四川成都市树德中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高三上学期10月阶段性测试数学试题 命题人：刘臆审题人：张世军李波波唐颖君 满分：150分时间：120分钟 一，单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.己知集合A={(x,y)y=2,B={《xy)y=x,则A∩B= A.{2 B.{(2,2)} C.{2,0 D.{2,0),(0,2)} 2.下列各式的运算结果为2i的是 A.iti2+i3+i4 B.3-ili C.i2+i)-1 D. 3.己知直线ab与平面、B、y,能使⊥B的充分条件是 A.a1y,B⊥Y B.a∩B=a,b⊥a,bcB C.a//B,a/la D.a/1a,a⊥B 4.已知一组数据为2,3,4,6,7,8，若n为这组数据的中位数，则(x-1)”的展开式中x2的系 数为 A.6 B.3 C.1 D.-10 5.设公差不为0的等差数列{a}的前n项和为Sn,S,=28,若4，a4,成等比数列，则a= A.16 B.8 C.4 D.2 6.在△ABC中，D是BC边上的点，AD=A丽+4C,∈R),则y+3x的最小值为 A.3 B.2+2W3 C.4+25 D.6 x+2,x<0 7.已知函数f(x)= VE,x≥0 对于正实数a,定义集合M。=x|f(x+=f(x)},若满 足M。≠O,则a的取值范围为 B. C. D.(4,14) 8.函数f(x)= 3sin3x-Is 二sin2x(x∈(0，)有两个极值点x,x,(x<x),则cosx cos x的值 为 A. 1 B.1 D. 4 4 2026-10高三数 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9已知如图是西数fd=2os(ar+p)0>0-子<p<0的部分图象，则 π A.p=- 3 YA B.f(x)在(-1,2)上单调递增 C.f(x)的图象关于 经小中心对称 D.f()的图象向左平移2”个单位长度后为偶函数 3 10.某中学在2026年秋季运动会中，设置了“欢乐跑“趣味接力拔河比赛“花式跳绳”四个教师 项目.甲、乙、丙3名教师每人至少从中选择一个活动参加，每个活动都恰有1人参加，记事件 A=“甲参加欢乐跑”，A=“甲参加花式跳绳”，A=“乙参加趣味接力”，则 A.A与A,对立 B.P(4)号 C.A与A相互独立 DW4)8 11.己知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)为偶函数，且当0<x≤1时，f(x)=4-1,则 A.函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称 得) B C.函数f(x)的单调递减区间为(4k+1,4k+3),k∈Z D.己知数列{an}满足a=1,且an=f(an),则a26=3 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1卫.生在指上的网若+广=a0的高心率e<.则a的取位范国处 1B.△1BC的内角A、B、C的对边分别为a、b、G,若S-V5 a3,B 石AMBC的面积为V3,则 b= 第1页共2页 14.己知集合M={,,P,,n},n≥2，n∈N是由函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象上两两不 相同的点构成的点集，集合S={aa=OP。OP,i=0,1,2,,n,n≥2，n∈N,其中(0,1)、 B(云，1).若集合s中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为日的等差数列，当d∈】 时，则符合条件的点集M的个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤： 15.(13分)己知函数f(x)=2 sinxcosx+2W3sin2x-V3. (1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(6分) (2)若A为△ABC的内角，且A为锐角，且f(A)=V3,a=2V3,求△ABC面积的最大值.(7分) 16.(15分)在四棱锥P-ABCD中，PA=PC=PD,底面ABCD是直角梯形，ADIBC, AB⊥AD.已知AD=4,BC=2,CD=22,点O为AD的中点. (1)求证：PO⊥平面ABCD:(7分) @若二面角PCD-A的余弦值为5，求P0的长.(8分) A 17.(15分)2026年8月“世界机器人大会”在北京闭幕.现抽屉中备有某款机器人所需的6块 规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取 一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充 满电再放回抽屉. (1)求第2次取出一次性电池的概率；(3分) (2)在己知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率；(4分) (3)设X,Y是离散型随机变量，X在给定事件Y=y条件下的期望定义为： (p-小x--小条” 2026-10高三数 其中{x,x2,…,xn}为X的所有可能取值的集合，P(X=x,Y=y)表示事件“X=x与“Y=y均发 生的概率.设X表示电动机器人前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出 可充电电池的块数，求E(XY=).(8分) 18.（17分)已知点A(-1,0),B(1,0),曲线E上的动点M满足k4·kB=2, (1)求曲线E的方程：(4分) (2)I是曲线E在点M(x,y)处的切线，过M作I的垂线分别交x轴、y轴于点A(x,0)和 B(0,y),当点M运动时，试求出点P(x,y)的轨迹方程，并指出是什么曲线：(6分) (3)根据（2)的结果，如果推广到一般，你能得出怎样的相应结论？请证明你的结论.(7分) 19.(17分)己知函数f(x)=cosx-x-1. (1)若x∈[0，π]讨论f(x)的极值点个数；(4分) (2)若k=1,设函数F(x)=f(x)+n(x+1), (i)证明：F(x)≤0恒成立；(4分) 若创=F创+x1,正明：之mg小h2,neN,9分) 第2页共2页 树德中学高2024级高三上学期10月阶段性测试数学试题参考答案 一.选择题 1 3 4 5 6 8 9 10 11 B D D D A C A B ABD BD ACD 7.提示：Vx+a=x+2有解，即a=x2+3x+4(-2≤x<0)有解 8.提示：数形结合：C0s3x=c0s2x有两个根，由x取值范围知：2x1+3x1=2π，2x2+3x2=4π 14.提示：若d=1,S={-1,0,1},其中，与-1对应的点1个，与1对应的点2个，其中必在， 与0对应的点2个，满足条件的M有：2×(C+C)×1=6个： 若d--10斗：与-片副时对拉的点分别有：个资起条件的1有 2×(C+C)×(C+C)k(C+C)x1=54个，共60个. 二.填空题 a 12. 13.2 14.60 三.解答题 15.(1)f(x)=2sinxcosx+23sinx-3=sin 2x-3cos2x=2sin(2x-),..........3 所以函数f()的最小正周期为T=2 =元，4分 自2子52x-号≤2版+受keZ,5分 2 3 5x5 可得m-元 +2k∈Z,即有f)的单调递增区间为- ,5π 2》f儿④=.a=25,可得s04-骨-5由0<4受可得骨24-号受 3 2 33 则2A-子-骨即4=号B+C- 3 .7分 3 a=b==25=4 由正弦定理得，sinA sin B sinC sinπ 3 所以b=4sinB,c=4sinC,8分 16x3 所以aABC面积S=)besin=x16 2 xsin Bxsin(-B) 2 ossin B)=3sin2B-V3cos2+3=23sin( 所以-吾2B-君2.所以(28-骨s1,所以s≤36 2B-6<6 故△ABC面积的最大值是3√313分(L何法得出最大值，也给分) 16.证明：()因为PA=PD,点O为AD的中点，所以PO⊥AD,1分 2026-10高三数 在直角梯形ABCD中，连接CO,因为ADIBC,AB⊥AD. 所以ABCO是矩形，即：CO⊥AD, 在Rt△ODC中，CD=2√2，OD=2,所以OC=2.2分 在APOC和△POD中，PC=PD,PO=PO,OC=OD,所以△POC兰△POD, 所以∠POC=∠POD=90°，即P01OC,.5分 又OCOAD=O,OC,ADC平面ABCD,.....6分 所以PO⊥平面ABCD；.7分（未指明相交扣1分） (2)以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 设P0=a,则O(0,0,0),P0,0,a),D(0,2,0),C(2,0,0)..8分 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),CD=(-2,2,0),CP=(-2,0,a). CD.m=-2x+2y=0 由 CP.m=-2x+az=0 取x=a,得m=(a,a,2)..10分 易知平面CAD的一个法向量为n=(0,0,),11分 2 设二面角P-CD-A的大小为O,cos0=cosm,= Va2+2+43’13分 解得a=2.....15分 17.(1)设事件A表示第一次取出时为可充电池，事件A表示第一次取出时为一次性电池，事 件B表示第二次取出时为一次性电池，..1分 则P(B)=P(4)P(B4)+P(4,)P(BA)=6×后+6x行20 33.32_9 .3分 3.31 (2)由(1)知：P(AB)=× 664’ .5分 1 所以P(4B)= P(AB)4_5 P(B)9=g7分 20 (3)由题意，X的可能取值为1,2,3,8分 只需考虑第3、4次取得一次性电池的块数， 3、39 则P(x=Y=)=×兮25，（第3、4次均为充电电池) P(X=2Y=0-亏×5+5x450 32.2327 （第3、4次充电电池和一次性电池各一次) P(X=3Y=)=5×40 2、11 ,（第3、4次均为一次性电池)...13分 所以(Xy=-名+2 +3× 187 50 1050 15分 18解：(1)设Mc),kko=少y =2.2分 x+1x-1 整理得：Y2-上=10K士（床挖点扣1分）4分 (2)因为排除了顶点，所以直线1不可能垂直于x轴，设直线：y=+m, 学第3页共2页 与双曲线方程联立 2=1,整理得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0, y=kx+m 因为直线I是双曲线在点M处的切线即1与双曲线只有一个公共点M(x,%), 所以△=4k2m2-42-k2）(-m2-2)=8(m2+2-k2）=0,则m2=k2-2,.5分 固时由达定理可得x+,即之一 m 代入1方程可得必=- m=42+m=2,所以m= 20.6分 m m m yo (代半留半求出切线斜率也给分，(3)问同) 过点M与直线1垂直的直线方程为y-=-片(x-x)即y=一为x+3 2xo 2x2.,.7分 当x=0时，得y=3业，当y=0时，得x=3x,…8分 2)2 因为-兰-10.所) 3 2 =1(y≠0)’.9分 故点P(x,y)的轨迹方程为女_2 99 -=1(y≠0)，可知其为去掉顶点的双曲线：.10分 (3》结论：对于任意双曲线等广=〔a≥0，b>0),点P()的轨迹为去掉顶点的双曲线 =1(y≠0) +b2 12分 [x2 y2 =1 证明如下：设直线：y=x+m,与双曲线方程联立 a2 b2 y=kx+m 整理得（b2-a2k2)x2-2a2kx-a2m2-a2b=0,1与双曲线相切于M(x,o), 所以△=4ak2m2-4b2-a2k2)(-a2m2-a2b2）=4a2b2(m2+b-a2k2）=0,m2=a2k2-b2.13分 且有+6% -m2 m +m=-m2+b2 则6=-a m=公，所以m=左太=匹=， ..14分 m m Yo a a'yo a2 b2xx+2%+%,15分 过点M与直线1垂直的直线方程为y-人=-Q(x-)即y=-x+ %+%当=0时.程答气+，16分 a a'yo+yo b 当x=0时，得y= b'xo 因为至-=1（≠0），带入整理可得： a2 b2 2026-10高三数 x2 故点P(x,)的轨迹为去掉顶点的双曲线(ad+b2 2=1(y≠0) a2+b2 ....17分 a 、b l9.解：(I)由题，f()=-sinx-k,x∈[0，π] .1分 令f(x)=0,k=-sinx, 当k≤-1或k≥0时，原函数无极值点 当-1<<0时，原函数有两个极值点.4分（等号取错扣2分） (②(i)证明：设)=n(x+)-xx>1,则h)=1-1=-t， x+1x+11 当-1<x<0时，hH(x)>0,当x>0时，h(x)<0,即函数hx)在(-1,0)上单调递增，在(0，+o)上 单调递减，故h(x)≤h(0)=0,即ln(x+)≤x,.6分 又因cosx-1≤0，故ln(x+)+cosx≤x+1,即得F(x)=f(x)+ln(x+l)≤0；8分 (i)证明：由(i)可知cosx+hn(1+x)≤x+1, ∴g(x)=cosx+ln(1+x≤x+l,.10分 1 k 2m小m小(m2小+ma ≤sin ++Sin n+1 n+2 2n ..12分 令1(=-m,xe0引则r()=1-osc≥0，故(d在0到单调递增 数a>4o=0,故x>,xeo引 所以sin+sin1 1 1 1 +…+sin 十…十 n+1n+2 2nn+1n+22n .14分 再证lnx≤x-1, 设m(x)=nx-x+1,则当x>1时，m(x)=-1<0,m(x)单调递减， 当0<x<1时，m(x)>0,m(x)单调递增， 故m(x)sm()=0,故lnx≤x-l,当且仅当x=1时取等号， 故令=则h,-1.故<ht1ha+-n n+1n+1 n+1 n 因此1<n(n+l)-nn, n+1 返+1t…t。<n(n+)-lnn+ln(n+2）-lh(n+l)++ln2n-h(2n n+1n+2 =lh2n-lnn=h2,16分 综上可知： 2(m2小，aeNr分 学第4页共2页