2.4.1 圆的标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

选修一第二章 直线和圆的方程 2.4.1圆的标准方程 郑裕彤中学 张育龙 高二上学期 郑裕彤中学 环节一 创设情境，引入新课 顺德眼 圆是平面上到定点距离等于定长的点的轨迹（集合） 高二上学期 郑裕彤中学 回顾：直线的点斜式方程是如何建立的？ 环节二 类比探究，生成新知 直线的几何要素与关系 代数表示 直线方程 坐标法 追问：确定一个圆的几何要素是什么？ 圆心（位置）, 半径（大小） C M r 高二上学期 郑裕彤中学 问题：在平面直角坐标系下，设圆心坐标C(a,b), 半径为r>0， 点M(x,y)是圆O上任意一点，你能推导出点M所满足的方程吗？ 环节二 类比探究，生成新知 C r M |CM|=r x O y 几何关系 代数表示 得到方程 两点距离公式 追问：圆C上的点都满足方程（1），那满足方程（1）的每一点是否都在圆C上？ 高二上学期 郑裕彤中学 环节二 类比探究，生成新知 C r M x O y 以C(a,b)为圆心,半径为r>0的圆的标准方程 思考：相比直线的点斜式方程，圆的标准方程有什么特征？ 几何对象 直线 圆 方程 y-y0=k(x-x0) 形式 二元一次方程 几何要素 点，倾斜角（斜率） 参数 x0，y0，k (x－a)2＋(y－b)2＝r2 点（圆心），半径 二元二次方程 a,b,r 高二上学期 郑裕彤中学 环节三 新知应用，巩固内化 例1 判断正误： （1）方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆；（　 ） （2）圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4.（　　） （3）圆心在坐标原点，半径为r>0的圆的标准方程是x2＋y2＝r2 （　　） × × √ 特别地，圆心在坐标原点，半径为1的圆的标准方程： x2＋y2＝1 高二上学期 郑裕彤中学 环节三 新知应用，巩固内化 例2 写出圆心为A(2,-3)，半径长为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上. 高二上学期 郑裕彤中学 环节三 新知应用，巩固内化 例2 写出圆心为A(2,-3)，半径长为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上. 思考1：点M2(-2,-1)既然不在该圆A上，那在圆内还是圆外？ 思考2：一般地，点M(x0，y0)与圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 有哪些？如何判断？ 高二上学期 郑裕彤中学 圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 把点M1(5,-7)代入圆的标准方程得(5-2)2+(-7+3)2=25 ，所以点M1在该圆上. 把点M2(-2,-1)代入圆的标准方程得(-2-2)2+(-1+3)2 =20≠25 ，所以点M2不在该圆上. 环节三 新知应用，巩固内化 例2 写出圆心为A(2,-3)，半径长为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上. 思考1：点M2(-2,-1)既然不在该圆A上，那在圆内还是圆外？ 思考2：一般地，点M(x0，y0)与圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 有哪些？如何判断？ 高二上学期 郑裕彤中学 C x y o M M M 环节三 新知应用，巩固内化 活动：探究点M(x0，y0)与圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系并试着完成下表. 位置关系 几何判定 代数判定 点M在圆上 ｜CM｜＝r （x0－a)2＋（y0－b)2＝r2 点M在圆外 ｜CM｜＞r ｜CM｜＜r （x0－a)2＋（y0－b)2＞r2 （x0－a)2＋（y0－b)2＜r2 点M在圆内 高二上学期 郑裕彤中学 环节四 一题多解，深入探究 例3 ∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求∆ABC的外接圆的标准方程. x y O A(5,1) B(7,-3) C(2,-8) M 高二上学期 郑裕彤中学 环节四 一题多解，深入探究 例3 ∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求∆ABC的外接圆的标准方程. 解法1:（待定系数法）设所求圆的标准方程为： , 则代入三点 故∆ABC外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 只需确定圆的标准方程三参数a,b,r 高二上学期 郑裕彤中学 环节四 一题多解，深入探究 例3 ∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求∆ABC的外接圆的标准方程. x y O A(5,1) B(7,-3) C(2,-8) M D E 思考：如何从几何角度确定圆心和半径？ 圆心：三角形三边中垂线的交点 半径：圆心到圆上任意一点的距离 此关键是利用垂径定理求出圆心坐标 高二上学期 郑裕彤中学 环节四 一题多解，深入探究 例3 ∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求∆ABC的外接圆的标准方程. x y O A(5,1) B(7,-3) C(2,-8) M D E 解法2:（几何性质法） AB的中垂线方程为: BC的中垂线方程为: 故∆ABC外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 高二上学期 郑裕彤中学 环节四 一题多解，深入探究 例3 ∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求∆ABC的外接圆的标准方程. 解法1:（待定系数法）设所求圆的标准方程为： , 则代入三点 故∆ABC外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 思考：比较代数法与几何法，你有什么发现？ 解法2:（几何性质法） AB的中垂线方程为: BC的中垂线方程为: 故∆ABC外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 高二上学期 郑裕彤中学 环节四 一题多解，深入探究 例3 ∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求∆ABC的外接圆的标准方程. 代数法 几何法 点A,B代入圆的方程作差： 线段AB的中垂线方程： 点B,C代入圆的方程作差： 线段BC的中垂线方程： 代入方程容易想出，计算量较大 充分利用几何性质，计算量较小 发现： a+b+1=0 a-2b-8=0 x-2y-8=0 x+y+1=0 待定系数法中任意两个方程作差所得的二元一次方程就是对应两点之间线段的中垂线方程 思考：比较代数法与几何法，你有什么发现？ 高二上学期 郑裕彤中学 小结：求圆的标准方程方法 环节四 一题多解，深入探究 （1）待定系数法 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 列出方程组 解方程组 代回圆的标准方程 （2）几何性质法 利用圆的几何性质求出圆心和半径，再代回圆的标准方程 本质都是方程思想 高二上学期 郑裕彤中学 环节四 一题多解，深入探究 例4 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程. 解法1:（待定系数法）设所求圆的标准方程为： , 则 圆经过A(1,1),B(2,-2) ∵圆心在直线l:x-y+1=0上 故圆C的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25 高二上学期 郑裕彤中学 B x o y A C l 环节四 一题多解，深入探究 例4 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程. 解法2:（几何性质法） ∵A(1,1),B(2,-2) 即：x-3y-3=0 ∴圆心C(-3,-2) 高二上学期 郑裕彤中学 环节五 目标检测，总结提升 (1) 圆的标准方程及结构特点； (2) 点与圆的位置关系的判定方法； (3) 求圆的标准方程的方法： ①待定系数法； ②几何性质法. (4)思想方法：类比、数形结合思想、方程思想等. 问题：本节课学习了哪些内容？涉及哪些数学方法与思想？ 目标检测：课本第85页1、3、4题. 高二上学期 郑裕彤中学 环节五 目标检测，总结提升 祝学业进步，圆梦未来 谢谢！ 高二上学期 郑裕彤中学 $