线段和差最值问题 典例11 （25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 变式11-1（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 变式11-2（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的最小值为，则双曲线离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可，进而可得，从而可得离心率的值. 【详解】根据双曲线的定义，有， 两式相加得，如图： 又，所以，即 所以的最小值为，，即 又因为通径是过焦点的弦中最短的弦，所以轴时最小，此时， 所以的最小值为，即， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得，或 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率为2． 故选：B 题型十二、抛物线中线段和差的最值问题 典例12 （26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 变式12-1（2026高三·全国·专题练习）已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 变式12-2（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义将“点到准线的距离”转化为“点到焦点的距离”，再利用三点共线求最值的方法即可求解. 【详解】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 题型十三、椭圆参数方程的应用 典例13 （24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】令，可知，结合椭圆可设，代入结合三角函数求最值即可. 【详解】令，则，且， 设， 可得， 其中， 所以的最大值为. 故选：D. 变式13-1（23-24高二上·山东菏泽·阶段检测）已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题意设，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线的距离，结合辅助角公式化简即可求得答案. 【详解】由题意点P是椭圆 上的动点，设， 则点P到直线的距离为 ，其中， 当时，取最小值， 故选：D 变式13-2（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知两点坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则代数式的最大值为______. 【答案】 【分析】根据条件，求出点的轨迹方程，再利用三角换元，即可求解. 【详解】因为，由题有， 整理得到， 令， 则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 题型十四、求椭圆的离心率 典例14 （26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【详解】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 变式14-1（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 【答案】/ 【分析】设直线，的倾斜角分别为，， ，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆中参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率. 【详解】由题意知，，，直线为， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ， 当且仅当，即时取等号， 又的最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 变式14-2（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 【答案】或 【分析】先由直线斜率得到的余弦值，结合椭圆定义和已知边长比例，在中用余弦定理求出，再代入离心率公式计算结果. 【详解】由椭圆长轴长为30，得，即，椭圆离心率； 过的直线斜率为，且位于轴上方，故，因此， 设焦距，由得 ； 根据椭圆定义 ，得 。 在中由余弦定理知：， 即，整理得 ， 解得或，均满足题意， 当时，；当时，. 题型十五、求椭圆离心率的最值与范围 典例15 （26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最大值即可. 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 当或时，取最大值：， 所以的最大值为. 变式15-1（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 变式15-2（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得 ，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记的焦距为，设，则，即， 由，得，即， 则，整理得，又， 因此，解得， 所以的离心率的取值范围是． 题型十六、求双曲线离心率 典例16 （2026·广西南宁·一模）设分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，，若的周长为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量关系设线段长，结合双曲线定义表示，由三角形周长求出；再利用共线，两个邻补角余弦互为相反数，借助余弦定理建立的方程，求出离心率． 【详解】设，由，得，， ，， 周长为，即，解得， 所以，，，， 在中，，； 在中，，， 因为三点共线，且在之间， 所以，余弦值互为相反数， 设焦距，在中，， 在中， 因为，所以， 两边同乘得，化简得， 所以． 变式16-1（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线定义求出各线段长度，借助公共角的余弦值相等建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】因为点在双曲线的左支上，故， 设，由得，， 代入得，即， 因此，，， 又点A在双曲线C的左支上，则，解得， ， 在中，由余弦定理，， 在中，， 由两式相等得，化简得：， 即，整理得，即， 因此离心率. 变式16-2（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的坐标，再利用余弦定理求出之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意得圆的方程为，由题意得双曲线的渐近线为． 由解得或， 因为点在第一象限，所以. 又，所以， 在中，，由余弦定理得， 即，化简得， 所以，则离心率. 题型十七、求双曲线离心率最值与范围 典例17 （25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 变式17-1（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可． 【详解】如图： ，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而， 而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而，所以， ∴双曲线的离心率. 变式17-2（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可. 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 题型十八、椭圆中点弦应用 典例18 （26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 【答案】 【分析】利用“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示， 因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，， 又且，则是的中点， 所以，， 又点，在椭圆E上面， 所以，， 两式相减整理得， 即， 所以直线的斜率可以表示为， 又，在直线上， 所以直线的斜率为， 则，解得，即，， 所以，椭圆E的离心率为. 变式18-1（2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 【答案】/ 【分析】借助点差法及三角形重心性质计算即可得. 【详解】由题意可得，设、， 满足，作差得， 即， 整理得， 由的重心坐标为，则，， 即，， 则，即， 故直线的斜率为. 变式18-2（2026高三·全国·专题练习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】设弦的中点E的坐标为，由题可得，，列式求出，进而求得答案. 【详解】设弦的中点E的坐标为，连接，. 因为，且为的中点，有， 又由椭圆中点弦的结论可得， 于是，，解得，. 于是直线l的方程为. 由于，所以E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件. 所以直线l的方程为. 故答案为：. 题型十九、双曲线中点弦应用 典例19 （2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程. 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 变式19-1（25-26高三上·江苏南京·期中）已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为______. 【答案】 【分析】设且的中点，代入双曲线的方程，作差化简求得，根据点在直线上，求得，代入直线的方程，即可求解. 【详解】设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：.    变式19-2（25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为____，直线MN的方程为____. 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 题型二十、抛物线中点弦应用 典例20 （25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则________． 【答案】 【分析】根据中点在直线上得，再联立方程，结合韦达定理，中点坐标公式得，解方程即可得答案. 【详解】又中点在直线上， 所以，即，故直线的方程为 设，联立方程得， 所以，， 因为的中点为， 所以，解得，满足判别式， 故. 故答案为： 变式20-1（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标公式和韦达定理即可求出直线的方程. 【详解】显然直线不垂直于轴，如图所示，故设直线的方程为, 联立直线的方程与抛物线方程得,消去得, 由弦AB的中点为，结合韦达定理和中点坐标公式得， 此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 变式20-2（25-26高三上·河南·阶段检测）已知斜率为的直线交抛物线于两点，的中点坐标为，则________. 【答案】1 【分析】设，代入抛物线方程中，利用点差法得出的表达式，结合中点公式以及直线两点的斜率公式计算即可. 【详解】设， 因为两点在抛物线上， 所以，① ，② ②①得：， 即， 由题意知， 又的中点坐标为，所以， 所以， 此时，抛物线方程为，直线与抛物线的交点为， 点在抛物线内，直线和抛物线相交. 故答案为：1. 题型二十一、椭圆中弦长与面积问题 典例21 （26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【答案】(1). (2)直线的方程为或,弦长. 【分析】（1）由椭圆焦点在轴上得,将点代入方程求. （2）设,联立椭圆方程,由韦达定理表示,利用求,再求弦长. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上,所以. 将点代入方程,得,即,所以. 因此椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时,与椭圆交于,此时共线,,不合题意. 设,交点为. 将代入,整理得. 由韦达定理得. 又,所以. 由得,于是. 代入韦达定理的结果,得,即. 令,得,即,所以,即. 因此或,此时， 直线的方程为或. 弦长. 变式21-1（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于A，B两点；若直线l过椭圆右焦点，且的面积为，求实数k的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合点的坐标特点进行求解即可； （2）根据椭圆弦长公式，结合点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以椭圆的焦点在横轴上， 又因为点在椭圆上且又在横轴上，所以. 又因为椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆C的标准方程为； （2）直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 因为焦点在椭圆内部，所以过的直线一定与该椭圆相交， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即. 变式21-2（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． (1)求椭圆 的离心率； (2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． 【答案】(1)； (2) 或 ． 【分析】（1）主要考查根据椭圆的标准方程求离心率，代入离心率的公式，即可； （2）主要考查直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，分类讨论直线的斜率存在还是不存在，当直线的斜率，存在的时候，联立直线与椭圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到和，进而得到，建立关于的方程，解出，得到直线的方程. 【详解】（1）由 的方程知 ，，所以 ， ．故离心率 ． （2）由（1）知 ． ① 当直线 的斜率不存在时，．代入 得 ，即 ，，此时 ，不合题意． ② 当直线 的斜率存在时，设 ．代入 并整理得 ．其判别式 ． 设 ， ，则 ，，． 所以 ． 由 得 ，即 ，解得 ，故 ． 所以直线 的方程为 ，即 或 ． 题型二十二、双曲线中弦长与面积问题 典例22 （26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：（，）的焦距为，点在其渐近线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线焦距得值，结合渐近线过点列方程求解得标准方程； （2）先求直线方程，联立双曲线方程用韦达定理求弦长，再求点到直线的距离，进而计算三角形面积. 【详解】（1）由双曲线：的焦距为，得，即，故. 又因为双曲线：的渐近线方程为， 将代入渐近线方程得，即. 将代入，解得， 因此双曲线的标准方程为. （2）由（1）知双曲线的标准方程为，所以双曲线右顶点的坐标为. 过且斜率为的直线方程为，整理得. 联立直线与双曲线方程得，消去，化简整理得， ， 设，由韦达定理得. 由弦长公式得. 点到直线的距离. 所以的面积. 因此的面积为. 变式22-1（2026·福建厦门·模拟预测）已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意可得，化简可得曲线的方程； （2）设直线的方程为，，与双曲线方程联立，结合根与系数的关系可得，进而可得，结合题意求解即可. 【详解】（1）设， 因为M到的距离与到l的距离之比为2，所以， 两边平方可得，所以， 所以，所以， 所以的方程为； （2）由题意可知的方程为，代入的方程可得， 由题意的斜率存在，所以设直线的方程为， 联立，可得， 设，所以， 所以或， 所以 ， 因为为的中点，所以，所以， 所以，整理得，解得（舍去）或， 所以，所以的方程. 变式22-2（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入双曲线方程可得，再代入可得，最后利用离心率公式即可求得； （2）先求出和直线的方程，再利用三角形面积公式得到点到直线的距离，联立点到直线的距离公式和双曲线方程，求出符合下支条件的点，最后即可求得直线的方程. 【详解】（1）将代入的方程，得. 将代入的方程，得，即 故离心率为. （2）由题意知，直线的方程为. 设点到直线的距离为，则，即， 由点到直线的距离公式得，所以. 又点在的下支上，由（1）知，且. 由，解得或， 由，得，解得，舍去. 所以点的坐标为或， 当时，直线的斜率为，所以方程为：； 当时，直线的斜率为，所以方程为：，即， 所以直线的方程为或. 题型二十三、抛物线中弦长与面积问题 典例23 （26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点的坐标代入解出可得抛物线的方程，联立后利用可求得切线的方程； （2）求出直线的方程为，设，，将与的方程联立，利用韦达定理及即可求解． 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． （2）由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积．    变式23-1（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，利用直线的斜率与直线的斜率的差是2列出方程化简即可； （2）设直线的方程为：，联立与的轨迹方程，根据韦达定理以及得到，从而得出，求出，最后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）设，由， 则，其中， 由题意知：，化简得， 所以点的轨迹方程为：. （2）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为：， 联立，消去得：， 由， 所以设，所以，① 因为，所以即， 也即， 整理可得：， 将①代入上式，得，解得：， 所以 . 变式23-2（2026·安徽·模拟预测）设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． (1)证明：点在以为直径的圆上； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：设直线的方程为，， 联立，即，则，，， 因为，则，又， 所以，所以，即， 所以点在以为直径的圆上； (2) 【分析】（1）设直线方程及，两点坐标，联立方程组，列出韦达定理，要证点在以为直径的圆上，即证即可； （2）先根据已知条件可求出，再通过弦长公式及点到直线的距离公式，将面积表示成关于的式子，从而求出面积. 【详解】（1）略 （2）由题可得，，则， 所以，又， 所以， 由（1）知，，所以，解得， 由弦长公式可得， 又点到直线：的距离， 所以. 题型二十四、圆锥曲线中定点问题 典例24 （26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，点，在椭圆上，当直线过椭圆的一个焦点且垂直于轴时，弦长． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为0的直线交椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点的坐标和弦长列出方程组即可求解. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，列出韦达定理，进而表示出的方程，令结合韦达定理即可求出点的坐标. 【详解】（1）    不妨设的一个焦点为，， 则当时，，解得，所以， 所以,解得，，． 故椭圆的方程为． （2）    若直线与轴垂直，则点与重合，不符合题意； 依题意可设直线方程为，，，， 联立化简得， 显然，且，， 又因为，所以的方程为， 令，得，将，代入上式， 可得， 故点的坐标为． 变式24-1（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明：（方法一）由（2）知，，因为，所以． 设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 因为直线不过点，所以，所以， ，化简整理得，解得， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． （方法二）设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为，所以，即， 整理得， 由，所以，得， 所以， ，整理得， 因为等式恒成立，所以，解得． 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 【分析】（1）根据双曲线的性质可得双曲线的基本量，进而可得双曲的方程； （2）设，根据点在双曲线上及斜率的定义可得； （3）方法一：先设直线的方程为，由（2）的分析得，进而可得，再由斜率的坐标运算公式及根与系数关系代入化简得，从而可得直线过定点；方法二：先设直线的方程为，再由条件及根与系数关系可得恒成立，得，从而可得及直线过定点. 【详解】（1）由经过点，得． 由，又因为双曲线一条渐近线与直线平行， 所以，则，故的方程为． （2）设，则，即， 因为，， 所以， 故直线与的斜率之积为． （3）略 变式24-2（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级十一月月考数学试卷）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明：因为直线 与抛物线有两个交点， 所以 不可能是平行于 轴的直线（否则与抛物线只有一个交点）， 故可设，代入 得 ， 即 ，判别式 . 设，，则 ， . 由 都在抛物线上得 ，， 所以. 由 得 ，即 ， 所以 ，解得 或 . 若 ，则直线 经过原点 ， 此时 中有一点与重合，与 中有零向量，不符合题意，故舍去. 所以，即，直线恒过定点. 检验：当 时 恒成立，直线与抛物线恒有两个交点, 取 得 ，与 交于 、， 此时 成立，定点 确在 上. 【分析】（1）把点 的坐标代入 ，求出，即可求得抛物线的方程. （2）可设，代入 得 ，设，，则 ，，由得即，从而求得，再证明直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）把点 的坐标代入 得 ，即 ，解得 . 所以抛物线的方程为 . （2）略，定点为 . 题型二十五、圆锥曲线中定值问题 典例25 （26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在使得为定值. 【分析】（1）根据离心率以及点，联立方程即可求解， （2）根据勾股定理以及椭圆的定义，结合等面积法即可求解， （3）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，进而根据向量的坐标运算即可化简求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得, 故椭圆方程为 （2）设,且， 由于，又，故, ，即可， 由于,故， 将代入椭圆方程可得,故. （3），设直线 ,， 将代入椭圆方程中化简可得， 设, 故,从而， ， 要使为定值，则需满足，故， 故存在使得为定值. 变式25-1已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)，，，， 由（1）可知，直线与双曲线联立消元可得：， 所以，根据已知条件有： ， 所以是定值. 【分析】（1）设，，直线，联立双曲线方程，得到两根之积小于即可求解； （2）对进行配凑得，代入计算即可. 【详解】（1）设，，直线， 由，消元得：， 整理得：. 因为直线过定点且与双曲线右支有两个交点， 因为在轴上，且在双曲线的内部， 所以有：，，且， 则，解得：. （2）略. 变式25-2（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）8；（ii）为定值2. 【分析】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案. （2）（i）根据C的方程，可得点P的坐标，分析可得当时，点到直线的距离取得最大值，求出的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的值，代入弦长公式，即可得答案. （ii）设出直线的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的表达式，写出直线的方程，即可得点M的纵坐标的表达式，同理可得点N的纵坐标的表达式，结合条件可得的表达式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）（i）因为点是上的一点，所以，解得，即， 当点到直线的距离取得最大值时，有， 又，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 设，由，得，所以， 所以． （ii）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 由，得， 此时即即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得． 所以 ．即为定值2. 题型二十六、圆锥曲线中面积最值范围问题 典例26 （26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出 ，令换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【详解】（1）由椭圆方程，得，所以，， 若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去. 设，，，此时， 则，由斜率公式得，， 又因为，在椭圆上，所以①，②， 式子②－①，得， 所以 . 因此. （2）因为点关于原点的对称点为，所以点到的距离是点到的距离的倍， 因此三角形面积等于三角形的面积的倍. 椭圆左焦点为，因为点关于原点的对称点记作点，且在第一象限， 因此直线的斜率不为，设直线方程为， 联立方程组， 即，， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 因此当且仅当时取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为. 变式26-1（2026高三·全国·专题练习）如图，为双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上．设的平分线与轴、轴分别交于点和点，且当时，． (1)当时，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长与交于点，当时，，且为中点，结合双曲线定义，以及角平分线的性质，根据题意即可求得结果； （2）根据题意表示出直线的方程，结合韦达定理表示出三角形面积并直接求出范围即可. 【详解】（1）延长与交于点． 当时，，且为中点， 所以， 则，所以双曲线的方程为：， 则， 即， 由点在的平分线上知， 由， 且点在双曲线右支，即，可得， 则， 且， 故由，得. （2）由（1）知， 令，则， 故点．则， 与双曲线方程联立消去得：．， 设，则， 所以， 因为，令，所以， 此式子随着的增大而增大， 所以得，当且仅当时，． 变式26-2（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 题型二十七、圆锥曲线中定直线问题 典例27 （26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点P是椭圆C上异于顶点的一点，当时，的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交于另一点A，且，求直线的斜率； (3)若，椭圆C上两个互不相同且均异于P的动点满足直线与的倾斜角互补，设线段的中点为G．证明：G在一条定直线上运动． 【答案】(1) (2) (3)证明：由直线与倾斜角互补，得两条直线的斜率互为相反数， 设直线的斜率为，则直线的斜率为. 设直线的方程为，联立，将代入椭圆的方程， 消去并整理得：. 由题意，点是直线与椭圆的一个交点，因此是方程的一个根. 设点的横坐标为，由韦达定理得：，解得， 代入直线方程得，即 . 将替换为，同理得点的坐标：，. 设中点，由中点坐标公式：， . 消去参数，对的分子因式分解得， 又，代入可得即. 故中点恒在定直线上运动. 【分析】（1）由焦距得到，利用垂直条件与三角形面积得到的等量关系，结合解出参数，求得椭圆方程； （2）由向量条件得到坐标之间的关系式，将直线与椭圆联立，借助韦达定理求出两点横坐标，再利用两根之积建立关于斜率的方程，求解得到直线的斜率； （3）由倾斜角互补得到两直线斜率互为相反数，分别设出直线并联立椭圆，利用韦达定理求出横坐标，写出中点的参数坐标，消去参数，推导出中点满足的定直线方程，完成证明. 【详解】（1）由，得焦距即，故焦点坐标为，且. 当时，的横坐标为，代入椭圆方程得. 的面积，即. 联立，.解得或（舍），故，， 因此椭圆标准方程为. （2） 设直线的方程为，设，. 由向量条件得：，即，. 将直线与椭圆联立：，消去得：. 由韦达定理：，. 结合，代入韦达定理的和：，得， 所以. 代入的表达式得，去分母得， 整理得，解得.经检验，都满足题意. 所以直线的斜率为. （3）略 变式27-1（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 变式27-2（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程； （2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值； （3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 题型二十八、圆锥曲线中齐次化的应用 典例28 （2020山东高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程. （2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置. 【详解】（1）由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：. (2)［方法一］：通性通法 设点， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据,代入整理可得： ，         所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为 ， 所以直线过定点直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）. 此时直线过点. 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即． 设，因为则 ，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点． 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立． 故存在，使得． ［方法三］：建立曲线系 A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得． 则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）． 用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）． 即． 对比项、x项及y项系数得 将①代入②③，消去并化简得，即． 故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q． 经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． ［方法四］： 设． 若直线的斜率不存在，则． 因为，则，即． 由，解得或（舍）． 所以直线的方程为． 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则． 令，则． 又，令，则． 因为，所以 ， 即或． 当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线恒过． 综上，直线恒过，所以． 又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动． 取线段的中点为，则． 所以存在定点Q，使得为定值． 【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法； 方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线的方程为，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解； 方法三：设直线 ，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点； 方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算． 变式28-1（24-25高三上辽宁月考）已知椭圆的长轴长是，为右顶点，，，，是椭圆上异于顶点的任意四个点，当直线经过原点时，直线和的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)当直线和的斜率之积为定值时，直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线过定点 【分析】（1）由已知，设点，坐标，结合斜率乘积可得，即可得椭圆方程； （2）①当直线斜率不存在时，设直线方程及点，坐标，结合，解方程可得直线方程；②当直线斜率存在时，可设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与斜率公式列方程，化简可得或，代入直线方程可得解. 【详解】（1）由已知，即，所依椭圆方程为， 当直线过原点时，设，则，所以， 所以，又， 所以，， 所以，则， 所以椭圆方程为； （2） ①当直线斜率不存在时，设直线方程为，点，（）， 则，，且，即， 所以，解得， 即此时直线方程为； ②当直线斜率存在时，由题可设直线方程为，舍，， 联立直线与椭圆方程得， 则，即， 且，， 又，， 则， 即， 即， 化简可得，解得或， 当时，直线方程为，过点，不成立； 当时，直线方程为，过定点； 综上所述直线恒过定点. 【法二：齐次化】设，，由题设. 设直线的方程为：（齐次化设法）. 椭圆方程整理为：，将表示为，代入得： 展开化简： 对上述方程进行齐次化处理（乘以）： 整理为关于和的二次齐次式： 两边同除，令（即或），得： 由韦达定理，，结合题设，得： 将代入直线的方程： 整理（两边乘4消分母）： 令，解得，故直线过定点 变式28-2（2022新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． 【法二：齐次化】 设直线的方程为，① 双曲线变形得：， 即，② 联立①、②式齐次化得： 由题知，即， 可得，故直线的斜率为 题型二十九、圆锥曲线中蒙日圆 典例29 （25-26高三上·广东珠海·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，直线与圆相交，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆的蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，存在满足为钝角， 即存在点在圆内， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相交， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：B. 变式29-1（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ）． A．椭圆E的离心率为 B．若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C．若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D．的面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据即可求解A,结合点在椭圆上，可求解B，根据对称性以及斜率公式即可求解C，根据面积公式即可判断D. 【详解】由题意可知：蒙日圆必过点，蒙日圆方程为， 对于A，蒙日圆为，则，则， 则，所以椭圆E的离心率为，A正确； 对于B，根据题意得，又椭圆E过点，故， 所以，，则椭圆E的方程为，B错误； 对于C，，则是圆的直径，经过原点，则A，B两点关于原点对称， 设，，， 则，C正确； 对于D，直径，点M到的距离小于等于， 则的面积的最大值为，D正确， 故选：ACD． 变式29-2（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）（多选）某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（    ） A．椭圆的“蒙日圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据条件，得出，，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直线与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果. 【详解】已知椭圆的离心率为， ，为的左、右焦点且，故， 所以，， 故椭圆方程为：，故C正确； 对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆方程为， 如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点， 易知点，且点在蒙日圆上， 所以故蒙日圆的面积为，故A正确； 对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程， 由得， 则， 所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，故B错误； 对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，如图2， 连接，设，则， ， 设，， 所以， 又（当且仅当时取等号）， 所以，即， 所以，故D正确； 故选：ACD 题型三十、圆锥曲线中光学性质 典例30 （26-27高二上·河南南阳·阶段检测）（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点，如图所示．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．若右焦点到一条渐近线的距离为，且双曲线的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的方程为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．当过点时，光由所经过的路程为 【答案】ACD 【分析】对于A，由又双曲线C的渐近线方程为得，解出即可判断；对于B，利用的最小值为即可判断；对于C，在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断；对于D，利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式即可判断. 【详解】对于A，因为右焦点到一条渐近线的距离为，所以因为双曲线C的渐近线方程为，所以，解得，所以C的方程为，故A正确； 对于B，由，，得，所以的最小值为，故B不正确； 对于C，在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，所以，则，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时，由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确. 变式30-1（2026·河北沧州·三模）（多选）抛物线具有以下光学性质：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射光线都与抛物线的对称轴平行或重合．已知抛物线的焦点为F，直线l过点且与抛物线T交于，两点，T在A，B处的切线交于点P，则（   ） A． B． C． D．点P在直线上 【答案】BCD 【分析】设直线l的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系可得可判断B，求得抛物线在，两点的切线方程，联立方程组求得点的坐标可判断D，利用向量的数量积计算可判断A；利用平面几何知识计算判断C. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设直线l过点，所以设直线l的方程为， 与抛物线方程联立，可得， 所以，故B正确； 对两边求导得，所以， 所以抛物线在的切线方程为，又， 所以，整理得， 同理得抛物线在处的切线方程为， 联立两切线方程可得，解得， 因为是两个不同的点，所以，所以， 所以，所以点P在直线上，故D正确. 所以， 所以，所以，， 所以 ， 所以不垂直于，故A错误； 设直线在抛物线上的反射线分别为，则轴， 设G，H分别为线段延长线上的点， 结合光的反射定律可知，，， 由几何关系可知，设交x轴于， 则，所以，故C正确. 变式30-2（25-26高三上·江西抚州·期末）如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的切线方程，根据椭圆的光学性质可得关于直线l对称点在直线上，利用斜率相等计算，再由点在椭圆上，求解即可. 【详解】如图，    由可知圆心， 因为椭圆E与圆C相切于A， 所以它们在点A处有相同的切线l， 因为，所以， 即切线的方程为， 所以l的方程为， 由椭圆的光学性质知， 所以关于直线l对称点在直线上， 所以，即， 所以，所以①， 而椭圆过点A，所以②， 联立①②得，则的方程为. 故选：D 题型三十一、定比点差法 典例31 已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左、右焦点，且. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于两点，与椭圆的短轴交于点，若，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【解析】 (1)由题知，解得。 将点代入椭圆的方程可得： 又，由①②③解得，，所以椭圆的方程为： (2)因为，，故令，，令。 根据定比分点公式可得： 由于均在椭圆上，故： 两式相减得： 由于，所以. 变式31-1已知抛物线的焦点为，为坐标原点。过点的直线与抛物线交于两点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与轴的交点为，且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【解析】 (1)由抛物线的方程可得焦点，显然直线的斜率不为，设直线的方程为. 联立： 整理得： 则，整理得： 解得，所以直线的方程为： (2)抛物线中定值推导 因为，，令，. 根据定比分点公式： 由于均在抛物线上，代入得： 化简得： 两式相减并因式分解： 因为，所以. 变式31-2已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程. 【解析】 设。 由得 化简得. 令，则 1.定比分点公式 由得 由得 2.代入椭圆方程 对式乘以得 3.两式相减 得 代入定比分点的坐标关系化简： 约去得 结合椭圆范围，故点的轨迹方程为 . 题型三十二、圆锥曲线中非对称韦达定理 典例32 （25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线：（，）的虚轴长为2，且点在双曲线上. (1)求双曲线的焦距. (2)已知，分别为双曲线的左、右顶点，直线：与双曲线交于，（异于点，）两点，直线与直线交于点. ①若，且的面积是，求直线的方程. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②点在定直线上. 【分析】（1）由题知，进而解方程并根据求解即可； （2）①设，，进而联立方程得或，且，，再根据解方程即可得答案； ②根据题意求得直线、直线的方程，进而联立方程，并结合韦达定理得即可得到点在定直线上. 【详解】（1）解：（1）由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为：， 所以双曲线的焦距为. （2）    解：由（1）知，设，， 由得， 则即或，且，. ①因为的面积是，直线与轴交点坐标为 所以， 所以， 即，解得或. 因为，所以，所以， 则直线的方程为，即. ②由题意可知，， 则直线的方程为，直线的方程为， 所以. 因为，，所以， 所以， 所以，则点在定直线上. 变式32-1（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】(1) (2)是，定值为3 【分析】（1）设，根据题意列方程即可求解； （2）设直线：，，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. （2）易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值.    变式32-2（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 【答案】(1); (2)直线过定点 【分析】（1）根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率； （2）写出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒过的定点. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 所以直线过定点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中压轴题汇总（圆锥曲线） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求椭圆的轨迹方程 题型二、求双曲线的轨迹方程 题型三、求抛物线的轨迹方程 题型四、由几何关系求椭圆的方程 题型五、由几何关系求双曲线的方程 题型六、由几何关系求抛物线的轨迹方程 题型七、椭圆中焦点三角形的问题 题型八、双曲线中焦点三角形的问题 题型九、抛物线中焦点弦长的性质 题型十、椭圆中线段和差最值的问题 题型十一、双曲线中线段和差最值问题 题型十二、抛物线中线段和差的最值问题 题型十三、椭圆参数方程的应用 题型十四、求椭圆的离心率 题型十五、求椭圆离心率的最值与范围 题型十六、求双曲线离心率 题型十七、求双曲线离心率最值与范围 题型十八、椭圆中点弦应用 题型十九、双曲线中点弦应用 题型二十、抛物线中点弦应用 题型二十一、椭圆中弦长与面积问题 题型二十二、双曲线中弦长与面积问题 题型二十三、抛物线中弦长与面积问题 题型二十四、圆锥曲线中定点问题 题型二十五、圆锥曲线中定值问题 题型二十六、圆锥曲线中面积最值范围问题 题型二十七、圆锥曲线中定直线问题 题型二十八、圆锥曲线中齐次化的应用 题型二十九、圆锥曲线中蒙日圆 题型三十、圆锥曲线中光学性质 题型三十一、定比点差法 题型三十二、圆锥曲线中非对称韦达定理 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求椭圆的轨迹方程 典例1 （26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 变式1-1（25-26高二上·广东河源·期末）如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M、当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 变式1-2（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 题型二、求双曲线的轨迹方程 典例2 （25-26高二上·陕西西安·阶段检测）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 变式2-1已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______． 变式2-2（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 题型三、求抛物线的轨迹方程 典例3 （2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 变式3-1（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为__________． 变式3-2（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为________. 题型四、由几何关系求椭圆的方程 典例4 （2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有（为实数），斜率为1的直线经过，且与圆相切，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 变式4-1（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 变式4-2（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型五、由几何关系求双曲线的方程 典例5 （2026·天津武清·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式5-1（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式5-2（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型六、由几何关系求抛物线的轨迹方程 典例6 （25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 变式6-1（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 题型七、椭圆中焦点三角形的问题 典例7 （26-27高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最大值为 C．的周长小于 D．满足是直角三角形的点P有4个 变式7-1（2026·福建莆田·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．点为上的动点，且的取值范围为，则（   ） A． B．的周长为8 C．存在点，使得 D．当时，的内心坐标为 变式7-2（2026·重庆九龙坡·一模）（多选）已知分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， ， 点关于原点的对称点为，则（    ） A．椭圆 的离心率为 B． C．直线 的斜率为 2 D． 题型八、双曲线中焦点三角形的问题 典例8 （26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 变式8-1（26-27高二上·江苏·期中）（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 变式8-2（26-27高三上·河南南阳·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 题型九、抛物线中焦点弦长的性质 典例9 （2026·四川南充·模拟预测）（多选）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 变式9-1（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．以弦为直径的圆与准线L相切 D．若，则直线的斜率一定为 变式9-2（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 题型十、椭圆中线段和差最值的问题 典例10 （2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式10-1（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 变式10-2（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型十一、双曲线中线段和差最值问题 典例11 （25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 变式11-1（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式11-2（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的最小值为，则双曲线离心率为（   ） A． B．2 C． D． 题型十二、抛物线中线段和差的最值问题 典例12 （26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式12-1（2026高三·全国·专题练习）已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 变式12-2（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 题型十三、椭圆参数方程的应用 典例13 （24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C．10 D． 变式13-1（23-24高二上·山东菏泽·阶段检测）已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（    ） A． B．5 C． D． 变式13-2（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知两点坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则代数式的最大值为______. 题型十四、求椭圆的离心率 典例14 （26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 变式14-1（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 变式14-2（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 题型十五、求椭圆离心率的最值与范围 典例15 （26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 变式15-1（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式15-2（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得 ，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十六、求双曲线离心率 典例16 （2026·广西南宁·一模）设分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，，若的周长为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式16-1（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 变式16-2（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十七、求双曲线离心率最值与范围 典例17 （25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式17-1（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式17-2（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十八、椭圆中点弦应用 典例18 （26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________. 变式18-1（2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 变式18-2（2026高三·全国·专题练习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______. 题型十九、双曲线中点弦应用 典例19 （2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 变式19-1（25-26高三上·江苏南京·期中）已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为______. 变式19-2（25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为____，直线MN的方程为____. 题型二十、抛物线中点弦应用 典例20 （25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则________． 变式20-1（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 变式20-2（25-26高三上·河南·阶段检测）已知斜率为的直线交抛物线于两点，的中点坐标为，则________. 题型二十一、椭圆中弦长与面积问题 典例21 （26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 变式21-1（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于A，B两点；若直线l过椭圆右焦点，且的面积为，求实数k的值； 变式21-2（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． (1)求椭圆 的离心率； (2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． 题型二十二、双曲线中弦长与面积问题 典例22 （26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：（，）的焦距为，点在其渐近线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求的面积． 变式22-1（2026·福建厦门·模拟预测）已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 变式22-2（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 题型二十三、抛物线中弦长与面积问题 典例23 （26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 变式23-1（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长． 变式23-2（2026·安徽·模拟预测）设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． (1)证明：点在以为直径的圆上； (2)若，求的面积． 题型二十四、圆锥曲线中定点问题 典例24 （26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，点，在椭圆上，当直线过椭圆的一个焦点且垂直于轴时，弦长． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为0的直线交椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求点的坐标． 变式24-1（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 变式24-2（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级十一月月考数学试卷）已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 题型二十五、圆锥曲线中定值问题 典例25 （26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 变式25-1已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 变式25-2（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型二十六、圆锥曲线中面积最值范围问题 典例26 （26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 变式26-1（2026高三·全国·专题练习）如图，为双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上．设的平分线与轴、轴分别交于点和点，且当时，． (1)当时，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的取值范围． 变式26-2（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 题型二十七、圆锥曲线中定直线问题 典例27 （26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点P是椭圆C上异于顶点的一点，当时，的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交于另一点A，且，求直线的斜率； (3)若，椭圆C上两个互不相同且均异于P的动点满足直线与的倾斜角互补，设线段的中点为G．证明：G在一条定直线上运动． 变式27-1（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 变式27-2（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 题型二十八、圆锥曲线中齐次化的应用 典例28 （2020山东高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 变式28-1（24-25高三上辽宁月考）已知椭圆的长轴长是，为右顶点，，，，是椭圆上异于顶点的任意四个点，当直线经过原点时，直线和的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)当直线和的斜率之积为定值时，直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 变式28-2（2022新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； 题型二十九、圆锥曲线中蒙日圆 典例29 （25-26高三上·广东珠海·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式29-1（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ）． A．椭圆E的离心率为 B．若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C．若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D．的面积的最大值为 变式29-2（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）（多选）某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（    ） A．椭圆的“蒙日圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 题型三十、圆锥曲线中光学性质 典例30 （26-27高二上·河南南阳·阶段检测）（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点，如图所示．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．若右焦点到一条渐近线的距离为，且双曲线的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的方程为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．当过点时，光由所经过的路程为 变式30-1（2026·河北沧州·三模）（多选）抛物线具有以下光学性质：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射光线都与抛物线的对称轴平行或重合．已知抛物线的焦点为F，直线l过点且与抛物线T交于，两点，T在A，B处的切线交于点P，则（   ） A． B． C． D．点P在直线上 变式30-2（25-26高三上·江西抚州·期末）如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 题型三十一、定比点差法 典例31 已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左、右焦点，且. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于两点，与椭圆的短轴交于点，若，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 变式31-1已知抛物线的焦点为，为坐标原点。过点的直线与抛物线交于两点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与轴的交点为，且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 变式31-2已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程. 题型三十二、圆锥曲线中非对称韦达定理 典例32 （25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线：（，）的虚轴长为2，且点在双曲线上. (1)求双曲线的焦距. (2)已知，分别为双曲线的左、右顶点，直线：与双曲线交于，（异于点，）两点，直线与直线交于点. ①若，且的面积是，求直线的方程. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 变式32-1（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 变式32-2（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $