2.2等腰三角形（分层作业，5大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 2.2 等腰三角形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 等腰三角形的定义 题型02 三角形的三边关系与等腰三角形 题型03 等腰三角形与基本作图问题 B组 能力进阶 题型01 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形 题型02 等腰三角形与分类讨论思想 等腰三角形的定义题型01 1．（25-26八年级上·山东日照·月考）已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 2．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 3．（25-26八年级·山东枣庄·质检）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 4．在练习本上画出： (1)等腰锐角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰钝角三角形． 三角形的三边关系与等腰三角形题型02 1．等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形的周长是36厘米，其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是_____厘米． 3．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则该等腰三角形的周长是 _______． 4．等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为___________． 5．已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 等腰三角形与基本作图问题题型03 1．如图，已知线段a，b，求作以3a为底边、以b为高的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）    2．（2026·陕西咸阳·模拟）如图，已知菱形，请用尺规作图法在上方求作一点，连接、，使得是以为底边的等腰三角形，且边上的高等于菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 4．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论已知：线段和求作：等腰，使得，．    5．（26-27八年级上·陕西榆林·月考）如图，已知线段和，请用尺规作图法作一个等腰，使得，．（不写作法，保留作图痕迹） 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形题型01 1．如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 等腰三角形与分类讨论思想题型02 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形的周长是36厘米，其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是_____厘米． 2．已知一个等腰三角形两边分别为10和5，则第三边长是___________． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的第三条边长是______cm． 4．已知是等腰三角形，若它的周长为18，一条边的长为4，则它的腰长为__________． 5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（     ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 等腰三角形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 等腰三角形的定义 题型02 三角形的三边关系与等腰三角形 题型03 等腰三角形与基本作图问题 B组 能力进阶 题型01 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形 题型02 等腰三角形与分类讨论思想 等腰三角形的定义题型01 1．（25-26八年级上·山东日照·月考）已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及绝对值和偶次方的非负性，由题意得：，求出即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形， 故选：C 2．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】将，进行因式分解，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； ∴这个三角形一定是等腰三角形． 故选D． 【点睛】本题考查因式分解的应用．解题的关键是掌握分组法进行因式分解． 3．（25-26八年级·山东枣庄·质检）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【分析】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 【详解】解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 4．在练习本上画出： (1)等腰锐角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰钝角三角形． 【答案】(1)解：满足“有两条边相等，三个内角均为锐角”的三角形即可， 如图：中，，都为锐角． (2)满足“有两条边相等，有一个内角为直角”的三角形即可， 如图：中，，． (3)满足“有两条边相等，有一个内角为钝角”的三角形即可， 如图：中，，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 三角形的三边关系与等腰三角形题型02 1．等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、三角形三边关系，根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别得出一元一次方程，解方程结合三角形三边关系判断即可得解． 【详解】解：①当为底边长时，腰长为，， ∵三角形为等腰三角形， ， 解得， ∴，， ∵， ∴构不成三角形； ②当为底边长时，腰长为，， ∵三角形为等腰三角形， ， 解得， ∴，，符合三角形三边关系， 等腰三角形的周长为； ③当为底边长时，腰长为，， ∵三角形为等腰三角形， ， 解得， ∴，，符合三角形三边关系， 等腰三角形的周长为． 综上，等腰三角形的周长为7或10， 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形的周长是36厘米，其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是_____厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了比的应用，解答此题的关键是等腰三角形的特征，弄清这个等腰三角形三边长度的比，然后再根据按比例分配问题解答． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的特征，这个等腰三角形三边的比是，即底为“2”，把36厘米平均分成份，先用除法求出1份的长度，再用乘法求出2份的长度． 【详解】解：根据题意，这个三角形三条边长度的比是 （厘米） 故答案为：6． 3．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则该等腰三角形的周长是 _______． 【答案】14 【分析】分2为腰长，6为腰长结合三角形三边的关系进行求解即可 【详解】解：当腰为2时，， ∴2、2、6不能组成三角形； 当腰为6时，， ∴2、6、6能组成三角形， 该三角形的周长． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4．等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】3 【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰是3时，则另两边是3，7，而，不满足三边关系定理，因而应舍去． 当底边是3时，另两边长是5，5， 则该等腰三角形的底边为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形定义和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法． 5．已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，正确理解三角形的三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键．分分两种情况：①若腰长为2，②若底边长为2，利用三角形的三边关系依次验证即可． 【详解】解：分两种情况： ①若腰长为2，则底边长为， ，不能构成三角形，故舍去； ②若底边长为2，则腰长为，，能构成三角形， 故腰长为4， 故选C． 等腰三角形与基本作图问题题型03 1．如图，已知线段a，b，求作以3a为底边、以b为高的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】 如图，即为所作：    【分析】先作然后作的垂直平分线，在垂直平分线上截取b为高即可． 【详解】略 【点睛】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 2．（2026·陕西咸阳·模拟）如图，已知菱形，请用尺规作图法在上方求作一点，连接、，使得是以为底边的等腰三角形，且边上的高等于菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，并在垂直平分线上截取的长即可. 【详解】解：如图，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，以该垂直平分线与的交点为圆心，的长为半径画弧，在上方交该垂直平分线于点,连接、，点即为所求． 3．如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 【答案】这样的等腰三角形能画4个，如下： 【分析】当时，以点O为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，以点A为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，作出的垂直平分线交直线a于． 【详解】略 4．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论已知：线段和求作：等腰，使得，．    【答案】 解：如图，等腰为所作．    【分析】先作，然后以点为圆心，为半径画弧交于点，交于点，则满足条件． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 5．（26-27八年级上·陕西榆林·月考）如图，已知线段和，请用尺规作图法作一个等腰，使得，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】本题可拆解为两个基本尺规作图，先作出一个角等于已知角，再在作出角的两条边上分别截取长度等于的线段，连接线段端点即可得到符合要求的等腰． 【详解】略 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形题型01 1．如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 【答案】这样的等腰三角形能画4个，如下： 【分析】当时，以点O为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，以点A为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，作出的垂直平分线交直线a于． 【详解】略 等腰三角形与分类讨论思想题型02 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形的周长是36厘米，其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是_____厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了比的应用，解答此题的关键是等腰三角形的特征，弄清这个等腰三角形三边长度的比，然后再根据按比例分配问题解答． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的特征，这个等腰三角形三边的比是，即底为“2”，把36厘米平均分成份，先用除法求出1份的长度，再用乘法求出2份的长度． 【详解】解：根据题意，这个三角形三条边长度的比是 （厘米） 故答案为：6． 2．已知一个等腰三角形两边分别为10和5，则第三边长是___________． 【答案】10 【分析】根据等腰三角形的定义，分情况讨论，再利用两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：①当腰长为5时，则等腰三角形的三边分别为5，5，10， ， 不能构成三角形，故舍去． ②当腰长为10时，则等腰三角形的三边分别为5，10，10， ， 能构成三角形． 第三边长为：10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，即两边相等的三角形是等腰三角形，解题的关键在于熟练掌握两边之和大于第三边． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的第三条边长是______cm． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答是解题的关键．根据等腰三角形的定义，两条边相等，需分类讨论哪一边为腰，再根据三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否构成三角形，求解即可． 【详解】解：若腰长为，则底边长为，此时，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形； 若腰长为，则底边长为，此时，满足三边关系，故第三条边长为， 故答案为：8． 4．已知是等腰三角形，若它的周长为18，一条边的长为4，则它的腰长为__________． 【答案】7 【分析】由于已知的长为4的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理． 【详解】解：当腰长为4时，底长为：18-4×2=10，4+4＜10，不能构成三角形； 当底长为4时，腰长为：(18-4)÷2=7，能构成三角形； 故此等腰三角形的腰长为7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（     ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 【答案】B 【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是3cm的边是底边时， 三边为3cm，5cm，5cm， 等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时， 底边长是：13－3－3＝7cm， 而3＋3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是：3cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $