2026-2027学年高二上学期数学期中考试模拟卷

2026年秋季学期期中考试模拟卷 高 二 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：必修第一、二册占，选择性必修第一册第一章至第二章占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 5. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 6. 已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（ ） A. 3 B. C. D. 2 7.过点且与圆相切的直线方程为（     ） A． B． C． D． 8. 有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　 　) A.　　　　　　　　B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调 D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线在轴上的截距是______． 13. 在中，内角的对边分别为，若，，则 ． 14. 点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 16. 已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 17. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知的三个顶点坐标分别为. （1）求A、B所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）已知过点的直线与轴的正半轴分别交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的一般式方程. 19. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期期中考试模拟卷 高 二 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：必修第一、二册占，选择性必修第一册第一章至第二章占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由可知圆的圆心坐标为，半径为2. 故选：B 2. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【详解】由题意可得，则复数的实部和虚部分别为和. 故选：C. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，所以，，所以，故选：D. 4. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由知，解得 5. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以 6. 已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】B 【详解】由题意可得直线的方程为，即0，则点到直线的距离是.故选：B 7.过点且与圆相切的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切线方程为k，则切线方程为，即，圆整理为 ，圆心坐标为（2,0），半径，由圆心到切线的距离等于半径得，解得，代人切线方程得。 8. 有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　 　) A.　　　　　　　　B. C. D. 【答案】C 【详解】从5支彩笔中任取2支共有10种取法：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，其中含有红色彩笔的有4种：红黄、红蓝、红绿、红紫，所以概率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【详解】由，得，解得或，则A错误，B正确.由，得，解得，则C，D正确. 故选：BCD 10. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 【答案】BC 【解析】如图建立以D为原点的空间直角坐标系. 对于A，，，，，从而 ，， ，则不与垂直，故A错误； 对于B，，EF与所成角余弦值为，故B正确； 对于C，，由题可得为，从而，故C正确； 对于D，平面的法向量可取，则EF与ABCD所成角正弦值为，故D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调 D. 的最大值是 【答案】AD 【详解】对A：定义域为，因为，所以是偶函数，A正确.对B：因为， ，所以，则的图象关于直线对称，B错误.对C：因为，，所以在上不单调，C错误.对D：因为，所以是的一个周期，则的最大值即在上的最大值.当时，，则. 设，则，设函数.由解析式可知函数在上单调递增，所以，即，所以，故的最大值是，D正确.故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线在轴上的截距是______． 【答案】 【详解】令，则，得，则直线在轴上的截距是.故答案为： 13. 在中，内角的对边分别为，若，，则 ． 【答案】2 【详解】由得，解得 14. 点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【详解】由，得.当时，， 所以直线恒过定点.所以.由点到线 的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于.故答案为：.    四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【小问1详解】 【小问2详解】 分别取DE、AD中点H、K，连接HF、HK、KG ;         16. 已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【小问1详解】 由圆，即，则圆心为，半径为， 圆，即，则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为，即，解得. 【小问2详解】 当时，两圆方程相减得：，即，所以两圆的公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以公共弦长为. 17. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 (1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则，因为，所以， 因为，为的中点，所以，由勾股定理可得，同理可得，所以，所以，因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． 【小问2详解】 （2）因为平面，，如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设平面的一个法向量为，则，令，可得， 设直线与平面所成角为，则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知的三个顶点坐标分别为. （1）求A、B所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）已知过点的直线与轴的正半轴分别交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的一般式方程. 【小问1详解】 由题意得直线AB的斜率为，由点斜式得直线方程为，整理得 【小问2详解】 由题意可得直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为，故边上的高所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 由题意可知直线的斜率存在且为负数，则设直线，令，得，则点的坐标为，令，得，则点的坐标为，因为的面积为，所以，即所以，所以，即， 解得或，当时，直线的方程为，即，当时，直线的方程为，即综上，直线的一般式方程为或 19. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）法一：设点坐标为，因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点，如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以，则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形，当过点的直线斜率存在时，设直线方程 为，当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得，此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，，故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，，则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意，当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知，又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数：可得，即，将直线方程代入，化简得到代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得，综上所述，点坐标为，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $