6.3.3 余角和补角 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

# 人教版七年级上册 6.3.3 余角和补角 专项练习（约1500字） ## 知识要点 1. **余角**：如果两个角的和等于$90^\circ$（直角）\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)就说这两个角互为余角\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)简称互余。 公式：若$\angle\alpha+\angle\beta=90^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\angle\alpha$的余角$=90^\circ-\angle\alpha$ ⚠️ 只有锐角才有余角\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)直角\(\angle1、\angle2\)钝角没有余角。 2. **补角**：如果两个角的和等于$180^\circ$（平角）\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)就说这两个角互为补角\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)简称互补。 公式：若$\angle\alpha+\angle\beta=180^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\angle\alpha$的补角$=180^\circ-\angle\alpha$ ⚠️ 锐角\(\angle1、\angle2\)直角\(\angle1、\angle2\)钝角都存在补角。 3. **核心性质** ① 同角（等角）的余角相等 ② 同角（等角）的补角相等 > 重点：互余\(\angle1、\angle2\)互补只看度数之和\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)和位置无关\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)**只能是两个角**。 4. **方位角** 以正北\(\angle1、\angle2\)正南为基准； 北偏东\(\angle1、\angle2\)北偏西\(\angle1、\angle2\)南偏东\(\angle1、\angle2\)南偏西； 北偏东$45^\circ$=东北方向\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)北偏西$45^\circ$=西北\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)南偏东$45^\circ$=东南\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)南偏西$45^\circ$=西南。 ## 一\(\angle1、\angle2\)选择题 1. $\angle\alpha=36^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\angle\alpha$的余角是（） A.$54^\circ$ B.$64^\circ$ C.$144^\circ$ D.$154^\circ$ 2. 一个角为$58^\circ12'$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)它的补角是（） A.$31^\circ48'$ B.$121^\circ48'$ C.$132^\circ88'$ D.$131^\circ48'$ 3. 下列说法正确的是（） A. $\angle1+\angle2+\angle3=180^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)三个角互补 B. 一个钝角的补角一定是锐角 C. 互补的两个角一定一个锐角一个钝角 D. 角越大\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)它的余角越大 4. $\angle M$与$\angle N$互补\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\angle P$与$\angle N$互补\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)则$\angle M$与$\angle P$（） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 和为$90^\circ$ 5. 南偏西$45^\circ$也叫做（） A. 西南方向 B. 东南方向 C. 西北方向 D. 正西方向 ## 二\(\angle1、\angle2\)填空题 6. $47^\circ$的余角是____\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)补角是____。 7. 若$\angle 1+\angle 2=90^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\angle 3+\angle 2=90^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)则$\angle1=\angle3$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)依据：________________。 8. 一个角的补角是$108^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)这个角的余角为________。 9. 任意一个锐角\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)它的补角比余角大____$^\circ$。 10. 方位角描述方向\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)是以____\(\angle1、\angle2\)____作为基准。 ## 三\(\angle1、\angle2\)判断题（√ / ×） 11. 互余的两个角一定都是锐角。（） 12. 直角没有补角。（） 13. 等角的补角相等。（） 14. 北偏东$20^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)就是从正东向北转$20^\circ$。（） 15. 若$\angle A=100^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)它不存在余角。（） ## 四\(\angle1、\angle2\)画图题 16. 画出十字方向标（上北下南\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)左西右东）\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)画出射线： （1）射线$OP$：北偏西$35^\circ$ （2）射线$OQ$：南偏东$45^\circ$ ## 五\(\angle1、\angle2\)基础解答题 17. 求$37^\circ48'$的余角和补角。 18. 已知一个角的余角是$51^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)求这个角的补角。 19. $\angle A$与$\angle B$互补\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\angle A=106^\circ20'$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)求$\angle B$。 ## 六\(\angle1、\angle2\)综合提升题 20. 一个角的补角比它的余角的2倍多$30^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)求这个角。 21. 如图\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\angle AOC=\angle BOD=90^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)求证：$\angle AOB=\angle COD$。 22. $\angle1$与$\angle2$互余\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\angle1$比$\angle2$少$24^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)求$\angle1\(\angle1、\angle2\)\angle2$。 23. 方位题：A在O的北偏东$28^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)B在O的南偏东$52^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)求$\angle AOB$。 --- # 参考答案与解析 1. **A** 解析：$90^\circ-36^\circ=54^\circ$ 2. **B** 解析：$180^\circ-58^\circ12'=121^\circ48'$ 3. **B** 解析：A互补只能两个角；C两个直角也互补；D角越大余角越小 4. **C** 解析：同角的补角相等 5. **A** 6. $43^\circ$；$133^\circ$ 7. 同角的余角相等 8. $18^\circ$ 解析：原角$=180^\circ-108^\circ=72^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)余角$=90^\circ-72^\circ=18^\circ$ 9. $90$ 10. 正北；正南 11. √ 12. × 解析：直角补角还是直角\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$90^\circ+90^\circ=180^\circ$ 13. √ 14. × 解析：北偏东$20^\circ$是从正北向东转$20^\circ$ 15. √ 16. 画图要点：十字坐标；北偏西：正北向西$35^\circ$；南偏东$45^\circ$就是东南方向。 17. 解： 余角：$90^\circ-37^\circ48'=52^\circ12'$ 补角：$180^\circ-37^\circ48'=142^\circ12'$ 答：余角$52^\circ12'$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)补角$142^\circ12'$。 18. 解： 这个角：$90^\circ-51^\circ=39^\circ$ 补角：$180^\circ-39^\circ=141^\circ$ 答：补角为$141^\circ$。 19. 解： $\angle B=180^\circ-106^\circ20'=73^\circ40'$ 答：$\angle B=73^\circ40'$。 20. 解：设这个角为$x$ $$ \begin{align*} 180^\circ-x&=2(90^\circ-x)+30^\circ\\ 180^\circ-x&=180^\circ-2x+30^\circ\\ x&=30^\circ \end{align*} $$ 答：这个角是$30^\circ$。 21. 解： $\because \angle AOC=\angle BOD=90^\circ$ $\therefore \angle AOB+\angle BOC=90^\circ$\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\angle COD+\angle BOC=90^\circ$ 根据**同角的余角相等**\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)$\therefore \angle AOB=\angle COD$。 22. 解： $\begin{cases} \angle1+\angle2=90^\circ\\ \angle2-\angle1=24^\circ \end{cases}$ 两式相加：$2\angle2=114^\circ,\angle2=57^\circ$ $\angle1=90^\circ-57^\circ=33^\circ$ 答：$\angle1=33^\circ\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)\angle2=57^\circ$。 23. 解： 正北正南夹角$180^\circ$ $\angle AOB=180^\circ-28^\circ-52^\circ=100^\circ$ 答：$\angle AOB=100^\circ$。 如果你需要\(\angle1=33^\circ，\angle2=57^\circ\)我可以直接给你出**几何图形初步整章综合卷**！ 人教版（新教材）数学七年级上册 6.3.3 余角和补角 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/27 第六章 几何图形初步 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们准备好了吗？ 1.在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角。 2.掌握余角和补角的性质。 学习目标 1．角的和、差： ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和， 记作_______________________； ∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差， 记作_______________________； 类似地，∠AOC－∠AOB＝_______． ∠AOB＝∠AOC－∠BOC ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC ∠BOC A C B O 情境导入 2.一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个______的角的射线，叫做这个角的平分线． 相等 ∠AOC＝2∠AOB＝2_______ ∠AOB＝∠BOC ＝ _______ OB是∠AOC的平分线 ∠BOC ∠AOC 情境导入 4 课堂导入 问题 这是我们常用的一副三角尺，三角尺中各个角的度数分别是多少？ 45° 90° 45° 30° 90° 60° 这两个三角尺中，每块都有一个角是90°， 那么另外两个锐角有什么关系呢？ 新知探究 知识点1 余角、补角 30°＋60°＝90°，45°＋45°＝90°. 如果两个角的和等于90°（直角）， 就说这两个角互为余角（互余）， 其中一个角是另一个角的余角. 即：若∠1＋∠2＝90°， 那么∠1和∠2互为余角. ∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角. 6 新知探究 知识点1 余角、补角 如果两个角的和等于180°（平角）， 就说这两个角互为补角（互补）， 其中一个角是另一个角的补角. 即：若∠1＋∠2＝180°， 那么∠1和∠2互为补角. ∠1是∠2的补角，∠2也是∠1的补角. 1 2 7 新知探究 知识点1 余角、补角 注意： (1)余角(补角)是成对出现的. (2)两个角互余(互补)是两个角之间的数量关系，只与它们的度数有关，与它们的位置无关. 8 新知探究 知识点1 余角、补角 例1 （1）若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=______. （2）若∠1=90°－∠2，则∠1与∠2的关系为___________. 180° 互为余角 （或互余） 9 新知探究 知识点2 余角与补角的性质 同角的余角相等. 等角的余角是否也有类似性质？ 思考：∠1 与∠2，∠3都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 1 2 ∠2=90°－∠1 ∠3=90°－∠1 = 3 10 新知探究 知识点2 余角与补角的性质 已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余. 如果∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 由∠1与∠2互余，得∠1＋∠2＝90°，所以 ∠2＝90°－∠1. 由∠3与∠4互余，得∠3＋∠4＝90°，所以 ∠4＝90°－∠3. 又因为∠1＝∠3，所以90°－∠1＝90°－∠3，所以∠2＝∠4. 等角的余角相等. 11 归纳： 知识点2 余角与补角的性质 对于补角是否也有类似性质？ 补角的性质：同角（等角）的补角相等. 如果∠1与∠2，∠3都互为补角， 所以 ∠2＝∠3. 那么 ∠2＝180°－∠1， ∠3＝180°－∠1， 余角的性质：同角（等角）的余角相等. 新知探究 知识点1 余角和补角的定义 1. 下列四个角中，是图中角的补角的是( ) D A. B. C. D. 举一反三 13 2. 如果一个角的度数比它补角的2倍多 ，那么这个角的度数是( ) C A. B. C. D. 3. 如果 和 互补，且 ，那么下 列表示 的余角的式子：① ；② ；③ ；④ .其中正确的有( ) B A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 举一反三 14 4. 若的余角为 ，则____ ____'____, 的 补角为_______ . 32 52 48 147.12 举一反三 15 新知探究 知识点2 余角与补角的性质 例2 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 16 新知探究 知识点2 余角与补角的性质 解：因为点A，O，B在同一条直线上， 所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COD +∠COE＝ ∠AOC+ ∠BOC ＝ (∠AOC+∠BOC ) ＝90°. 所以， ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互为余角. 17 【知识技能类作业】必做题： 1.填空 （1）若∠1与∠2互余，则∠1＋∠2=______. （2）∠1=180º－∠2,则∠1与∠2的关系为___________. 90° 互为补角 当堂检测 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，直线AB与CD相交于O点，∠EOB＝90°，则图中∠EOD与∠2的关系是( ) A.互补 B.互余 C.相等 D.无法确定 B 当堂检测 【知识技能类作业】必做题： 　3.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角． 解：设这个角为x，则它的补角为180°－x， 　　它的余角为90°－x．于是就有 　　180°－x=3（90°－ x）． 　　解得：x=45°． 答：这个角的度数是45°． 当堂检测 【知识技能类作业】选做题： 4.如图，直线a、b相交，若∠1 = 40°，求 ∠2的度数. 解：由补角的定义， ∠1 = 40°可得 ∠2 = 180°－∠1， = 180°－ 40° = 140°. 1 2 3 4 b a 当堂检测 【综合拓展类作业】 5.如图，是直线上一点，平分，．若． (1)求的度数；(2)图中互为余角的角有_______对． 解：（1）∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=150°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠COD=∠BOC=75°， ∵∠COE=90°， ∴∠DOE=90°-75°=15°. (2)互为余角的角有： ∠AOC和∠BOE，∠COD 和∠DOE，∠BOD和∠DOE 3 当堂检测 5. 如图， ，平分, . （1）和 互余吗？试说明理由. 举一反三 23 【解】与 互余.理由： 因为 ,平分 , 所以 . 又因为 , 所以 . 所以 ,即与 互余. 举一反三 24 （2）与 互补吗？试说明理由. 与 互补.理由： 因为 , 所以与 互补. 举一反三 25 知识点2 余角和补角的性质 6. 如图，将一副直角三角 尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，可 得 ，下列理由最合理的是 ( ) B A. 等角的余角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的补角相等 D. 同角的补角相等 举一反三 26 7. 如图，点,,在同一条直线上，射线和在直线 的同侧， ，,分别是和 的平分 线.有下列结论： ① ； ②与 互余； ③ 的邻补角有两个； ④ . 其中，正确的结论为( ) B A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 举一反三 27 余角和补角 补角 余角 定义 性质 定义 性质 课堂小结 谢谢观看 THANKS $