第五章 二次函数（讲义）-2026‑2027 学年北师大版九年级数学上册

第五章：第一节：二次函数 知识解析 知识点一：二次函数的定义 例题精讲 1．下列函数中，y一定是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2﹣1 B．y＝2x2+2 C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣2 B． C．y＝2x+1 D．y＝（x﹣2）2﹣x2 3．二次函数y＝1﹣3x+5x2的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，﹣3，5 B．1，3，5 C．5，3，1 D．5，﹣3，1 4．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x|m|+1﹣（m﹣1）x+1，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．0 5．若二次函数，则k＝ _____ ． 课堂练习 1．已知二次函数y＝x2﹣3x+2，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（　　） A．a＝2，b＝﹣3，c＝1 B．a＝2，b＝3，c＝1 C．a＝1，b＝3，c＝2 D．a＝1，b＝﹣3，c＝2 2．y关于x的函数y＝（m﹣n）x2+mx+n是二次函数的条件是（　　） A．m，n是常数，且m≠0 B．m，n是常数，且n≠0 C．m，n是常数，且m≠n D．m，n为任何实数 3．下列函数表达式中为二次函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B．y＝﹣x2+2x+3 C． D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数） 4．若y＝（m﹣2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝_______ ． 知识点二：二次函数的顶点 例题精讲 1．抛物线y＝﹣x2+1的顶点坐标是__________ ． 2．开口向上，顶点坐标（0，3）的抛物线的解析式__________________ （写一个即可）． 3．抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是 __________ ． 4．二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（　　） A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3） 5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，12），其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8 课堂练习 1．抛物线y＝﹣10（x+6）2的顶点坐标是（　　） A．（10，6） B．（10，﹣6） C．（﹣6，0） D．（6，0）． 2．抛物线y4的顶点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 3．二次函数y＝﹣5（x+2）2﹣1的图象的顶点的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 4．一条抛物线的顶点坐标为（2，1），且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为 ____________________ ． 知识点三：函数的对称轴 例题精讲 1．写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式____________________ ． 2．抛物线y＝ax2﹣2ax+5的对称轴是直线________ ． 3．抛物线y＝﹣（x+1）2+2的对称轴是_________ ． 4．二次函数y＝x（x+4）的对称轴是 ___________ ． 5．二次函数y＝mx2﹣（m2﹣3m）x+1﹣m的图象关于y轴对称，则m的值（　　） A．m＝0 B．m＝3 C．m＝1 D．m＝0或3 6．如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 课堂练习 1．二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线 ____________________ ． 2．抛物线y＝x2+2x+3的对称轴是直线x＝_______ ． 3．二次函数y＝ax2﹣2ax+3的对称轴是直线x＝_____ 知识点四：函数的图像性质 例题精讲 1．对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3） C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 2．关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 3．关于抛物线y＝﹣x2+6x﹣7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2） 课堂练习 1．对于二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴是直线x＝﹣3 C．图象的顶点是（3，﹣1） D．当x＞3时，y随x的增大而增大 2．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向上 B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，3） C．函数图象与y轴的交点坐标是（0，1） D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而减小 3．关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法中错误的是（　　） A．顶点坐标为（1，﹣2） B．对称轴是直线x＝1 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．开口方向向上 知识点五：函数的大小比较及求参数 概念：比较抛物线上多个点y1,y2,y3大小，两种思路 1、 代入 x 算出 y 直接比较； 2、 利用点到对称轴的距离： a>0开口向上：离对称轴越远，函数值越大； a<0开口向下：离对称轴越远，函数值越小。 例题精讲 1．已知抛物线y＝2（x+1）2+1经过（2，y1），（1，y2）两点，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 2．抛物线y＝2（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 3．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 4．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣3）x+1，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m取值范围是（　　） A．m＝﹣5 B．m＝5 C．m≤5 D．m≥5 5．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣1，0）． （1）则b＝_______ ，c＝_______ ； （2）该二次函数图象的顶点坐标为___________ ； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是___________ ． 课堂练习 1．抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 2．点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围是 ____________________ ． 4．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+k上三点分别为A（﹣1，y1），B（3，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 _____________ （用“＞”号连接）． 5．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），当x＞m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________ ． 课后作业 1．抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 2．对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝1 B．顶点坐标是（1，2） C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．当x＝1时，函数y的最小值为2 3．已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3，若点（0，y1），（1，y2），（3，y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2 4．二次函数y＝x2+9图象的顶点坐标是__________ ． 5．已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_____________ 6．已知点（﹣1，y1），（﹣4，y2）在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2的大小关系是：y1_____ y2． 第二讲：二次函数系数特点 知识点一： 与一次函数结合 例题精讲 1．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b图象大致是（　　） A．B． C．D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 课堂练习 1．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C．D． 3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象可能是（　　） A．B． C．D． 知识点二：多结论题型 例题精讲 1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝1，下列结论错误的是（　　） A．abc＞0 B．2a+b＝0 C．3b+2c＞0 D．4a+2b+c＜0 例1 题1 课堂练习 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．abc＜0 B．若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2 C．a﹣b+c＜0 D．2a﹣b＝0 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是（　　） A． B．4ac﹣b2＞0 C．9a+3b+c＜0 D．2a﹣b＝0 知识点三：二次函数图像上点坐标特点 例题精讲 1．已知关于x的二次函数y＝x2+（b﹣3）x﹣b的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　） A．b＜3 B．b＞3 C．b≤0 D．b＜0 2．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5 3．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数y＝（x﹣2）2+2是函数y＝2（x+3）2﹣1“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数y＝x2+4x+6﹣n都是函数y＝x2+2mx﹣4m的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　） A．n＜﹣2 B．n≤﹣2 C．n＞2 D．n≥2 课堂练习 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（0，m），B（2，﹣m），C（﹣2，n），D（﹣6，﹣m），其中m，n为常数，那么的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正方形ABCD中，点B，C的坐标分别是（﹣2，1），（2，0），点D在抛物线的图象上，则b的值是（　　） A． B． C． D． 3．若A（a，m），B（b，m），P（a+b，n）是抛物线y＝x2+2x+3上不同三点，则n的值为（　　） A．3 B．2 C．6 D．不确定 知识点四：二次函数解析式 例题精讲 1．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 2．把二次函数yx2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（　　） A．y（x﹣2）2+2 B．y（x﹣2）2+4 C．y（x+2）2+4 D．y2+3 3．已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）根据图象，当0＜x≤4时，直接写出y的取值范围； （4）根据图象，当y＞0时，直接写出x的取值范围． 4．【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则m＝ _____ ，n＝ _______ ． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 课堂练习 1．二次函数y＝x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）化为一般形式是（　　） A．y＝x2﹣5x+5 B．y＝x2+5x+5 C．y＝x2+5x﹣5 D．y＝x2+5 2．将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数． （1）用配方法将此二次函数化为顶点式； （2）在所给的坐标系上，列表、描点、连线画出这个二次函数的图象； （3）观察图象填空，使y＞0的x的取值范围是_____________ ． 课后作业 1．在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A．B．C．D． 2．函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A．B．C．D． 3．在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax﹣c与二次函数y＝ax2+4x+c的图象可能是（　　） A． B．C．D． 4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，下列说法正确的是（　　） A．c＞0 B．对称轴为直线x＝﹣2 C．关于x的方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根 D．2a+b＝0 5．已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）用配方法将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（要求过程）； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）当﹣3≤x＜0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围； （4）当y＞0时，结合函数图象，直接写出x的取值范围． 第三讲：二次函数最值及解析式的应用 知识点一：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间求最值 例题精讲 1．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝a（x+1）（x+3）（a≠0）在﹣4≤x≤2时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或一1 B．或﹣3 C． D．﹣1 2．二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为（　　） A．3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或3 3．已知二次函数y2的自变量取值范围为﹣1﹣2x≤0，关于该函数在所给自变量的取值范围内的下列说法正确的是（　　） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值﹣2 C．有最大值2，有最小值 D．无最大值，有最小值﹣2 课堂练习 1．若二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当m≤x≤2时，y有最大值4，最小值﹣5，则m的取值范围是（　　） A．﹣4≤m≤2 B．﹣4≤m≤﹣1 C．m≤﹣1 D．﹣1≤m≤2 2．若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 3．二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3范围内的最小值为﹣1，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．若函数y＝x2+ax+b在0≤x≤1的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 知识点二：最值的应用 总利润 = 单件利润 × 销售量 单件利润 = 售价 −成本； 涨价：每涨 1 元，销量减少若干；降价：每降 1 元，销量增加若干。 例题精讲 1．首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销． （1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； （2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a满足m＝﹣2a+400关系，请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格： 方案一：利润最大 方案二：固定利润率80% 该店销售A品牌足球的利润最大，单件售价a为多少元，最大利润为多少？ 尽量优惠顾客，该店销售A品牌足球获得固定利润率80%，单件售价a为多少元，及进货量． 2．深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ （2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ 课堂练习 1．某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y＝60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天． （1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为_______ 元/千克，获得的总利润为__________ 元； （2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式； （3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 2．为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：q＝360﹣4x； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 （1）求“经典系列”在试销时的每日总利润， （2）求出信息二中x的值； （3）企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（t≥40），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 知识点三：新定义题型 题目自定义新概念，读懂定义，转化为二次函数普通计算。 · 永恒点：无论参数怎么变，恒经过的定点；把式子整理，令参数系数等于 0，求 x、y； · 纵横差：\(yx\)； · 伴随抛物线、孪生抛物线：严格按照题目给文字条件列式 例题精讲 1．在平面直角坐标系中，点A（x，y）的纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横差”． 某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横最大差”． 例如：点A（﹣8，1）的“纵横差”为1﹣（﹣8）＝9；函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横差”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“纵横最大差”为7．根据定义，解答下列问题： （1）求点B（4，9）的“纵横差”； （2）求函数y＝x2+x（﹣1≤x≤3）的“纵横最大差”； （3）若函数y＝﹣x2+（2h+1）x（﹣1≤x≤3）的“纵横最大差”为4，求h的值． 2．新定义：若函数图象恒过点（m，n），我们称（m，n）为该函数的“永 恒点”．如：一次函数y＝k（x﹣1）（k≠0），无论k值如何变化，该函数图象恒过点（1，0），则点（1，0）称为这个函数的“永恒点”． 【初步理解】一次函数y1＝mx+3m（m＞0）的永恒点的坐标是 ___________ ； 【理解应用】二次函数y2＝﹣mx2﹣2mx+3m（m＞0）落在x轴负半轴的永恒点A的坐标是 ___________ ，落在x轴正半轴的永恒点B的坐标是 __________ ； 【知识迁移】点P为抛物线y2＝﹣mx2﹣2mx+3m（m＞0）的顶点，设点B到直线y1＝mx+3m（m＞0）的距离为d1，点P到直线y1＝mx+3m（m＞0）的距离为d2，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 知识点四：新函数探究题 1．深圳百合外国语学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数y＝﹣|x﹣1|+3的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）列表：表格是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y a ﹣1 0 1 2 b 2 1 0 … 表格中a的值为 _______ ，b的值为 _____ ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象： （3）请观察函数的图象，回答下列问题： ①不等式﹣|x﹣1|+3＜0的解集为 _____________ ； ②若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝_______ ； ③定义，例如min（1，6）＝1，min（a2，a2﹣1）＝a2﹣1，则函数的最大值为 _____ ． 2．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题． （1）完成函数图象的作图，并完成填空． ①列出y与x的几组对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 0 1 0 a ﹣8 … 表格中，a＝_______ ； ②结合上表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象； ③观察图象，当x＝_________ 时，y有最大值为 _____ ； （2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标； （3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围． 课后作业 1．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象与y轴交点坐标是 __________ ． 2．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝_____ ． 3．已知抛物线y＝x2﹣4x+5过A（3，m），B（﹣4，n）两点，则m_____ n（填＞，＜或＝）． 4．抛物线y＝x2﹣4与y轴的交点坐标为 ___________ ． 5．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是________ ． 6．定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E． （1）直接写出抛物线C2的表达式___________________ ； （2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值． 7．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3． （1）与y轴的交点坐标是 ___________ ，顶点坐标是 ___________ ． （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … （3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是 ____________________ ． 8．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个， 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 要使得月销售利润达到最大，且售价不超过60元，则实际售价应定为多少元？最大利润为多少元？ 第四讲：二次函数的实际应用 知识点一： 面积最值 例题精讲 1．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为15m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2． （1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围； （2）要围成面积为36m2的花圃，AB的长是多少米？ （3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？ 2．项目式学习： 项目主题 劳动实践基地菜地设计 项目情境 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地ABCD，如图所示，墙最大可利用长度为21米．菜地中间用篱笆隔开，在BC边上设计了两个宽度为1米的小门，方便同学们出入．AD边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的篱笆． 活动任务一 若设菜地的宽AB为x米，则BC＝____________ 米（用含x的代数式表示）； 且x的取值范围是___________ ； 活动任务二 若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB． 活动任务三 求这块菜地的最大面积？ 课堂练习 1．阅读材料： （1）对于任意实数a和b，都有（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，于是得到a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果a≥0，则．如：2，等． 例：已知a＞0，求证：． 证明：∵a＞0，∴ ∴，当且仅当时，等号成立． 请解答下列问题： 某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）．设垂直于墙的一边长为x米． （1）若所用的篱笆长为36米，那么： ①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？ ②设花圃的面积为S米2，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积； （2）若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 知识点二：轨迹问题 例题精讲 1．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 2．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离x/m与竖直高度y/m的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 （1）在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是_____ m，实心球在空中的最大高度是________ m； （2）求图中抛物线的解析式y＝a（x﹣h）2+k； （3）根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.4米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； （4）已知图中抛物线经过M（m，y1），N（m+2，y2）两点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则m的值为____________________ ． 课堂练习 1．体育课上小李同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的看作是抛物线的一部分．如图﹣1是小李连续两次蛙跳的运动示意图．规定小李距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），第一个蛙跳的起跳点为原点，并在（1，0.4）达到最高点．在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳．路线为抛物线L2：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同． （1）求小李第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式； （2）若小李第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点2.6m时，到达最高点． ①求k的值； ②在距离原点3m处，水平放置一个距离地面高度为0.12m的可调节支撑杆，判断小李在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由； （3）如图2，为提高训练效果，老师指导小李在可调节坡度的斜坡（近似看作直线y＝mx（m≠0））上进行训练，P为斜坡与L1的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且PQ⊥x轴．当，且抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围． 知识点三：拱桥问题 例题精讲 1．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 2．利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离AC＝BC＝10m，拱顶离水面的距离CD＝5m． 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3.5m，EH＝10m．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 知识点四：几何问题 1．如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，求剪去的正方形的边长． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由． 2．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式； （2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长； （3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长． 知识点五：行程问题 例题精讲 1．综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间t（s）、瞬时速度v（m/s）、刹车路程y（m）的数据． 【收集整理数据】 运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度v（m/s） 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程y（m） 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 （1）【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用_______ 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为____________________ ． ②y与t之间的关系可以近似地用_______ 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为____________________ ． （2）【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为150m，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以3m/s的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB的最小值是多少？ 课堂练习 1．某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长150m．小明从赛道顶端A处下滑，滑行2s后，小华操控一个无人机从A处沿着赛道方向保持相同安全高度跟拍小明，测得小明离A处的滑雪距离y（单位：m）以及无人机离A处的距离s（单位：m）（注：无人机的安全高度忽略不计）随滑雪时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表： 滑行时间x/s 0 1 2 3 4 5 滑行距离y/m 0 6 14 24 36 50 无人机离A处的距离s/m 0 0 0 15 30 45 经探究发现，y与x之间成二次函数关系，s与x（x≥2）之间成一次函数关系． （1）直接写出y关于x的函数解析式和s关于x（x≥2）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）小明滑完整个赛道需要耗时多久？ （3）在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，试计算此时小明的滑雪时间x的值；若不能，求出无人机与小明的最小距离． 课后作业 1．校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB＝8m，再用两根长度为2m的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF＝6m，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（　　） A．6m B．4.8m C． D． 2．晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度 活动准备 1．查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2．准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点C对应的地面位置O，安排第二位队友用皮尺测量位置O与晓然同学投篮站立位置点A的水平距离OA，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心D与地面对应点E，并测量水平距离OE. 采集数据 经测量，晓然同学的出手高度AB＝2.25米，OA＝2.5米，OE＝1.5米．经查询篮筐的高度DE＝3.05米，且A，O，E在一条直线上，AB和ED都垂直于AE． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为y＝ax2+c，分析数据得D，B两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出C点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投进篮球的最大离地高度； （3）如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米？ 3．综合与实践． 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查，刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 第六讲：二次函数与一元二次方程 知识点一：抛物线与x轴交点 例题精讲 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．3 D．﹣4 题1 题2 2．定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），关于x的方程|x2﹣2x﹣3|+m＝0有四个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．﹣3≤m＜0 B．0＜m＜4 C．﹣4＜m＜0 D．﹣4＜m＜4 3．若二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2﹣1＝0的实数根为（　　） A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝﹣2，x2＝6 C．， D．x1＝﹣4，x2＝0 课堂练习 1．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的根是 ____________ ． 2．已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣m2+m﹣3的值为 _______ ． 知识点二：表格法求二次函数与x轴交点 例题精讲 1．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是_______________ ． x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 2．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值： x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是_______________ ． 课堂练习 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是________________ ． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 2．如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 3．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　） x … 2 2.1 2.2 2.3 2.4 … y … ﹣1 ﹣0.39 0.24 0.89 1.56 … A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3 知识点三：二次函数与不等式组 例题精讲 1．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2＞bx+c的解集为（　　） A．﹣2＜x＜1 B．﹣2≤x≤1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x≤﹣2或x≥1 2．请阅读下列解题过程；解一元二次不等式；x2﹣2x﹣3＜0． 解；设x2﹣2x﹣3＝0，解得；x1＝﹣1，x2＝3． 则抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）． 画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象（如图1所示）． 由图象可知；当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴下方， 此时y＜0，即x2﹣2x﹣3＜0． 所以一元二次不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为：﹣1＜x＜3． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）用类似的方法解一元二次不等式；﹣x2+4x﹣3＞0． （2）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下； ①列表；x与y的几组对应值如表，其中m＝_______ ． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 ﹣3 m ﹣3 0 1 0 ﹣3 … ②如图2，在直角坐标系中画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． ③结合函数图象，解决下列问题；不等式﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0的解集为：___________________ ． 课堂练习 1．请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0． 解：设x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3， 则抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）． 画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象（如图所示）． 由图象可知：当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴下方， 此时y＜0，即x2﹣2x﹣3＜0． 所以一元二次不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为：﹣1＜x＜3． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 _____ 和 _____ （只填序号）． ①转化思想； ②分类讨论思想； ③数形结合思想． （2）用类似的方法解一元二次不等式：﹣x2+2x＞0． （3）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量x的取值范围是 _________ ；x与y的几组对应值如表，其中m＝_______ ； x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 ﹣3 m ﹣3 0 1 0 ﹣3 … ②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整； ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：﹣3≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0． 课后作业 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的部分对应值如表： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 5.6 3.1 1.5 ﹣0.9 ﹣1.8 若其图象的对称轴为直线x＝﹣2，则ax2+bx+c＝0的较小的根的取值范围是（　　） A．0.12＜x＜0.13 B．﹣0.13＜x＜﹣0.12 C．﹣4.13＜x＜﹣4.12 D．﹣3.89x＜﹣3.88 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线和直线y2＝kx（k＞0）交于点O和点A．如果点A的横坐标是3，那么关于x的不等式kx＞ax2﹣2ax的解集是 __________ ． 题2 题3 3．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ___________ ． 4．校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB＝8m，再用两根长度为2m的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离EF＝6m，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为___________________ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $