河南信阳市罗山县周党高级中学2026-2027学年度上学期高二第一次月考数学试卷

高二第一次月考数学试卷答案 单选： 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B A D D D B 多选： 9 10 11 ACD AC ABC 填空 12. 13./ 14. 1.【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 2.【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3.【答案】B 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 4.答案：A 解析：由题设，甲、乙两批种子不发芽率分别为0.2和0.1，所以两批种子中各取一粒恰有一粒种子能发芽的概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.故选A. 5.【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 6.答案：D 解析：由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局甲队获胜，此时的概率为；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为×＝.综上所述，甲队获胜的概率为＋＝.故选D. 7.【答案】D 【分析】直接建立空间直角坐标系，再由共面，进而可得共面，由平面向量基本定理可得. 【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，， . 设，由，所以，， 所以 . 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 8.【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 9.【答案】ACD 【详解】对于A选项，设， 因为是空间的一组基底， 所以，无实数解，故不共面， 所以也是空间的一组基底，A正确； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 10答案：AC 解析：从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果．恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有9种结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为＝，故A正确； “至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，故B错误；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，故C正确． “两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为＝，故D错误；故选AC. 11.答案　ABC 解析　因为AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BE，故A正确； 因为B1D1∥平面ABCD，又E，F在直线D1B1上运动，所以EF∥平面ABCD，故B正确； C中由于点B到直线EF(即B1D1)的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF(即平面BB1D1D)的距离为，故VA－BEF为定值，故C正确； ①当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得A(1，1，0)，B(0，1，0)，E(1，0，1)，F， 所以＝(0，－1，1)，＝， 所以·＝. 又||＝，||＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以此时异面直线AE与BF成30°角. ②当点E为D1B1的中点，点F在B1处时， 此时E，F(0，1，1). 所以＝，＝(0，0，1)， 所以·＝1， ||＝＝，||＝1， 所以cos〈，〉＝＝≠，故D错误. 12.【答案】 【详解】，， 在上的投影向量为. 13.【答案】/ 【详解】因为， 所以 ， 设平面EFG的一个法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离. 14. 解析：因为a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，所以共含有12个样本点．函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，易知a≥0，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，需要满足－2b>0，即b<0，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1，共1种；②当a>0时，需要满足≤1，即b≤a，符合条件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)，共4种．所以函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率是P＝. 15.【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 16.【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 17.解：(1)设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，因为P＝，P＝，P＝，P＝， 所以P＝PP＝×＝， P＝PP＝×＝， 因为>，所以派甲参赛获胜的概率更大． (2)由(1)知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”， 设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”， 因为P＝1－P＝1－＝，P()＝1－P＝1－＝， 所以P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝. 18.解　设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD.以O点为坐标原点，以OD为x轴，OA为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系. (1)由已知得A(0，1，0)，B(－，0，0)， C(0，－1，0)，D(，0，0)，F(0，1，2)， 因为z轴垂直于平面ABCD， 因此可令平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)， 又＝(，1，2)， 设直线BF与平面ABCD所成的角为θ， 则有sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝，即θ＝， 所以直线BF与平面ABCD所成的角为. (2)因为＝(2，0，0)，＝(，1，2)， 设平面FBD的法向量为n＝(x，y，z)， ⇒ 令z＝1得n＝(0，－2，1)， 又因为＝(0，0，2)， 所以点A到平面FBD的距离 d＝＝＝. 19.(1)证明　以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图). 设AB＝a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1). 故＝(0，1，1)，＝， ＝(a，0，1)，＝. ∵·＝－·0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B1E⊥AD1. (2)解　假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，使得DP∥平面B1AE， 此时＝(0，－1，z0). 设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z). 则n⊥，n⊥，得 取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝. 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥， 即n·＝0，－az0＝0，解得z0＝. 又DP⊄平面B1AE， ∴存在点P，使得DP∥平面B1AE， 此时AP＝. (3)解　连接A1D，B1C，由ABCD－A1B1C1D1为长方体及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C， 又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，B1C，B1E⊂平面DCB1A1， ∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面DCB1A1即平面A1B1E的一个法向量，且＝(0，1，1). 设与n所成的角为θ， 则cos θ＝＝. ∵平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos 30°，即＝. 解得a＝2，即AB的长为2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 周党高中2026-2027学年度上期高二第一次月考数学试卷 审核：高二数学组 时间：2026年10月12日 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第十章+选择性必修一第一章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 4．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是(　　) A．0.26 B．0.08 C．0.18 D．0.72 5．如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 6.甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为(　　) A． B． C． D． 7．四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 8．在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（　　） A．已知是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 10. 高一(2)班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则(　　) A．恰有一名参赛学生是男生的概率为 B．至少有一名参赛学生是男生的概率为 C．至多有一名参赛学生是男生的概率为 D．两名参赛学生都是男生的概率为 11.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中正确的是(　　) A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱锥A－BEF的体积为定值 D.异面直线AE，BF所成的角为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则在上的投影向量为________． 13．在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________. 14．已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 16．(15分)已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 17．（15分）某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 18．（17分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°. (1)求直线BF与平面ABCD所成的角； (2)求点A到平面FBD的距离. 19．（17分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点. (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由； (3)若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $